El diámetro de los tubos de cartón para un envase ha de estar entre 19 y 21mm. La maquina prepara tubos cuyos diámetros están distribuidos como una manual de media 19’5mm y desviación típica 1’2mm. ¿Qué porcentaje de tubos no será adecuado? a. N(19’5 , 1’2)

P(19 ≤ X ≤ 21) = P(

=P

)=

–P

= P

–P

=P

≤ Z≤

=

–

=P

= 0’8944 – 1 + 0’6628 = 0’5572

= El 55’72% no son adecuados.

El peso en gr de una pieza fabricada en serie se distribuye según una manual de media µ=52 y desviación típica Γ=6.5 se pide: a) Probabilidad de que una pieza fabricada pese más de 68gr. b) Si el 30% de las piezas fabricadas pesan más que una pieza dada ¿Cuánto pesa esta última? a) N (52 , 6.5) =P b) Xₒ??

P (X ≥ 68) = P

=P

=

= 1-0’9931 = 0’0069

1-P Me dan P (Z ≥ Zₒ) =

= 0’3

Me calculo el Zₒ / P (Z ≤ Zₒ) = 0’7000 media 0’525

El más próximo es

Esta seria la Zₒ si me hubiese pedido el 70% por abajo y como me pide el 30% mayor, es el mismo Zₒ. Zₒ =

; 0’525 =

;

Xₒ = 52 + 0.525 · 6’5 = 55’41gr es lo que pesa la última, que pesa más que el 30%.

El peso en kg de los estudiantes universitarios de una gran ciudad se supone aproximado por una distribución normal con media 60kg y desviación típica 8kg. Se toman 100 muestras aleatorias simples de 64 estudiantes cada una. Se pide: a) la media y la desviación típica de la distribución de la media muestral b) ¿En cuántas de las 100 muestras cabe esperar una media entre 59 y 61 kg? N (60,8)

n= 100 muestras de 64 estudiantes

χ y σ´ de la media muestral

= 0´8944 – 1 + 0´8944 = 0´7888

para 1 muestra

Para 100 muestras habrá 78´8  78 estudiantes

En cierta población la edad de los individuos tiene una distribución normal con una media de 32 años y una desviación típica de 8 años. a) Halla la proporción de individuos menores de 18 años. b) Si en la citada población viven 2 millones de personas, halla el nº de personas mayores de 60 años. X = {edad de la población}

N (32,8)

a ) % de x < 10 años calculamos P ( x ≤ 18 ) = P( z ≤

) = P( z ≤ -1’75 ) = P( z ≥ 1’75) =

= 1 - P( z ≤ 1’75) = 1 – 0’9599 = 0’0401 ;

% en P = 0’0401 es 4’01%

b ) nº de los 2 000 000 cuya P( x ≥ 3’5) = 1- P(z ≤ 3’5) = 1 – 0’9998 = 0’0002 → 0’02% de 2 000 000 → 400 personas

2

El tiempo de vida de una clase de depuradoras de agua utilizadas en una planta industrial se distribuye normalmente, con una desviación típica de 2.000 horas. En un ensayo realizado con una muestra aleatoria de 9 depuradoras, se obtuvieron los siguientes tiempos de vida en miles de horas. 9,5 10 7,5 10,5 16,5 10 12 32 18 (a) Hállese un intervalo de confianza al 99% para la vida media de las depuradoras. (b) Calcúlese el tamaño mínimo que debería tener la muestra, en el caso de admitir un error máximo de 500 horas, con un grado de confianza del 95%.

(a)

N(

, 2000)

n = 9 / 9,5 10 7,5 10,5 16,5 10 12 32 18

=

=

El intervalo de confianza es: Para 99% ;

=

= 14000

– = 0´005 ; 1 –

= 0´01

= 0´995

– =(

,

(b)

n? .

n>

– ( 500 h.

;

< 500 ; 1´96 · > 61,46



,

= 0,05 ; < 500 ; n = 62

) = 0,025 ; 1 –
2,5) = 1 - P (z ≤ 2,5) = 1 – 0’9938 = 0’0062

a) P (x > 450)= P(z >

(1)

=12,5

2,5

(2) Buscamos en la tabla el valor correspondiente a 2,5 b) P (x < 560) = P (z
2’33 .

12 n

 n > 7’81. La muestra debe contener un mínimo de 8 elementos.

Una variable aleatoria tiene una distribución normal de media  y desviación típica . Si se extraen muestra aleatorias simples de tamaño n, a) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral  ? b) Si se toman muestras de tamaño n=4 de una variable aleatoria X con distribución N ( 165,12 ), calcúlese P ( > 173´7 ) N (  ,  ) n muestra . La  tiene una distribución normal ) con la misma

P(

> 173,7 )  tipificar

=

P ( Z > -1,45 ) = P ( Z < 1,45 ) = 0,9265

Una variable tiene una distribución normal de media  y desviación tipica  . Si se extraen muestras aleatorias simples de tamaño n: a) ¿ qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral X ? b) Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria X con distribución N(165, 12), Calcúlese P( X > 173,7) a) La variable aleatoria muestral X obtenida de una N(  ,  ) se distribuye como

    una normal N   , n  b) Para N(165,12) la distribución de las medias muestrales de tamaño 4 se comportan como una normal N(165,6)  173,7  165  P( X > 173,7) = P  Z   = P(Z > 1,45) = 1 – 0,9265 = 0,0735 6  

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El tiempo en minutos dedicado cada día a escuchar música por los estudiantes de secundaria de una cierta ciudad se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 15 minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 estudiantes y se obtienen los siguientes tiempos (en minutos): 91 ; 68 ; 39 ; 82 ; 55 ; 70 ; 72 ; 62 ; 54 ; 67 a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio diario dedicado a escuchas música por un estudiante. b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para conseguir una estimación de la media del tiempo diario dedicado a escuchar música con un error menor que 5 minutos, con un nivel de confianza del 95%.   15 min .

n =10 X =

a) al 90%

:

P (Z
3’92 ; n >

; A partir de n = 16

podemos asegurar con un nivel de confianza del 95 % que el error es menor que 0’5 toneladas

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HIPOTESIS DE CONTRASTE

Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica 0,24 millones. Se ha observado la renta anual de 16 individuos de esa localidad escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 1,6 millones de pesetas. Contrástese, a un nivel de significación del 5%, si la media de la distribución es de 1,45 millones de pesetas. a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y la alternativa del contraste? b) Determínese la forma de la región crítica. c) ¿Se acepta la hipótesis nula, con el nivel de significación indicado? a) Hipótesis nula

Ho : µ = 1,45

En la hipótesis alternativa pueden considerarse dos opciones: [2] Hi : µ ≠ 1,45 (en sentido genérico) [2´] Hi : µ > 1,45 (es lo que sugiere que χ = 1,6) b) Para [2], la región crítica la constituyen las dos colas: χ < µ - Z α/2 · σ/ √n, por la izquierda, y χ > µ + Z α/2 · σ/ √n, por la derecha. En nuestro caso: χ < 1,45 – 1,96 · 0,24 / 4 y χ > 1,45 + 1,96· 0,24 / 4  χ ε (1,3324 , 1,5676) Para [2´], la región crítica la constituye la cola derecha: χ > µ+ Zα/2· σ/ √n

P (Z≤ Zα/2 )

0,9495 → Zα/2 = 1,64 0,9505 → Zα/2 = 1,65

Zα/2 = 1, 645

En nuestro caso: χ > 1,45 + 1,645 · 0,24 / 4 χ > 1,5487.  χ ε (1,5487, ∞) c) Tanto en [2] como en [2´] hay que rechazar la hipótesis nula, pues 1`6, que ha sido la media obtenida en el muestreo, es mayor que 1`5487, respectivamente. En los dos casos la media muestral cae dentro de la región crítica y no dentro del intervalo de confianza.

Un investigador afirma que las horas de vuelo de cierto tipo de aviones comerciales se distribuyen normalmente, con una media de 200.000 horas y una desviación típica de 20.000 horas. Para comprobar la veracidad de su hipótesis, obtuvo una muestra aleatoria de 4 aviones de distintas compañías aéreas, fuera ya de ser-vicio, y anotó el número de horas de vuelo de cada uno, resultando los siguientes datos (en miles de horas): 150 320 270 140 (a) Plantéense cuáles son las hipótesis nula y alternativa del contraste. b) Realícese el contraste con un nivel de significación del 5 %. N (200000, 20000) N(

,

muestra: 150

)

= 220000 horas

320

270

140

=

n=4

La hipótesis nula / = µo si ε (a, b) La hipótesis de contraste / µ ≠ µo si (a, b) = 5%

nivel de confianza 95%

= 0,05;

= 0,025 P [Z < El intervalo de confianza será: (µ – · , µ+ ·

;

) = (200 – 1,96·

= 1,96

, 200 + 1,96 ·

)=

(200 – 19,6 , 200 + 19,6) = (180,4 , 219,6) = 200

(180,4 , 219,6) luego hay hipótesis de contraste

/ µ ≠ 200000 horas.

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