ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

7. INTERFERENCIA DE LA LUZ La interferencia de dos o más ondas luminosas puede ser descrita como la interacción entre ellas que da como resultado una onda distinta de la simple suma de las componentes. El proceso básico es el descrito en el capítulo primero como composición de ondas, sin embargo en esta sección se tratará de aportar las bases teóricas necesarias para comprender los fenómenos de interferencia que tienen lugar en el microscopio de polarización y en los que se basa buena parte del estudio de la interacción entre la luz y los cristales que sirven de base a la Mineralogía óptica. 7.1. Condiciones para la interferencia Para que dos ondas produzcan una interferencia apreciable es necesario que se propaguen en la misma dirección y sentido, y mantengan que entre ellas una diferencia de fase constante (es lo que se denomina luz coherente). En la geometría del microscopio de polarización y de otros dispositivos interferenciales, las radiaciones que van a interferir están polarizadas en planos perpendiculares. Fresnel y Aragó estudiaron la interferencia de ondas polarizadas en ángulo recto y llegaron a las siguientes conclusiones: a) dos haces polarizados en ángulo recto procedentes de la misma fuente no producen interferencia apreciable aunque sean llevados al mismo plano de polarización. b) dos haces polarizados en ángulo recto, provenientes de luz ya polarizada, interfieren cuando son llevados al mismo plano de polarización. 7.2. Superposicón de ondas polarizadas: polarización elíptica Desde un punto de vista estrictamente matemático, es posible

-129-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

Figura 1. Dos ondas de igual frecuencia, con cierto desfase, avanzan sobre el eje x. Su composición en cada instante dibuja una espiral, cuya projección sobre el plano zy es una elipse. En la figura se han marcado en naranja algunas de las sumas de los vectores eléctricos de ambas ondas y su resultante.

combinar dos ondas que avanzan a igual velocidad, polarizadas perpendicularmente. Esta situación es la que tiene lugar a la salida de una lámina cristalina, en que una onda previamente polarizada se ha desdoblado en dos, con planos de polarización perpendiculares entre sí y que progresan a dintintas velocidades en el interior del cristal hasta que llegan al exterior (aire u otro medio isótropo), donde viajan a igual velocidad. Se refieren ambas ondas a un sistema de coordenadas de modo que ambas avanzan sobre el eje x, y los vectores

Figura 2. Los dos vectores eléctricos de dos ondas que avanzan en la dirección de x eléctricos vibran sobre los planos xy y xz. Sean E oy y E oz las se componen en cada instante dando un amplitudes de las dos ondas, y E y y E z los respectivos vector E, que describe una espiral alrededor de x, cuya proyección sobre el plano yz es vectores eléctricos en un momento dado, que se componen una elipse.

dando lugar a un vector E, que será el vector de la onda

resultante (Figuras 1 y 2).

-130-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

Como E y y E z varían de módulo en cada instante y progresan a lo largo de x, el vector resultante E describirá una curva espiral siguiendo x, cuya forma dependerá de las amplitudes E oy y E oz y de la diferencia de fase entre las dos ondas. A continuación se estudiará la forma de la curva que describe E proyectándola sobre el plano xy. Las ecuaciones de las dos ondas que se van a componer, con una diferencia de fase δ, son

 2π  E y = E0 y cos t  T 

(1)

 2π  Ez = E0 z cos t + δ  T  pasando E oy a la izquierda, multiplicando los dos términos de la primera ecuación por cos δ y desarrollando el coseno de la suma en la segunda, quedan  2π  cosδ = cos t  ⋅ cosδ  T  E0 y Ey

 2π   2π  E z = E0z cos t  cosδ − E0 z sen t  sen δ  T   T 

restando ambas ecuaciones y elevando al cuadrado,  E 2 E y  z  2  2π  2  E − E cosδ  = − sen  T t  ⋅ sen δ 0y  0z 

( 2)

Como se trata de proyectar sobre el plano yz, se debería eliminar el término que incluye el tiempo (t). Para ello, se expresa el

 2π  t  en función de E oy y E y a partir de la ecuación (1)  T 

término sen  2

-131-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell 2

 Ey   2π    = 1 − sen2  t  T   E0 y  2

y substituyendo en (2):

2

 Ez E y   Ey   sen2 δ − sen2 δ  − cosδ  =   E0 z E0 y   E0 y  ecuación que representa una elipse, y por tanto se dice que la onda resultante es elipticamente polarizada. De las anteriores expresiones, E = E y + Ez , por lo 2

2

2

que la intensidad de la onda elípticamente polarizada resultante es I = I y + I z , puesto que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud. Por otra parte, los valores de E y y E z varian entre +E oy y -E0y, y entre + E 0z y - E 0z, respectivamente, lo que implica que la elipse deducida ha de estar necesariamente incrita en Figura 3

el rectángulo limitado por estos parámetros . Si las dos ondas están en fase (δ=0, 2π, 4π... 2kπ) la elipse se convierte en una recta que coincide con una de las diagonales del rectángulo (Figura 3):

Ey E0 y

=

Ez E0 z

.

Igualmente, si (δ=π, 3π... [2k-1]π) la recta resultante es la otra diagonal (Figura 4)

Ey E =− z E0 y E0 z Figura 4

Cuando se produce esta situación, la onda resultante es linealmente polarizada y es uno de los casos particulares comentados

-132-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

como combinación de ondas en fase al inicio del capítulo anterior. Otro caso particular se produce cuando δ = (2k − 1) π 2 , en que la ecuación queda  E 2  E 2  y   z  E  +E  =1  0z   0y 

que corresponde a una elipse con los ejes coincidentes con y y z (Figura 5), si los vectores E oy y E oz tienen igual módulo (ondas de idéntica amplitud), la resultante es un círculo, y Figura 5

la luz se denomina circularmente polarizada. La gráfica

representación de

las

elipses

resultantes de la proyección de la combinación de ondas para diferencias de fase crecientes se ha representado en la Figura 6. Aunque hay que recordar que si estas ondas elípticamente polarizadas se proyectan sobre una pantalla (en términos de microscopía, de polarización, se observan sin analizador) no se aprecia efecto interferencial alguno

puesto

que

la

composición que se ha hecho es estrictamente matemática, pero no se han llevado ambas ondas Figura 6.

a vibrar sobre el mismo plano.

-133-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

Para poner en evidencia el efecto de la interferencia resultante de la composición de estas dos ondas hay que situar un polarizador antes de proyectar la luz sobre la pantalla (o colocar el analizador en el microscopio de polarización). Al intercalar un polarizador antes de la proyección, se llevan a vibrar ambas ondas sobre el plano del polarizador. Supuesto el polarizador en una posición cualquiera PP’ (Figura 7), deja pasar una vibración que no coincide ni con los semiejes de la elipse, ni con E oy o E oz. Se podría considerar la elipse como resultante de dos vibraciones linealmente polarizadas según Oa y Ob (resultado de la proyección de la elipse sobre PP’ y su perpendicular). Por lo tanto, la vibración que pasa tiene una amplitud proporcional Figura 7.

a Oa, puesto que Ob es perpendicular al polarizador PP’. 7.3. Interferencias con luz monocromática Imaginemos un dispositivo consistente en una lámina de un material anisótropo transparente, de espesor variable, en forma de cuña, entre polarizadores en posición cruzada, y el sistema atravesado por una radiación monocromática. Se propose este caso porque se asemeja a la situación que ocurre en el microscopio de polarización con los polarizadores cruzados, pero el lector podrá fácilmente extrapolar los resultados a cualquier otra situación. Como se ha supuesto una lámina transparente, la luz que la atraviesa no sufre absorción, por lo tanto se puede considerar que la amplitud incidente, y por tanto la intensidad, no varía al atravesar el cristal. Si se dispone la lámina en su posición de máxima iluminación, es decir, a 45º de cualquiera de las cuatro posiciones de extinción. De acuerdo con la luz de la ley de Malus, las amplitudes de las dos ondas que atraviesan el cristal son iguales y, por lo tanto, los rectángulos

-134-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

definidos por E oy y E oz son cuadrados..

La luz que atraviesa la lámina anisótropa se desdobla en dos ondas polarizadas en planos perpendiculares entre sí, y al emerger ambas ondas mantendrán constante su diferencia de fase. Sin embargo, la luz que emerja habiendo atravesado espesores distintos de la lámina anisótropa tendrá una diferencia de fase (o retardo, si de expresa en términos de longitudes de onda) que será creciente desde las zonas más delgadas hasta las más gruesas. Si la luz emergente de la cuña, después de atravesar el segundo polarizador, se proyecta en una pantalla, se verá una imagen como la de la Figura 8 donde se aprecia la variación de la interferencia para diferencias de fase variables contínuamente.

Figura 8. Cuando la luz monocramática atraviesa una lámina anisótropa de espesor variable, energe con distintas diferencias de fase, que, observada a través de un polarizador, se traduce en distintas intensidades, como se muestra en la figura. En la parte superior se ha representado la polarización elíptica de diversos puntos emergentes, con la posición del polarizador (gris) y la intensidad transmitida en naranja. La imagen de la parte central representa la imagen que se observaria desde la parte superior de la lámina anisótropa.

-135-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

Se observa que para δ=0 o 360º (en términos de longitudes ∆=kλ), la luz transmitida por la lámina está linealmente polarizada siguiendo una diagonal del cuadrado, y el plano de polarización de la onda resultante coincide con el del polarizador, por tanto se transmitirá la totalidad de la intensidad. Para una diferencia de fase δ =

1

4

π (o ∆ =

1 8

λ ) la onda

resultante es una elipse con el eje mayor orientado siguiendo la diagonal del cuadrado, y la intensidad transmitida por el polarizador es algo menor que que en el caso anterior.

Para

δ =

1

2

π

( ∆ =

1

4

λ ) la polarización es circular, y su

proyección sobre el plano del polarizador da un segmento (equivalente a la intensidad transmitida) menor que en el caso precedente. Donde la diferencia entre ambas ondas a la salida de la lámina sea

δ =

3

4

π (∆ =

3

8

λ

) la elipse estará inclinada hacia la

otra diagonal del cuadrado y la intensidad final será aún menor. Y ésta es nula cuando

δ = π (∆ =

1

2

λ

) ya que la recta resultante sigue

la diagonal del cuadrado y es perpendicular al plano de polarización del polarizador: no transmitirá luz. Es decir que se ha pasado gradualmente de una zona de máxima luminosidad (para retardo nulo) a una de máxima obscuridad (retardo de media longitud de onda). Progresando

δ =

5

4

π (∆ =

5

8

a

λ

lo

largo

de

la

cuña

se

llega

a

), que da como resultante una elipse alargada

según la diagonal del cuadrado, y la intensidad transmitida crece ligeramente respecto del caso anterior. Igualmente, cuando

δ =

6

4

π (∆ =

3

4

λ

) la luz vuelve a ser circularmente polarizada

-136-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

y la intensidad de luz transmitida aumenta. A medida que el retardo crezca, la intensidad final será progresivamente mayor hasta que para δ=k(2π) o ∆=kλ vuelva a aparecer una franja obscura. Si la cuña anisótropa fuera lo suficientemente grande como para que a su largo se dispusiera de varios ciclos como el que se ha descrito, el resultado de la intensidad final transmitida serían una serie de bandas claras y obscuras que pasarían del negro (franja obscura) al color de la longitud de onda utilizada en la experiencia. La interferencia se pone de manifiesto sea cual sea la posición del segundo polarizador, de modo que si estuviera a 90º de la actual posición, simplemente las bandas claras serían negras y las negras del color de la radiación incidente. En cualquier posición intermedia, las bandas oscilarían entre zonas claras y zonas ligeramente obscuras, sin llegar a extinguir completamente la onda emergente de la lámina anisótropa. Es de notar que, como la fase depende de la frecuencia y el retardo de la longitud de onda, que son distintas para distintas radiaciones, las franjas obscuras y claras ocuparán posiciones diferentes para las distintas radiaciones monocromáticas que se utilicen en esta experiencia. La Figura 9 muestra las bandas de interferencia obtenidas con luces monocromáticas azul (450nm), verde (550 nm) y roja (630 nm): nótese que ocupan posiciones diferentes en la misma lámina acuñada, y que el espacio entre bandas para longitudes de onda más largas (rojo) es mayor.

Figura 9: Imagen de una lámina anisótropa de espesor variable en forma de cuña, observada entre polarizadores con luz monocromática (450nm, 550nm y 650nm, respectivamente).

-137-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

7.4. Interferencias con luz blanca: colores de interferencia Imaginemos el mismo dispositivo del caso anterior (lámina anisótropa en forma de cuña entre polarizadores cruzados a 90º en la posición de máxima luminosidad), pero iluminando con luz blanca en lugar de monocromática. Una condición necesaria para la interferencia es que las ondas tengan la misma frecuencia, por tanto hay que considerar la luz blanca como una superposición de trenes de ondas de frecuencias diferentes, de las cuales interferirán aquellas que cumplan las condiciones adecuadas. De modo que, en general, al final no obtendremos luz blanca, sino que faltará el color cuya frecuencia que interfiera destructivamente (que diera lugar a una franja negra en la experiencia anterior). Los colores resultantes son los denominados colores de interferencia, cuya génesis se analiza continuación. De las frecuencias que forman la luz blanca se anulan las que cumplan que

δ = (2 k − 1)π [ ∆ = (2 k − 1) λ 2 ] y en cada caso pasa el color complementario; es decir, el conjunto de frecuencias que forman la luz blanca excepto la que cumple esta condición. En realidad, cada una de las frecuencias transmitidas tendrá una intensidad distinta, pero a efectos de deducir el color esta aproximación es suficiente. Consecuentemente, si la frecuencia anulada corresponde a luz verde (un retardo de 550 nm, por ejemplo) el color resultante es violeta (la suma de todos los colores del espectro excepto una franja del verde). Si se anula en amarillo (p.e. 589 nm),

-138-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

el color de interferencia es un azul, y si se anula el azul (p.e. 450 nm) se obtiene un color de interferencia anaranjado. Además, estos colores serán bastante saturados porque las frecuencias cercanas a la que se anula transmitirán con muy poca intensidad (recordar las franjas progresivas del negro al claro de la experiencia anterior). En la lámina anisótropa en forma de cuña, para diferencias de fase, o retardos, crecientes se obtendrá una sucesión de colores de interferencia que no se corresponde con los del arco iris, sino que son los respectivos complementarios (Figura 10). Y esta sucesión de colores se repite, como se repetían las bandas claras y obscuras en la experiencia con radiación monocromática.

Figura 10. La parte superior representa la serie de colores de interferencia que se producen en una cuña de un material cristalino entre polarizadores cruzados: a la izquierda aparecen los grises de primer order (retardos pequeños) y los colores se van haciendo más “pastel” a medida que los retardos són mayores. La banda de la parte inferior representa la misma cuña entre polarizadores paralelos. Los colores son los complementarios de los anteriores.

Analizando qué ocurre en la cuña desde retardo cero hasta retardos relativamente altos, se observa que se parte de una franja negra correspondiente a δ=0 (∆=0), puesto que para k=0 todas las frecuencias cumplen la condición de interferencia λ δ = ( 2 k − 1) π [ ∆ = ( 2 k − 1) 2 ] . Para retardos crecientes entre 0 y 400 nm, las radiaciones que cumplen la anterior condición están fuera del rango visible del espectro electromagnético, por lo tanto se obtiene una secuencia de grises denominada grises de primer orden.

-139-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

Las primeras longitudes de onda del visible que cumplen esta condición son las del azul (400nm), de modo que los primeros colores que se obtienen son anaranjados (complementarios del azul en la luz blanca) para pasar progresivamente a rojo (complementario del azulverde espectral), violeta (complementario del verde), verdes y azules (complementarios del naranja y rojo, respectivamente). Este conjunto de colores de interferencia constituyen los llamados colores de primer orden, porque todos ellos cumplen la expresión anterior para k=1.

La misma secuencia se repite en sucesivos órdenes de colores de interferencia siguiendo las frecuencias que van cumpliendo la expresión citada para k=1. 2. 3... etc. Sin embargo, a medida que vamos hacia órdenes superiores, los colores de interferencia son menos saturados (se vuelven colores “pastel”), hasta tal punto que para órdenes elevados (6,7...) los colores son prácticamente grises, son los denominados grises de orden superior. Analicemos qué ocurre para retardos mayores: en el caso de ∆=1080nm la condición (2 k − 1) λ 2 de extinción se cumple para 2160nm (k=1), 720nm (k=2) y 440nm (k=3); y la de trasmisión total kλ para 1080nm (k=1) y 540nm (k=2); es decir sólo una radiación visible es anulada (440nm), por lo tanto el color de interferencia resultate es de esperar que sea bastante saturado. Para un retardo tan elevado como 3780nm, la condición de extinción se cumple para las radiaciones visibles 581nm (rojo), 504nm (verde) y 444nm (azul); y la transmisión total para 630nm (rojo), 540nm (verde) y 472nm (azul). Es decir existen radiaciones azules, verdes y rojas que son totalmente transmitidas y totalmente anuladas, cosa que no ocurría en los colores de primer orden, en los que se anulaba una frecuencia del visible, pero todas las frecuencias cercanas transmitían con muy baja intensidad. En este caso hay

-140-

ÓPTICA CRISTALINA

Mario Vendrell

transmisión de frecuencias de todos los colores del espectro visible y, por tanto, el color resultate es un color más cercano al blanco (menos saturado), de ahí los llamados grises de orden superior. Como en el caso anterior, hay que recordar que estos colores aparecen con el polarizador (analizador) en una posición determinada. No obstante, un giro de 90º daría como resultado los correspondientes colores complementarios de los obtenidos en estas condiciones. Iigualmente, una posición intermedia del polarizador no anularía completamente ninguna de las radiaciones del visible y se obtendría una gama de grises o, en todo caso, colores de muy baja intensidad, dependiendo del ángulo de polarización.

-141-