ALGEBRA VECTORIAL Y GEOMETRIA EUCLIDIANA

JOSE ALONSO

SALAZAR

CAICEDO

Trqbajo presentado como requisito parcial

para o b t e n e r la promoción a

profesor

asociado.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SECCIONAL M A N IZALES FACULTAD DE CIENCIAS 1992

Y ADMINISTRACION

i

% 1.

INTRODUCCION

L a s leyes del Algebra V e c t o r i a l asociadas a l c o n j u n t o de los s e g m e n t o s dirigidos del plano ( o del e s p a c i o ) , en

conexión con u n p r o d u c t o i n t e r i o r ,

p e r m i t e n d e m o s t r a r una g r a n v a r i e d a d d e proposiciones y t e o r e m a s de [a G e o m e t r í a Clásica relativamente

Euclidiana, utilizando

procedimientos y técnicas

simples.

Desde u n p u n t o de v i s t a d i d á c t i c o y p e d a g ó g i c o , surge el p r o b l e m a d e e x a m i n a r h a s t a c¡ué p u n t o es posible r e c u p e r a r g r a n p a r t e d e l a r s e n a l d e ideas - f r u c t í f e r a s que p r o p o r c i o n a b a n a o t r a s g e n e r a c i o n e s

textos

de G e o m e t r í a M é t r i c a y q u e hoy por hoy se h a l l a n s e p u l t a d o s b a j o los e s c o m b r o s de la l l a m a d a

"Matemática

Moderna'1 .

En las p á g i n a s g u e s i g u e n m o s t r a m o s a t r a v é s de u n e j e m p l o - l a caract e r i z a c i ó n V e c t o r i a l d e l O r t o c e n t r o d e un t r i á n g u l o — g u e es p o s i b l e escoger u n s e n d e r o , e n t r e los m ú l t i p l e s e x i s t e n t e s , q u e i l u m i n a d e manera s i m u l t á n e a varios aspectos de una m i s m a s i t u a c i ó n , a l t i e m p o g u e nos c o n e c t a con u n a r a m a f a s c i n a n t e de la M a t e m á t i c a : £1 A n á lisis

Vectorial.

u

PRELIMINARES

A s u m i r e m o s por p a r t e del l e c t o r , conocidas las propiedades e s e n c i a l e s de las operaciones suma y m u l t i p l i c a c i ó n por u n e s c a l a r en el c o n t e n t o d e l A l g e b r a V e c t o r i a l . S i n e m b a r g o , h a r e m o s un l i s t a d o d e ellas c o n el p r o p ó s i t o d e u n i f i c a r la t e r m i n o l o g í a y la n o t a c i o n u t i l i z a d a s a lo l a r g o del artículo.

U n v e c t o r en el p l a n o se r e p r e s e n t a m e d i a n t e un s e g m e n t o d i r i g i d o (Fig.1).

Figfl)

i U n v e c t o r de origen A y e x t r e m o B se s i m b o l i z a por A B , y cuando no es necesario e s p e c i f i c a r los p u n t o s A ^ B por rri u o t r a l e t r a m i n ú s c u l a olel a l f a b e t o c a s t e l l a n o con s u c o r r e s p o n d i e n t e f l e c h a e n c i m a .

iii La

longitud, módulo o n o r m a del vector m coincide c o n la l o n g i t u d del

s e g m e n t o A8 de la g e o m e t r í a a n a l / t i c a y se d e s i g n a por | A B Í ó S i A y B son de c o o r d e n a d a s

, y o

misma dirección

o' si

A = í - X , - i / ) ; q

es el v e c -

carece d e d i r e c c i ó n y s e n -

es e l opuesto del v e c t o r ~C .

06 ( Z + cí ) ~

OLc + a c í

( d i s t r i b u í i v i o l a d r e s p e c t o a ¡a suma

vectona I ). (M2)

(OC + J3 ) C

—

OCc +

fìc

( d i s t r i b u t ì v i d a d r e s p e c t o a la

Suma e s c a l a r ) . (ivb)

(OLji)

c

=

a í j 3 c ) =

J3(ac)

íasociatividad respecto de

la m u l t i p l i c a c i ó n escalar ) . ClVU)

1c

=

C .

L d

c

Y'

Y

-e-jy' 0

X1

X

Fig.(6)

E l ángulo -9- e n t r e dos v e c t o r e s dado

por la expresión

eos -e-

~c y d

(de origen común O )

(Fig. 6 )

=

x x 1 "i- y t f ( x 1 + ^)i/z(%,z

+ y

1

)

V z

viene

vii i

q u e se o b t i e n e d e la

identidad

C o S (i -

El n u m e r a d o r d e ( * ) producto

4>Z ) =

Cos

COS Z + S e n

producto interior,

es e l

punto de los v e c t o r e s

c - d

=

c

y d

XX'

+

y

S e n 4>z

producto escalar

se n o t a

o

por

yy

El p r o d u c t o e s c a l a r g o z a d e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

(Ei)

c

d

=

lcll3lCos-e-

(Ez)

c -d

-

d • c

(E3)

c C3 + e ) =

(E4)

c(ot3)

=

(Es)

c •d

Iclldl

4

(conmutatividad )

c • d + "c-"e QL(c-d)

=

Ic\2

~ ~c -~c

Diremos que

y

son

e s o ~c

d

c ( a d )

( Cauchy -

Obse'rvese que

c

es p e r p e n d i c u l a r

=

(-e = o

(homogeneidad)

Schwartz).

perpendiculares a ol

o' -6- = j t

s i -©- =

s i y s o l o s i "c - d

D i r e m o s q u e ~C e s p a r a l e l o a d c

(distribuí ividad )

Cos - © - = • - i

. Por

= 0

si hay u n e s c a l a r

, pues

jr/2

).

J3 ^

o

tal

que

ix De dos vectores tesiano sucesivo

OX.y

c y ol

y p e r t e n e c i e n t e s al p l a n o c a r -

diremos que f o r m a n una

haremos énfasis

TEOREMA i .

Si Z

cualquier v e c t o r simultáneamente

y "3

nulos

Dicho de o t r o m o d o ; e

base

p a r a e l p l a n o . E n lo

en el

f o r m a n u n a b a s e p a r a el p l a n o y e

no nulo entonces

e

C y

no paralelos

existen escalares

, J^t.

es , no

tales que

=

iC

+

J X z d

es u n a c o m b i n a c i ó n

l i n e a l d e los v e c t o r e s

"3.

TEOREMA 2.

Supóngase que

a d e m a s se s a t i s f a c e

C y cí

la i g u a l d a d

f o r m a n una base

y c^ue

vectorial

entonces

= JA a. = O

L a base c a n ó n i c a t

= H,0) ;

j

p a r a el p l a n o e s t á f o r m a d a

— C0,0

por los

y , vale la descomposición

vectores

(Fig.7)

%

(% t y) = (%,o) + (o,•y) =

% (1,0)

+

y(o(1)

= xí + y f

L o s conceptos y proposiciones cultad

precedentes

se g e n e r a l i z a n sin d i f i -

al e s p a c i o e u c l i d i a n o t r i d i m e n s i o n a l . No o b s t a n t e , es b u e n o

o b s e r v a r que l a d i r e c c i o ' n d e u n v e c t o r e s t á d e t e r m i n a d a p o r d o s á n gulos d i r e c t o r e s

c u a l e s q u i e r a d e los t r e s p o s i b l e s . ( F i q . 8 )

xt

Ue t r e s vectores no nulos y n o c o p l a n a r i o s del e s p a c i o - t r i d i m e n s i o nal a i r e m o s que f o r m a n u n a b a s e . Los vectores (0,-1,0); k = (0,0/1),

paralelo a

d,

-

f o r m a n la b a s e c a n ó n i c a . S u b s i s t e n " t e o r e m a s a n á -

logos a los e n u n c i a d o s a n t e r i o r m e n t e

TEOREMA 3.

' l = (4,0,0)J

Si

C, d

entonces

y f

f

y ademas conviene r e s a l t a r :

son vectores coplanares

se puede e s c r i b i r

lineal d e c y d , i. e . e x i s t e n e s c a l a r e s

f

Dados los v e c t o r e s

=

+

C n o es

como una c o m b i n a c i ó n , JA?, t a l e s

que

.

C -

vectorial d e C y d

y

,

d = f x ' ^ ' . z 1 ) , e l producto

( e n ese o r d e n )

es el v e c t o r

e^ d a d o por l a - f ó r -

mula

C

X d

V y

~j producto v e c t o r i a l reglas :

—

A

x

1

^

-

A.

VS 1

A

X

y

Z

y

Z1

J

X

z

X'

T:

(cruz o externo)

k

A

J +

X

x

y y

obedece a las

siguientes

xii =

(Vi)

c x d

(V2)

C * 3

(V3)

Oí ( c x 3T)

(V4)

c*x(d+f)

(V5)

| a x £ T

(Ve)

O si y solo si

=-oí

x ~c =

son paralelos

(anticonmutatividad )

Q¿c x d

=

=

c y d

cxd

ISiNtí

^

c x OLd

+ 2

(homogeneidad )

(distriJoutividad) -

(a-£)

2

(Lagrange)

c x d

es perpendicular al plano f o r m a d o por

( e x d)-C

= 0

,

C y d , i.e.

( c x d )• d = O

D e C Vs) se i n f i e r e

le

x 3 !

=

\t\IcN

Sen-0-

lo cual quiere decir que | cTx cf ¡ r e p r e s e n t a el área del p a r a l e l o gramo -formado por

C y d

(Fig.9)

C

c Fig.(9)

El producto m i x t o f

= ( tC\

délos vectores

- e n ese o r d e n -

"(T = ( t C , x ¡ j . z ) ; d = es el n ú m e r o r e a l

C^c\lj\x,);

( c x d ) ' f

,

XtU

d a d o p o r el d e t e r m i n a n t e

(t * 3)-f

=

x

y

Z.

X1

lj'

21'

**

y"

x'1

E s c o n v e n i e n t e d e s t a c a r el c a r á c t e r cíclico

( c x d }•? = ( d x f ) - c

U n a de las o p e r a c i o n e s lo j u e g a el

más

oloble

Claramente

=

producto mixto

i m p o r t a n t e s del a n á l i s i s v e c t o r i a l

c x ( d x f )

=

(c-?)d

Cc-3)? ,

-

producto vectorial.

(o t r i p l e )

^

( c x d l ^ f

( en g e n e r a l )

pues,

( c x d )

x f

asi,

(f xc)-d .

producto

C X ( ^ Í )

llamado

del

= - £ ? x ( * x

d)}

= - £ C f - d ) c - (?• c =

(f

c ) d

- ( ?

d ) t

}

i § 2. D I V I S I O N DE U N S E G M E N T O EN UNA R A Z O N

S e a n O, A , B t r e s p u n t o s no a l i n e a d o s del espacio

U n p r o b l e m a clásico de ¡a G e o m e t r í a

DADA

tridimensional.

E l e m e n t a ! , consiste en d e t e r m i n a r

un punto P p e r t e n e c i e n t e a l a línea c¡ue p a s a p o r A y B , de t a l s u e r t e o)ue :

d o n d e AP_y PB son las d i s t a n c i a s d i r i g i d a s d e s d e A h a c i a P y d e s d e P hacia B

respectivamente.

Si 0 coincide

con el o r i g e n del s i s t e m a c o o r d e n a d o — g u e s u p o n e m o s

cartesiano — y a los puntos

a , ~r, lo , son los v e c t o r e s p o s i c i ó n

A, P( B, respectivamente,

s e g ú n la i g u a l d a d

vectorial

correspondientes

la r e l a c i ó n ( 1 )

se v e r i f i c a

z ÁP

=

r

- a

=

>(b

r

-

=

Xb

7

a

-

a

_

Obsérvese

Cjue

XPB -"r ) -

Xr

+ x b 1 + x

moi ± nb m + n

(X ^

-1)

( m

-n )

(2)

X es positivo si los puntos A , P , B soportan la rela-

ción de s e p a r a c i ó n A - P - B , como e n la -fie).

) . D e otro m o d o "X

es n e g a t i v o . Si X = 1 , P es el p u n t o m e d i o del s e g m e n t o

AB.

3 3. CARACTERIZACION DEL ORTOCENTRO DE UN TRIANGULO OAB Consideremos ahora el triángulo OAB . (Figs. 2.1 y 2.2) o

S e a P el p i e d e l a

perpendicular

n o t e m o s por Á B =

b - a

= t .

pero p u e d e n p r e s e n t a r s e o t r a s

bajada desde O

al lado

Para l a f i g . ( 2 . 1 )

p o s i b i l i d a d e s .( Fig. 2 . 2 )

AB y

y ^ - c < o ,

3 Resulta :

AP _

| 3 I Cosa _

PB

iìoJ C o s | £ l l ? I C o s J *

l a i l e i Cos oc _

__

a-e b-c

y por e n d e , t e n i e n d o e n m e n t e ( 1 ) y (2.) '.

rP =

(S-c )3 LT b -c

(cí-£)b a •t

c x ( a x H" ) c-

( £ - 5 )

cT A ( a

De m a n e r a a n á l o g a , si Q y T culares

( Figs. 3 . 1 y

3.2)

xÉ )

son los pies d é l a s o t r a s d o s

(4)

perpendi-

4 Los vectores p o s i c i ó n a s o c i a d o s

?

—

^

r

__

vista vectorial.

a

w

"

x C-"c X -lo }

-

Nuestro propósito d e las a l t u r a s

X ( C X-3)

-

Ct

son, r e s p e c t i v a m e n t e ,

¡SI*

É x (a x & ) isi

{

z

Í 3 F

1 j

a X ( a xfc)

"

n

-

,r \ 1

J

c e n t r a l es c a r a c t e r i z a r el p u n t o H d e i n t e r s e c c i ó n

O P y AGt, , del t r i á n g u l o

O A B , desde un p u n t o d e

(Fig.4) O

Fig.(4)

D a d o q u e los v e c t o r e s por

a

tales

y que

fp

y

r^

e s t á n l o c a l i z a d o s en el p l a n o f o r m a d o

b , e x i s t e n e s c a l a r e s OCa , 0Cz , no s i m u l t á n e a m e n t e

nulos,

oc-i Pp

ocz r ^

+

=

a

que corresponde a la suma vectorial derivada del triángulo O A H

Al s u s t i t u i r

(4) y (5) en

(7),

obtenemos

{

O

.1 c r

Lo cual da origen ai s i s t e m a ole ecuaciones lineales

c b Icl2

a-i -

ocz •&. 1

-y c-a 0C1 + b-a 0f2 = 1

P

Icl

0

V.

l l determinante del sistema (9) es

c-b

A

le -c-a

a • a

cr

a • b

|b b- b

r ( a , jo)

isi

/.

2

(10)

n

'

donde f (a,ET) denota el d e t e r m i n a n t e de G R A M . (Observación 1 )

Del sistema

es claro o¡ue

-1 a • b

A a i

(11)

i£l2

a b

o

lì?

En consecuencia, la incognita Odi viene d a d a por

OCi

=

__ l c f l 2 a - l o

Aoc-i A

(12)

r(3,£)

Por últ imo, el vector OH está representado porla -formula vectorial

oh

=

oci T>

=

h

,

P

Esto e s , (13)

OBSERVACION

1 : r ( a / £ )

-

lalMSì

2

-

=

(a

x £ ) \

7 es la c o n o c i d a i d e n t i d a d d e L a g r a n g e ; por e s o u n a f ó r m u l a

más

c a r a c t e r í s t i c a , e n v i r t u d d e la s i m e t r í a y d e l a c o n j u g a c i ó n d e i o s productos dad

básicos

del Alg-ebra V e c t o r i a l

la

proporciona

la

igual-

vectorial

a • b la X £ls

ex (

Í X Í )

(14)

O B S E R V A C I O N 2 i Los vectores r^ , ~Tp son no co linea les e n virtud de la a f i r m a c i ó n

fe,

X fp

^

0

En efecto,

Ta q X A r, -P

- - ¡ p í l

donde

Utilizando de m a n e r a expresión entre llaves

01=

I

12

a X b

adecuada

.

las i d e n t i d a d e s v e c t o r i a l e s ,

puede f á c i l m e n t e

reducirse ai vector :

la

8 por consiguiente,

r

—

*

~

r fa.É")

J

2

lei "

d

-zL

0

^

( c . t>. (10), (11), ( 1 2 ) )

P R O P O S I C I O N 1. 3?, se c o r t a n

E n t o d o t r i á n g u l o O A B las a l t u r a s O P , A Q ,

en un ú n i c o p u n t o

H

(el O r t o c e n t r o d e l t r i á n g u l o ) .

•—w

C Fig.(S)

Hemos visto que

OP , e n c u e n t r a a

i n t e r s e c t a a OP

en un p u n t o

H' ^

AQ e n

H . S u p o n g a m o s que BT

H . CFig.5 )

C a l c u l e m o s e n p r i m e r t é r m i n o el v e c t o r

BH* a la luz: d e l a f ó r m u l a

9 (14) y ole loi

correspondencia.

a + a

c f

Lueao

BH' =

' ' f i ' t F I bXCI

(3)x(-£x(-?))

ib x el

=

_ Í l r - a ) í ( a ^ ) (3

(16)

A continuación, introduzcamos las designaciones

a -IT —

*, b • c" == X2. ; — J — — — lax^l

2

,

a

y hallemos la d i f e r e n c i a

O H ~~ B H '

=

^ D i C c x c O - A z f ó x S í ) } ÍXic

-

A z a ) X cí

oi

10 Pero

X Ai c - Aza = b x ( c x a ) = b ( b x a ) = - b x d d xb.

Por eso,

OH-BH

1

=

" X 3 Í 3 x b ) x d /

=

- (3-"3) b]

=

Esto

b

(!)

es,

OH

-

BH*

=

OB

OH

-

OB

=

BH'

BH

=

BH1

=

H* (absurdo)

H

[ A

(17)

estas

a l t u r a s el lector s e g u r a m e n t e

b e l l a \¡ e l e g a n t e d e m o s t r a c i ó n d a d a

sentirá nostalgia

NOTABLES

Damos

disculpas

sinceras

por

por E u c l i d e s , cjue v e r s a

s o b r e la u n i c i d a d d e l o s p u n t o s nuestras más

(18)

de un t r i á n g u l o . .

la

11 Hemos así

demostrado:

TEOREMA A, B

1 i L a s a l t u r a s de t o d o t r i a n g u l o d e v é r t i c e s

O,

están c a r a c t e r i z a d a s por la i g u a l d a d v e c t o r i a l ( 1 4 ) , donde

OH = i h p ( o r t o c e n t r o ) , es el p u n t o c o m ú n a las t r e s a l t u r a s .

GENERALIZACION. asociar

E n dimensiones

con los d o s v e c t o r e s

hacia afuera del plano geométrica, a

" a x b "

a

s u p - e r i o r e s n o es p o s i b l e

y b , un t e r c e r v e c t o r

g e n e r a d o por

es d e c i r , m e d i a n t e

a

una

y b , de u n a

a X b manera

c o n s t r u c c i ó n c^ue d e t e r m i n a

de modo único y no c a m b i a

bajo movimientos

rígidos.

( ver L 2 3 ) .

& 4. CARACTERIZACION VECTORIAL DEL BARICENTRO , CIRCUNCENTRO E INCENTRO DE UN TRIANGULO OAB

Por u n p r o c e d i m i e n t o

completamente

e s t a m o s e n c o n d i c i o n e s de p r o b a r

similar al u t i l i z a d o

las s i g u i e n t e s

en el

§3,

proposicion-es y

corolarios :

«i PROPOSICION 4.1.

El p u n t o

L1 y Lz , v i e n e d a d a

U de intersección

de las m e d i a t r i c e s

por la f ó r m u l a

OU = T3p = í ( a + lo - "ffp)

(19)

12 donde h p e s el O r t o c e n t r o

( F i g .

se i n f i e r e

+

l^lCosJB

c¡ue

h t }

=

2

b

*

d

o•

De

(B)

\j a c u d i e n d o

lai

a la ley d e los

_

S e n J3

USI

_

SenCX

senos

lei Sen ¡T

:onc luimos

lo c u a l p r u e b a

la

proposición.

Nota •final. El a u t o r no t i e n e c o n o c i m i e n t o de libros y artículos a nuestro alcance en donde a p a r e z c a n c o n s i g n a d a s las f o r m u l a s e i d e n t i d a d e s correspondientes a los recuadros (14), H 9 ) , (¿4),

(25),

(25.^,(25.2),

(31 ), (32) y (33).

La c a r a c t e r i z a c i ó n

del incentro ( 2 0 ) , se e n c u e n t r a e n C 3 l . D o y m i s a g r a d e c i m i e n t o s al profesor DIEGO CHAVES , quien me proporcionó el t e x t o .

26

BIBLIOGRAFIA

EO

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