A 50
Mathematik – 6 Differential- und Integralrechnung
A
Bild 19. Parallelverschiebung Bild 20. Drehung
A1 A2 þ B1 B2 þ C1 C2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos j ¼ n01 n02 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A21 þ B21 þ C12 A22 þ B22 þ C22 5.2.6 Koordinatentransformationen Parallelverschiebung (Bild 19). Sie ist gekennzeichnet durch einen Verschiebungsvektor u, durch den das Koordinatensystem ðO; e1 ; e2 ; e3 Þ in das Koordinatensystem ðO0 ; e1 ; e2 ; e3 Þ bergefhrt wird. Fr einen Punkt P des Raums gilt dann ! ! !0 ! OP ¼ OO þ O0 P mit dem Verschiebungsvektor u ¼ OO0 . ! !0 ! Fr OP ¼ xe1 þ ye2 þ ze3 ; OO ¼ ae1 þ be2 þ ce3 ; O0 P ¼ x0 e1 þ y0 e2 þ z0 e3 hat die Parallelverschiebung die Koordinatendarstellung ðx; y; zÞ ¼ ðx0 ; y0 ; z0 Þ þ ða; b; cÞ ¼ ðx0 þ a; y0 þ b; z0 þ cÞ: Drehung (Bild 20). Durch sie wird das Koordinatensystem ðO; e1 ; e2 ; e3 Þ in ðO; e01 ; e02 ; e03 ) bergefhrt. Fr die orthonormierten Basisvektoren e01 ; e02 ; e03 ; die in dieser Reihenfolge positiv orientiert sind, gelten die Gleichungen e01 ¼ cos a1 e1 þ cos b1 e2 þ cos g1 e3 ; e02 ¼ cos a2 e1 þ cos b2 e2 þ cos g2 e3 ; e03 ¼ cos a3 e1 þ cos b3 e2 þ cos g3 e3 ; wobei cos ai ¼ e0i e1 ; cos bi ¼ e0i e2 ; cos gi ¼ e0i e3 (i=1, 2, 3)
6 Differential- und Integralrechnung U. Jarecki, Berlin
6.1 Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen 6.1.1 Grundbegriffe Urbild- und Bildmenge. Ist D eine Teilmenge der reellen Zahlen, D R, und ist jedem x 2 D genau eine reelle Zahl y 2 R zugeordnet, dann ist auf D eine reellwertige Funktion f definiert, symbolisch ausgedrckt f : D ! R oder ¼ f ðxÞ fr x 2 D: D heißt Definitions-, Argument- oder Urbildmenge von f. Das dem Argument oder Urbild x 2 D zugeordnete Element y=f(x) heißt Bild von x oder Funktionswert f(x). Die Menge B(f) aller Bilder f(x) heißt Bildmenge: Bðf Þ ¼ ff ðxÞjx 2 Dg ¼ fyjy ¼ f ðxÞ fr x 2 Dg: Graph der Funktion f, in Zeichen [f], ist die Menge aller geordneten Paare (x, f(x)):
die Richtungskosinusse von e0i sind (auf Bild 20 sind nur die Winkel a1 ; b1 ; g1 angegeben, die der Basisvektor e01 mit den Basisvektoren e1 ; e2 ; e3 des Ausgangssystems einschließt). Fr einen beliebigen Raumpunkt P gilt dann ! OP ¼ r ¼ x0 e01 þ y0 e02 þ z0 e03 ¼ xe1 þ ye2 þ ze3 : Skalare Multiplikation dieser Gleichung mit e01 ; e02 ; e03 liefert die Transformationsgleichungen fr eine Drehung. x0 ¼ cos a1 x þ cos b1 y þ cos g1 z; y0 ¼ cos a2 x þ cos b2 y þ cos g2 z; z0 ¼ cos a3 x þ cos b3 y þ cos g3 z; 0 01 0 10 1 0 1 x cos b1 cos g1 cos a1 x x B 0C B CB C B C cos b2 cos g2 A@ y A ¼ A@ y A: @ y A ¼ @ cos a2 z0
cos a3
cos b3
cos g3
z
z
e01 ; e02 ; e03 T
orthonormiert sind, gilt die Da die Basisvektoren Matrizengleichung AA ¼ E bzw. AT ¼ A1 ; wobei AT die transponierte und A1 die inverse Matrix von A ist (s. A 3.2.4). Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen orthogonal. Da außerdem die Basisvektoren e01 ; e02 ; e03 positiv orientiert sind, gilt DetA ¼ jAj ¼ 1. Matrizen A mit den Eigenschaften AAT ¼ E und jAj ¼ 1 heißen „eigentlich orthogonal“. Damit ist jede Drehung durch eine eigentlich orthogonale Matrix charakterisiert.
½f ¼ fðx; f ðxÞÞjx 2 Dg ¼ fðx; yÞjy ¼ f ðxÞ fr x 2 Dg: Die geometrische Darstellung der geordneten Zahlenpaare (x, f(x)) als Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem gibt das graphische Bild von f wieder. Zwei Funktionen f und g heißen gleich, in Zeichen f=g, wenn sie die gleiche Definitionsmenge D haben und f(x)=g(x) fr alle x 2 D. Funktionen knnen durch Zahlengleichungen mit zwei Variablen x und y, Wertetabellen, ihr graphisches Bild oder dergleichen erklrt sein. Beispiel 1: y=1/x (Bild 1 a). – Diese Funktion ist explizit durch eine Gleichung erklrt mit D=R«0} und B( f )=R«0}. Beispiel 2: Fðx; yÞ ¼ x2 þ y2 1 ¼ 0 und y ^ 0. – Diese Funktion (Bild 1 b) ist implizit durch eine Gleichung und explizit durch eine Ungleichung erklrt. Sie ist mit der Funktion gleich, die explizit durch pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi die Gleichung y ¼ 1 x2 erklrt ist. D=[– 1, 1], B( f )=[0, 1]. 2 fr 0 % x % 1 x – Die Funktion (Bild 1 c) Beispiel 3: y ¼ x þ 2 fr 1 < x % 2: ist explizit durch zwei Gleichungen erklrt. D=[0, 2], B(f)=[0, 1]. Beispiel 4: y=0, wenn x eine rationale Zahl ist, und y=1, wenn x eine irrationale Zahl ist. – Diese Funktion, die auch Dirichlet-Funktion heißt, ist durch eine mit Worten ausgedrckte Zuordnungsvorschrift erklrt. D=R, B(f)={0, 1}. Das graphische Bild der Funktion ist nicht darstellbar.
I6.1
Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen
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A
Bild 1. Funktion mit zwei Variablen. a y=1/ x; b y ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x2 ; c y ¼
x2 x þ 2
0%x%1 1%x%2
Beschrnktheit. Eine Funktion f auf D heißt beschrnkt, wenn es eine untere und eine obere Schranke m und M gibt, so daß m % f(x) % M fr alle x 2 D. Untere Grenze von f ist die grßte untere Schranke, und obere Grenze von f ist die kleinste obere Schranke. Beispiel 1: Die Funktion y ¼ sin x fr x 2 R ist beschrnkt und hat die obere Grenze 1 und die untere Grenze -1. Beispiel 2. Die Funktion y=1/x fr x>0 ist nicht beschrnkt, da sie keine obere Schranke besitzt. Sie ist aber nach unten beschrnkt und hat die untere Grenze 0.
Eine Funktion f heißt gerade bzw. ungerade, wenn f (– x)=f(x) bzw. f (– x)=–f (x). So ist die Funktion y ¼ f ðxÞ ¼ x2 fr x 2 R gerade und y ¼ f ðxÞ ¼ x3 fr x 2 R ungerade. Periodizitt. Die Funktion f auf D heißt periodisch mit der Periode l, wenn f(x+l)=f(x) fr alle x 2 D. So ist die Funktion y ¼ tan x periodisch mit der Periode p. Monotonie. Gilt fr eine Funktion f auf D fr alle x1 2 D und x2 2 D : Wenn x1 < x2 , so f ðx1 Þ % f ðx2 Þ bzw. wenn x1 < x2 , so f ðx2 Þ % f ðx1 Þ, dann heißt sie monoton steigend bzw. fallend. Gilt statt „ % “ die Relation „0 erklrt. Sie ist die inverse Funktion von y ¼ xn mit x>0. Ihr Bild ist eine Halbhyperbel durch den Punkt (1, 1). Sie kann fr gerades bzw. ungerades n durch die Funktion y ¼ x1=n mit x>0 bzw. y ¼ ðxÞ1=n mit x0 ist. Exponential- und Logarithmusfunktion (Bild 4) Exponentialfunktion. Definitionsgleichung: y ¼ expðxÞ ¼ ex : DðexpÞ ¼ ð1; 1Þ ¼ R; BðexpÞ ¼ ð0; 1Þ ¼ Rþ (s. Anh. A 10 Tab. 6). Logarithmusfunktion. Definitionsgleichung: y ¼ ln x: DðlnÞ ¼ ð0; 1Þ ¼ Rþ ; BðlnÞ ¼ ð1; 1Þ ¼ R. Beide Funktionen sind streng monoton wachsend und zueinander invers. Hyperbel- und Areafunktionen sowie trigonometrische und zyklometrische (arcus-)Funktionen (s. A 4.2) Hilfsfunktionen (Bild 5 a–c), sind x fr aÞ y ¼ jxj ¼ x fr 8 > < 1 fr bÞ y ¼ sgnðxÞ ¼ 0 fr > : 1 fr
die hufig benutzt werden, x^0 x % 0; x>0 x ¼ 0 und x < 0;
cÞ y ¼ ½x ¼ n 2 Z; wenn n % x < n þ 1: 6.1.3 Einteilung der Funktionen
Bild 5. Hilfsfunktionen. a y=x; b y ¼ sgnðxÞ ; c y=[x]
Pn ðxÞyn þ Pn1 ðxÞyn1 þ . . . þ P1 ðxÞy þ P0 ðxÞ ¼ 0 ist, wobei die Ausdrcke Pi ðxÞ ði ¼ 0; 1; 2; . . . ; nÞ Polynome pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi in x sind. So ist die Funktion y ¼ x 2x 1 algebraisch, da 2 sie eine Lsung der Gleichung y 2xy þ x2 2x þ 1 ¼ 0 ist. Sonderflle von algebraischen Funktionen sind: ganzrationale Funktionen oder Polynome n-ten Grades y ¼ Pn ðxÞ a0 6¼ 0 ¼ a0 xn þ a1 xn1 þ a2 xn2 þ . . . þ an1 x þ an gebrochenrationale Funktionen Qm ðxÞ Pn ðxÞ b0 xm þ b1 xm1 þ b2 xm2 þ . . . þ bm1 x þ bm ¼ : a0 xn þ a1 xn1 þ a2 xn2 þ . . . þ an1 x þ an
y¼
Fr m ^ n heißen sie unecht, fr m0 ein d>0, so daß jf ðxÞ f ðx0 Þj < e fr alle x mit jx x0 j < d. Die Funktion f auf D ist in x0 2 D genau dann stetig, wenn lim f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ: f heißt stetig auf D, wenn x!x0
f an jeder Stelle x 2 D stetig ist.
6.1.5 Ableitung einer Funktion Differenzenquotient. Er ist erklrt fr die Funktion f auf D durch f ðxÞ f ðx0 Þ f ðx0 þ DxÞ f ðx0 Þ Df ðx0 Þ ¼ ¼ x x0 Dx Dx mit x; x0 2 D und Dx ¼ x x0 6¼ 0.
Eine Funktion f heißt auf D differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle x 2 D eine Ableitung f 0 ðxÞ besitzt. Die dann auf D erklrte Funktion f 0 wird als abgeleitete Funktion oder kurz als Ableitung von f bezeichnet. Ableitungen der Grundfunktionen s. Tab. 1. Ableitungsregeln. Sind die Funktionen f und g auf D in x 2 D differenzierbar, dann gilt ðaf ðxÞÞ0 ¼ af 0 ðxÞ; a 2 R; ðf ðxÞ þ gðxÞÞ0 ¼ f 0 ðxÞ þ g0 ðxÞ; ðf ðxÞ gðxÞÞ0 ¼ f 0 ðxÞ gðxÞ þ f ðxÞ g0 ðxÞ; f ðxÞ 0 f 0 ðxÞ gðxÞ f ðxÞ g0 ðxÞ ; gðxÞ 6¼ 0: ¼ gðxÞ g2 ðxÞ Beispiele: dð2x3 3x þ 1Þ=dx ¼ 6x2 3; dðx ln xÞ=dx ¼ ln x þ 1; d sinh x cosh2 x sinh2 x 1 ¼ ¼ : dx cosh x cosh2 x cosh2 x
Kettenregel. Ist die Funktion f in x und die Funktion g in z=f(x) differenzierbar, so ist die zusammengesetzte Funktion g f in x differenzierbar, und es gilt ðgðf ðxÞÞÞ0 ¼ g0 ðzÞ f 0 ðxÞ mit z ¼ f ðxÞ: Beispiel: gðf ðxÞÞ ¼ ln cos x; x 2 ðp=2; p=2Þ: – z ¼ f ðxÞ ¼ cos x, gðzÞ ¼ ln z; g0 ðzÞ ¼ 1=z; f 0 ðxÞ ¼ sin x: dðln cos xÞ=dx ¼ ð1= cos xÞ ð sin xÞ ¼ tan x:
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Mathematik – 6 Differential- und Integralrechnung
Tabelle 1. Ableitungen der Grundfunktionen
Formel von Leibniz: ðf ðxÞ gðxÞÞðnÞ ¼
n X n k¼0
k
f ðnkÞ ðxÞ gðkÞ ðxÞ:
6.1.6 Differentiale Funktionsdifferential. Ist die Funktion f auf D in x 2 D differenzierbar und Dx ¼ h der Zuwachs des Arguments, dann ist f 0 ðxÞ Dx ¼ f 0 ðxÞ h ¼ df ðxÞ das Funktionsdifferential. Wegen Dx ¼ h ¼ dx fr f(x)=x gilt df ðxÞ ¼ f 0 ðxÞdx, so daß f 0 ðxÞ ¼ df ðxÞ=dx wird, wobei f 0 ðxÞ ¼ df ðxÞ=dx Differentialquotient heißt. Bei einer in x differenzierbaren Funktion f gilt fr den Funktionszuwachs Df ðxÞ ¼ df ðxÞ þ hðx; DxÞ Dx mit
lim hðx; DxÞ ¼ 0:
Dx!0
Beispiel 1: f ðxÞ ¼ 1 þ sin x: – df ðxÞ ¼ dð1 þ sin xÞ ¼ ð1 þ sin xÞ0 dx ¼ cos x dx: Insbesondere ergibt sich hieraus fr das Funktionsdifferential in p=3 mit dem Argumentzuwachs 0,5 der Wert cos p=3 0;5 ¼ 0;25. Beispiel 2. Fr das Differential einer zusammengesetzten Funktion h=g f mit h(x)=g(f(x)) ergibt sich dhðxÞ ¼ dðgðf ðxÞÞÞ ¼ g0 ðf ðxÞÞ f 0 ðxÞdx ¼ g0 ðf ðxÞÞdf ðxÞ:
Fr hinreichend kleine Dx ¼ h gilt die Nherungsformel Df ðdxÞ df ðxÞ oder f ðx þ DxÞ f ðxÞ f 0 ðxÞDx: Beispiel: Nherungsformel fr eh bei kleinem h. – Es ist Dex ¼ exþh eh und dex ¼ ex h. Fr | h | n: Hieraus ergibt sich fr y ¼ x3 , x=2, dx ¼ 0;5 y0 ¼ 3x2 ; dy ¼ 12 0;5 ¼ 6; y000 ¼ 6; d3 y ¼ 6 0;53 ¼ 0;75;
y00 ¼ 6x; d2 y ¼ 12 0;52 ¼ 3; yðnÞ ¼ 0; dn y ¼ 0 fr n ^ 4:
6.1.7 Stze ber differenzierbare Funktionen Satz von Rolle (Bild 7). Ist f eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige und auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbare Funktion mit f(a)= f(b), dann gibt es eine Stelle c 2 (a, b) mit f 0 ðcÞ ¼ 0. Mittelwertsatz (Bild 8). Ist f eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige und auf dem offenen Intervall (a, b)
dn f ¼ Dn f ðn ¼ 0; 1; 2 . . .Þ dxn
Die Ableitung nullter Ordnung ist dabei die Funktion f. Die 1. bis 3. Ableitung wird mit f 0 ; f 00 bzw. f 000 gekennzeichnet. Beispiel: f ð0Þ ðxÞ ¼ f ðxÞ ¼ x4 þ 3x2 x: – f 0 ðxÞ ¼ 4x3 þ 6x 1, f 00 ðxÞ ¼ 12x2 þ 6; f 000 ðxÞ ¼ 24x; f ð4Þ ðxÞ ¼ 24; f ðnÞ ðxÞ ¼ 0 fr n ^ 5:
Bild 7. Satz von Rolle
Bild 8. Mittelwertsatz
I6.1 differenzierbare Funktion, dann gibt es ein c 2 (a, b) oder ein J 2 (0, 1), so daß f ðbÞ f ðaÞ f ðcÞ ¼ f ða þ Jðb aÞÞ ¼ ba 0
0
Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen
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Mit der Taylor und Maclaurin-Formel (s. Tab. 2) knnen Funktionen durch Polynome approximiert werden, wobei das Restglied eine globale Abschtzung des Fehlers fr die Umgebung Ud ðx0 Þ ermglicht.
ist. Hieraus folgt: Ist die Ableitung der auf (a, b) differenzierbaren Funktionen f berall Null, dann ist f auf (a, b) eine konstante Funktion. Besitzen die auf (a, b) differenzierbaren Funktionen f und g die gleiche Ableitung, dann unterscheiden sie sich auf (a, b) hchstens durch eine additive Konstante.
Beispiel 1: f ðxÞ ¼ sin x. – Die k-te Ableitung der Sinus-Funktion lautet sinðkÞ ðxÞ ¼ sinðx þ k p=2Þ. Hieraus ergibt sich fr x=0 8 < 0 fr k ¼ 0; 2; 4 . . . sinðkÞ ð0Þ ¼ sinðk p=2Þ ¼ 1 fr k ¼ 1; 5; 9 . . . : 1 fr k ¼ 3; 7; 11 . . . :
Beispiel: Die beiden Funktionen f ðxÞ ¼ arcsin x und gðxÞ ¼ arccos x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi haben auf ( 1, 1) die gleiche Ableitung f 0 ðxÞ ¼ g0 ðxÞ ¼ 1= 1 x2 . – Wegen f ðxÞ gðxÞ ¼ arcsin x þ arccos x ¼ p=2 unterscheiden sich beide Funktionen auf ( 1, 1) durch die additive Konstante p=2.
Damit ergibt sich aus der Maclaurin-Formel fr die Sinus-Funktion die Darstellung:
Verallgemeinerter Mittelwertsatz. Sind f und g auf [ a, b] stetige und auf (a, b) differenzierbare Funktionen und ist g0 ðxÞ 6¼ 0 fr x 2 (a, b), dann gibt es ein c 2 (a, b) oder ein J 2 (0, 1), so daß gilt f 0 ðcÞ f 0 ða þ Jðb aÞÞ f ðbÞ f ðaÞ ¼ ¼ : g0 ðcÞ g0 ða þ Jðb aÞÞ gðbÞ gðaÞ Taylorsche Formel. Ist f in der Umgebung Ud ðx0 Þ ¼ ðx0 d; x0 þ dÞ (n+1)-mal differenzierbar, dann gibt es zu jedem h mit x0 þ h 2 Ud ðx0 Þ eine solche Zahl J 2 (0, 1), so daß f 0 ðx0 Þ f 00 ðx0 Þ 2 f ðx0 þ hÞ ¼f ðx0 Þ þ hþ h þ ... 1! 2! f ðnÞ ðx0 Þ n þ h þ Rn ðx0 ; hÞ; n!
Beispiel 2: Die Zahl e soll mit einer Genauigkeit von 105 bestimmt werden. – Fr x=1 ergibt sich aus der Maclaurin-Formel fr die expexpðJÞ ; 0 < J < 1, oder Funktion e ¼ 1 þ 1!1 þ 2!1 þ . . . þ n!1 þ Rn mit Rn ¼ ðnþ1Þ! n X 1 expðJÞ e 3 ¼ Rn ¼ < < . 0 < e k! ðn þ 1Þ! ðn þ 1Þ! ðn þ 1Þ! k¼0 3 ¼ 9!3 < 105 , so daß die Abschtzung Fr n=8 ist ðnþ1Þ!
0 < e
f
ðnþ1Þ
ðx0 þ JhÞ nþ1 h : ðn þ 1Þ!
Diese Gleichung heißt Taylorsche Formel mit dem Restglied (von Lagrange) Rn ðx0 ; hÞ. Mit der Substitution x0 þ h ¼ x lautet die Taylorsche Formel f 0 ðx0 Þ f 00 ðx0 Þ ðx x0 Þ þ ðx x0 Þ2 þ . . . 1! 2! f ðnÞ ðx0 Þ þ ðx x0 Þn þ Rn ðx0 ; xÞ; n!
f ðxÞ ¼f ðx0 Þ þ
wobei Rn ðx0 ; xÞ ¼ f
ðnþ1Þ
ðx0 þJðxx0 ÞÞ ðx x0 Þnþ1 . ðnþ1Þ!
Formel von Maclaurin. Fr x0 ¼ 0 ergibt sich f 0 ð0Þ f 00 ð0Þ 2 xþ x þ ... 1! 2! f ðnÞ ð0Þ n f ðnþ1Þ ðJxÞ nþ1 þ x þ x n! ðn þ 1Þ!
f ðxÞ ¼f ð0Þ þ
mit 0 0 bzw. f 00 ðxÞ < 0, dann ist f auf (a, b) streng konvex bzw. streng konkav (Bild 9 c, d). So ist f ðxÞ ¼ ln x; x 2 (0, 1 ), wegen f 00 ðxÞ ¼ 1=x2 < 0 eine streng konkave Funktion auf (0, 1 ). Die Definitionen der Konvexitt und Konkavitt sind nicht einheitlich. Maxima und Minima (gemeinsam heißen sie auch Extrema; Bild 10). Fr eine Funktion f auf dem Intervall I heißt f ðx0 Þ strenges oder eigentliches Maximum bzw. Minimum, wenn es eine ganze in I enthaltene Umgebung Ud ðx0 Þ ¼ ðx0 d; x0 þ dÞ I gibt, so daß gilt: f ðxÞ < f ðx0 Þ bzw: f ðxÞ > f ðx0 Þ fr alle x 2 Ud ðx0 Þ und x 6¼ x0 . Diese Extrema sind relative oder lokale Maxima oder Minima. Zur Unterscheidung hiervon heißt das eventuell existierende Maximum bzw. Minimum der Funktion f auf I absolutes oder globales Extremum. Besitzt die Funktion f in x0 ein Extremum und existiert dort die 1. Ableitung f 0 ðx0 Þ, dann ist f 0 ðx0 Þ ¼ 0. Bei differenzierbaren Funktionen sind die Tangentensteigungen (Bild 11) in Extrempunkten notwendig Null.
Das Kriterium ist fr f 00 ðx0 Þ ¼ 0 nicht anwendbar. Beispiel: f ðxÞ ¼ x ln x; 0 < x; f 0 ðxÞ ¼ ln x þ 1; f 00 ðxÞ ¼ 1=x: – Aus f 0 ðxÞ ¼ ln x þ 1 ¼ 0 folgt x ¼ 1=e, d.h., wenn f auf (0, 1 ) ein Extremum besitzt, so kann es nur in 1/e sein. Nun ist f 00 ð1=eÞ > 0. Aus f 0 ð1=eÞ ¼ 0 und f 00 ð1=eÞ > 0 folgt nach dem hinreichenden Kriterium, daß die Funktion f in 1/e das strenge Minimum f ð1=eÞ ¼ 1=e besitzt.
Allgemeines Kriterium. Hat die Funktion f in einer Umgebung von x0 eine stetige Ableitung (n+1)-ter Ordnung und ist f 0 ðx0 Þ ¼ f 00 ðx0 Þ ¼ . . . ¼ f ðnÞ ðx0 Þ ¼ 0 und f ðnþ1Þ ðx0 Þ 6¼ 0 fr eine ungerade Zahl n, dann hat die Funktion f in x0 ein strenges Maximum fr f ðnþ1Þ ðx0 Þ < 0; strenges Minimum fr f ðnþ1Þ ðx0 Þ > 0: Beispiel: Die Funktion f ðxÞ ¼ x4 besitzt in 0 offensichtlich das strenge und sogar absolute Minimum f(0)=0, und es ist f 0 ð0Þ ¼ f 00 ð0Þ ¼ f 000 ð0Þ ¼ 0 und f ð4Þ ð0Þ ¼ 24 > 0:
Wendepunkt. Ein Punkt ðx0 ; f ðx0 ÞÞ des Graphen von f heißt Wendepunkt (Bild 12) oder die Funktion f hat in x0 einen Wendepunkt, wenn die abgeleitete Funktion f 0 in x0 ein strenges Extremum besitzt. Hat also die Funktion f in einer Umgebung von x0 eine stetige Ableitung (n+1)-ter Ordnung und gilt f 00 ðx0 Þ ¼ f 000 ðx0 Þ ¼ . . . ¼ f ðnÞ ðx0 Þ und f ðnþ1Þ ðx0 Þ 6¼ 0 fr eine gerade Zahl n, dann hat f in x0 einen Wendepunkt. Dies gilt besonders, wenn f 00 ðx0 Þ ¼ 0 und f 000 ðx0 Þ 6¼ 0 ist.
Hinreichendes Kriterium fr ein strenges Maximum oder Minimum, das meist ausreicht, ist: Besitzt die Funktion f in einer
Beispiel: fr f ðxÞ ¼ x2 ln x; f 0 ðxÞ ¼ 2x ln x þ x; f 00 ðxÞ ¼ 2 ln x þ 3; f 000 ðxÞ ¼ 2=x x>0. – Aus der notwendigen Bedingung fr einen Wendepunkt
Bild 10. Extrema
Bild 12. Riemann-Summe
I6.1 f 00 ðxÞ ¼ 2 ln x þ 3 ¼ 0 ergibt sich x0 ¼ expð1;5Þ. Ferner ist f 000 ðx0 Þ ¼ 2 expð1;5Þ 6¼ 0. Die Funktion f hat in expð1;5Þ den einzigen Wendepunkt auf (0, 1 ).
6.1.9 Grenzwertbestimmung durch Differenzieren. Regel von de lHospital Das Zeichen „lim“ steht abkrzend fr „ lim “, wobei x0 eix!x0
gentlicher oder uneigentlicher Hufungswert 1 ist (s. A 6.1.4). Unbestimmter Ausdruck 0/0. Erste Regel von de lHospital: f ðxÞ ¼ Ist lim f ðxÞ ¼ 0 und lim gðxÞ ¼ 0, dann gilt lim gðxÞ f 0 ðxÞ lim 0 , falls der letzte Grenzwert eigentlich oder uneigentg ðxÞ lich existiert. Sind f 0 und g0 in x0 stetig und g0 ðx0 Þ 6¼ 0, dann ist nach den Grenzwertstzen (s. A 6.1.4) lim
f ðxÞ f 0 ðx0 Þ : ¼ gðxÞ g0 ðx0 Þ
Ist lim f 0 ðxÞ ¼ 0 und lim g0 ðxÞ ¼ 0, dann kann dieselbe Regel noch einmal angewandt werden. Beispiel: lim
x!0
1 cos x sin x cos x 1 ¼ lim ¼ lim ¼ . x!0 2x x!0 2 x2 2
Unbestimmter Ausdruck 1 / 1 . Zweite Regel von de lHospital: Ist lim f ðxÞ ¼ 1 und lim gðxÞ ¼ 1, dann gilt f ðxÞ f 0 ðxÞ ¼ lim 0 , falls der letzte Grenzwert eigentlich oder lim gðxÞ g ðxÞ uneigentlich existiert. Ist lim f 0 ðxÞ ¼ 1 und lim g0 ðxÞ ¼ 1, dann kann dieselbe Regel noch einmal angewandt werden. Beispiel: lim
x
x!1 ln x
¼ lim
1
x!1 1=x
Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen
Fr die Zerlegung Z und die Belegung B wird die RiemannSumme SðZ; BÞ ¼f ðx1 ÞDx1 þ f ðx2 ÞDx2 þ . . . n X f ðxk ÞDxk þ f ðxn ÞDxn ¼ k¼1
gebildet. Ist f berall positiv, dann gibt die Riemann-Summe geometrisch die Summe der Inhalte von Rechtecken wieder (Bild 12). Ihr Grenzwert fr dðZÞ ! 0 wird als bestimmtes (Riemann-)Integral der Funktion f im Intervall [a, b] bezeichnet: lim
n!1
n X
f ðxk ÞDxk ¼
k¼1
Zb
f ðxÞdx:
a
Bei dem bestimmten Integral heißen f Integrand, x Integrationsvariable, a untere und b obere Integrationsgrenze, wobei a< b. Fr eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] monotone oder stetige Funktion f existiert dieser Grenzwert, und f ist ber [a, b] integrierbar. Geometrische Deutung. Die Riemann-Summe stellt bei positiven oder auch nichtnegativen Funktionen f geometrisch eine Summe von Rechteckinhalten (Bild 12) dar, wobei die Rechtecke die Flche zwischen dem graphischen Bild von f und der x-Achse um so besser approximieren, je feiner die Zerlegung des Intervalls [ a, b] ist. Ist also die Funktion f auf [a, b] nichtnegativ und ber [a, b] integrierbar, dann betrgt der Inhalt A der Flche unter dem Graph von f (Bild 13 a) A¼
Zb
f ðxÞ dx:
a
Eigenschaften. Mit den Definitionen
¼ 1.
Za Sonderformen. Die Ausdrcke 0 1; 1 1; 11 ; 00 ; 10 werden auf 0/0 oder 1 / 1 zurckgefhrt. ln x 1=x ¼ lim 0 1 : lim x ln x ¼ lim ¼ lim ðxÞ ¼ 0: x!þ0 x!þ0 1=x x!þ0 1=x2 x!þ0 1 1 x sin x 1 cos x ¼ lim ¼ lim 1 1 : lim x!0 sin x x!0 x sin x x!0 sin x þ x cos x x sin x 0 ¼ ¼ 0: ¼ lim x!0 2 cos x x sin x 2 11 : lim ð1 þ 3=xÞx ¼ lim expðx lnð1 þ 3=xÞÞ x!1 x!1 lnð1 þ 3=xÞ ¼ exp 3: ¼ exp lim x!1 1=x pffiffiffi pffiffiffix 00 : lim x ¼ lim expðx ln xÞ x!þ0
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a
x!þ0
Zb
f ðxÞ dx ¼
a
Za
f ðxÞ dx fr b < a
b
gilt fr beliebige Zahlen a, b und c eines abgeschlossenen Integrationsintervalls Zb a
Zb a
Zb
x!þ0
¼ expð0;5 lim ðx ln xÞÞ ¼ exp 0 ¼ 1:
f ðxÞ dx ¼ 0 und
a
f ðxÞ dx þ
Zc
f ðxÞ dx þ
f ðxÞ dx ¼ 0;
c
b
cf ðxÞ dx ¼ c
Za
Zb
f ðxÞ dx mit c 2 R
a
ðf ðxÞ gðxÞÞ dx ¼
Zb a
f ðxÞ dx
Zb gðxÞ dx: a
10 : lim x1=x ¼ lim expð1=x ln xÞ¼expð lim ln x=xÞ¼exp 0 ¼ 1: x!1
x!1
x!1
6.1.10 Das bestimmte Integral Definition. Zugrunde gelegt wird eine auf einem abgeschlossenen Intervall I=[ a, b] definierte und dort beschrnkte Funktion f. Durch eine Zerlegung Z: x0 ¼ a < x1 < x2 < x3 < . . . < xn1 < xn ¼ b mit den Teilungspunkten x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn1 wird das Intervall I in n Teilintervalle I1 ¼ ½x0 ; x1 ; I2 ¼ ½x1 ; x2 ; . . . ; In ¼ ½xn1 ; xn mit den Lngen Dx1 ¼ x1 x0 ; Dx2 ¼ x2 x1 ; . . . ; Dxn ¼ xn xn1 zerlegt. Die maximale Lnge dðZÞ ¼ max1%k%n Dxk heißt Feinheit der Zerlegung Z. In jedem Teilintervall Ik ðk ¼ 1; 2; . . . ; nÞ wird ein beliebiger Punkt xk 2 Ik ¼ ½xk1 ; xk gewhlt. Die Folge ðxk Þ1%k%n heißt Belegung B der Teilintervalle.
Bild 13. Bestimmtes Integral. a Flcheninhalt; b Mittelwertsatz
A
A 58
A
Mathematik – 6 Differential- und Integralrechnung
Ungleichungen. Fr a 0.
F2 ðxÞ F1 ðxÞ ¼ c fr alle x 2 I (c Konstante). Zwei Stammfunktionen einer Funktion f unterscheiden sich also hchstens durch eine Konstante. Beispiel: Die beiden Funktionen F1 ðxÞ ¼ cos x und F2 ðxÞ ¼ 2 sin2 ðx=2Þ sind wegen F10 ðxÞ ¼ F20 ðxÞ ¼ sin x Stammfunktionen von f ðxÞ ¼ sin x: Sie unterscheiden sich auf R durch die additive Konstante 1.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Ist f eine auf dem abgeschlossenen Intervall [ a, b] stetige Funktion und F eine Stammfunktion von f auf [ a, b], dann gilt Zb
f ðxÞ dx ¼ ½FðxÞba ¼ FðxÞjba ¼ FðbÞ FðaÞ;
a 0
wobei F ðxÞ ¼ f ðxÞ:
Partielle Integration (Produktintegration). Sind die Funktionen f und g auf einem Intervall I stetig differenzierbar, dann gilt Z Z f 0 ðxÞgðxÞ dx ¼ f ðxÞgðxÞ f ðxÞg0 ðxÞ dx; x 2 I: Hiermit ist es oft mglich, Integrale mit einem Parameter n auf ein Integral desselben Typs mit dem Parameter n-1 oder n-2 zurckzufhren. Dadurch ergibt sich eine Rekursionsformel, mit der das Integral schrittweise berechnet wird. Beispiel 1: Z Z Z ln x dx ¼ 1 ln x dx ¼ x ln x xð1=xÞ dx ¼ x ln x x þ C; x > 0: Beispiel 2: In ¼
Z
expðxÞxn dx; n ¼ 1; 2; 3; . . . : – Partielle Integration
mit f 0 ðxÞ ¼ exp x und gðxÞ ¼ xn fhrt auf
I6.1
In ¼ exp x xn n
Z
exp x xn1 dx ¼ exp x xn nIn1 :
Also gilt die Rekursionsformel In ¼ exp x xn nIn1 mit I0 ¼
Z
exp x dx ¼ exp x þ C:
Integration durch Substitution. Ist f eine stetige Funktion und g eine in einem Intervall I stetig differenzierbare Funktion, dann gilt Z Z ð f ðxÞ dxÞx¼gðtÞ ¼ f ðgðtÞÞg0 ðtÞ dt; t 2 I:
((Bitte Klammerung der Wird also die Integrationsvariable x gemß x= g(t) durch t Formel prsubstituiert, dann ist dx durch g0 ðtÞ dt zu ersetzen. fen)) Z dx pffiffiffi fr x > 0 pffiffiffi 2 xð1 þ 3 xÞ Z Z Z 6t5 dt t2 1 I¼ dt ¼ 3 1 ¼3 dt 3 2 2 2 2t ð1 þ t Þ 1þt 1þt pffiffiffi pffiffiffi ¼ 3ðt arctan tÞ þ C ¼ 3ð 6 x arctan 6 xÞ þ C:
Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen
A 59
Koeffizientenbestimmung. Die Koeffizienten A1 ; B1 ; C1 . . . ; A2 ; B2 ; C2 . . . knnen nach folgenden Verfahren eindeutig bestimmt werden: Wird die Gleichung mit Pn ðxÞ multipliziert, dann steht auf der rechten Seite ein Polynom (n-1)-ten Grades, dessen Koeffizienten Linearkombinationen der n Unbekannten A1 ; B1 ; C1 . . . sind. Der Vergleich dieser Koeffizienten mit denen des Polynoms Qm nach dem Identittssatz fr Polynome (s. A 2.3.2) ergibt n lineare Gleichungen fr die n Unbekannten A1 ; B1 ; C1 . . . (s. A 3.2.3). 2x þ 4
Beispiel:
2
ðx2
¼
" # 1 A1 A2 B1 x þ C1 þ 2 þ : x þ1 3 x 1 ðx 1Þ2
þ 1Þ 3ðx 1Þ Multiplikation mit dem Nennerpolynom ergibt
–
2x þ 4 ¼A1 ðx 1Þðx2 þ 1Þ þ A2 ðx2 þ 1Þ þ ðB1 x þ C1 Þðx 1Þ2 oder 2x þ 4 ¼ðA1 þ B1 Þx3 þ ðA1 þ A2 2B1 þ C1 Þx2 þ ðA1 þ B1 2C1 Þx þ ðA1 þ A2 þ C1 Þ:
Beispiel 1: I ¼
Koeffizientenvergleich fhrt auf die vier linearen Gleichungen þ B1
A1
Hier wurden mit x ¼ gðtÞ ¼ t6 fr t>0 und dx ¼ 6t5 dt die Wurzelausdrcke beseitigt.
¼ 0;
A1 þ A2 2B1 þ C1 ¼ 0; A1 þ B1 2C1 ¼ 2; A1 þ A2 þ C1 ¼ 4
mit den Lsungen A1 ¼ 2; B1 ¼ 2; A2 ¼ 3; C1 ¼ 1:
Beispiel 2: Z Z expðt2 Þt dt ¼ 0;5 exp x dx ¼ 0;5 exp x þ C ¼ 0;5 expðt2 Þ þ C:
Damit lautet die Partialbruchzerlegung " # 2x þ 4 1 2 3 2x 1 þ þ 2 ¼ : 2 2 2 x þ1 3ðx 1Þ ðx þ 1Þ 3 x 1 ðx 1Þ
Hier wurde die Substitution gðtÞ ¼ t2 ¼ x; also dx ¼ g0 ðtÞ dt ¼ 2t dt bzw. t dt ¼ dx=2 mit t 2 R verwendet.
Durch die Partialbruchzerlegung ist nunmehr die Integration einer echt gebrochenen rationalen Funktion auf die Integration von Partialbrchen 1. und 2. Art zurckgefhrt. Fr diese gelten die
6.1.14 Integration rationaler Funktionen Jede ganze rationale Funktion y ¼ Pn ðxÞ ¼
n X
ai x
ni
kann
i¼0
mit Hilfe der Grundformeln und des Grundintegrals fr Potenzfunktionen integriert werden. Echt gebrochene rationale Funktionen sind allgemein mit der Partialbruchzerlegung integrierbar. Partialbruchzerlegung. Vorausgesetzt wird eine echt gebrochene rationale Funktion rðxÞ ¼ Qm ðxÞ=Pn ðxÞ; wobei Qm und Pn Polynome m-ten und n-ten Grades mit m< n sind. Nenner-Polynom Pn ðxÞ ¼ a0 xn þ a1 xn1 þ . . . þ an1 x þ an . Es lßt sich nach dem Zerlegungssatz fr reelle Polynome (s. A 2.3.2) als Produkt mit Faktoren 1. und 2. Grades darstellen: Pn ðxÞ ¼ a0 . . . ðx aÞr . . . ðx2 þ px þ qÞs . . . ; wobei a eine reelle r-fache Nullstelle von Pn ist und x2 þ px þ q wegen p2 4q < 0 nur konjugiert komplexe Nullstellen besitzt und im Reellen nicht mehr zerlegbar, also irreduzibel, ist. Die brigen nicht angegebenen Faktoren von Pn haben einen entsprechenden Aufbau. Partialbrche 1. und 2. Art. Es sind Ausdrcke der Form A=ðx aÞr und ðBx þ CÞ=ðx2 þ px þ qÞs , wobei A, B, C 2 R und r, s 2 N. Jede echt gebrochene rationale Funktion kann als Summe dieser Partialbrche 1. und 2. Art dargestellt werden: Qm ðxÞ 1 Qm ðxÞ rðxÞ ¼ ¼ Pn ðxÞ a0 . . . ðx aÞr . . . ðx2 px þ qÞs " 1 A1 A2 Ar ¼ ... þ þ... þ þ... þ a0 x a ðx aÞ2 ðx aÞr B1 x þ C1 B 2 x þ C2 þ ... þ x2 þ px þ q ðx2 þ px þ qÞ2 Bs x þ Cs þ ... : þ 2 ðx þ px þ qÞs
Integrationsformeln 8 > Z < A lnj x aj þ C fr n ¼ 1 A n dxÞ ¼ > ðx aÞ : A ðx aÞ1n þ C fr n ¼ 2; 3; 4 . . . ; 1n Z Ax þ B dx ðx2 þ px þ qÞn A 2B Ap 2x þ p ¼ ln jx2 þ px þ qj þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi arctan pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ C 2 4q p2 4q p2 A 2B Ap ðx2 þ px þ qÞ1n þ ¼ 2ð1 nÞ 2
fr n ¼ 1 Z dx ðx2 þ px þ qÞn fr n ¼ 2; 3; 4 . . . :
Z
Ax þ B dx ðx2 þ px þ qÞn A 2B Ap 2x þ p ¼ ln jx2 þ px þ qj þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi arctan pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ C 2 4q p2 4q p2 fr n ¼ 1 Z A 2B Ap dx 1n 2 ¼ ðx þ px þ qÞ þ 2ð1 nÞ 2 ðx2 þ px þ qÞn fr n ¼ 2; 3; 4 . . . :
Hierbei gilt fr das Integral In ¼ sionsformel In ¼
þ
dx die Rekurðx2 þ px þ qÞn
1 2x þ p ðn 1Þð4q p2 Þ ðx2 þ px þ qÞn1 þ
I1 ¼
Z
Z
2ð2n 3Þ In1 ðn ¼ 2; 3; 4 . . .Þ mit ðn 1Þð4q p2 Þ dx 2 2x þ p ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi arctan pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ C: x2 þ px þ q 4q p2 4q p2
A
A 60
A
Mathematik – 6 Differential- und Integralrechnung
Tabelle 4. Substitutionen
6.1.15 Integration von irrationalen algebraischen und transzendenten Funktionen Spezielle Integrale dieses Typs (Tab. 4 und 5) knnen durch geeignete Substitutionen auf Integrale mit einem rationalen Integranden zurckgefhrt werden. Fr einige Integrale sind in Tab. 4 solche Substitutionen angegeben. Hierbei bedeuten R(x, X), R(u) bzw. R(u, u) rationale Funktionen in x und X, u bzw. u und u. Tabelle 5. Integrationsformeln
I6.1 Tabelle 5. (Fortsetzung)
A 61
Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen
Beispiele: Z1
A
Zb
1=x2 dx ¼ lim
1=x2 dx ¼ lim ð1=b þ 1=2Þ ¼ 1=2:
b!1
b!1
2
Z1 1
2
1 dx¼ lim b!1 1 þ x2 a!1
Zb a
1 dx ¼ lim ½arctan xba b!1 1 þ x2 a!1
¼ lim ðarctan b arctan aÞ ¼ p=2 ðp=2Þ ¼ p: b!1 a!1
Zb
Z1 1=x dx ist divergent wegen lim
b!1
1
1=x dx ¼ lim ln b ¼ 1: b!1
1
Unbeschrnkter Integrand. Ist Funktion f im Intervall [a, b) unbeschrnkt und auf jedem abgeschlossenen Teilintervall [ Zb a, b-e] mit e>0 integrierbar, dann heißt f ðxÞ dx uneigentlia
ches Integral bezglich der oberen Grenze. Es heißt konvergent auf [a, b], wenn fr e>0 der Grenzwert Zbe Zb lim f ðxÞ dx ¼ f ðxÞ dx existiert.
e!0
a
a
Entsprechendes gilt auch fr die untere Grenze. Beispiele: Zb
Zb
f ðxÞ ; dx¼ lim
a!1
1
Z1
f ðxÞ dx;
a
f ðxÞ dx¼ lim b!1
Zb
a!1
1
¼ lim
f ðxÞ dx
a
Zc
a!1
f ðxÞ dx þ lim
Zb
b!1
a
f ðxÞ dx:
c
Weitere uneigentliche Integrale enthlt Tab. 6.
6.1.17 Geometrische Anwendungen der Differential- und Integralrechnung (S. Tab. 7.) 6.1.18 Unendliche Funktionenreihen
6.1.16 Uneigentliche Integrale Unbeschrnktes Integrationsintervall. Ist die Funktion f fr alle x ^ a erklrt und ber jedem abgeschlossenen Intervall Z1 [a, b] integrierbar, dann heißt f ðxÞ dx uneigentliches Intea
gral ber [ a, 1 ). Es heißt konvergent, oder die Funktion f heißt ber [ a, 1 ) uneigentlich integrierbar, wenn der GrenzZ1 Zb wert lim f ðxÞ dx ¼ f ðxÞ dx existiert. Entsprechendes gilt
Sind die Glieder einer unendlichen Reihe Funktionen fn ðxÞ ðn ¼ 1; 2; 3 . . .Þ auf dem gleichen Definitionsbereich I, dann ist die Funktionsreihe erklrt als die Folge der Partialsummen sn ðxÞ ¼ f1 ðxÞ þ f2 ðxÞ þ . . . þ fn ðxÞ: Konvergenzbereich. Dieser ist die Menge K der Urbilder x 2 I, fr die die zugehrige Zahlenreihe konvergiert. Auf ihm ist dann eine Funktion S erklrt, die als die Summe der Reihe bezeichnet wird.
b!1
a
a
fr die unbeschrnkten Integrationsintervalle ( 1 , b] und ( 1 , 1 ). Zb
Zb
f ðxÞ dx¼ lim
a!1
1
Z1 1
f ðxÞ dx;
SðxÞ ¼
1 X
fn ðxÞ ¼ lim
n¼1
n!1
n X
fk ðxÞ fr x 2 K:
k¼1
Die Differenz Rn ðxÞ ¼ SðxÞ sn ðxÞ heißt Rest der Reihe. 1 X fn ðxÞ heißt Absolute Konvergenz. Die Funktionenreihe n¼1
a
f ðxÞ dx¼ lim
Zb
b!1 a!1
¼ lim
auf K absolut konvergent, wenn die Reihe f ðxÞ dx
x 2 K konvergiert.
a
Zc
a!1
f ðxÞ dx þ lim
Zb
b!1
a
c
Beispiel:
f ðxÞ dx:
1 X
1 X
jfn ðxÞj fr alle
n¼1
xð1 x2 Þn1 ist eine geometrische Reihe mit dem An-
n¼1
fangsglied a= x und dem Quotienten q ¼ 1 x2 : – Sie konvergiert fr x=0 und im Fall x 6¼ 0 fr j1 x2 j < 1, was mit 0 < x2 < 2 gleich-
A 62
A
Mathematik – 6 Differential- und Integralrechnung
Tabelle 6. Bestimmte eigentliche und uneigentliche Integrale
bedeutend ist. Sie hat fr x=0 die Summe S(0)=0 und fr j1 x2 j < 1 die Summe SðxÞ ¼ x=½1 ð1 x2 Þ ¼ 1=x: Damit ist auf pffiffiffi pffiffiffi dem Konvergenzbereich K ¼ ð 2; 2Þ der unendlichen Funktionenreihe die Funktion S erklrt durch ( pffiffiffi pffiffiffi 1 X 1=x fr 2 < x < 0 oder 0 < x < 2 xð1 x2 Þn1 ¼ SðxÞ ¼ 0 fr x ¼ 0: n¼1
Gleichmßige Konvergenz. Die unendliche Reihe
1 X
fn ðxÞ
n¼1
heißt auf K gleichmßig gegen die Summe S(x) konvergent, wenn es zu jedem e>0 eine natrliche Zahl N gibt, so daß X 1 f ðxÞ SðxÞ < e bzw. jRn ðxÞj < e fr alle n ^ N und alle n¼1 n
sind zu unterscheiden: – Es existiert eine positive Zahl r, so daß fr alle | x|r divergiert. Hierbei heißen r der Konvergenzradius und das offene Intervall (– r, r) der Konvergenzbereich der Reihe. – Die Reihe konvergiert fr alle x 2 R. Sie heißt dann berall oder bestndig konvergent, und es ist r= 1 . – Die Reihe divergiert fr alle x 6¼ 0 (fr x=0 konvergiert sie trivialerweise). Sie heißt dann nirgends konvergent, und es ist r=0. Existiert der Grenzwert lim
n!1
p ffiffiffiffiffi n an ¼ g oder
anþ1 ¼ g; lim n!1 an
x 2 K. Bei der geometrischen Deutung (Bild 14) kommt die gleichmßige Konvergenz dadurch zum Ausdruck, daß fr hinreichend große n das graphische Bild der Partialsummen sn ðxÞ innerhalb eines Streifens von der Breite 2e mit dem graphischen Bild von S(x) als Mittellinie verluft.
wobei auch der uneigentliche Grenzwert 1 zugelassen ist, dann gilt r=1/g fr 00 gibt, so daß jf ðrÞ gj < e fr alle r 2 D mit 0 < jr r0 j < d. Anschaulich bedeutet dies, daß fr alle Punkte r 2 D, die hinreichend nahe bei r0 liegen und von r0 verschieden sind, die Bilder f ðrÞ beliebig nahe bei g liegen, symbolisch: lim f ðrÞ ¼ g oder ! r !! r0
lim
ðx;yÞ!ðx0 ;y0 Þ
f ðx; yÞ ¼ g:
Stetigkeit. Die Funktion f auf D heißt in r0 2 D stetig, wenn es zu jedem e>0 ein d>0 gibt, so daß jf ðrÞ f ðr0 Þj < e fr alle r 2 D mit jr r0 j < d oder r 2 Ud ðr0 Þ. Ist r0 Hufungspunkt von D, so ist dies gleichbedeutend mit lim f ðrÞ ¼ f ðr0 Þ. ! r !! r0 Die Funktion f heißt stetig auf D, wenn sie in jedem Punkt von D stetig ist. 6.2.3 Partielle Ableitungen Die reellwertige Funktion f auf D R2 heißt in ðx0 ; y0 Þ 2 D partiell nach x bzw. y differenzierbar, wenn der Grenzwert f ðx0 þ h; y0 Þ f ðx0 ; y0 Þ h ¶f ¶ ¼ ðx0 ; y0 Þ ¼ fx ðx0 ; y0 Þ ¼ f ðx0 ; y0 Þ bzw: ¶x ¶x f ðx0 ; y0 þ kÞ f ðx0 ; y0 Þ lim k!0 k ¶f ¶ ¼ ðx0 ; y0 Þ ¼ fy ðx0 ; y0 Þ ¼ f ðx0 ; y0 Þ ¶y ¶y lim
h!0
existiert. Dieser Grenzwert heißt partielle Ableitung nach x bzw. y. Fr y ¼ y0 ¼ const stellt der Graph von z ¼ f ðx; y0 Þ die Schnittkurve der Ebene y ¼ y0 mit der Flche z=f(x, y) dar, und die partielle Ableitung von f nach x ist dann die Steigung der Tangente im Punkt ðx0 ; y0 ; f ðx0 ; y0 ÞÞ der Schnittkurve. Entsprechendes gilt fr die partielle Ableitung nach y (Bild 17). Beispiel: z ¼ f ðx; yÞ ¼ xy fr (x, y) 2 D={(x, y)|x>0 und y 2 R}. – ¶f ¶f ðx; yÞ ¼ fx ðx; yÞ ¼ yxy1 ; ðx; yÞ ¼ fy ðx; yÞ ¼ xy ln x: ¶x ¶y
Bild 16. Funktionen mit zwei Vernderlichen. a geometrische Deupffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tung von z=f(x, y); b Kugeloberflche z ¼ 1 x2 y2 ; c Niveaulinien
Bild 17. Geometrische Deutung der partiellen Ableitungen
I6.2
Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen
A 67
Hhere partielle Ableitungen. Ist die reellwertige Funktion f in einem Gebiet G R2 partiell nach x und y differenzierbar, dann stellen die partiellen Ableitungen fx und fy Funktionen auf G dar, die selbst wieder partiell nach x und y differenzierbar sein knnen. Diese partiellen Ableitungen 2. Ordnung werden ausgedrckt durch ¶2 f ¶ ¶f ðx; yÞ ¼ ðx; yÞ ¼ fxx ðx; yÞ; ¶x2 ¶x ¶x ¶2 f ¶ ¶f ðx; yÞ ¼ ðx; yÞ ¼ fyy ðx; yÞ; ¶y2 ¶y ¶y ¶2 f ¶ ¶f ðx; yÞ ¼ ðx; yÞ ¼ fyx ðx; yÞ; ¶x ¶y ¶x ¶y ¶2 f ¶ ¶f ðx; yÞ ¼ ðx; yÞ ¼ fxy ðx; yÞ: ¶y ¶x ¶y ¶x
Besitzt die reellwertige Funktion f in dem Gebiet G R2 stetige partielle Ableitungen fx und fy , dann ist sie in G total differenzierbar.
Alle weiteren partiellen Ableitungen hherer Ordnung werden analog erklrt.
Dies bedeutet, daß f in jedem ðx; yÞ 2 R2 (total) differenzierbar ist.
Beispiel: z ¼ f ðx; yÞ ¼ x expðxyÞ; D ¼ R2 : –
Geometrische Deutung. Wird in der Gleichung
fx ðx; yÞ ¼ ð1 þ xyÞ expðxyÞ; fxx ðx; yÞ ¼ ð2y þ xyÞ expðxyÞ; fxy ðx; yÞ ¼ ð2x þ x2 yÞ expðxyÞ;
Stze ber partiell differenzierbare Funktionen. Besitzt die reellwertige Funktion f im Gebiet G R2 beschrnkte partielle Ableitungen fx und fy , d.h., gibt es eine solche positive Zahl m, so daß jfx ðx; yÞj % m und jfy ðx; yÞj % m fr alle ðx; yÞ 2 G gilt, dann ist f auf G stetig. Satz von Schwarz: Besitzt die Funktion in dem Gebiet G die partiellen Ableitungen fx ; fy ; fxy und fyx und sind fxy und fyx stetige Funktionen auf G, dann ist fxy ¼ fyx . Bei stetigen gemischten Ableitungen darf also die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauscht werden.
Beispiel: z ¼ f ðx; yÞ ¼ x2 y þ y; ðx; yÞ 2 R2 : – Mit fx ðx; yÞ ¼ 2xy und fy ðx; yÞ ¼ x2 þ 1 lautet das totale Differential df ðx; yÞ ¼ 2xy dxþ ðx2 þ 1Þ dy: Der Funktionszuwachs Df ðx; yÞ ist Df ðx; yÞ ¼ ðx þ dxÞ2 ðy þ dyÞ þ ðy þ dyÞ ðx2 y þ yÞ ¼ ð2xy dx þ ðx2 þ 1Þ dyÞ þ y dx2 þ 2xy dx dy þ dx2 dy ¼ df ðx; yÞ þ y dx2 þ 2x dx dy þ dx2 dy: Es ist leicht einzusehen, daß fr ðdx; dyÞ ! ð0; 0Þ lim
Df ðx; yÞ d f ðx; yÞ y dx2 þ 2x dx dy þ dx2 dy pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼0 dx2 þ dy2 dx2 þ dy2
fr alle ðx; yÞ 2 R2 :
f ðx0 þ dx; y0 þ dyÞ ¼ f ðx0 ; y0 Þ þ fx ðx0 ; y0 Þ dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ fy ðx0 ; y0 Þ dy þ hðdx; dyÞ dx2 þ dy2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi das Glied hðdx; dyÞ dx2 þ dy2 vernachlssigt und x0 þ dx ¼ x; y0 þ dy ¼ y; f ðx0 ; y0 Þ ¼ z0 sowie f(x, y)=z gesetzt, dann lautet sie z ¼ z0 þ fx ðx0 ; y0 Þðx x0 Þ þ fy ðx0 ; y0 Þðy y0 Þ: Diese Gleichung stellt geometrisch die Tangentialebene im Punkt ðx0 ; y0 ; f ðx0 ; y0 ÞÞ der Flche z=f (x, y) dar. Sie enthlt die beiden Tangenten mit den Steigungen fx ðx0 ; y0 Þ und fy ðx0 ; y0 Þ, Bild 17. Geometrisch bedeutet demnach die totale Differenzierbarkeit von f in ðx0 ; y0 Þ, daß sich die Flche z=f(x, y) in einer Umgebung von ðx0 ; y0 Þ durch eine Tangentialebene approximieren lßt. Ableitung von zusammengesetzten Funktionen
Differenzierbarkeit. Eine reellwertige Funktion f auf dem Gebiet G R2 heißt in ðx0 ; y0 Þ 2 G (total) differenzierbar, wenn es zwei Zahlen A und B und zu jedem e>0 ein d>0 gibt, so daß f ðx0 þ h; y0 þ kÞ f ðx0 ; y0 Þ ðAh þ BkÞ
