7º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA 7º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA México D.F., 12 al 14 de Octubre de 2005 ESTUDIO TÉRMICO DE CAVIDADES ALAGADAS INCLINADAS DE 15º A 35º Alvarado R. 1, Xamán J.2 y Álvarez G.1 1

Departamento de Ingeniería Mecánica-Térmica, Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet), Prol. Av. Palmira s/n. Col. Palmira. Cuernavaca, Morelos, C.P. 62490, México. Tel. y Fax (777) 3-12-76-13, E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] 2

División de Termometría; Laboratorio de Propiedades Termofisicas Centro Nacional de Metrología (CENAM) Km. 4.5 carretera a los Cués, el Marqués, Querétaro, México. Tel. (442) 2110500, Fax 2110548, E-mail: [email protected]

RESUMEN Se presenta el estudio numérico de la transferencia de calor en una cavidad alargada e inclinada calentada diferencialmente desde la parte inferior. Se consideró a la cavidad alargada en dos dimensiones conteniendo en el interior aire. Se consideró que la placa absorbente y la cubierta de vidrio fueran superficies isotérmicas a una temperatura caliente y fría respectivamente, mientras las paredes laterales fueran adiabáticas. Los ángulos de inclinación estudiados varían entre 15° y 35°. Las razones de aspecto consideradas fueron de 8 y 12, en un intervalo de números de Rayleigh de 105 a 106. Las ecuaciones de conservación de masa, momentum y energía fueron resueltas numéricamente mediante la metodología de volúmenes finitos usando el algoritmo SIMPLEC. El modelo numérico fue verificado con resultados de la literatura encontrándose concordancia entre estos. Los resultados mostrados incluyen las distribuciones de las isotermas, isolíneas de corriente y la variación del número de Nusselt con respecto al ángulo para las dos razones de aspecto consideradas. Los resultados indican que la transferencia de calor se incrementa al aumentar el ángulo de inclinación, excepto para el caso de A=8, Ra=105 y λ=35° donde ocurre una transición en el patrón de flujo, así también, la transferencia de calor se reduce con la razón de aspecto para un número de Rayleigh fijo. Se obtuvieron correlaciones para determinar el número de Nusselt en función del ángulo de inclinación y del número de Rayleigh. Este estudio proporciona correlaciones que podrían ayudar en el diseño de captadores solares planos.

PALABRAS CLAVE: Convección natural, cavidades inclinadas, cavidades alargadas.

INTRODUCCIÓN El problema de convección natural en cavidades ha recibido especial atención debido a la importancia que tiene en muchas aplicaciones prácticas, tales como el diseño de colectores solares, el enfriamiento de dispositivos electrónicos, transferencia de calor en ventanas con doble vidrio, y muchos otros procesos tecnológicos. Durante varias décadas se han presentado estudios numéricos y experimentales describiendo el fenómeno de la convección natural en cavidades. Se ha visto que los procesos de transferencia de calor cambian significativamente conforme se varía el ángulo de inclinación. La razón de aspecto de la cavidad también juega un papel importante en este proceso. De acuerdo con Samuels y Churchill [1], la primera referencia que se tiene de la existencia de la convección natural entre dos placas horizontales es reportado por Thomson en 1882 [2]. Posteriormente, Soong et al. [3] reportaron que el primer estudio que se tiene de una cavidad inclinada fue el trabajo experimental de Dropkin y Somercales [4]. Hollands y Konicek [5] realizaron un experimento donde determinaron el ángulo de transición del patrón de flujo dentro de la cavidad. En 1976, Arnold et al. [6] demostraron éste fenómeno. Estudios de cavidades inclinadas con razones de aspecto de 8 y 10 en intervalos de números de Rayleigh de 103 y 104 fueron realizados por Xamán et al. [7,8]. Los anteriores estudios proporcionan información importante de los patrones de flujo dentro de la cavidad. Con base en los resultados obtenidos por los autores, concluyen que la transición de los patrones de flujo puede ocurrir debido al ángulo de inclinación y cambios en el número de Rayleigh. El objetivo del presente trabajo es estudiar el fenómeno de transferencia de calor por convección natural en el interior de un captador solar entre la placa absorbente de energía y la cubierta de vidrio, modelando a esta región como una cavidad rectangular con diferentes ángulos de inclinación. La cavidad alargada se considera con diferentes inclinaciones debido a que los captadores solares deben inclinarse para lograr mayor captación de energía solar según la latitud del lugar. FORMULACIÓN MATEMÁTICA Se considera una cavidad rectangular de longitud L y altura H como se muestra en la Figura 1. Las dos paredes verticales se encuentran aisladas, el fluido contenido en el interior de la cavidad es aire, el cual es calentado desde la superficie inferior y enfriado en la parte superior manteniendo las temperaturas Th y Tc de estas superficies constantes. El fluido se considera que tiene propiedades constantes tomadas a la temperatura media de referencia (T0=330 K) y se usa la aproximación de Boussinesq en los términos de fuerza de flotación. Los ángulos de inclinación estudiados se encuentran en un intervalo de 15° a 35°, que corresponden a las latitudes de la Republica Mexicana. Las razones de aspecto consideradas fueron de 8 y 12, en un intervalo de números de Rayleigh de 105 a 106. g Y

∂T =0 ∂x

T=Tc H ∂T =0 ∂x

0

λ

T=Th

L

X

Figura 1. Modelo físico de la cavidad. Ecuaciones gobernantes Cuando la aproximación de Boussinesq es adoptada, las ecuaciones que gobiernan el flujo convectivo natural en dos dimensiones y con flujo laminar en estado permanente en una cavidad alargada e inclinada, son las ecuaciones de conservación de masa, momentum y energía. ∂ (ρ u ) ∂ (ρ v ) + =0 ∂x ∂y

(1)

∂P ∂ ∂ (ρ u • u ) ∂ (ρ v • u ) (τ xx ) + ∂ (τ xy ) + ρ g β (T − T0 )Sin λ + =− + ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y

(2)

∂P ∂ ∂ (ρ u • v ) ∂ (ρ v • v ) (τ yx ) + ∂ (τ yy ) + ρ g β (T − T0 )Cos λ + =− + ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂ (ρ C p u • T ) ∂x

+

∂ (ρ C p v • T ) ∂y

=

(3) (4)

∂  ∂T  ∂  ∂T  k + k  ∂ x  ∂ x  ∂ y  ∂ y 

Los esfuerzos normales y cortantes están dador por: ∂u  ∂u ∂u  +  = 2µ ∂x  ∂x ∂x 

(5)

 ∂v ∂v  ∂v +  = 2 µ ∂y  ∂y ∂y 

(6)

 ∂u

(7)

τ xx = µ 

τ yy = µ 

∂v 

τ xy = τ yx = µ  +   ∂y ∂x 

Condiciones de contorno Las condiciones de contorno para las velocidades son de no-deslizamiento en las paredes (u = v = 0), las paredes horizontales se encuentran a una temperatura dada (T = Th en y = 0, T = Tc en y = H, con Tc < Th); condiciones de paredes adiabáticas están dadas en las paredes laterales ( ∂T / ∂x = 0 en x=0 y en x=L). La transferencia de calor convectiva total desde de la pared caliente se define por el número de Nusselt como: Nu conv =

(8)

q conv q cond

PROCEDIMIENTO NUMÉRICO El conjunto de ecuaciones (1)-(4) junto con sus respectivas condiciones de contorno, fue resuelto con la metodología de volúmenes finitos propuesto por Patankar [9]. El acoplamiento de las ecuaciones gobernantes se realizó con el algoritmo SIMPLEC propuesto por Van Doormaal y Raithby [10]. Se utilizó una malla de 176x41 no uniforme concentrada en las paredes. Para lograr soluciones suficientemente aceptables, los criterios de convergencia utilizados fueron de 1x10-10 para los residuales de todas las variables. La verificación del código fue hecho con los resultados reportados por Soong et al. [3] para una razón de aspecto de 4, un ángulo de inclinación de 0° (cavidad horizontal) y un número de Rayleigh de 104, la comparación cuantitativa se muestra en la Tabla 1. En la Tabla se aprecia que los resultados obtenidos para los números de Nusselt promedio en la pared caliente (Nucaliente) y en la pared fría (Nufrío) concuerdan con los del autor en 0.10% para ambos casos. La Figura 2 muestra las líneas de corriente, isotermas y campo vectorial de velocidad. Tabla 1: Comparación de los resultados obtenidos con los de Soong et al. (1996) Nusselt promedio Nucaliente Nufrío

Soong et al. [3] 2.52234 2.52243

Presente Estudio 2.51995 2.51995

Dif. % 0.10 0.10

Figura 2: Líneas de corriente, isotermas y campo vectorial de velocidad.

RESULTADOS Los resultados obtenidos para A=8 y A=12 en el intervalo de 105≤ Ra ≤106 son presentados en forma gráfica y en forma tabular. Para cada caso, se presentan 5 gráficos de isolíneas de corriente y de isotermas con incrementos del ángulo de inclinación de 15°-35° en intervalos de 5°. Este grupo de gráficos muestra el efecto del ángulo de inclinación en la convección natural dentro de la cavidad alargada. En la Figura 3 se muestran los resultados obtenidos para Ra=105 y A=8, de estos, se puede observar un movimiento multicelular de 5 celdas, 3 celdas girando en sentido contrario a las manecillas del reloj (líneas continuas) y las 2 restantes en sentido horario (líneas punteadas). Este movimiento se mantiene hasta λ≈30°. En λ=35° se presenta un movimiento unicelular. Las isotermas muestran un régimen altamente convectivo y conforme se incrementa el ángulo de inclinación se presenta un incremento en la transferencia de calor, el cual se mantiene hasta la transición en el patrón de flujo (λ≈35°).

λ=15°

λ=15°

λ=20°

λ=20°

λ=25°

λ=25°

λ=30°

λ=30°

λ=35°

λ=35°

Figura 3: Isolíneas de corriente e isotermas para Ra=105 y A=8. Al incrementar la razón de aspecto a 12 (Figura 4), se puede observar un movimiento unicelular en el intervalo de ángulos de inclinación considerados. Este movimiento se debe a que las fuerzas de flotación que originan el movimiento multicelular no son lo suficientemente fuertes. Las isotermas muestran un incremento en la transferencia de calor con el incremento del ángulo de inclinación.

λ=15°

λ=15°

λ=20°

λ=20°

λ=25°

λ=25°

λ=30°

λ=30°

λ=35°

λ=35° 5

Figura 4: Isolíneas de corriente e isotermas para Ra=10 y A=12. En la Figura 5 se presentan los resultados obtenidos para Ra=106 y A=8, se puede observar que en el intervalo de 15° a 30° se presenta un movimiento unicelular con dos subceldas internas girando en el mismo sentido que la celda principal. Para λ=35° se pueden observan 3 subceldas internas girando en el mismo sentido que la celda principal. El efecto convectivo puede apreciarse en la región de las subceldas internas. En las isotermas puede observarse un incremento de la transferencia de calor con el incremento del ángulo de inclinación.

λ=15°

λ=15°

λ=20°

λ=20°

λ=25°

λ=25°

λ=30°

λ=30°

λ=35°

λ=35°

Figura 5: Isolíneas de corriente e isotermas para Ra=106 y A=8. Al incrementar la razón de aspecto a 12 (Figura 6), se puede observar un movimiento unicelular en el intervalo de 15° a 25°. Para λ=30° y λ=35° se puede apreciar tres subceldas girando en el mismo sentido que la celda principal. Similar a los otros casos, se tiene que al incrementar el ángulo de inclinación se incrementa la transferencia de calor. Los gradientes de temperatura y velocidad son severos en la región de capa límite, los cuales se encuentran en las regiones adyacentes a las paredes térmicamente activas.

λ=15°

λ=15°

λ=20°

λ=20°

λ=25°

λ=25°

λ=30°

λ=30°

λ=35°

λ=35° 6

Figura 6: Isolíneas de corriente e isotermas para Ra=10 y A=12. La Tabla 2 muestra los números de Nusselt promedios obtenidos en la pared caliente para la cavidad alargada con número de Rayleigh de Ra=105. Similarmente, la Tabla 3 muestra los números de Nusselt promedios para la cavidad alargada con número de Rayleigh de Ra=106. De estas tablas, se puede observar que conforme se incrementa la razón de aspecto de 8 a 12, el número de Nusselt decrece para un Rayleigh fijo a razón de 34% y 10% en promedio para Ra=105 y Ra=106 respectivamente. Sin embargo, al incrementar el ángulo de inclinación, la transferencia de calor aumenta, excepto para el caso de A=8, Ra=105 y λ=35°. En este caso se puede observar una disminución del 26% respecto a λ=30° debido a la transición en el patrón de flujo. De igual forma, se observa que para un ángulo fijo y razón de aspecto específica, la transferencia de calor se incrementa al incrementar el número de Rayleigh en promedio 26% y 76% para A=8 y A=12 respectivamente. Realizando aproximaciones por mínimos cuadrados, se obtuvieron las siguientes correlaciones del número de Nusselt para cada razón de aspecto en función del número de Rayleigh y del ángulo de inclinación. El valor entre paréntesis presenta la diferencia porcentual máxima obtenida con respecto a los valores numéricos. A=8

Nu = 1.2248 (Ra * Cosλ) 0.1044

(8.54%)

(9)

A=12

Nu = 0.1672 (Ra * Cosλ) 0.2417

(11.43%)

(10)

Una diferencia porcentual máxima de 26.15% es obtenida usando la correlación (9) para el caso de A=8, Ra=105 y λ=35° debido a la transición en el patrón de flujo. Debido a esto, se propone la siguiente correlación para este caso en particular. Nu = (Ra * Cosλ) 0.1018

(11)

Tabla 2: Números de Nusselt promedio para Ra=105 Inclinación 15° 20° 25° 30° 35°

A=8 4.2656 4.2835 4.2959 4.2970 3.1635

A=12 2.4042 2.5385 2.6476 2.7372 2.8104

Tabla 3: Números de Nusselt promedio para Ra=106 Inclinación 15° 20° 25° 30° 35°

A=8 4.7573 4.9719 5.1526 5.3055 5.4415

A=12 4.2593 4.4662 4.6389 4.7875 4.9144

CONCLUSIONES Se resolvió numéricamente las ecuaciones de conservación de masa, momentum y energía para analizar el fenómeno de la convección natural en cavidades alargadas inclinadas en dos dimensiones. El código numérico fue verificado satisfactoriamente con los resultados reportados en la literatura. El código numérico desarrollado permite estudiar diferentes relaciones geométricas de la cavidad en un amplio intervalo de ángulos de inclinación, aunque solo se reportaron los casos de razones de aspecto de 4, 8 y 12 e intervalo de ángulos de inclinación de 15° a 35°. De los resultados mostrados se puede concluir que el incremento en la razón de aspecto y/o en el número de Rayleigh debilita las fuerzas de flotación originando que el movimiento multicelular no se presente. La transferencia de calor se incrementa con el ángulo de inclinación, y ésta se reduce con el incremento de la razón de aspecto para un valor de Rayleigh fijo. Se obtuvieron correlaciones para determinar el número de Nusselt convectivo en función del número de Rayleigh y del ángulo de inclinación. REFERENCIAS 1. 2. 3. 4. 5.

M. R. Samuels and E. W. Churchill, Stability of a Fluid in a Rectangular Region Heated from Below, A. I. Ch. E. Atlantic City Meeting, 1966. J. J. Thomson, Proc. Glasgow Phil. Soc., vol. 13, p. 464, 1982. C. Y. Soong et al., Numerical Study on Mode-Transition of Natural Convection in Differentially Heated Inclined Enclosures, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 39, pp.2869-2882, 1996. D. Dropkin and E. Somercales, Heat Transfer by Natural Convection in Liquids Confined by Two Parallel Plates which are Inclined at Various Angles with Respect to the Horizontal, ASME J. Heat Transfer, vol. 87, pp.77-84, 1965. K. G. T. Hollands and L. Konicek, Experimental Study of the Stability of Differentially Heated Inclined Air Layers, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 16, pp.1467-1476, 1973.

6.

J. N. Arnold et al., Experimental Investigation of Natural Convection in Inclined Rectangular Regions of Differing Aspect Ratios ASME J. Heat Transfer, vol. 98, pp.67-71, 1976. 7. J. Xamán et al., Numerical Study of Tilted Slender Cavities, World Renewable Energy Congress-VII, Alemania 2002a. 8. J. Xamán et al., Transferencia de Calor en Cavidades Alargadas, IX Congreso Latinoamericano de Transferencia de Calor y Materia (LATCYM), vol. 1, pp. 135-139, San Juan Puerto Rico, 2002b. 9. S. V. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Taylor and Francis, 1980. 10. J. P. Van Doormaal and G. D. Raithby, Enhancement of the SIMPLE Method for Predicting Incompressible Fluid Flows, Numerical Heat Transfer, vol. 7, pp. 147-163, 1984. NOMENCLATURA Latinas A CP g H L Nu Nucaliente Nu conv Nufrío P Ra T T0 Tc Th u v x y

razón de aspecto, A=L/H, (adimensional) calor específico a presión constante (J / kg K) aceleración de la gravedad (m/s2) altura de la cavidad (m) longitud de la cavidad (m) número de Nusselt (adimensional) número de Nusselt en la pared caliente (adimensional) número de Nusselt medio convectivo (adimensional) número de Nusselt en la pared fría (adimensional) presión (Pa) número de Rayleigh, Ra=gβ∆TH3/να, (adimensional) temperatura (K) temperatura media de referencia, T0 =(Th+Tc)/2, (K) temperatura en la pared fría (K) temperatura en la pared caliente (K) velocidad en la dirección x (m/s) velocidad en la dirección y (m/s) coordenada x (m) coordenada y (m)

Griegas β

coeficiente de expansión térmica (1/K)

∆T λ µ ρ τxx τyy τxy, τxy

incremento de temperatura (K) ángulo de inclinación de la cavidad (°) viscosidad dinámica (kg/ms) densidad (kg/m3) esfuerzos normales en la dirección x (Pa) esfuerzos normales en la dirección y (Pa) esfuerzos cortantes en la dirección xy (Pa)

Referencia del Artículo Alvarado R., Xamán J., y Álvarez G., “Estudio térmico de cavidades alargadas inclinadas de 15° a 35°”, 7° Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica (CIBIM7), D. F., México (Octubre 2005). ISBN 970-36-0294-0 (Resumen pág. 273) ISBN 970-36-0295-9 (Extenso)