8.2 Estimating a Population Proportion Answering these types of questions: What proportion of U.S. adults are unemployed right now? What proportion of high school students have cheated on a test? What proportion of Ash trees have the Emerald Ash Beetle? What proportion of Cicadas actually survive the cycle of 7 years? Activity:  The Beads

1

8.2 Estimating a Population Proportion Conditions for Estimating p Shape:  If the sample size is large enough that  both np and n(1­p) are at least 10 (Normal Condition) the sampling distribution of p­hat is approx. Normal. Center:  The mean is p.  That is the sample proportion p­hat is  an unbiased estimator of the population proportion p. Spread:  The standard deviation of the sampling distribution of  p­hat is  σp­hat = √p(1­p)/n provided that the population is at least 10 times as large  as the sample (10% condition)

2

Example:  The Beads p486 nphat = 251(107/251) = 107 and  n(1­phat) = 251(1­(107/251)) = 251(144/251) = 144 so both are at least 10

3

Constructing a Confidence Interval for p Recall:   We can construct a confidence interval for an unknown  population proportion p: statistic ± (critical value) x ( standard deviation of statistic) where p­hat is the statistic we use to estimate p When Independent condition is met, the standard deviation of  the sampling distribution of p­hat is σp = √[(p)(1­p)/n]  but since we do not know the value of p we put p­hat in its place σp = √[(p)(1­p)/n] 

This quantity is called the standard error (SE) of the sample  proportion p­hat. Definition:  Standard Error When the standard deviation of a statistic is estimated from  data, the result is called the standard error of the statistic. Calculating the Critical Value z* Define alpha    as the % left out of the confidence interval i.e. if 95% CI then alpha = .05 z* = zalpha/2 = z.025 then refer to table

 

4

Example:  p488    80% Confidence

z

.07

.08

.09

­1.3 ­1.2 ­1.1

.0853 .1020 .1210

.0838 .1003 .1190

.0823 .0985 .1170

You can also find the critical value using the command invNorm(.9, 0, 1)  which tells the calulator to find the z­value  from the standard Normal curve that has area .9 to the left of it.

5

Example:  In a study of 400 adults, the credit reports of 79% of  these adults contained errors.  Find the 95% CI for the  proportion of all adults in the US whose credit report contains  errors. n = 400

p­hat = .79

alpha  = .05 so alpha/s = .025

p­hat ± z*√p(1­p)/n = .79 ± z.025√(.79)(.21)/400  = .79 ±1.96(.020365) = .79 ± .0399 (.7501, .8299)  so with 95% confidence the  proportion of all adults whose credit  reports contain errors is between . 7501 and .8299.

6

One­Sample z Interval for a Population Proportion Choose an SRS of size n from a large population that contains  an unknown proportion p of successes.  An approximate level C  confidence interval for p is  p ± z*√(p)(1­p)/n where z* is the critical value for the standard Normal curve with  area C between ­z* and z*. Use this interval only when the numbers of successes and  failures in the sample are both at least 10 and the population is  at least 10 times as large as the sample.

7

Example:  The Beads  p489

z ­1.7 ­1.6 ­1.5

.03 .0418 .0516 .0630

.04 .0409 .0505 .0618

.05 .0401 .0495 .0606

statistic ± (critical value)(st. deviation of statistic)  =     phat ±z*√phat(1­phat)/n

8

PUTTING IT ALL TOGETHER: THE FOUR­STEP PROCESS 1. STATE:  what parameter do you want to estimate, and at  what confidence level? 2. PLAN:  Identify the appropriate inference method.  Check  conditions. 3. DO:   If the conditions are met, perform the calculations. 4. CONCLUDE:  Interpret your interval in the context of the  problem.

9

Example:  Teens Say Sex Can Wait p491 nphat = 246≥10 and n(1­phat) = 193≥10

phat = z*√phat(1­phat)/n = .56 ± 1.96√(.56)(.44)/439 .56 ± .046 = (.514, .606)

10

AP Exam Tip:  If a free­response question asks you to construct  and interpret a confidence interval, you are expected to do the  entire four­step process.  That includes clearly defining the  parameter and checking conditions. Technology Corner p492

11

Example:   A survey of 900 US Adults, 48% of Americans say  there is never enough time in day to get things done.  Find with a  90% CI for the proportion fo Americans who say this. n = 900

p­hat = .48

alpha = .1 alpha/2 = .05

p­hat ±z.05√(p)(1­p)/n = .48 ± 1.645√(.48)(.52)/900  = .48 ± .0274 so     (.4526, .5074)

12

CHOOSING THE SAMPLE SIZE Sample Size for Desired Margin of Error To determine the sample size n that will yield a level C  confidence interval for a population proportion p with a  maximum margin of error ME, solve the following inequality  for n: z*√[p(1­p)/n] ≤ ME where p­hat is a guessed value for the sample proportion.  The  margin of error will always be less than or equal to ME if you  take the guess p­hat to be .5 It may be easier to go ahead and solve for n in the above  equation b/c that is what you are looking for: n = [(z*)2p(1­p)]/(ME)2 ME is the desired margin of error (what you want to add and  subtract to p­hat in the confidence interval)  If p­hat is not known, typically we set p­hat = .5 which yields  the most conservative estimate of n (i.e. the largest possible  sample size)

13

Example:  Customer Satisfaction  p493

14

Example: A large city is considering legalizing casino gambling.   The mayor would like to estimate p, the proportion of all adults  who support legalizing casino gambling.  What would be the most  conservative estimate of n, the sample size that would limit the  margin of error to be .05 for a 95% CI of p? p­hat = .5

ME = .05

alpha = .05

alpha/2 = .025

n = (z.025)2(p­hat)(1­p­hat)/(ME)2 = (1.96)2(.5)(.5)/(.05)2  = 384.16 people Always Round Up = 385 people

15

Example:  An electronics company has just installed a new machine  that makes a part used in clocks.  The company wants to estimate  the proportion of these parts defective, p.  The manager wants to be  within .02 of p for a 99% CI.  What is the most conservative  estimate of the sample size, n , needed to achieve this CI? p­hat = .5

E = .02

alpha = .01

alpha/2 = .005

n = (z.005)2(p­hat)(1­p­hat)/(E)2 =  (2.576)2(.5)(.5)/(.02)2   = 4147.36 = 4148 parts

16

Ex:  In a poll of 2000 adults, 1280 have money in regular savings  accounts.  Find with a 95% CI for proportion of adults with  savings. n = 2000 p­hat = 1280/2000 = .64 alpha = .05

alpha/2 = .025

p­hat ± z.025√(.64)(.36)/2000 =  .64 ± (1.96)(.010733) = .64 ± .0210 ( .6190, .6610)

17

Ex:  You want to estimate with maximum error of .03 the true  proportion (p) of all TV households tuned to a particular show  and you want 90% CI .  What is the most conservative number  of households to survey? p­hat = .5

E = .03

alpha = .1

alpha/2 = .05

n = (z.05)2(p­hat)(1­p­hat)/E2 = (1.645)2(.5)(.5)/.032  = 751.673 = 752 households 

18

Homework: p 497           35, 37, 41, 43, 47

19