9. Periodische Bewegungen

Inhalt

9. Periodische Bewegungen 9.1

Schwingungen

9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4

Harmonische Schwingung Schwingungsenergie Gedämpfte Schwingung Erzwungene Schwingung

9.1 Schwingungen

9. Periodische Bewegungen

9.1 Schwingungen

9. Periodische Bewegungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen Mit Schwingungsdauer (Periode, Periodendauer) T

Welle Schwingung breitet sich im Raum aus Zustand y wiederholt sich in Raum und Zeit Raumperiode = Wellenlänge λ Zeitperiode = Schwingungsdauer T

Ebene Welle 9.1 Schwingungen

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9.1 Schwingungen

Beispiele Schwingung eines Pendels Schwingung eines Quarzkristalls Schwingung elektrischer Ladungen Schallwellen (Schwingung von Luftmolekülen) Elektromagnetische Wellen (Schwingung elektromagnetischer Felder)

9.1 Schwingungen Man unterscheidet: Harmonische Schwingung (z.B. freie Schwingung) Gedämpfte Schwingung (z.B. durch Reibung) Erzwungene Schwingung (durch äußere Kraft) 9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

9.1.1 Harmonische Schwingung

y = y0 cos (ωt + δ)

ω = 2π f

Es gilt: - Jedes Objekt ist schwingungsfähig. - Harmonische Schwingung bei Auslenkung aus stabilem Gleichgewicht Harmonische Schwingung ist bestimmt durch zwei Größen: 1. Es wirkt Kraft immer in Richtung Gleichgewichtslage = Rückstellkraft 2. Es wirkt Trägheit des Systems.

9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

Man definiert:

Schwingungsdauer T = zeitliche Periode

Man definiert:

(Eigen-)Frequenz f = Schwingungen pro s

Man definiert:

Amplitude A = maximale Auslenkung

Amplitude

9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

Beispiel Federschwingung Rückstellkraft der Feder: F = - kx k: Federkonstante Es gilt: - Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung (Elongation). - Rückstellkraft ruft nach Newton II Beschleunigung hervor:

Es gilt allgemein: Jede harmonische Schwingung lässt sich durch Dgl. beschreiben: Lösung der Dgl:

9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

Frage: Welche Bedeutung hat ω (Eigenfrequenz)? Antwort: ω = Kreisfrequenz

Ja was denn nun ?????

Es gilt: Zusammenhang mit Schwingungsdauer T

Beweis: Es gilt:

Man definiert:

Frequenz f

ω = 2 πf

Ach so!!!

9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

(1)

Allgemein gilt:

Amplitude A und Phasenverschiebung δ werden durch Anfangsbedingungen gegeben: (2) Mit (1) und (2) gilt:

Für Amplitude gilt:

Ja ?

9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

Beispiel Mathematisches Pendel (masseloser Faden mit Punktmasse) Es wirkt Kraft F auf Masse m

Nach 2. Newtonschen Gesetz gilt:

a (t) = ?

θ (t) = ? a = f(θ) = ?

9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

Aufgabe:

a = f(θ) = ...???

9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

Frage: Beschreibt

harmonische Schwingung ? Aber für kleine Winkel θ gilt:

Nein !!!

Der Vergleich mit Eigenfrequenz des Oszillators

liefert

Oder

Schwingungsdauer

Somit lautet Lösung der Schwingungsgleichung 9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

Fragen: Ist allgemeine Lösung von

? Ist T unabhängig von Amplitude? Ist T unabhängig vom Koordinatensystem? Ist T unabhängig vom Bezugssystem? Ist T unabhängig von der Temperatur?

9.1.2 Schwingungsenergie

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9.1.2 Schwingungsenergie

9.1.2 Schwingungsenergie (harmonisch) Beispiel: Federschwingung Für harmonische Schwingung gilt:

Für potentielle Energie gilt:

Für kinetische Energie gilt:

Für Gesamtenergie gilt: 9.1.3 Gedämpfte Schwingung

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9.1.3 Gedämpfte Schwingung

9.1.3 Gedämpfte Schwingung Es gilt:

r: Reibungskoeffizient

k: Federkonstante Bewegungsgleichung allgemein 9.1.3 Gedämpfte Schwingung

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9.1.3 Gedämpfte Schwingung

Lösung der Bewegungsgleichung: Man unterscheidet 3 Fälle: 1. Schwingfall (schwache Dämpfung) 0

2. Kriechfall (starke Dämpfung) 0

0

3. Aperiodischer Grenzfall

9.1.3 Gedämpfte Schwingung

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9.1.3 Gedämpfte Schwingung

9.1.4 Erzwungene Schwingung

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9.1.4 Erzwungene Schwingung

9.1.4 Erzwungene Schwingung Bewegungsgleichung:

Lösung:

Mit:

9.1.4 Erzwungene Schwingung