Es gilt: - Jedes Objekt ist schwingungsfähig. - Harmonische Schwingung bei Auslenkung aus stabilem Gleichgewicht Harmonische Schwingung ist bestimmt durch zwei Größen: 1. Es wirkt Kraft immer in Richtung Gleichgewichtslage = Rückstellkraft 2. Es wirkt Trägheit des Systems.
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
Man definiert:
Schwingungsdauer T = zeitliche Periode
Man definiert:
(Eigen-)Frequenz f = Schwingungen pro s
Man definiert:
Amplitude A = maximale Auslenkung
Amplitude
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
Beispiel Federschwingung Rückstellkraft der Feder: F = - kx k: Federkonstante Es gilt: - Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung (Elongation). - Rückstellkraft ruft nach Newton II Beschleunigung hervor:
Es gilt allgemein: Jede harmonische Schwingung lässt sich durch Dgl. beschreiben: Lösung der Dgl:
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
Frage: Welche Bedeutung hat ω (Eigenfrequenz)? Antwort: ω = Kreisfrequenz
Ja was denn nun ?????
Es gilt: Zusammenhang mit Schwingungsdauer T
Beweis: Es gilt:
Man definiert:
Frequenz f
ω = 2 πf
Ach so!!!
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
(1)
Allgemein gilt:
Amplitude A und Phasenverschiebung δ werden durch Anfangsbedingungen gegeben: (2) Mit (1) und (2) gilt:
Für Amplitude gilt:
Ja ?
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
Beispiel Mathematisches Pendel (masseloser Faden mit Punktmasse) Es wirkt Kraft F auf Masse m
Nach 2. Newtonschen Gesetz gilt:
a (t) = ?
θ (t) = ? a = f(θ) = ?
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
Aufgabe:
a = f(θ) = ...???
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
Frage: Beschreibt
harmonische Schwingung ? Aber für kleine Winkel θ gilt:
Nein !!!
Der Vergleich mit Eigenfrequenz des Oszillators
liefert
Oder
Schwingungsdauer
Somit lautet Lösung der Schwingungsgleichung 9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
Fragen: Ist allgemeine Lösung von
? Ist T unabhängig von Amplitude? Ist T unabhängig vom Koordinatensystem? Ist T unabhängig vom Bezugssystem? Ist T unabhängig von der Temperatur?
9.1.2 Schwingungsenergie
9. Periodische Bewegungen
9.1.2 Schwingungsenergie
9.1.2 Schwingungsenergie (harmonisch) Beispiel: Federschwingung Für harmonische Schwingung gilt:
Für potentielle Energie gilt:
Für kinetische Energie gilt:
Für Gesamtenergie gilt: 9.1.3 Gedämpfte Schwingung