Exerc´ıcios de C´alculo p. Inform´atica, 2006-07

7

1

Derivadas e Diferenciabilidade.

Ex 7-1 Para cada uma das fun¸c˜oes apresentadas determine a sua derivada formando o quociente f (x + h) − f (x) h e tomando o limite quando h tende para 0. a) c) e)

f (x) = c f (x) = 2 x3 + 1 f (x) = x3 − 4 x

b) d) f)

f (x) = 4 x + 1 f (x) = 1/(x √ + 3) f (x) = 1/ x

Ex 7-2 Usando a defini¸c˜ao de derivada calcule as derivadas das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = (c)

√

x

f (x) = x/x + 1

(b)

f (x) = x3

(d)

f (x) = x − x2

Ex 7-3 Seja a um n´ umero real fixo. Determine os limites f (a + h) − f (a) , h→0 h lim

f (x) − f (a) x→a x−a lim

e

f (x) , x→+∞ x lim

sendo a) c)

f (x) = 5x + 2 1 f (x) = x+1

b) d)

f (x) = 4x + 5x2 √ f (x) = x + 2.

Ex 7-4 Em cada uma das al´ıneas o limite dado representa a derivada de uma fun¸c˜ao f num certo ponto c. Determine f e c em cada caso. a) c)

(1 + h)2 − 1 lim h→0 √ h 4+h−2 lim h→0 h

b) d)

(−2 + h)3 + 8 lim h→0 h cos(π + h) + 1 lim h→0 h

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2

Ex 7-5 Encontre equa¸c˜oes para as rectas tangente e normal ao gr´afico de f no ponto (a, f (a)) sendo a) b)

f (x) = 5 x − x2 f (x) = 1/x2

e e

a=4 a = −2

Ex 7-6 Determine os coeficientes A, B e C de modo que a curva y = A x2 + B x + C passe pelo ponto (1, 3) e seja tangente `a recta 4 x + y = 8 no ponto (2, 0). Ex 7-7 Determine os pontos onde a tangente `a curva: a) b) c) d)

1 − x2 , 1 + x2 1 y = − cos x + cos3 x , 3 1 y = (sin x − cos x) , 2 x y = arcsin , 3 y=

´e horizontal. ´e horizontal. ´e perpendicular `a recta y −

√

2 x = 1.

´e paralela `a recta y = 13 x + 3.

Ex 7-8 Encontre um polin´omio quadr´atico P (x) tal que P (1) = 3, P 0 (1) = −2 e P 00 (1) = 4. Ex 7-9 Considere uma fun¸c˜ao com o seguinte gr´afico y 2

1

-2

-1

1 -1

2

3

4

x

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3

(a) Em que pontos f n˜ao ´e cont´ınua? Em cada caso veja se ´e uma descontinuidade remov´ıvel, uma descontinuidade por salto, ou nenhum dos casos anteriores. (b) Em que pontos f ´e cont´ınua mas n˜ao diferenci´avel? Ex 7-10 Para cada uma das fun¸c˜oes seguintes  3 x2 se x ≤ 1 a) f (x) = e c=1 3  2 x + 1 se x > 1 x+1 se x ≤ −1 b) f (x) = e c = −1 2 se x > −1  (x2 + 1) x − x se x ≤ 2 c) f (x) = e c=2 2 x − 2 se x > 2 1) Discuta a continuidade de f no ponto c. 2) Determine f− 0 (c) = lim−

f (c + h) − f (c) h

f+ 0 (c) = lim+

f (c + h) − f (c) h

h→0

e h→0

3) Diga se f ´e diferenci´avel no ponto c. Ex 7-11 Sendo a)

y = (x + 1)(x + 2)

c)

y=

Calcule dy 1. dx

x2 − 3 x 2.

d2 y dx2

3.

d dx



x−2 x+2

b)

y=

d)

y = 7 x3 − 6 x5

dy y dx



Ex 7-12 A figura seguinte representa o gr´afico de uma fun¸c˜ao f (x) e da recta tangente a esse gr´afico no ponto (x, y) = (2, 2).

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4

y

6 4 f 2 4

2

6

x

Sendo g(x) = f (x2 − x), qual o valor da derivada g 0 (2) ? Ex 7-13 A figura seguinte representa o gr´afico de uma fun¸c˜ao f (x) e da recta tangente a esse gr´afico no ponto (x, y) = (2, 2). y

4 f

2

2

4

6

x

Sendo g(x) = f (x) − [f (x)]2 , qual o valor da derivada g 0 (2) ? Ex 7-14 Sabendo que h(0) = 3 e h0 (0) = 2, determine f 0 (0) em cada al´ınea 1 a) f (x) = x h(x) b) f (x) = h(x) + h(x) Ex 7-15 Mostre que cada uma das fun¸c˜oes seguintes ´e injectiva na regi˜ao indicada e determine a derivada dx , onde x = f −1 (y), expressa em fun¸c˜ao de y. dy a)

y = f (x) = x2 + 1

x ∈]0, +∞[

b)

y = f (x) = x3 + 3 x + 2

x∈R

c)

y = f (x) = 2 − cos(3 x)

x ∈]0, π/3[

Ex 7-16 Seja f : [0, 4] → [0, 4] a fun¸c˜ao diferenci´avel seguinte.

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5

y

4 3 f 2 1 1

2

3

4

x

(a) Desenhe o gr´afico da sua inversa g = f −1 . (b) Determine a derivada de g = f −1 no ponto x = 2. Ex 7-17 Encontre os valores de c, caso existam, para os quais a tangente ao gr´afico de f (x) = x/(x + 1) no ponto (c, f (c)) seja paralela `a recta que passa pelos pontos (1, f (1)) e (3, f (3)). Ex 7-18 Considere a fun¸c˜ao f (x) = (x2 − 4) x e determine, justificando: (a) um intervalo onde a fun¸c˜ao satisfa¸ca as condi¸c˜oes do teorema de Rolle. (b) o(s) ponto(s) do referido intervalo que verificam a tese do Teorema de Rolle. Ex 7-19 Prove que f satisfaz as condi¸c˜oes do teorema de Rolle e indique no intervalo dado os n´ umeros c tais que f 0 (c) = 0. (a) f (x) = x3 − x;

[0, 1].

(b) f (x) = x4 − 2x2 − 8; (c) f (x) = sin x;

[0, 2π].

[−2, 2].

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6

Ex 7-20 Aplicando o Teorema de Rolle mostre que a equa¸c˜ao 6x4 − 7x + 1 = 0 n˜ao tem mais do que duas ra´ızes reais distintas. Ex 7-21 (a) Aplicando o Teorema de Rolle demonstre que a equa¸c˜ao x3 − 3x + b = 0 n˜ao pode ter mais do que uma solu¸c˜ao no intervalo [−1, 1] qualquer que seja o valor de b. (b) Indique para que valores de b, existe exactamente uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao em [−1, 1]. Ex 7-22 Mostre que a equa¸c˜ao 6x4 − 7x + 1 n˜ao tem mais do que duas ra´ızes reais distintas. Ex 7-23 Mostre que a equa¸c˜ao 6x5 + 13x + 1 tem exactamente ra´ız real. Ex 7-24 Prove que x2 = x sin x + cos x tem apenas duas solu¸c˜oes reais. Ex 7-25 (a) Prove que a equa¸c˜ao 4x3 + 6x = 1 n˜ao tem zeros em ] − 1, 0[. (b) Prove que a equa¸c˜ao x4 + 3x2 − x = 2 tem um u ´nico zero em ] − 1, 0[. Ex 7-26 Seja f (x) uma fun¸c˜ao diferenci´avel em R tal que f (2) = −f (4) = 1. Considere a fun¸ca˜o g(x) = x f (x) para todo x ∈ R. (a) Prove que a equa¸c˜ao g 0 (x) = 0 tem pelo menos uma raiz positiva. (b) Prove que existe x ∈]0, 2[ tal que g 0 (x) = 1. Ex 7-27 Prove que f satisfaz as condi¸c˜oes do teorema do valor m´edio e indique no intervalo dado os n´ umeros c que satisfazem a conclus˜ao do teorema. (a) f (x) = x2 ;

[1, 2].

Exerc´ıcios de C´alculo p. Inform´atica, 2006-07 √ (b) f (x) = 3 x − 4x; (c) f (x) = x3 ;

7

[1, 4].

[0, 8].

Ex 7-28 Prove que na par´abola y = Ax2 + Bx + C ,

com A 6= 0 e A, B, C ∈ R ,

a corda que une os pontos de abcissas x = a e x = b ´e paralela `a tangente no ponto de abcissa x = a+b , quaisquer que sejam a, b ∈ R. 2 Ex 7-29 Aplicando o Teorema do valor m´edio prove que: (a) | sin x − sin y| ≤ |x − y| para todo o x, y ∈ R. (b) | arctan x − arctan y| ≤ |x − y| para todo o x, y ∈ R. (c)

x−a x x−a < log < , 0 < a < x. x a a

(d) tan x > x, 0 < x < π2 . Ex 7-30 Considere a fun¸c˜ao f (x) tal que |f 0 (x)| ≤ k, para todo o x ∈ R. Prove que, |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y| para todo o x, y ∈ R.

Ex 7-31 Verifique as desigualdades, estudando o sinal da derivada de uma fun¸c˜ao adequada: a) b) c) d)

x2 ex > 1 + x + , 2 x3 x− < arctan x, 3 2 x < sin x < x, π x3 x− < sin x < x, 6

x > 0. x > 0. 0 < x < π2 . x > 0.

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8

Ex 7-32 Existe alguma fun¸c˜ao diferenci´avel f que satisfa¸ca as seguintes condi¸c˜oes, f (0) = 2, f (2) = 5 e f 0 (x) ≤ 1 no intervalo ]0, 2[? Justifique. Ex 7-33 Existe alguma fun¸c˜ao diferenci´avel f tal que: ⇐⇒

f (x) = 1 e

f 0 (x) = 0

⇐⇒

x = 0, 2, 3 x = −1, 3/4, 3/2 ?

Justifique. Ex 7-34 Seja f : [0, 6] → R uma fun¸c˜ao duas vezes diferenciavel tal que (a) f (0) = 0 e f 0 (0) = 2. (b) f (6) = 0. (c) f 00 (x) < 0, para todo x ∈ [0, 6], Justifique por que ´e v´alida cada uma das afirma¸c˜oes seguintes: a) f 0 (x) = 0, tem uma u ´nica ra´ız em [0, 6], que corresponde a um m´aximo da fun¸c˜ao f . b) f (x) < 2 x, para todo 0 < x ≤ 6. Ex 7-35 Seja f : R → R uma fun¸c˜ao duas vezes diferenciavel tal que (a) f 00 (x) > 0, para todo x ∈ R, (b) f (0) = f 0 (0) = 0 e f (1) = 2. Justifique por que ´e v´alida cada uma das afirma¸c˜oes seguintes: a) f 0 (x) > 0, para todo x > 0 b) f 0 (x) < 0, para todo x < 0 c) A equa¸c˜ao f (x) = 1 tem uma u ´nica ra´ız no intervalo [0, 1] d) f (x) > 0, para todo x 6= 0 e) f 0 (1) > 2 f) limx→±∞ f (x) = +∞

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8

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Aplica¸c˜ oes do C´ alculo Diferencial.

Ex 8-1 Encontre a taxa de varia¸c˜ao da ´area de um quadrado em fun¸c˜ao do comprimento d da sua diagonal. Qual a taxa quando d = 4? Ex 8-2 As dimens˜oes de um rectˆangulo variam de modo a sua ´area permanecer constante. Encontre a taxa de varia¸c˜ao da sua altura h em fun¸c˜ao da sua largura `. Ex 8-3 A ´area de um sector circular de raio r e ˆangulo t, medido em radianos, ´e dada pela f´ormula A = 12 r2 t. r

t

(a) Supondo que o raio r permanece constante encontre a taxa de varia¸c˜ao de A em fun¸c˜ao de t. (b) Supondo que o ˆangulo t n˜ao varia encontre a taxa de varia¸c˜ao de A em fun¸c˜ao de r. (c) Supondo que a ´area A permanece constante encontre a taxa de varia¸c˜ao de t em fun¸c˜ao de r. Ex 8-4 Est˜ao a encher um dep´osito de ´agua com a forma de uma semiesfera de raio r. Qual a taxa de varia¸c˜ao do volume com a altura do nivel da `agua quando esta ´e igual a r/2 ? 2 2 Ex 8-5 Um ponto desloca-se ao longo da circunferˆ √encia √ x + y = 4. Qual a taxa de varia¸c˜ao da ordenada com a abcissa nos pontos ( 2, 2) e (0,2)?

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Ex 8-6 Uma particula est´a a deslocar-se sobre a circunferˆencia x2 + y 2 = 25. Quando passa pelo ponto (3, 4) a ordenada est´a a diminuir `a taxa de 2 unidades por segundo. Qual a taxa de varia¸c˜ao da abcissa com o tempo? Ex 8-7 Encheram de ´agua um copo de papel de forma c´onica, cujo topo ´e um c´ırculo com 8 cm de raio e tem 12 cm de altura. Sabendo que o copo perde ´agua pelo fundo a uma taxa de 4 cm3 por minuto, a que taxa est´a a baixar o n´ıvel da ´agua no copo quando a sua altura ´e 6 cm? Ex 8-8 Um ponto desloca-se com velocidade uniforme ao longo da circunferˆencia x2 + y 2 = 25. Sabendo que demora exactamente um minuto para completar uma rota¸c˜ao, qual ´e a sua velocidade? Ex 8-9 Um objecto move-se ao longo de um eixo de coordenadas sendo a sua posi¸c˜ao no instante t ≥ 0 dada por x(t). Em cada uma das al´ıneas seguintes encontre a posi¸c˜ao, velocidade e acelera¸c˜ao no instante t0 . a) b) c) d)

x(t) = 4 + 3 t − t2 , x(t) = t3 − 6 t, 2t x(t) = , t+3 x(t) = (t2 − 3 t)(t2 + 3 t),

t0 = 5 t0 = 2 t0 = 3 t0 = 2

Ex 8-10 Objectos A, B e C movem-se na vertical ao longo do eixo dos xx. As suas posi¸c˜oes desde o instante t = 0 at´e t = t3 est˜ao representadas nos gr´aficos da figura seguinte: x C A t t1

t2

t3

B

Em cada al´ınea encontre o objecto que:

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(a) inicia o movimento mais acima. (b) termina o movimento mais acima. (c) tem maior velocidade, em valor absoluto, no instante t1 . (d) mantem o sentido do movimento durante o intervalo de tempo [t1 , t3 ]. (e) inicia o movimento subindo. (f) termina o movimento a descer. (g) inverte o sentido do movimento no instante t2 . (h) acelera durante o intervalo de tempo [0, t1 ]. (i) desacelera (trava) durante o intervalo de tempo [t1 , t2 ]. (j) inverte o sentido do movimento no intervalo de tempo [t2 , t3 ]. Ex 8-11 Um objecto move-se ao longo de um eixo vertical, eixo dos xx, sendo a sua posi¸c˜ao no instante t ≥ 0 dada por x(t). Em cada al´ınea determine o(s) intervalo(s) de tempo, se existirem, durante os quais o objecto satisfaz a condi¸c˜ao dada. a) b) c) d) e) f) g) h)

x(t) = t4 − 12 t3 + 28 t2 , x(t) = t3 − 12 t2 + 21 t, x(t) = 5 t4 − t5 , x(t) = 6 t2 − t4 , x(t) = t3 − 6 t2 + 15 t, x(t) = t3 − 6 t2 + 15 t, x(t) = t4 − 8 t3 + 16 t2 , x(t) = t4 − 8 t3 + 16 t2 ,

move-se move-se acelera. trava. move-se move-se move-se move-se

para cima. para baixo.

para para para para

baixo travando. cima travando. cima acelerando. baixo acelerando.

Ex 8-12 Uma fun¸c˜ao x = f (t) descreve o movimento de um objecto sobre o eixo dos xx, no intervalo de tempo t ∈ [0, +∞[. O gr´afico da sua derivada, f 0 (t), vem representado na figura em baixo.

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2 1

f’ 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 Classifique o sentido, e o caracter acelerado/desacelerado, do movimento em cada um dos intervalos de tempo [0, 2], [2, 4], [4, 6] e [6, 8]. Ex 8-13 Escreva a f´ormula de Taylor, para as seguintes fun¸c˜oes: a) b) c) d)

f (x) = log x, 1 g(x) = , 1−x h(x) = cos x, 2 j(x) = ex ,

potˆencias de (x − 1), resto de ordem 3. potˆencias de x, resto de ordem 1.
potˆencias de x − π4 , resto de ordem 1. potˆencias de x, resto de ordem 3.

Ex 8-14 Considere as fun¸c˜oes f (x) = arctg x2 e g(x) = ln(1 + x2 ). (a) Escreva os desenvolvimentos de Taylor de 2a ordem das fun¸c˜oes arctg y log(1 + y) em y = 0.

e

(b) Atrav´es da substitui¸c˜ao y = x2 , obtenha os desenvolvimentos de Taylor de 4a ordem das fun¸c˜oes f e g em x = 0. (c) Usando a al´ınea anterior calcule: −x2 + arctg x2 x→0 ln(1 + x2 ) lim

Ex 8-15 Utilize o desenvolvimento de Taylor para determinar: (a)

ex + e−x − 2 x→0 x2 lim

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(b)

13

√ 2 cos x − 2 √ lim x→ π4 2 sin x − 2

Ex 8-16 Considere a seguinte fun¸c˜ao f (x), que supomos ser duas vezes diferenci´avel no intervalo [−4, 4]. 4

y

2 f -4

-2

2

4

x

-2 -4

(a) Ache os desenvolvimentos de Taylor de 1a ordem de f (x) nos pontos x = −2 e x = 2. (b) Calcule os limites f (x) x→−2 x + 2 lim

e

f (x) x→2 x − 2 lim

Ex 8-17 Considere a fun¸c˜ao f (x) = aex + be−x com a, b ∈ R\{0}. (a) Mostre que: se f (x) tem um extremo local ent˜ao ab > 0. (b) Supondo ab > 0, indique justificando em que condi¸c˜oes esse extremo ´e m´aximo ou m´ınimo. Em cada um dos casos estude o sentido da concavidade do gr´afico de f (x). Ex 8-18 Encontre o maior valor poss´ıvel do produto xy com x > 0, y > 0 e x + y = 40. Ex 8-19 Encontre as dimens˜oes de um rectˆangulo com per´ımetro 24 e, ´area m´axima. Ex 8-20 Determine as coordenadas de P que tornam m´axima a ´area do rectˆangulo da figura abaixo.

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y 3

P

4

x

Ex 8-21 Num rectˆangulo de cart˜ao com dimens˜oes 8 × 15 recorte quatro quadrados iguais, um em cada canto, ( veja a figura em baixo). A pe¸ca em forma de cruz assim obtida, ´e dobrada numa caixa aberta. Quais s˜ao as dimens˜oes dos quadrados a recortar se queremos que o volume da caixa resultante seja m´aximo?

8

15 Ex 8-22 A figura mostra um cilindro circular inscrito numa esfera de raio R. Determine as dimens˜oes do cilindro de modo a que o seu volume seja m´aximo.

Ex 8-23 Qual o ponto da par´abola y = x2 mais pr´oximo do ponto (0, 1)? Ex 8-24 Pretende-se fazer uma lata com o volume de 1`. Se a lata tiver a forma de um cilindro circular quais devem ser o raio da base e a altura, de modo a que a ´area da lata seja a menor poss´ıvel? Ex 8-25 Calcule os seguintes limites.

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a) c)

ax − b x , a, b > 0 x→0 x lim

b)

1

lim x x

d)

x→+∞

x − sin x x→0 x2 log x g) lim+ 1 x→0 1 + e x   x 1 i) lim − x→1 x − 1 log x e)

lim

f) h) j)

15

x(1 − log x) x→0 log(1 − x) 1 e− x lim x→0+ x log(1 + x) − x lim x→0 x2 1 6 lim (x + 3x5 ) 3 − x(1 + x) lim+

x→+∞

1+

lim

x→+∞

e

log x x

1 x

−1

Ex 8-26 Qual o erro efectuado no c´alculo do seguinte limite, usando a Regra de Cauchy, x3 + x − 2 3x2 + 1 6x lim = lim = lim =3 x→1 x2 − 3x + 2 x→1 2x − 3 x→1 2 ( O limite inicial ´e −4). Ex 8-27 O gr´afico da fun¸c˜ao f ´e dado pela seguinte figura: y

1 f -1

x

1

(a) Determine: lim f (x), lim− f (x), lim+ f (x), lim f (x) e lim f (x).

x→−1

x→1

x→1

x→+∞

x→−∞

(b) Escreva as equa¸c˜oes das ass´ıntotas verticais, ao gr´afico de f , se as houver. (c) Escreva as equa¸c˜oes das ass´ıntotas horizontais, ao gr´afico de f , se as houver. Ex 8-28 Seja f (x) uma fun¸c˜ao diferenci´avel em R \ {1} tal que f (x) < 1 para todo x 6= 1. Sabendo que x = 1 , y = 1 e y = x + 1 s˜ao ass´ıntotas ao gr´afico de f (x), quanto valem os seguintes limites?

Exerc´ıcios de C´alculo p. Inform´atica, 2006-07 (a) (d)

lim f (x)

(b)

lim f 0 (x)

(e) lim f (x)

x→−∞

x→+∞

lim f (x)

(c)

x→+∞

16 lim f 0 (x)

x→−∞

x→1

Ex 8-29 Represente graficamente as fun¸c˜oes: (a) f (x) = (x − 1)2 (x + 2) (b) f (x) = sin x − cos x x 1 + x2

(c) f (x) =

(d) f (x) = xe−x log2 x (e) f (x) = x (f) f (x) = ex sin x 10 1 + sin2 x

(g) f (x) =

Ex 8-30 Estude as seguintes fun¸c˜oes, determinando o dom´ınio, as ass´ıntotas, m´aximos, m´ınimos, sentidos das concavidades e pontos de inflex˜ao. Represente graficamente as fun¸c˜oes. 1 a) f (x) = x3 − x + 1 b) f (x) = 2 x −1 c)

f (x) = x2 e−x

d)

f (x) = x log x

e)

f (x) = sin x + cos x

f)

f (x) = √

g)

2

h)

x2 f (x) = x+1

j)

f (x) = x2 log |x|

f (x) = x (x − 1) 

i)

f (x) = 

k)

3

arcsin

1

e− x2 0

2x 2 x +1

se x 6= 0 se x = 0 

x −1

x2

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Ex 8-31 Represente o gr´afico da fun¸c˜ao f cont´ınua que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes. Indique quando existem ass´ıntotas ao gr´afico. (a) f (3) = 0, f (0) = 4, f (−1) = 0, f (−2) = −3;

lim f (x) = −∞,

lim f (x) = +∞,

x→1−

x→1+

lim f (x) = 2,

lim f (x) = 0,

x→+∞

f 0 (x) < 0 f 0 (x) > 0 f 00 (x) < 0 f 00 (x) > 0

se se se se

x→−∞

x < −2, x > −2 e x 6= 1, x > 1 ou se x < −4, −4 < x < 1.

(b) f (0) = 0, f (3) = f (−3) = 0;

lim f (x) = −∞,

lim f (x) = −∞,

x→1

x→−1

lim f (x) = 1,

lim f (x) = 1.

x→+∞

x→−∞

f 00 (x) < 0 para todo o x 6= ±1. Ex 8-32 Considere uma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel f (x) satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes: (a) f (−3) = −1, f (0) = −2, e (b) lim f (x) = 0 e x→−∞

lim f (x) = 1,

x→+∞

(c) f 00 (x) > 0 se |x| < 3 (d) f 0 (x) < 0 se x < 0

f (3) = 0,

e e

(1) Desenhe o gr´afico de f (x).

f 00 (x) < 0 se |x| > 3 f 0 (x) > 0 se x > 0

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(2) Considere o movimento de um m´ovel descrito pela fun¸c˜ao f (x). Em cada intervalo de tempo ] − ∞, −3], [−3, 0], [0, 3] e [3, +∞[, classifique esse movimento como sendo acelerado ou desacelerado. Ex 8-33 Considere a seguinte fun¸c˜ao: y

f 1 -1

0

x

1

Complete a tabela com a varia¸c˜ao dos sinais da primeira e segunda derivada da fun¸c˜ao f (x). Os dez campos devem ser preenchidos com os seguintes sinais: ” − ∞”, ” − ”, ”0”, ” + ” e ” + ∞”. Cada entrada representa o sinal, ou limite, da fun¸c˜ao f (x) no ponto, ou intervalo, respectivo. x f (x) f 00 (x) 0

−∞ −1 0

−

−1 − 0

−

0 +

+

1 +∞ ±∞

+

+∞ 0

Ex 8-34 Seja f (x) uma fun¸c˜ao diferenci´avel no intervalo [0, 8], decrescente no intervalo [2, 6] e crescente nos intervalos [1, 2] e [6, 8]. A concavidade da fun¸c˜ao est´a virada para baixo no intervalo [0, 4], virada para cima em [4, 8]. Fa¸ca o esbo¸co do gr´afico da sua derivada, f 0 (x), no intervalo [0, 8]. Ex 8-35 Aplique o m´etodo de Newton para encontrar a terceira aproxima¸c˜ao, x2 , da ra´ız de cada uma das equa¸c˜oes em baixo, partindo da aproxima¸c˜ao inicial x0 . (a) (b) (c) (d)

x3 + x + 1 = 0 , x3 − x2 − 1 = 0 , x4 − 20 , x7 − 100 = 0 ,

x0 x0 x0 x0

= −1 =1 =2 =2

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Ex 8-36 Para cada aproxima¸c˜ao inicial, determine gr´aficamente o que acontece se o m´etodo de Newton fˆor aplicado `a fun¸c˜ao a seguir desenhada. (a) x0 = −2 (d) x0 = 3

(b) x0 = 0 (e) x0 = 5

(c) x0 = 1

5 3 1 -4

1

-2

-3 -5

3

5