MATE 3031 Dr. Pedro Vásquez UPRM
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MATE 3171
¿Qué es una función? En esta parte se recordará la idea de función y su de…nición formal. En casi todos los fenómenos físicos se observa la dependencia de una cantidad sobre otra. Por ejemplo: 1 La altura es una función de la edad. 2 La temperatura es una función de la época del año. 3 Costo de una paquete es función de su peso.
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Ejemplos R1 Otros ejemplos: 1 El área de un círculo en función de su radio. 2 La potencia de un circuito es función de la corriente que ‡uye en el circuito.
De…nción Una función f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, f (x ) en el conjunto B. Los conjuntos A y B son subconjuntos de los números reales. El símbolo f (x ) se lee "f de x" o "f en x" y es llamado el valor de f en x, o la imagen de x bajo f. El conjunto A es el dominio de la función y se de…ne: Dom (f ) = fx 2 Rjpara cada x 2 A existe un único f (x ) 2 B g El rango de f es el conjunto de todos los posibles valores de f (x ) donde x 2 Dom (f ) , esto es: rango (f ) = ff (x ) j x 2 Dom (f )g La variable x es la variable independiente. P. Vásquez (UPRM)
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Se puede pensar una función como una máquina:
O como:
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Representación de funciones Una función se puede representar en: 1 2 3 4
Forma verbal Algebraicamente Visualmente en forma de una grá…ca Numéricamente en forma de tabla.
Ejemplos R2
p 1. Dado f (q x ) = 9 x 2 , evalúe: p f ( 3) = 9 ( 3)2 = 9 9 = 0 q p p f ( 2) = 9 ( 2)2 = 9 4 = 5 q p p f ( 1) = 9 ( 1)2 = 9 1 = 8 q p f (0) = 9 (0)2 = 9 = 3 p p p f ( 2 ) = 9 22 = 9 4 = 5 P. Vásquez (UPRM)
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( 3 7. Dado f (x ) = x 3 f ( 4) = f ( 1) = f (0) = f (1) = f ( 2) f (1) =
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si x < 0 si x
, evalúe:
0
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f (a + h ) f (a ) 2. Si f (x ) = 3x + 5, halle h Solución Se halla: f (a) = 3(a) + 5 = 3a + 5 f (a + h ) = 3(a + h ) + 5 = 3a + 3h + 5 f (a + h ) f (a ) = h
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3. Halle el dominio de f (x ) = x 3 3, Solución El dominio es: Dom (f ) = ( 4, 5]
4 0
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5. Funciones p radicales: p p p f (x ) = x, f (x ) = 3 x, f (x ) = 4 x, f (x ) = 5 x
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6. Funciones recíprocas: f (x ) = x1 , f (x ) =
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1 x2
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7. Función mayor entero f (x ) = [jx j]
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Prueba de la vertical Una curva en el plano coordenado es la grá…ca de una función si y solo si ninguna recta vertical intersecta a la curva más de una vez.
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Ejemplos R2 1 Haga un pareo entre entre las funciones y sus p grá…cas: 2 3 a. f (x ) = x b. f (x ) = x c. f (x ) = x d. f (x ) = jx j
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2. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = 5 x y = f (x ) = 5
2x
1 0 1 2x y
7
6
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
rango(f ) = R P. Vásquez (UPRM)
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3. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = x 2 x y = f (x ) = x 2 4 Eje Y: x = 0 ) y =
1 0 1
Eje X: y = 0 ) x =
4
2;
4 y
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
rango(f ) = [ 4, ∞) P. Vásquez (UPRM)
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4. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = x 3 x y = f (x ) = x 3 1 Eje Y: x = 0 ) y =
1 0 1
1
Eje X: y = 0 ) x = 1;
1 y
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
rango(f ) = R P. Vásquez (UPRM)
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p 5. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = x + 3 Domf (f ) = fx 2 Rjx + 3 0g = [ 3, ∞) x p 3 2 1 6 Eje X: y = 0 ) x = 3; y = f (x ) = x + 3 p Eje Y: x = 0 ) y = 3 y
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
rango(f ) = [0, ∞) P. Vásquez (UPRM)
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6. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = jx j
x
x x si x 0 0 si x 0 = , Domf (f ) = R x x si x < 0 2x si x < 0 x 0 : La grá…ca de y = f (x c ), se obtiene al mover c unidades hacia la derecha la grá…ca de y = f (x ) . La grá…ca de y = f (x + c ), se obtiene al mover c unidades hacia la izquierda la grá…ca de y = f (x ) .
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Ejemplos 2 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación. f (x ) = (x + 3)2 y
y
4
4
x^2 3
3
2
2 1
1
x x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
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Ejemplos 3 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación. f (x ) = (x + 3)2 y
y
4
4
x^2 3
3
2
2 1
1
x x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
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2
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4. Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación. p f (x ) = x 2 y
y 4
4
3
3 x^.5
2
2
1
1 x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
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Re‡exiones Dada la grá…ca de y = f (x ), se desea conocer que sucede al gra…car y = f (x ) o y = f ( x ) . La grá…ca de y = f (x ), es el re‡ejo de la grá…ca de y = f (x ) sobre el eje X . La grá…ca de y = f ( x ), es el re‡ejo de la grá…ca de y = f (x ) sobre el eje Y .
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5 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación. p p x g (x ) = x f (x ) = y
y 4
4
3
3
(-x)^.5
x^.5
2
2 1
1
x
x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
2
3
4
-x^.5
−3
−4
−4
−5
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Composición de funciones
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Composición de funciones
En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de g
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Composición de funciones
En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de g y se halla la imagen g (x ) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcular el valor de f (g (x ))
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Composición de funciones
En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de g y se halla la imagen g (x ) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcular el valor de f (g (x )) . El resultado es una nueva función h (x ) = f (g (x )) que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición de funciones y se denota por: f g y se lee "f compuesta con g ". Dadas dos funciones f y g , la función composición f g (también llamada composición de f y g ) se de…ne:
(f
g ) (x ) = f (g (x ))
El dominio de f g es el conjunto de todos los x en el dominio de g talque g (x ) está en el dominio de f . P. Vásquez (UPRM)
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1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. Halle (f
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4, halle:
g ) (0)
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MATE 3171
1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2
4, halle:
a. Halle (f g ) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g ) ( 1)
P. Vásquez (UPRM)
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MATE 3171
1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2
4, halle:
a. Halle (f g ) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g ) ( 1) = g (g ( 1)) = c. Halle (f g ) (2)
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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MATE 3171
1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d.
Halle Halle Halle Halle
4, halle:
(f g ) (0) = f (g (0)) = (g g ) ( 1) = g (g ( 1)) = (f g ) (2) = f (g (2)) = (f f ) (3)
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Conferencia
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MATE 3171
1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d. e.
Halle Halle Halle Halle Halle
(f (g (f (f (f
P. Vásquez (UPRM)
4, halle:
g ) (0) = f (g (0)) = g ) ( 1) = g (g ( 1)) = g ) (2) = f (g (2)) = f ) (3) = f (f (3)) = g ) (x )
Conferencia
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MATE 3171
1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d. e. f.
Halle Halle Halle Halle Halle Halle
(f (g (f (f (f (g
P. Vásquez (UPRM)
4, halle:
g ) (0) = f (g (0)) = g ) ( 1) = g (g ( 1)) = g ) (2) = f (g (2)) = f ) (3) = f (f (3)) = g ) (x ) = f (g (x )) = f x 2 f ) (x )
Conferencia
4 =
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MATE 3171
1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d. e. f. g.
Halle Halle Halle Halle Halle Halle Halle
(f (g (f (f (f (g (g
P. Vásquez (UPRM)
4, halle:
g ) (0) = f (g (0)) = g ) ( 1) = g (g ( 1)) = g ) (2) = f (g (2)) = f ) (3) = f (f (3)) = g ) (x ) = f (g (x )) = f x 2 4 = f ) (x ) = g (f (x )) = g (4x + 6) = g ) (x )
Conferencia
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MATE 3171
1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d. e. f. g.
Halle Halle Halle Halle Halle Halle Halle
(f (g (f (f (f (g (g
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4, halle:
g ) (0) = f (g (0)) = g ) ( 1) = g (g ( 1)) = g ) (2) = f (g (2)) = f ) (3) = f (f (3)) = g ) (x ) = f (g (x )) = f x 2 4 = f ) (x ) = g (f (x )) = g (4x + 6) = g ) (x ) = g (g (x )) = g x 2 4 =
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2 Si f (x ) = dominios
4 x
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y g (x ) = x + 4, halle: f
Conferencia
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
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MATE 3171
2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ;
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g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (g ) = ( ∞, ∞)
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2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; (f g ) (x ) = f (g (x ))
P. Vásquez (UPRM)
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (g ) = ( ∞, ∞)
Conferencia
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MATE 3171
2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4
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2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞)
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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MATE 3171
2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x )
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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MATE 3171
2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f )
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Conferencia
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MATE 3171
2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x )
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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MATE 3171
2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x ) = f (f (x )) = f x4 = 44 = x x
dom (f
f)
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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MATE 3171
2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x ) = f (f (x )) = f x4 = 44 = x x
dom (f f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (g g ) (x )
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2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x ) = f (f (x )) = f x4 = 44 = x x
dom (f f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (g g ) (x ) = g (g (x )) = g (x + 4) = x + 8 dom (g g )
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2 Si f (x ) = dominios
4 x
y g (x ) = x + 4, halle: f
g, g
f ,f
f ,g
g y sus
dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x ) = f (f (x )) = f x4 = 44 = x x
dom (f f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (g g ) (x ) = g (g (x )) = g (x + 4) = x + 8 dom (g g ) = R = ( ∞, ∞)
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MATE 3171
Funciones 1-1 Las funciones que son 1-1 son importantes para el estudio de funciones inversas, observe el siguiente par de grá…cas:
De…niciónUn función con dominio A se dice que es una función1-1 si cualquier par de elementos de A siempre tienen diferentes imágenes, es decir: f (x1 ) 6= f (x2 ) cuando x1 6= x2 P. Vásquez (UPRM)
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MATE 3171
Función inversa Toda función que es 1-1 posee inversa. De…niciónSea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y se de…ne por: f
1
(y ) = x () f (x ) = y
para cualquier y 2 B. Se satisface: dom f 1 = rango (f ) y dom (f ) = rango f
1
Propiedad de función inversa Sea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Su función inversa f satisface las siguientes propiedades:
1
f 1 (f (x )) = x para todo x 2 A f f 1 (x ) = x para todo x 2 B Una función f
1
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que satisface las ecuaciones anteriores es la inversa de f . Conferencia
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MATE 3171
Pasos para hallar la inversa de una función 1
Escriba y = f (x ) .
2
Resuelva la ecuación para x en términos de y (si es posible)
3
Intercambie x con y . La ecuación resultante es y = f
Nota:
La grá…ca de f
1
1
(x ) .
se obtiene re‡ejando la grá…ca de f en la recta
y = x.
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MATE 3171
Ejemplos 1 La grá…ca de una función f es dada,:
Indique cual de ellas es 1-1:
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MATE 3171
2 Determine si la función dada es 1-1: a. y = f (x ) = 6x + 2, si es 1-1, recuerde su grá…ca es una recta, además: para cualquier par:
f (x1 ) = 6x1 + 2, 6x2 + 2 = f (x2 ) ) 6x1 + 2 6= 6x2 + 2 si x1 6= x2 1
b. y = f (x ) = jx + 2j no es 1-1, un contraejemplo: 4 6= 0 sin embargo f ( 4) = 2 = f (0) , se tiene que para un par de valores diferentes en el dominio, sus imágenes son iguales c. y = f (x ) = x 4 + 5, 0 x 2 veri…que que es 1-1.
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MATE 3171
3 Asuma que f es una función 1-1: a. b. c. d.
Si Si Si Si
f f f f
(2) = 5, halle f 1 (5) =? 1 (4) = 6, halle f (6) = ? (3) = 10, halle f 1 (10) =? 1 ( 2) = 5, halle f ( 5) = ?
4 Si g (x ) = x 2 + 4x, con x
2, halle g
1
(5)
Se halla el valor de x tal que g (x ) = x 2 + 4x = 5 y se resuelve la ecuación cuadrática: x 2 + 4x 5 = 0, cuya solución es: x = 1, x = 5, de donde se obtiene que g 1 (5) = 1 ¿porqué?
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5 Demuestre que las funciones f (x ) = 2x inversas una de otra. Se debe veri…car que: (f g ) (x ) = f (g (x )) = f x +2 5 = 2 (g f ) (x ) = g (f (x )) = g (2x 5) = 6 Halle la función inversa de f (x ) =
x +5 2 2x 5 +5 2 1 x +1
5 y g (x ) =
x +5 son 2
5=x =x
Se debe veri…car que: Dom (f ) = fx 2 Rjx 6= 1g = rango f 1 1 1 Sea y = x + 1 , despejando x : x + 1 = y ) x = Por lo tanto la función inversa es: f 1 (x ) = Dom f 1 = fx 2 Rjx 6= 0g = rango (f )
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Funciones Polinómicas y sus grá…cas De…niciónUna función polinómica de grado n se de…ne por: P ( x ) = an x n + an
1x
n 1
+
+ a1 x + a0
donde n 2 N, an 6= 0 y an , an 1 , , a1 , a0 2 R. Los números an , an 1 , , a1 , a0 son llamados los coe…cientes del polinomio. El número a0 es llamado el coe…ciente constante o término constante. El número an es el coe…ciente de la potencia mayor, y es llamado el coe…ciente principal, y an x n es llamado el término principal.
Características de las grá…cas de FP Se han discutido algunos casos anteriormente, por ejemplo: 1 2
La función lineal: f (x ) = b + mx, su grá…ca es una línea. La función cuadrática: f (x ) = ax 2 + bx + c, cuya grá…ca es una parábola. P. Vásquez (UPRM)
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A continuación se presentan las grá…cas de algunas funciones polinómicas básicas:
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1 Paree cada una de las funciones polinómicas con sus grá…cas: a.P (x ) = x x 2 4 b.P (x ) = x 2 x 2 4 d.P (x ) = 12 x 6 2x 4 e.P (x ) = x 4 + 2x 3
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c.P (x ) = x 5 + 5x 3 4x f .P (x ) = x 3 + 2x 2
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Funciones exponenciales De…niciónUna función exponencial con base a está bien de…nida para todos los números reales x y se denota por: f (x ) = ax , donde a > 0, a 6= 1.
Grá…cas de funciones exponenciales La función exponencial f (x ) = ax , (a > 0, a 6= 1) tiene dominio R y rango (0, ∞) . La recta y = 0 es una asíntota horizontal. La grá…ca de f tiene una de las siguientes formas:
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Ejemplos 1 Paree las siguientes funciones con sus grá…cas: a.f (x ) = 2x b.f (x ) = 2 x c.f (x ) = 2x a.f (x ) =
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x
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Funciones logarítmicas Toda función exponencial f (x ) = ax , donde a > 0, a 6= 1, es 1-1, y por lo tanto posee inversa. La función inversa es llamada función logarítmica y se obtiene: y = ax para despejar x se aplica loga a ambos lados y se obtiene: loga y = loga ax = x loga a = x, porque loga a = 1 para todo a > 0, a 6= 1 La función inversa de la exponencial es: f 1 (x ) = loga x De…niciónUna función logarítmica con base a > 0, a 6= 1 se de…ne por: f (x ) = loga x, donde a > 0, a 6= 1. y se satisface: y = loga x , x = ay
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Grá…cas de funciones logarítmicas La función logarítmica f (x ) = loga x, (a > 0, a 6= 1) tiene dominio (0, ∞) y rango R. La recta x = 0 es una asíntota vertical. La grá…ca de f tiene una de las siguientes formas: y 9
a^x, 0
