7. Cambio de variables en integrales triples

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 2. Integrales múltiples. 7. Cambio de variab...
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GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 2. Integrales múltiples.

7. Cambio de variables en integrales triples. El teorema del cambio de variables para integrales triples es análogo al de integrales dobles. El resultado correspondiente es TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES TRIPLES). Sea Φ : (u , v, w) ∈ U ⊆ \ 3 → Φ (u , v, w) ∈ \ 3 una función inyectiva, con derivadas parciales continuas en U tal que det DΦ (u, v, w) ≠ 0, para todo (u, v, w) ∈ U . Sea f : ( x, y, z ) ∈ Φ (U ) ⊆ \ 3 → f ( x, y, z ) ∈ \ una función continua. Entonces

∫∫

Φ (U )

f ( x, y, z ) dxdydz =

∫∫

f ( Φ (u, v, w) ) ⋅ det DΦ (u, v, w) dudvdw.

U

La conclusión de este teorema también es válida si det DΦ (u , v, w) se anula sólo en los puntos de una superficie S ⊂ U .

OBSERVACIÓN. 1) Recuerda que decimos que ( x, y, z ) = Φ (u , v, w) es un cambio de variables y de∂ ( x, y , z ) := det DΦ (u, v, w) al determinante jacobiano de dicho cambio de variables. notamos por ∂ (u, v, w) La igualdad del teorema anterior se conoce como fórmula del cambio de variables para integrales triples. 2) En el caso particular que f ( x, y, z ) = 1 obtenemos volumen ( Φ (U ) ) :=

∫∫

Φ (U )

1⋅ dxdydz =

∫∫

U

∂ ( x, y , z ) dudvdw. ∂ (u , v, w)

Esto indica que el determinante jacobiano actúa como factor de dilatación o de compresión del área al pasar de U a Φ (U ) mediante el cambio de variables ( x, y, z ) = Φ (u , v, w). 3) Como en el caso de integrales dobles, el teorema del cambio de variable para integrales triples permiten, en general, simplificar la función integrando o, lo que en otros casos es más importante: el recinto de integración. Ejemplos habituales de cambios de variables. Vamos a describir los cambios de variables más importantes en \ 3 indicando a qué tipo de recintos de integración están asociados. ⎡x ⎤ ⎡u ⎤ ⎢ ⎥ (1) Cambios lineales. Dada una matriz invertible A de orden 3, el cambio de variables ⎢ y ⎥ = A ⎢⎢v ⎥⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ w⎥⎦ tiene determinante jacobiano igual a det( A). Los cambios lineales de variables son apropiados para pasar de integrar en un recinto limitado por seis planos paralelos dos a dos a integrar en un recinto limitado por planos paralelos a los planos coordenados.

EJEMPLO. Consideremos el sólido V = {( x, y, z ) ∈ \ 3 :1 ≤ x + y + z ≤ 2, 0 ≤ x + y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 1} . Va-

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mos a calcular la integral

⎧ u = x + y + z, ⎪ ( x + y + z )dxdydz. Consideramos el cambio ⎨ v = x + y, En las V ⎪ w = x. ⎩

∫∫∫

nuevas coordenadas (u, v, w), el sólido V se transforma en el prisma U := [1, 2] × [ 0, 2] × [ 0,1]. En la notación del teorema tenemos que V = Φ (U ), ∂ ( x, y , z ) 1 1 = = se tiene que ∂ (u, v, w) ∂ (u, v, w) ⎡1 1 ∂ ( x, y, z ) det ⎢1 1 ⎢ ⎢⎣1 0

donde hemos puesto Φ (u, v, w) = ( x, y, z ). Además, 1⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥⎦

= −1. De esta forma, la integral queda

∫∫∫ ( x + y + z)dxdydz = ∫∫∫

[1,2]×[0,2]×[0,1]

V

ududvdw = 3.

(2) Coordenadas cilíndricas. Recordemos que este cambio consiste simplemente en hacer el cambio a coordenadas polares en el plano OXY y mantener la variable z como variable independiente, es decir, x = r cos θ , y = r sen θ , y z = z , donde r ≥ 0, θ ∈ [ 0, 2π ] y z ∈\. Su determinante jacobiano es igual a r y es útil para integrar en sólidos que presentan simetría axial. EJEMPLO. Vamos a hallar el volumen del sólido V que está acotado por el paraboloide de ecuación z = 2( x 2 + y 2 ) y el plano z = 4, es decir, V = {( x, y, z ) ∈ \ 3 : 2( x 2 + y 2 ) ≤ z ≤ 4} . En coordenadas cilíndricas, las dos desigualdades que aparecen en la anterior descripción de V se transforman en 2r 2 = 2( x 2 + y 2 ) ≤ z ≤ 4. La descripción del sólido en coordenadas cilíndricas es: 0 ≤ r , 0 ≤ θ ≤ 2π y 2r 2 = 2( x 2 + y 2 ) ≤ z ≤ 4. En este caso tenemos que V = Φ (U ), donde Φ(r ,θ , z ) = ( x, y, z ) y

{

}

U := (r ,θ , z ) : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π , 2r 2 ≤ z ≤ 4 .

Por consiguiente, el volumen es volumen(V ) =

∫∫∫

V

=





0

dxdydz =



⎡ ⎢ ⎣

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎤ rdz ⎥ dr ⎥ dθ = 2r2 ⎦ ⎦

∫ ∫ ∫ 0

2

0

4



⎡ ⎢ ⎣

∫ ∫ 0

0

2

⎤ (4 − 2r 2 )rdr ⎥ dθ ⎦

2

⎛ 2 1 4⎤ ⎜ 2r − r ⎥ dθ = 4π . 2 ⎦0 ⎝

EJEMPLO. Vamos a hallar el volumen del sólido situado en el primer octante que está limitado por el cilindro de ecuación x 2 + y 2 = 2 y, el cono

x 2 + y 2 = z y el plano OXY . Concretamente, el sólido

es V = ( x, y, z ) ∈ \ 3 : x ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 2 y,

x 2 + y 2 ≥ z ≥ 0 . En coordenadas cilíndricas las tres de-

{

}

sigualdades que aparecen en la descripción anterior de V son: en primer lugar x ≥ 0 si, y sólo si, ⎡ π π⎤ θ ∈ ⎢ − , ⎥ ; en segundo x 2 + y 2 ≤ 2 y si, y sólo si, r ≤ 2sen θ (observemos que, en particular, es⎣ 2 2⎦

to implica que 0 ≤ θ ≤

π

2

) y, por último,

x 2 + y 2 ≥ z si, y sólo si, r ≥ z. De esta forma, en coor-

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⎧ ⎫ ⎡ π⎤ denadas cilíndricas, el sólido V es U := ⎨(r ,θ , z ) ∈ \ 3 : θ ∈ ⎢0, ⎥ , 0 ≤ r ≤ 2sen θ , 0 ≤ z ≤ r ⎬ , es ⎣ 2⎦ ⎩ ⎭ decir, V = Φ (U ), donde Φ denota el cambio a coordenadas cilíndricas. En la práctica no se suele detallar tanto la relación entre U y Φ (U ) y se pasa automáticamente de unas coordenadas a otras. El volumen que queremos calcular, tras aplicar el teorema del cambio de variables y el teorema de Fubini, es π

volumen(V ) =

⎡ ⎢ ⎣

∫ ∫ 2

0

8 = 3



⎡ ⎢ ⎣

0



r

0

⎤ ⎤ rdz ⎥ dr ⎥ dθ = ⎦ ⎦

π

⎡ ⎢ ⎣

∫ ∫ 2

0

2sen θ

8 ⎤ r dr ⎥ dθ = 3 ⎦ 2

0



π 2

sen 3 θ dθ

0

π

π 2

0

2sen θ

8⎛ 1 ⎤ 2 16 (1 − cos θ ) sen θ dθ = ⎜ − cos θ + cos3 θ ⎥ = . 3⎝ 3 9 ⎦0 2

(3) Coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas de un punto P = ( x, y, z ) ∈ \ 3 son los tres valores ( ρ , ϕ ,θ ) definidos por las relaciones x = ρ cos ϕ sen θ , y = ρ sen ϕ sen θ y z = ρ cos θ , donde ρ ≥ 0, ϕ ∈ [ 0, 2π ] y θ ∈ [ 0, π ] . Su determinante jacobiano es igual a − ρ 2 sen θ y resulta apropiado cuando integramos en conjuntos que tienen simetría esférica. EJEMPLO. Sea B la bola de radio R y centro (0, 0, 0) en \ 3 . Vamos a hallar su volumen; es decir, volumen( B) =

∫∫∫ dxdydz. Haremos un cambio de variables a coordenadas esféricas. El conjunto B

B = {( x, y, z ) ∈ \ : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 } , en coordenadas polares, se describe por 0 ≤ ρ ≤ R. Sobre 3

las otras dos variables no tenemos nuevas restricciones. Por tanto, ϕ ∈ [ 0, 2π ] y θ ∈ [ 0, π ] . Podemos ya aplicar el teorema del cambio de variables:

∫∫∫

dxdydz =

π



⎡ ⎢ ⎣

∫ ∫ ∫ 0

V

⎡ ⎢ ⎣

0

R

0









R3 3

ρ 2 sen θ d ρ ⎥ dϕ ⎥ dθ =

π

⎡ ⎢ ⎣

∫ ∫ 0



0

4π R 3 ⎤ sen θ dϕ ⎥ dθ = . 3 ⎦

EJEMPLO. Vamos a hallar el volumen del sólido V acotado por abajo por la hoja superior del cono x 2 + y 2 = z 2 y, por arriba, por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9. En coordenadas esféricas las dos desigualdades que aparecen en la descripción anterior de V son x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9, que equivale a ρ ≤ 3 y también

x 2 + y 2 ≤ z , que es equivalente a sen θ ≤ cos θ . Puesto que θ ∈ [ 0, π ] , obtenemos que

⎡ π⎤ sen θ = sen θ y sen θ ≤ cos θ se verifica si, y sólo si, θ ∈ ⎢0, ⎥ . De esta forma, el volumen, tras ⎣ 4⎦ aplicar el teorema del cambio de variables, es volumen(V ) =



⎡ ⎢ ⎢⎣

π

⎡ ⎢ ⎣

∫ ∫ ∫ 0

4

0

3

0

⎤ ⎤ ρ sen θ d ρ ⎥ dθ ⎥ dϕ = 9 ⎦ ⎥⎦ 2

EJEMPLO. Calcula, pasando a coordenadas esféricas,



⎡ ⎢ ⎢⎣

∫ ∫ 0

∫∫∫ x V

2

π

0

4

⎤ sen θ dθ ⎥ dϕ = 9π 2 − 2 . ⎥⎦

(

)

xyz dxdydz , siendo V el recinto + y2 + z2

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V = {( x, y, z ) ∈ \ 3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4} . La restricción x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 equivale en

⎡ π⎤ coordenadas esféricas a ρ ≤ 2. Además, puesto que z ≥ 0 y θ ∈ [ 0, π ] obtenemos que θ ∈ ⎢0, ⎥ . ⎣ 2⎦ ⎡ π⎤ Por otro lado, x ≥ 0 e y ≥ 0, junto con que θ ∈ ⎢ 0, ⎥ , implican que cos ϕ ≥ 0 y sen ϕ ≥ 0. Por ⎣ 2⎦ ⎡ π⎤ tanto, ϕ ∈ ⎢0, ⎥ . Podemos ya hacer el cambio a coordenadas esféricas: ⎣ 2⎦

∫∫∫

V

xyz dxdydz = 2 x + y2 + z2

=

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

π

⎡ ⎢ ⎢⎣

π

∫ ∫ ∫ 2

0

2

0

2



0

∫ ρ dρ∫ 2

π 2

3

0

⎤ ⎤ ρ 3 cos ϕ sen 2 θ sen ϕ cos θ 2 ⎥ dϕ ⎥ d ρ d sen ρ θ θ ρ2 ⎥ ⎥ cos ϕ sen ϕ dϕ

0



π

0

2



1 sen 3θ cos θ dθ = . 2

⎡ 4 ⎡ 2y +1 ⎛ 2 x − y z ⎞ ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ EJERCICIO 1. Calcula la integral triple + ⎟ dx ⎥ dy ⎥ dz con un cambio de va⎜ y 2 3⎠ ⎥ ⎥ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎝ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ 2 riables lineal adecuado. Dibuja el recinto de integración.

∫ ∫ ∫ 3

⎡ EJERCICIO 2. Calcula la integral triple ⎢ −1 ⎢ ⎣ cilíndricas. Dibuja el recinto de integración.

∫ ∫ 1

0

1− y 2

⎡ ⎢ ⎣



x

0

⎤ ⎤ ( x 2 + y 2 )dz ⎥ dx ⎥ dy cambiando a coordenadas ⎦ ⎦⎥

EJERCICIO 3. Halla el volumen del sólido V formado por los puntos ( x, y, z ) ∈ \ 3 que verifican las desigualdades x 2 + y 2 ≤ 2 y y x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4. EJERCICIO 4. Calcula el volumen del sólido V limitado por la superficie de ecuación en coordenadas esféricas ρ = 6 + 3cos(3ϕ ) sen(5θ ) que mostramos a continuación. Eje OZ

Eje OY

Eje OX

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EJERCICIO 5. Calcula el volumen de la pirámide formada por los planos coordenados y el plano 3x + y + 2 z = 4. EJERCICIO 6. Calcula el volumen del sólido limitado por los paraboloides x 2 + 2 y 2 − z = 0 y 2 x 2 + y 2 + z = 12. EJERCICIO 7. Calcula

∫∫∫ ( x

2

+ y 2 + z 2 )3/ 2 dxdydz , siendo V el sólido acotado por el cono

V

x + y = z y el plano z = 2. 2

2

2

EJERCICIO 8. Considera el conjunto U := {( x, y, z ) ∈ \ 3 : x 2 + z 2 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, z ≥ 0} . Escribe la in-

tegral triple

∫∫∫ dxdydz como tres integrales reiteradas sin calcularla. Calcula dicha integral triple U

mediante un cambio adecuado a coordenadas cilíndricas. EJERCICIO 9. Considera el conjunto U := {( x, y, z ) ∈ \ 3 :1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ xy ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1} . Calcula la

integral triple

∫∫∫ ( x y + 3xyz)dxdydz con un cambio de variables adecuado. 2

U

EJERCICIO 10. Calcula la integral

∫∫∫

U

⎧ ⎫ x2 y2 z 2 xyz dxdydz , donde U := ⎨( x, y, z ) ∈ \ 3 : 2 + 2 + 2 ≤ 1⎬ , a b c ⎩ ⎭

con a > 0, b > 0 y c > 0.

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