8 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 8
TRANSFORMADAS DE LAPLACE.........................................289 8.1 INTRODUCCIÓN. ...............................................................291 8.2 DEFINICIONES ...................................................................292 8.3 TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES SENCILLAS ...................................................................................294 8.3.1 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN IMPULSO: ....294 8.3.2 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN PASO: ...........295 8.3.3 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN RAMPA: .......296 8.3.4 TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN: ..................................................................................298 8.3.5 TRANSFORMADA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: ..................................................................................301 8.4 VALOR INICIAL Y FINAL DE f (t) DEDUCIDOS DE F(s). 302 8.4.1 VALOR INICIAL...........................................................302 8.4.2 VALOR FINAL: ............................................................303 8.4.3 RESUMEN.....................................................................304 8.5 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS. .........................................................304 8.5.1 TRANSFORMANDO LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. .....................................................................304 8.5.2 EXPRESANDO LOS CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE s: 306 8.6 MÉTODOS PARA HALLAR UNA ANTITRANSFORMADA..............................................................309 8.6.1 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL: 311 8.6.2 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN DESPLAZADA EN EL TIEMPO. ..............................................312 8.6.3 TRANSFORMADA DE g(x) f (t) DONDE X ES INDEPENDIENTE DE t. ............................................................315 at 8.6.4 TRANSFORMADA DE e f (t ) :.................................315 8.6.5 8.6.6
TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN SENO:...........315 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN COSENO: .....317
289
8.6.7
TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: 317 8.7 FRACCIONES PARCIALES:..............................................319 8.7.1 V (t) = 0..........................................................................320 8.7.2 CONSIDEREMOS EL CASO EN EL CUAL V ( t ) = u−1 ( t ) × t (FUNCIÓN RAMPA): ....................................321 8.7.3 CASO ANTERIOR PERO CON S1 = S2 (o sea que las dos raíces son iguales) .................................................................322 8.8 EJEMPLOS...........................................................................323 8.8.1.1 EJEMPLO 1.............................................................323
290
8.1 INTRODUCCIÓN. Existen muchos métodos para resolver las ecuaciones diferenciales de los circuitos, y es posible que algunos de ellos se acomoden mejor que otros a ciertos análisis ó a ciertas mentalidades. Pero el método de las transformadas de Laplace tiene unas ventajas tan evidentes, y se basa en fundamentos matemáticos tan importantes e interesantes, que es el que usualmente se escoge como método para el análisis y solución de esas ecuaciones. Algunas de las ventajas de este método son: 1. Operacionalmente es sencillo de aplicar, proporciona tanto la solución natural como la forzada, y ayuda a encontrar y emplear correctamente los valores iniciales y finales (condiciones límites) de las soluciones. 2. Se basa en la serie de Fourier y en su transformada, que son imprescindibles en el llamado “análisis del dominio de la frecuencia” y en el “análisis fasorial”, los cuales se emplean en los circuitos de corriente alterna, tanto en el campo de las altas potencias como en el de las comunicaciones y el control. 3. Proporciona la misma “ecuación característica” ó “auxiliar” que usan otros métodos de solución de ecuaciones diferenciales. De modo que los análisis logrados a partir de estos métodos pueden repetirse fácilmente empleando las transformadas. Por las ventajas anteriores, y otras no mencionadas pero casi tan importantes, estudiaremos las transformadas de Laplace con cierto detenimiento.
291
Pero dejamos para otros capítulos la fundamentación matemática, concentrándonos por ahora sólo en la parte operativa, es decir, comenzaremos a estudiar la transformada de Laplace como una simple herramienta para resolver circuitos eléctricos.
8.2 DEFINICIONES Llamaremos “variable designado por s: s = α + jw
compleja”
al
número
complejo
(8.2.1)
Cuyas unidades son radianes / segundo Esta variable compleja se usa para lograr ondas senoidales amortiguadas a partir de la ecuación de Euler: * f (t ) = Ae + St + Be + S t Donde
s* = α − jw , Es decir, el “conjugado” de S.
Reemplazando s = α + jw y s* = α − jw considerando α como negativa ( α < 0 ): f (t ) = Ae(α + jw )t + Be(α − jw ) t Con A = B :
Pero como:
Tendremos:
(
f (t ) = Aeαt e jwt + e − jwt
e ± jθ = cosθ ± j senθ
f (t ) = Aeαt 2 cos( wt )
292
)
en
f (t), y
La gráfica para f (t) se da en la figura 8.2.1. Obsérvese como la “envolvente” de esa función (líneas punteadas) es Ae α t . Entonces α se asocia a una “constante de amortiguamiento”, mientras w se asocia a la “frecuencia angular de onda” senoidal. Para obtener esa f (t), tuvimos que sumar dos funciones de la forma Ae S t : f ( t ) = Ae S 1t + A e + S 2t = Ae S t S 1 = − α − jwt
S 2 = − α + jwt
S = S1 , S 2
Para lograr otras f(t), debemos sumar más funciones de la forma Ae S t . Como lo propuso Laplace, cualquier f (t), “físicamente realizable”, se puede expresar como una integral (entendida como una suma de infinitesimales) que suma infinitas funciones de ese tipo, con una amplitud, A, infinitamente pequeña.
Figura 8.2.1 Definiciones. α 1 + j∞
F ( s)e St ds f (t ) = 2πj α 1 − j∞
La función F(s) que nos da la forma de las amplitudes infinitesimales es: F(s) =
[ f (t )] =
∞
0−
293
f (t )e − St dt
α1 es un valor que permite evaluar la primera integral y sólo requiere ser mayor que cierto valor límite. Evidentemente, la anterior no es ninguna explicación de la transformada de Laplace, y sólo pretende dar una pista de los conceptos fundamentales. La transformada de Laplace reemplaza una f (t) por una suma “infinita” (integral) de pequeñísimas funciones senoidales amortiguadas que resultan de sumar las F ( s) eSt ds funciones complejas , funciones complejas que son 2πj función en la variable compleja s. Todo lo anterior sólo se comprende cuando se estudia con detenimiento la relación de la transformada de Laplace con la serie de Fourier. Pero como no es conveniente introducir esos temas ahora, pasemos a utilizar las transformadas, lo cual, al menos, nos permite comprender “como trabajan” esas transformadas.
8.3 TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES SENCILLAS 8.3.1 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN IMPULSO:
[ u (t )] =
F ( s) =
o
0
+
F ( s) = 0−
∞
0−
uo (t )e − St dt
∞
uo (t )e − St dt + uo (t )e − St dt 0+
Después de dividir el intervalo de integración entre 0- a 0+ y de 0+ a ∞, observemos : → uo (t ) es cero para 0+ < t < ∞ → e S t = e S × 0 = 1 , para 0− < t < 0+. Con estas observaciones, la integral queda: 0+
F ( s) = e
−S×0 0
−
∞
uo (t ) dt + 0 × e − St dt = 1 0+
294
O sea que la primera integral se reduce al área de la función impulso, que es la unidad, y la segunda integral se anula completamente. Se obtiene el primer resultado sorprendente: la función impulso tiene como transformada de Laplace a 1. En la figura 8.3.1.1 repetimos la gráfica de la función impulso, sobre todo para que el concepto de su “área” quede seguro.
Figura 8.3.1.1 Transformada de la función impulso.
8.3.2 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN PASO: Aplicamos la definición de transformada, ver figura 8.3.2.1
Figura 8.3.2.1 Transformada de la función paso.
[u
F ( s) =
−1
0
]
∞
(t ) =
+
0−
u−1 ( t ) e− St dt ∞
u−1 (t )e − St dt + 1 × e − St dt
F ( s) = 0−
0+
295
Figura 8.3.2.2 Transformada de la función paso.
Obsérvese como dividimos la integral en dos partes, tratando de seguir los mismos esquemas del caso del impulso. Ahora, observemos: En el intervalo 0 como en el impulso.
+
< t < ∞ , la función vale 1 y no 0,
En el intervalo 0 − < t < 0 +, e − St vale e − St = 1, como en el impulso, pero ahora el área bajo la función es nula (ver figura 8.3.2.2).
F ( s) = e
− S ×0
∴ F ( s) =
0+
∞
e − St u−1 (t )e dt + 1 × e dt 0 = −s 0− 0+
(
− St
∞
− St
0+
)
1 − S∞ 1 e − e − S ×0 = −s s
El resultado anterior no es tan evidente como parece. Todo depende de que e − S ∞ tenga como límite a cero. Como s = α + jw , este límite será verdadero siempre y cuando α sea mayor que cero (α > 0). Ahora, α es un “parámetro” de libre escogencia, y lo podemos escoger mayor a cero para lograr el resultado apetecido.
8.3.3 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN RAMPA: Ver figura 8.3.3.1.
296
Figura 8.3.3.1 Transformada de la función rampa.
[u
F (s) =
−2
∞
]
(t ) = 0−
u− 2 ( t ) e− St dt
∞
∴ F ( s) = te − St dt 0−
La sencillez de esta función evita que la integral se tenga que dividir en varios integrales, pero ahora la integral debe hacerse por “partes. v = t d u = e − St d t e − St − s d (uv) = vdu + udv
dv = dt
u =
d (uv) = vdu + udv Y como:
te − St dt = vdu = d ( vu ) − udv = uv − udv te ∞
− St
∴ te 0−
te − St e − St dt = − dt −s −s − St
te − St e − St dt = − −s (− s ) 2 − S∞
∞e = −s
−
e
297
− S∞
s2
∞
0−
0e − S ×0 e − S ×0 − + 2 −s s
El primer término no tiene un límite evidente, y debemos recurrir a la regla de L´Hopital: d (t) 1 t dt = Lim St = 0 Lim St = Lim d se t →∞ e t →∞ t →∞ ( eSt ) dt Los demás términos si tienen límites evidentes, siendo el resultado final: F ( s) = [u −2 (t )] = 12 s
8.3.4 TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN: Sea:
t −1
f (t ) =
f (t )dt −∞
Hallemos
[f
−1
(t )] conocida F ( s ) =
[f
−1
(t )] =
[ f (t )] = F ( s)
:
∞
f
−1
( t ) e − St dt
0−
Aprovechemos el método de la integral por partes que acabamos de ver en el numeral anterior: v = f −1 (t ) d u = e − St d t d v = f (t )d t
[f
−1
]
(t ) = vdu = uv − udv =
[f
−1
]
∞
f −1 (t )e − st dt
0− − st t = ∞
e (t ) = f (t ) −s −1
e − St − s
u =
298
t =0−
∞
e − st − f (t )dt −s 0−
∞
1 f ( t ) e − st dt Ahora consideremos el último término: s 0−
[ f (t )] =
Y reconocemos que: F ( s ) =
∞
f ( t ) e − St d t 0−
De modo que:
[f
[f
−1
]
(t ) =
−1
(t )] =
f
−1
f
(∞ )e −s
−1
( t ) e − St −s
−S ∞
−
f
t=∞
+ t =0− −1
F ( s) s
(0 − )e − S ×0 F (s) + −s s
El primer término del resultado tiene un límite no evidente, pues su límite depende de e − S t → 0 y de f −1 ( ∞ ) → ? . O sea, que tenemos un producto cuyo primer factor tiende a cero, pero cuyo segundo factor desconocemos en su límite, pues depende de la función específica de que se trate. Por ejemplo, una función como f −1 (t ) = et × t , tendría el inconveniente de que el límite del término mencionado sería infinito. Afortunadamente, podemos alegar que en circuitos las funciones deben ser “físicamente realizables”, y esta restricción nos permite desechar estas funciones ó modificarlas para que el límite de ese término de un resultado siempre nulo. Aceptando, entonces, la nulidad de ese término: F ( s) f −1 (0− ) −1 [ f (t )] = s + s Vemos como empiezan a aparecer, en la aplicación de las transformadas, los valores iniciales explícitamente −1 expresados en las ecuaciones. En efecto, f ( 0− ) es sólo el valor de la función f −1 ( t ) evaluada en t = 0-. Esta referencia explícita a los valores iniciales la señalábamos como una
299
importante ventaja de las transformadas frente a otros métodos de solución de ecuaciones diferenciales. Apliquemos este resultado a algunos casos simples ilustrados en la figura 8.3.4.1.
Figura 8.3.4.1 Transformada de la integral de una función. ∞
u − 2 (t ) = u −1 (t ) t = u −1 (t ) dt
=
(integral de la función paso )
0
Entonces, por el teorema de la transformada de un integral:
∴
[u
−2
[u −1 (t )] + u −2 (t )
]
(t ) =
s
Pero:
[
]
u−1 (t ) =
1 s
∴
s
t =0 −
y:
u − 2 (t ) u (0 − ) = −2 =0 s t =0 − s
[u
(t ) =
−2
300
]
1 s2
t
t
t2 u− 3 (t ) = u− 2 (t ) dt = tdt = = (Integral de la función rampa.) 2 0 0
[u
∴
−3
[u −2 (t )] + u −3 (t )
]
(t ) =
[
∴
s 1 0 u− 3 (t ) = 3 + s s
s
]
t2 1 = 3 2 s
∴
t
t
u− 4 (t ) = u− 3 (t )dt = 0
[u
−4
[u −3 (t )] + u −4 (0)
]
(t ) =
s
s
3
t 1 0 = 4 + 3× 2 s s
∴ ∴
Continuando el importantísima:
t2 t3 dt = 2 3× 2 0
proceso,
t3 1 = 4 s 3× 2 llegamos
a
una
conclusión
tn 1 = n +1 n! s
8.3.5 TRANSFORMADA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: Acabamos de ver:
[ f −1 ( t ) ] = ∴
[ f (t )] +
F ( s) f −1 (0− ) + = s s
[f
[ f (t )] = s
Pero:
301
f
s
−1
]
(t ) − f
−1
(0 − )
−1
(0 − ) s
f (t ) =
d −1 f (t ) dt
De donde:
[f
d −1 f (t ) = s dt
Llamando f
−1
(t ) = g (t ) d g (t ) = s dt
−1
]
(t ) − f
−1
(0 − )
[g (t )] − g (0 − )
Acá también se pregunta explícitamente por el valor inicial de la función. Al aplicar las transformadas a las ecuaciones integro diferenciales, encontraremos que nos piden información sobre los valores iniciales que se requieren en la solución completa sin que tengamos que analizar cuales se necesitan, como en otros métodos. Pero todavía hay más información sobre esos valores, como se muestra en el numeral siguiente.
8.4 VALOR INICIAL Y FINAL DE f (t) DEDUCIDOS DE F(s). 8.4.1 VALOR INICIAL Veamos la última ecuación dada, haciendo g (t ) = f (t ) : d f (t ) = s dt
[ f (t )] − f (0 ) = sF ( s) − f (0 ) = −
Pues recuérdese que:
[ f (t )] =
−
∞
f (t ) e − St dt = F ( s) 0
−
De donde:
302
∞
d [ f (t )]e −St dt dt 0−
∞ 0−
d f (t ) e − St dt = sF ( s ) − f (0 − ) dt
Tomemos ahora el límite s → ∞ , en ambos miembros:
Lim S →∞
∞ 0−
d f (t ) e − St dt = dt
Lim (sF ( s) − f (0 )) −
S →∞
Como s y t son variables independientes ∞ d f (t ) Lim e − St dt = Lim{sF ( s)} − f (0− ) dt S →∞ S →∞ 0− Pero:
Lime = 0 ∴ 0 = Lim{sF ( s)} − f (0 ) ∴ Lim{sF ( s)} = f (0 ) − St
S →∞
−
S →∞
−
S →∞
De modo que la transformada nos dará una pista para la determinación de los valores iniciales de las funciones.
8.4.2 VALOR FINAL: En lugar de tomar el límite s → ∞ , tomemos el límite s→0 : ∞ d f ( t ) e − S t d t = L im ( s F ( s ) − f ( 0 − ) ) LS →im d t 0 0− S→0 Como s y t son independientes: ∞ d f ( t ) Lim e − St dt = dt S→0 0− Pero:
303
Lim {sF ( s )} − S→0
f (0− )
L im e
− St
S→0
∞
0−
= 1
∞
d ∞ f (t ) dt = d ( f (t )) = f (t ) 0 − = dt 0− ∞
−
S →0
Lim{sF ( s)} − f (0 f (∞) = Lim {sF ( s )}
∴ f ( t ) 0 − = f ( ∞ ) − f ( 0− ) = ∴
Lim{sF ( s)} − f (0 )
S →0
−
)
s→0
∴ f (∞) =
Lim f (t ) = Lim {sF ( s)} t →∞
Recuérdese que f (∞) =
S →0
Lim f (t ) t →∞
8.4.3 RESUMEN Es bueno percatarse de la “simetría” que hay en estos dos últimos resultados: −) Lim f (t ) = = f (o = Lim {sF ( s)} t →0 − −
Lim f (t ) =
S →∞
=
f (∞ ) =
t →∞
Lim {sF (s)} S →0
8.5 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS. 8.5.1 TRANSFORMANDO LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. En este caso se plantean las ecuaciones diferenciales en la forma normal y se aplican las transformadas a estas ecuaciones. Veamos un ejemplo sencillo. Para el circuito de la figura 8.5.1.1, la ecuación de malla es: t di 1 V = iR + L + idt dt C − ∞ Ecuación que podemos escribir:
304
t
di 1 iR + L + idt − V = 0 dt C − ∞ Aplicando la definición de la transformada: ∞ t di 1 iR + L + idt − V e − St dt = 0 dt C − ∞ 0 Llamando: I(s) =
[V (t )] , i
[i(t )] , V(s) =
0− −1
−
(0 ) =
i(t ) dt −∞
Y recordando la transformada de la derivada de una función y la transformada de la integral de una función: 1 I (s) i −1 (0− ) RI (s) + L{ sI (s) − i (0− )} + + − V (s) = 0 C s s Obtenemos una ecuación algebraica de la cual podemos despejar I(s): i −1 (0− ) V (s) + Li (0− ) − Cs I (s) = 1 R + Ls + Cs Para obtener i (t) debemos hallar la “antitransformada” de I(s), proceso que no hemos discutido aún.
Figura 8.5.1.1 Aplicación de las transformadas a los circuitos eléctricos.
305
8.5.2 EXPRESANDO LOS CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE s: Básicamente consiste en aplicar las transformadas a las ecuaciones individuales de los elementos de los circuitos, y plantear las ecuaciones de Kirchhoff a las transformadas de las funciones corriente y voltaje. Aplicando esta forma al circuito de la figura 8.5.1.1., obtenemos el circuito transformado de la figura 8.5.2.1.
Figura 8.5.2.1 Aplicación de las transformadas a los circuitos eléctricos.
Para el circuito transformado la ecuación de malla queda: I ( s ) i −1 ( 0 − ) V ( s ) = RI ( s ) + LsI ( s ) − Li (0 − ) + + Cs Cs − i (0 ) V ( s ) + Li (0 − ) − Cs I (s) = 1 R + Ls + Cs Es lógico que esperemos la misma respuesta obtenida antes en la transformación de la ecuación diferencial; pero caigamos en cuenta de la enorme ventaja que tiene el circuito
306
transformado sobre la transformación de la ecuación diferencial. Por ejemplo, en el circuito transformado podemos aplicar todos los teoremas de circuitos que hemos estudiado para simplificar o aclarar la solución, cosa difícil de hacer en la ecuación transformada. La tabla 8-1 nos muestra un resumen de los diferentes elementos eléctricos y como se transforman. TABLA 8.1 TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS
ELEMENTOS
ELEMENTOS TRANSFORMADOS
V ( s) = RI ( s)
v (t ) = Ri (t )
v (t ) = L
di (t ) dt
V ( s) = sLI ( s) − Li ( 0− )
t
1 v(t ) = i (t )dt C −∞
I ( s ) i −1 (0 − ) V ( s) = + Cs Cs
307
También veamos en la tabla siguiente los equivalentes de Norton de los transformados de la inductancia y la capacidad. Par facilitar la asimilación de estos circuitos, recuerde que la inductancia y la capacidad son elementos duales, y, por lo tanto, sus circuitos transformados serán duales, también partimos de la ecuación del condensador: t 1 v (t ) = i (t ) dt C −∞ Transformándola: 1 L[v(t )] = L C ∴ V ( s) =
t
i (t )dt =
−∞
[
]
1 −1 L i (t ) C
I ( s ) i −1 ( 0 −1 ) I ( s ) v ( 0 −1 ) + = + CS CS CS S
Para la inductancia la ecuación dual será: t 1 i (t ) = v(t )dt L −∞ Transformándola: 1 L[i (t )] = L L ∴ I (s) =
EQUIVALENTES THEVENIN
t
v(t )dt =
−∞
[
]
1 L v −1 (t ) L
V ( s ) v −1 (0−1 ) V ( s ) i (0 −1 ) + = + LS LS LS S
EQUIVALENTES NORTON
308
Pero aún no hemos completado la solución del circuito: sólo hemos obtenido la transformada de la respuesta; nos falta encontrar la “antitransformada”, o sea la función en el tiempo.
8.6 MÉTODOS PARA HALLAR UNA ANTITRANSFORMADA Podemos emplear dos métodos: 1. Aplicar directamente la definición : α + j∞ 1 1 −1 [F ( s)] = f (t ) = F ( s )e St ds 2 π j α1 − j∞ Pero esta integral esconde sutilezas y dificultades que sólo se superaran conociendo mucho más la naturaleza y el comportamiento de s, la “variable compleja”. Por lo tanto, no emplearemos por el momento ese método. 2. Recurriendo a una “tabla de transformadas”. Es un procedimiento similar al usado en Cálculo Integral para hallar ciertas integrales cuando se recurre a una “tabla de integrales”. La relación f(t) y F(s) es biunívoca, o sea, que a una F(t) corresponde un sola F(s) y viceversa, por lo que el procedimiento de la tabla de transformadas es válido completamente. Parece, y lo es, un recurso teóricamente pobre el de recurrir a una tabla para solucionar una integral, por eso trataremos de dar algunas ideas sobre el cálculo directo de las antitransformadas en capítulos posteriores; pero por ahora nos interesa mucho más la solución de los circuitos y la interpretación correcta de esa
309
solución, para lo cual vasta aplicar la transformada de Laplace como un método simplemente operacional. Ahora veamos en la tabla 8.2 las transformadas que tenemos hasta el momento : TABLA 8.2 TRANSFORMADAS DE LAS FUNCIONES. Nombre Gráfico de f(t) f(t) F(s)
Impulso
uo ( t )
1
Paso
u− 1 (t )
1 s
Rampa
u− 1 (t ) t
1 s2
Unitaria genérica
u− 1 (t )
Integral de f(t)
f −1 (t ) =
Derivada de f(t)
f 1 (t ) =
tn n!
1 s
n +1
t
f (t ) dt
f −1 ( t )
F ( s ) f −1 ( 0 − ) + s s
d [ f (t )] dt
f 1 (t )
sF ( s) − f ( 0− )
−∞
310
8.6.1 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL:
(e ) = at
∞
at
e e 0−
− st
∞
e (a−s) t dt = e dt = (a − s) 0− 1 (eat ) = s − a
∞
(a−s) t
= 0−
e ( a − s ) ∞ e ( a − s ) ×0 − (a − s) (a − s)
Para que lo anterior sea verdad es necesario que se cumpla: e( a − s ) ∞ →0 ( a − s) La expresión anterior es una forma que emplearemos para representar el límite de la expresión cuando t tiende al infinito, es decir: e (a − s)∞ e (a − s )t = Lim (a − s) (a − s) t→ ∞ Se asegura que el límite de esa expresión cuando t → ∞ , es cero, recordando que s = α + jw y haciendo α > a. En tal caso: e (a − s)t e ( a − α − jw ) t e ( a − α ) t e jw t = L im = L im = 0 Lt →im (a − s) (a − s) (a − s) ∞ t→ ∞ t→ ∞ Este es un buen ejemplo para tratar de entender el papel del parámetro α en la transformada de Laplace. En efecto, se comprende, entonces, que se quiere decir cuando se afirma que α es un parámetro de libre escogencia, cuyo papel es conseguir que f (t) tenga una transformada. Para la función anterior, f (t ) = e at , debemos escoger α mayor que a, para lograr la transformada; pero obsérvese que esto siempre es posible.
311
8.6.2 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN DESPLAZADA EN EL TIEMPO. La idea de una función desplazada en el tiempo se ilustra el figura 8.6.2.1. Obsérvese que no basta cambiar t = t - ∆, siendo ∆ el desplazamiento, para obtener esa función desplazada lo que se debe cumplir es que la función desplazada sea una réplica fiel de la f (t), pero “desplazada”, corrida como el nombre lo insinúa. En la figura 8.6.2.2, se muestra la función rampa, t, y su función desplazada.
Figura 8.6.2.1 Función desplazada en el tiempo.
Figura 8.6.2.2 Función rampa desplazada en el tiempo.
Para evitar errores se acostumbra usar la función paso para dar la correcta definición de estas funciones. Así la función rampa se suele expresar t u −1 (t ) .
312
En la figura 8.6.2.3, vemos como el producto de la función t (ahora considerada completa) y la función paso, nos da la función rampa que hemos venido considerado hasta ahora.
Figura 8.6.2.3 La función rampa por la función paso.
Usando la función paso desplazada, u−1 (t − ∆ ) , una función desplazada quedaría (ver figura 8.6.2.4.) : f (t ) desplazada t − ∆ = u−1 (t − ∆ ) × f (t − ∆ )
Figura 8.6.2.4 Una función desplazada en el tiempo.
Sin embargo, esta nomenclatura a veces complica extraordinariamente la escritura de algunas expresiones. Tanto la complica que sólo la veremos cuando exista peligro de ambigüedad.
313
Pasemos entonces a calcular la transformada de una función desplazada: L[ f (t − ∆ ) * u −1 (t − ∆)] =
∞
f (t − ∆) * u −1 (t − ∆)e − st dt
0− ∆
∞
0−
∆
= 0 × e − st dt + f (t − ∆)e − st dt
Para efectuar la última integral hacemos un cambio de variable: t′ = t − ∆
[ f (t − ∆ ) u −1 (t − ∆ )] =
t =∞
f (t − ∆ )e − St dt =
t ′= ∞
f (t ′) e − ( t ′ + ∆ ) S d (t ′ + ∆ )
t ′=0 −
t =∆
Como d∆ = 0 , el diferencial de una constante es cero, tendremos:
∴
[ f ( t − ∆ ) u −1 ( t − ∆ ) ] =
e − S∆
∞
f ( t ′ ) e − S t ′ dt ′ = e − S ∆ F ( s )
0−
En las integrales definidas se dice, que la variable de integración es “muda”, con lo cual quiere afirmarse que su “nombre” (la letra o letras que la designan) no tiene importancia y no influye en el resultado de la integral, como en los siguientes casos: y=5
x=5
5
z=5
z3 x dx = y dy = z dz = = 32.6667 33 x= 3 y= 3 z=3 2
2
2
Pues bien, en la integral con f (t`), tenemos exactamente la definición de la transformada de f (t), sólo que la variable t se reemplaza por la variable t´. El resultado no depende de si la variable se llama t ó se llama t´.
314
8.6.3 TRANSFORMADA DE g(x) f (t) DONDE X ES INDEPENDIENTE DE t.
[ f (t ) g ( x)] =
∞
f (t ) g ( x)e − St dt = g ( x) f (t )e − St dt = g ( x) F ( s)
0−
Obsérvese que ese mismo procedimiento se presentó con e S ∆ , pues s es independiente de t. En lugar de f(x) podemos colocar una constante y obtendremos en general:
[ Af (t )] = A
[ f (t )] = AF ( s)
at 8.6.4 TRANSFORMADA DE e f (t ) :
Apliquemos la definición:
[e
at
f (t )] =
∞
e at f (t ) e − St d t =
f (t )e (a − S )tdt
0−
Hacemos el cambio de variable: s = s′+ a
[e
at
f (t )] = ∴
∞
f ( t ) e − S ′ t dt = F ( s ′ ) 0−
[e
at
s′ = s − a
= F (s − a)
]
f (t ) = F ( s − a )
Evidentemente la transformada de e a t es un caso particular de este resultado cuando f (t ) = u−1 (t ) (función paso).
8.6.5 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN SENO: Como sólo tratamos las llamadas transformadas unilaterales, que se refieren a funciones nulas para t < 0 -, la función seno a la que nos referimos aquí en realidad es: Au −1 (t ) sen( wt ) (Ver figura 8.6.5.1).
315
Una vez aclarado ese punto, apliquemos la fórmula de Euler: Ae jwt − Ae− jwt A sen( wt ) = 2j De lo cual:
[Au −1 (t )sen(wt )] = A u − 1 (t ) e − 2 j
A u −1 (t ) e jwt − 2j
jwt
Figura 8.6.5.1 Función seno multiplicada por la función paso.
Como ya conocemos la transformada de constante × eat A A 1 u −1 (t ) e jwt = × s−a 2j 2j Basta que tomemos a = jw y a = − jw en las dos transformadas en que dividimos la transformada del seno:
[A u−1 (t ) sen(wt)] =
A 1 A 1 A s + jw − s + jw − = 2 j s − jw 2 j s + jw 2 j (s − jw)(s + jw) A 2 jw Aw = = 2 2 2 2j s + w ( s + w2 )
316
8.6.6 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN COSENO: Se trata, como en el caso del seno, de la función Au −1 (t ) cos( wt ) .
Figura 8.6.6.1 Función coseno por la función paso.
[A u −1 (t ) cos(wt )] =
A u −1 (t ) e jwt + 2
A u − 1 ( t ) e − jwt 2 =
A 1 A 1 A s + jw + s − jw + = 2 s − jw 2 s + jw 2 (s − jw)(s + jw) As = 2 (s + w 2 )
8.6.7 TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: Este tema es muy importante por ser una introducción desde un punto de vista poco usual al tema de las series de Fourier. Ver figura 8.6.7.1
Figura 8.6.7.1 Función periódica.
Se trata de una función formada por “partes” idénticas que se repiten a intervalos iguales indefinidamente:
317
f (t ) periodica = u −1 (t )
[ f (t )
periodica
]=
u −1 (t )
f (t − n∆ ) n = 0 ,1, 2...
f (t − n∆) = n = 0 ,1, 2...
n = 0 ,1, 2...
[ f (t − n∆)]
F ( s )e − S n ∆ = F ( s )
=
n = 0 ,1, 2...
e −S n ∆ n = 0 ,1, 2...
Pero: e − S n ∆ = 1 + e − S ∆ + e −2 S ∆ + ... + e − n S ∆ n = 0 ,1, 2...
n →∞
Para obtener esta sumatoria primero sumamos hasta un N infinito. N n=0
e − S n∆ = 1 + e − S ∆ + e − 2 S ∆ + ... + e −n S ∆ = S n
[ [S
∴ S n = 1 + e − s ∆ 1 + e − S ∆ + e − 2 S ∆ ... + e −( n −1) S ∆ ∴ Sn = 1 + e
−s ∆
n
−e
∴ Sn =
−n s ∆
]
]
− s ∆ ( n +1 )
1− e 1 − e −s ∆
Tomamos el límite cuando n → ∞ 1 − e − S∆ ( n −1) 1 ∴ S ∞ = Lim = − S∆ 1− e 1 − e − S∆ n→ ∞ 1 ∴ f (t ) periodica = F ( s) 1 − e − S∆
[
]
Consideramos que las transformadas vistas constituyen un buen acopio de herramientas que nos permitirán resolver un gran número de circuitos. Pero las debemos completar con la técnica de las “fracciones parciales”, para que realmente obtengamos todo lo que esperamos de ellas.
318
8.7 FRACCIONES PARCIALES: Si repasamos con cuidado el numeral anterior, veremos que, al lado de teoremas generales que se aplican a toda f (t), obtuvimos transformadas cuya forma genérica es: As m (s ± a)n Aparentemente es muy restringido el campo de aplicación de estas transformadas ; pero en realidad, si consideramos que toda expresión algebraica finita se puede reducir a la forma : Z ( s) , y que si P(s) es factorizable, esa expresión se reduce a : P ( s) Z ( s) , n1 n2 ( s − s1 ) ( s − s2 ) ( s − s3 ) n 3 ...( s − sK ) n K veremos que podemos expandir tal expresión en fracciones parciales : Z n1 Z n1 −1 Z n2 Z n2 −1 Z ( s) ... = + + + + + ... + P( s ) ( s − s1 ) n1 ( s − s1 ) n1 −1 ( s − s 2 ) n2 ( s − s 2 ) n2 −1
Z ni ( s − s i ) ni
+
Z ni −1 ( s − s i ) ni −1
, donde las Zs son cons tan tes.
Todas esas fracciones parciales tienen formas muy parecidas a las de las transformadas que hemos estudiado, y es posible que hallemos en nuestra tabla las antitransformadas correspondientes. Apliquemos éste método a la transformada del circuito R-L-C (mejor, de la corriente por el circuito) que hemos estudiado antes.
319
i −1 (0 − ) Cs = Z ( s ) I (s) = 1 P(s) R + Ls + Cs V ( s )Cs + CLi (0 − ) s − i −1 (0 − ) ∴ I ( s) = RCs + LCs 2 + 1 V ( s )CS + CLi (0 − ) s − i −1 (0 − ) ∴ I ( s) = RC 1 CL s 2 + s+ CL CL V ( s ) + Li (0 − ) −
Con: s1,2 = −
R ± 2L
R2 1 2 − 4 L CL
Obtenemos:
V ( s) i −1 ( 0− ) s + i ( 0− ) s − CL = Z1 ( s) + Z2 ( s) ∴ I ( s) = L ( s − s1 )( s − s2 ) ( s − s1 ) ( s − s2 )
Estudiemos varias posibilidades en este circuito.
8.7.1 V (t) = 0 En el circuito no hay fuente de voltaje; la única excitación proviene de las energías almacenadas en la L y la C. ∴V ( s) = 0 i −1 (0 − ) i (0 ) s − A B CL = I (s) = + ( s − s1 )( s − s 2 ) ( s − s1 ) ( s − s 2 ) −
∴ I ( s) =
As − As 2 + Bs − Bs1 ( A + B ) s − ( As 2 + Bs1 ) = ( s − s1 )( s − s 2 ) ( s − s1 )( s − s 2 )
320
Como se puede observar A y B son constantes a determinar que se introducen voluntariamente. Se determinan, precisamente, igualando coeficientes entre la expresión Z(s) original y la obtenida al sacar denominador común en las fracciones parciales: A + B = i (0 − ) As 2 + Bs1 =
i −1 (0 − ) CL
Obtenidas las constantes A y B, procedemos a encontrar las antitransformadas de las fracciones: A B −1 −1 −1 + = Ae S1 t + Be S 2 t [ I ( s)] = s − s1 s − s2
8.7.2 CONSIDEREMOS EL CASO EN EL CUAL V ( t ) = u−1 ( t ) × t (FUNCIÓN RAMPA): 1 s2 1 i −1 (0 − ) + i (0 − ) s 2 − s A B C L CL = + + ∴ I ( s) = s ( s − s1 )( s − s 2 ) s s − s1 s − s 2 V ( s) =
=
A( s − s1 )( s − s 2 ) + Bs ( s − s 2 ) + Cs ( s − s 2 ) s ( s − s1 )( s − s 2 )
=
As 2 − A( s1 + s 2 ) s + As1 s 2 + Bs 2 − Bss 2 + Cs 2 − Cs1 s s ( s − s1 )( s − s 2 )
=
( A + B + C ) s 2 − ( As1 + As 2 + Bs 2 + Cs1 ) s + As1 s 2 s ( s − s1 )( s − s 2 )
Comparando coeficientes con la Z(s) original:
321
A + B + C = i (0 − ) As1 + As 2 + Bs 2 + Cs1 = As1 s 2 =
i −1 (0 − ) CL
1 L
De las últimas tres ecuaciones obtenemos las constantes A, B y C, lo cual nos permite hallar la antitransformada de I(s). B C −1 −1 A −1 −1 + + [ I ( s)] = s s − s1 s − s2 = A + Be S1t + Ce S 2 t
8.7.3 CASO ANTERIOR PERO CON S1 = S2 (o sea que las dos raíces son iguales) V ( s) =
1 s2
1 i −1 (0 − ) s + i (0 − ) s 2 − A B C CL ∴ I (s) = L = + + 2 2 s ( s − s1 ) s ( s − s1 ) s − s1 =
A( s − s1 ) 2 + Bs + C ( s − s1 ) s s ( s − s1 ) 2
322
I (s) =
2
As 2 − 2 As1 s + As1 + Bs + Cs 2 − Cs1 s s ( s − s1 ) 2
s 2 ( A + C ) − s (2 As1 − B + Cs1 ) + As1 = s ( s − s1 ) 2
2
A + C = i (0 − ) 2 As1 − B + C = 2
As1 =
i −1 (0 − ) CL
1 L
Hallamos los parámetros A, B y C, procedemos a encontrar la antitransformada: B C −1 −1 A −1 −1 + [ I ( s)] = 2 + s s − s1 (s − s1 ) = A + Bte S1t + Ce S1t
Quedamos, teóricamente, en capacidad de resolver muchos circuitos utilizando sólo las transformadas vistas, siempre y cuando apliquemos correctamente este método de las fracciones parciales.
8.8 EJEMPLOS 8.8.1.1 EJEMPLO 1 Resolver el ejemplo 7.5.3, usando la transformada de Laplace Tomamos la figura 7.5.3.2.
Figura 8.8.1.1 Ejemplo 1.
323
Y con los datos del ejemplo 7.5.3. : R = 1Ω, C = 2f, L = 3h. Y las respuestas del mismo ejemplo: i(0) = 0, i´(0) =
5 3
El circuito en el dominio de s, se expresa como el circuito de la figura 8.8.1.2.
Figura 8.8.1.2 Circuito del ejemplo 1 en el dominio de s.
La ecuación de malla es: 1 10 5 R+ + Ls I ( s ) = − Cs s s 5 5 s I (s) = = 1 1 R+ + Ls Ls 2 + Rs + Cs C 5 5 3 I (s) = = 1 1 1 2 2 3s + s + s + s+ 2 3 6
324
5 A B 3 I ( s) = = + ( s − s1 )( s − s2 ) ( s − s1 ) ( s − s2 ) =
Donde:
( A + B ) s − ( As2 + Bs1 ) ( s − s1 )( s − s2 )
0 = A+ B
→
A = −B
5 = − As2 − Bs1 3 s1, 2 =
−
→
B=
5 3( s2 − s1 )
1 1 4 ± − 3 9 6 2
1 1 s1, 2 = − ± 6 2
5 j 3
1 5 1 5 s1 = − + j s2 = − − j → 6 6 6 6 1 s2 − s1 = − 5 j 3 5 5 5 B= = = j − 5j 5 5 3 − j 3 A=−
5 j 5
Entonces: i(t) =
−1
A + s − s1
325
−1
B s − s2
i (t ) = Ae S1t + Be S 2t 5
i (t ) = − 5
i (t ) =
i (t ) =
je
5
=
je
5
5 5
10 5
−
t 6
je −
1 5 − + j t 6 6
−
e t 6
t
e 6 sen
−
5 jt 6
+ −e
− 2 jsen
5 5
je
1 5 − − j t 6 6
5 jt 6
5 t 6
5 t Amperios 6
Ejercicios propuestos: Ver apéndice B.
326
