5-1 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato

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5 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Escalas: clases de escalas, escala gráfica, Construcción de la escala decimal de transversales. Semejanza: construir un polígono inversamente semejante a otro. Proporcionalidad. Figuras equivalentes: Triángulos y polígonos equivalentes, construcción de un polígono equivalente a otro pero que tenga un lado menos, construcción de un cuadrado equivalente a un círculo dado, construcción de un triángulo y un cuadrado equivalente a un pentágono, construcción del círculo equivalente a la elipse. Simetría: simetría central, simetría axial, construcción del segmento simétrico de otro dado respecto de un eje. Giros. INVERSIÓN: elementos que definen la inversión, rectas antiparalelas, Puntos, rectas y circunferencias dobles, inverso de un punto, teoremas, propiedades de las circunferencias inversas, aplicaciones de la inversión. TEMPORALIZACIÓN: 6 horas

ESCALAS

Es la relación de semejanza que existe entre el dibujo y el modelo natural. Esta relación se expresa por un quebrado cuyo numerador corresponde al tamaño del dibujo y el denominador al del objeto real.

Transform aciones en el plano 5-2

Clases de escalas Las escalas pueden ser: de reducción, de ampliación y natural o de igualdad. - Escala natural o de igualdad:

El dibujo tiene las mismas dimensiones que el original. Ej: 1/1, 1:1

- Escala de reducción:

El dibujo es menor que el original. Las más usadas son: C en arquitectura e ingeniería: 1:5, 1:10, 1:20 para representar detalles; 1:50, 1:100, 1:200.en planos generales. C En topografía y urbanismo: 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000, 1:2000, etc. C En cartografía: 1:5000, 1:10000, 1:25000, 1:50000 Este tipo de escala se aplica a los objetos muy grandes que sólo pueden ser representados por medio de un dibujo más pequeño. Este cociente se indica por una fracción donde el numerador debe procurarse que sea la unidad y el denominador las veces que se ha reducido el objeto. Por ejemplo, la escala 1:10 indica que la representación en el papel es diez veces menor que la realidad.

- Escala de ampliación: El dibujo es mayor que el original. 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1, etc. Es la relación o cociente utilizado para representar objetos pequeños por medio de un dibujo de mayor tamaño. Este cociente viene dado por medio de una fracción ordinaria cuyo denominador debe ser la unidad. De este modo, el numerador indica las veces que se ha ampliado el objeto. Por ejemplo, la escala 3:1 indica que cada unidad de medida real (1 metro, 1 centímetro, 1 milímetro, etc) vendrá dibujada tres veces mayor (3 metros, 3 centímetros, 3 milímetros, respectivamente). Una escala expresada en fracción puede convertirse en decimal dividiendo el numerador por el denominador. Ej: 6:8 = 0'75. A la inversa, una escala expresada en fracción decimal puede convertirse en fracción ordinaria tomando por numerador el decimal sin la coma y sin el cero y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga: Escala 0'75 = 75/100 =7'5/10 = 6/8

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Consideraciones - Todas las escalas empleadas se indicarán en la rotulación, destacando la principal con caracteres de mayor tamaño. Las escalas secundarias, se indicarán también en las partes correspondientes del dibujo. - En general todo se dibujará a escala. Las cotas que no estén a escala se deben subrayar. - Sobre un plano dibujado a escala, las cifras de cota que se ponen son siempre las reales, es decir, las medidas reales de la pieza. Unidades empleadas En el dibujo de máquinas todas las medidas en milímetros. En dibujos de arquitectura, carpintería etc, todas las medidas se representan en metros y su fracción el centímetro. La base de la escala será el metro = 100 cm. En planos, mapas, etc se usan el decámetro, hectómetro, kilómetro, etc. según convenga. Escala gráfica. Fig.5.1 Es un segmento representativo de la unidad de medida (el metro) dibujado a escala. Generalmente este segmento se divide en diez partes iguales para representar los decímetros. Para obtener su magnitud se reduce el quebrado de la escala a número decimal, dividiendo su numerador por el denominador. Por ejemplo, la Fig.5.1 escala 1:2 indica que 0'5 metros en el dibujo representan un metro lineal, luego la escala gráfica se construirá con un segmento de 50 centímetros, para representar el metro. Como esta magnitud es excesiva, se dibuja una parte del metro; por ejemplo, un decímetro, que vendrá dado por una longitud de 5 cm. Cuando la escala viene dada por dos números distintos, la escala gráfica se obtiene basándonos en la proporcionalidad de segmentos según la construcción que describimos. Supongamos que se quiere construir la escala 5/7. Sobre una recta cualquiera se coloca una longitud equivalente a 5 cm. y se divide esta magnitud en 7 partes iguales, las cuales se numeran correlativamente a partir del origen. Estas divisiones representan los centímetros a la escala dada. Para completar la escala, se lleva a la izquierda del origen una de estas unidades que se subdivide en otras diez partes iguales para representar los milímetros. Este último segmento se denomina contraescala. De esta manera, si se quiere tomar por ejemplo una distancia de 47 mm, se colocará una punta del compás en el 4 y la otra en la séptima división de la contraescala.

Transform aciones en el plano 5-4

Construcción de la escala decimal de transversales. Fig.5.2 Para obtener una mayor exactitud en la aplicación de una escala, puede construirse este tipo escala, en la cual se pueden apreciar perfectamente las décimas de la unidad adoptada.

Fig.5.2

Ejemplo: E = 1:250. Se construye la escala gráfica 1 es a 250, tal como se explicó en el apartado anterior. Por los puntos de división se trazan perpendiculares a la escala y se toma una altura arbitraria h que se divide en 10 partes iguales; por estas partes se trazan paralelas a la línea de la escala y se unen las divisiones de la contraescala de tal forma que quede la división 0 con la 1; la 1 con la 2, etc.; se forman así triángulos rectángulos cuyas bases van aumentando en una décima de la unidad de la contraescala. Escala intermedia En ocasiones se necesita transformar un dibujo realizado a escala a otra escala diferente. Existirá entre las dos escalas antedichas una escala intermedia que responde a la siguiente fórmula:

La escala intermedia se obtendrá pues al multiplicar la inversa de la escala del dibujo dado por la escala a la que vamos a reproducir el dibujo.

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Sea un dibujo a escala 2:3 que queremos reproducir a escala 5:4.

Triángulo universal de escalas. Fig.5.3 Por medio de un triángulo podemos construir las escalas más sencillas, tanto normalizadas como sin normalizar. Para fabricar la escala procederemos según los siguientes pasos: 1.- Partimos de la escala natural, es decir E 1:1 para lo que dibujamos una recta de 10 cm de largo, que dividimos centímetro a centímetro. 2.- Por su extremo izquierdo levantamos una perpendicular de longitud cualquiera. 3.- Tomamos un punto P cualquiera sobre la perpendicular trazada en el paso 2, y desde él unimos con las divisiones de la recta horizontal de 10 cm. 4.- Se coge el numerador de la escala sobre la recta con la escala natural y se lleva una perpendicular a ella hasta que corte la línea oblicua que parte de P y va a la división de la escala natural que marca el denominador. Si la escala es de reducción (menor que la unidad) levantamos la perpendicular por encima de la escala 1:1. Si la escala es de ampliación, a la inversa. 5.- Por el punto de corte de la perpendicular con la oblicua (paso 4) trazamos una horizontal con lo que nos quedará dividida en la escala buscada.

Fig.5.3

Transform aciones en el plano 5-6

SEMEJANZA

Dos figuras son semejantes (Fig.5.4) cuando tienen la misma forma pero diferente tamaño o lo que es lo mismo, cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. Además, cuando a una de las dos figuras que constituyen una homotecia, se le aplica un movimiento de giro o de simetría axial (o sus productos) se dice que existe "semejanza" ente la figura fija y la resultante del movimiento. Si el movimiento es un giro cuyo centro coincide con el de homotecia, se denomina rotohomotecia. No es necesario comprobar la proporcionalidad de todos los elementos lineales y la igualdad de los Fig.5.4 angulares, basta comprobarlo para algunos de ellos, cumpliéndose, entonces forzosamente para los demás. Cada manera de elegir los elementos para los que se cumple la proporcionalidad (en elementos lineales) o igualdad (en elementos angulares) se denomina "criterio de semejanza". Para construir un polígono semejante a otro se toma un punto cualquiera O exterior a él y se hacen pasar por dicho punto, rectas que lo unan con los vértices del polígono. Se toma un punto A' en el rayo OA, que cumpla la razón de semejanza, y basta ir trazando paralelas a los lados del polígono dado. Las figuras semejantes tienen que cumplir la razón de semejanza que se define de forma que:

Un ejemplo de razón de semejanza podría ser: Si la razón de proporcionalidad de sus lados es k, la razón de proporcionalidad de sus áreas es k2, y la de sus volúmenes, k3. La semejanza conserva la forma de las figuras pudiendo ser su posición cualquiera en el plano. Ejemplo: Si la razón de semejanza fueran 2/3, se divide el segmento OA'en 3 partes iguales (o las que indique el denominador) y se toman desde O tantas partes como indique el numerador. El resto de la figura se obtiene aplicando el caso general. Semejanza de triángulos Los criterios de semejanza, en el caso de los triángulos, son: 1.- Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno son proporcionales a los del otro.

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2.- Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno son proporcionales a dos lados del otro y el ángulo comprendido es igual. 3.- Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno son proporcionales a dos lados del otro y el ángulo opuesto a uno de ellos es igual, siendo ambos obtusángulos o acutángulos. 4.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos de uno iguales a dos ángulos del otro. Si los triángulos que se comparan son rectángulos, al tener ambos un ángulo igual (el ángulo recto), los criterios de semejanza son los siguientes: 1.- Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen la hipotenusa y un cateto de uno proporcionales a los del otro. 2.- Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen los catetos de uno proporcionales a los del otro. 3.- Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando un ángulo agudo de uno es igual a un ángulo agudo del otro. Si en un triángulo, rectángulo o no, se traza una recta paralela a uno de sus lados, se obtiene otro triángulo semejante al primero. Construir un polígono inversamente semejante a otro dado. Fig.5.5 La resolución adoptada en el ejercicio anterior es aplicable en la realización de una semejanza tomando las magnitudes correspondientes en sentido contrario, a partir del centro adoptado.

Fig.5.5

PROPORCIONALIDAD Repaso: Dos magnitudes son proporcionales cuando estas varían de tal forma que su relación permanece constante Las magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto permanece constante. , para que esta proporción sea válida se verificará AD=BC siendo los términos A y D los extremos y los B y C los medios.

Transform aciones en el plano 5-8

Se llama proporción continua aquella en que dos términos se repiten:

Primer procedimiento: (Fig.5.6) Dada una figura, constrúyase otra semejante o proporcional a ella de forma que la razón de semejanza entre ambas sea, por ejemplo, 5/7. Tenemos el polígono ABCD. Para construir el polígono proporcional al dado, siendo 5/7 la razón de semejanza se construye un triángulo rectángulo A'MN cuyos catetos están en la proporción 5 a 7; por ejemplo, se toma A'M = 70 mm y MN = 50 mm. Fig.5.6 A continuación llevamos el lado AB del polígono sobre el cateto MN, es decir, MB=AB y se traslada B, por medio de una paralela al cateto, hasta el punto x de la hipotenusa y éste, por medio de otra paralela al cateto, hasta B'. El segmento A'B' es el lado del polígono semejante al dado y proporcional al lado AB. Debemos respetar esta construcción para todos los lados y diagonales del polígono dado. De esta forma se van construyendo, uno a uno, todos los triángulos semejantes. Segundo procedimiento: (Fig.5.7) Obtenido el lado A'B' proporcional al lado AB como en el caso anterior y tomando A A' como centro, y sobre la figura dada, se trazan los radios polares 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sobre el radio 1 se toma el vértice B' distante de A la magnitud A'B'. A partir de B' se traza la paralela al lado BC. Fig.5.7

Tercer procedimiento: (Fig.5.8) (Por coordenadas) Se opera como en la igualdad de figuras. Si la razón de semejanza es 2:1 se toma es decir se reducen a la mitad las coordenadas y se obtiene el polígono F'.

Fig.5.8

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IGUALDAD En el plano, dos figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden. Esto supone que han de tener todos sus elementos iguales, tanto los lineales como los angulares. Si las figuras se encuentran representadas, generalmente no pueden trasladarse para su superposición, por lo que habría que comprobar la igualdad de todos sus elementos. Esto no es necesario, ya que la igualdad de algunos elementos, según el tipo de figuras, supone la igualdad de los demás. Esos elementos, cuya igualdad supone la de los demás, pueden escogerse de varias maneras para cada tipo de figuras, designándose cada una de las maneras como "criterio de igualdad".

1.2.3.-

4.-

En el caso de los triángulos, los criterios o casos de igualdad son los siguientes: Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados de uno iguales a los del otro. Dos triángulos son iguales si tienen dos lados de uno iguales a dos lados del otro y el ángulo comprendido igual. Dos triángulos son iguales si tienen dos lados de uno iguales a dos lados del otro e igual el ángulo opuesto a uno de ellos, siendo los dos triángulos obtusángulos o acutángulos. Dos triángulos son iguales si tienen un lado de uno igual a un lado del otro y dos ángulos de uno iguales a dos ángulos del otro. Si los triángulos que se comparan son rectángulos, al tener ambos un ángulo igual (el ángulo recto), los criterios de igualdad son los siguientes:

1.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando los catetos de uno son iguales a los catetos del otro. 2.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando un cateto y la hipotenusa de uno son iguales a los del otro. 3.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando un cateto y el ángulo agudo contiguo/opuesto de uno son iguales a los del otro. 4.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando la hipotenusa y un ángulo agudo de uno son iguales a los del otro.

Transform aciones en el plano 5-10

FIGURAS EQUIVALENTES

Se llaman figuras equivalentes las que tienen la misma superficie pero diferente forma. En el caso de perímetros curvos, con expresión analítica definida, para la determinación de la superficie, hay que recurrir al cálculo integral, o si se trata de curvas cualesquiera, a construcciones gráficas aproximadas. Pero en el caso de contornos polígonales, es fácil obtener figuras equivalentes sucesivas con número de lados decrecientes hasta llegar al triángulo y, finalmente, encontrar el cuadrado equivalente, pues su lado l es medio proporcional entre la base b y la mitad de la altura del triángulo hallado: l2 = b x h/2

Triángulos y polígonos equivalentes: a) Dos triángulos de igual base y altura son equiva lentes. b) Un triángulo cualquiera puede siempre transformarse en un rectángulo de igual base y mitad altura o de base mitad e igual altura. c) Un cuadrilátero rectángulo, de lados a-b, puede siempre transformarse en un cuadrado de lado L, media geométrica entre a y b.

Construcción de un polígono equivalente a otro pero que tenga un lado menos. Fig.5.9 Se traza una diagonal cualquiera que aisle un sólo vértice, por ej. FB. Se prolonga el lado BC hasta que corte a la paralela a la diagonal trazada desde A y obtenemos G. El polígono GCDEF es el equivalente al dado. Los triángulos ABF y GBF son equivalentes por tener la misma base e igual altura.

Fig.5.9

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Construcción de un cuadrado equivalente a un círculo dado (cuadratura del círculo). Fig.5.10 El área del círculo y del cuadrado tienen que ser iguales L2 = Br2 ÷ L2 = Br.r de lo que se deduce que el lado del cuadrado es media proporcional entre los segmentos Br y r. Fig.5.10 En la figura, para construir la media proporcional, se toma sobre una recta cualquiera los segmentos Br (rectificación de la semicircunferencia) y r. Esta rectificación es igual a la suma de los lados del triángulo y del cuadrado inscritos en ella. Trazamos una semicircunferencia de diámetro MN = r + Br. El segmento AD = L es el lado del cuadrado buscado por ser la media proporcional entre los dos segmentos dados.

Construcción de un triángulo y un cuadrado equivalentes a un pentágono. Fig.5.11 y 5.12 Para la construcción del triángulo equivalente (Fig.5.11) realizaremos, dos veces, lo explicado para la conversión de polígonos. Para la construcción del cuadrado equivalente (Fig.5.12) una vez transformado el pentágono en triángulo igualamos áreas de triángulo y cuadrado

es

decir, el lado del cuadrado es media proporcional entre los segmentos b y h/2. Construimos la media proporcional de estos dos segmentos determinando L.

Figs.5.11 y 5.12

Transform aciones en el plano 5-12

Construcción del círculo equivalente a la elipse. Fig.5.13 Se igualan las áreas de las dos figuras y tendremos Br2 = Bab ÿ r2 = ab Basta hallar la media proporcional entre los semiejes a y b de la elipse para obtener el radio r del círculo equivalente. En la fig. ON = OD = b y OB = a. Se traza la semicircunferencia de diámetro NB = ab y la tangente a ella, desde O, es el radio r = OP de la circunferencia equivalente a la elipse.

Fig.5.13

Hallar un cuadrado equivalente a la suma de otros dos dados. Fig. 5.13.1 Se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos sean los lados respectivos de los cuadrados conocidos. La hipotenusa obtenida de este triángulo es el lado del cuadrado. Aplicando el teorem a de Pitágoras, l32 = l12 + l 22

Fig.5.13.1

Fig.5.13.2

Hallar un cuadrado equivalente a la suma de otros tres. Fig.5.13.2 Se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos sean los lados de dos de los cuadrado conocidos y sobre la hipotenusa de éste, tomada nuevamente como cateto, construir otro triángulo rectángulo cuyo otro cateto sea el lado del tercer cuadrado. La hipotenusa resultante es el lado del cuadrado suma.

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Hallar un cuadrado de doble área que otro dado. Fig.5.13.3 La diagonal del cuadrado dado es el lado del cuadrado solución. Es evidente que el cuadrado obtenido es de doble área que el conocido, toda vez que éste está constituido por dos triángulos rectángulos isósceles de hipotenusa igual a la diagonal, y aquél se encuentra formado por cuatro. Fig.5.13.3

Dividir un triángulo en dos partes equivalentes por medio de una paralela a su base. Fig.5.13.4 Otro enunciado: Dividir un triángulo en dos partes de forma que una tenga doble área que la otra por medio de una paralela a la base

Con centro en O, punto medio de uno de los lados AC que no sea la base del triángulo conocido, se describe una semicircunferencia, determinando sobre la misma el punto medio M mediante la mediatriz a AC trazada por O. Haciendo centro en el vértice A y con radio AM describir un arco hasta cortar en F al lado AC, punto por el cual se traza la paralela a la base que divide al triángulo en dos partes equivalentes.

Fig.15.13.4

El triángulo AMC es un triángulo rectángulo. Según el teorema del cateto (el cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella) sabemos que AM2 = AO x AC y siendo AO=AC/2 y AF=AM resulta que AM2 = AC/2 x AC = AC2/2 de donde AC2 = 2AF2. En los triángulos semejantes ABC y ADF podemos establecer que

y al ser estas magnitu-

des constantes e iguales puede establecerse que si hacemos

Sustituyendo el valor AC2 ya determinado, dividiendo entre dos resulta que el del obtenido ADF como se quería demostrar.

. De donde AN x BC = 2AP x DF que lo que indica que el área del triángulo dado ABC es doble

Transform aciones en el plano 5-14

SIMETRÍA

Se dice que dos figuras son simétricas respecto a un punto (centro de simetría) o a una recta (eje de simetría) cuando al girar una de ellas alrededor del centro o del eje, coincide con la otra.

Simetría central. Fig.5.14 Dos puntos A y A' se dice que son simétricos respecto de un punto C, llamado centro de simetría, cuando están en línea recta con él y equidistan de dicho centro, CA = CA' = d. Estas dos condiciones las cumplen todas las parejas de puntos simétricos. En la figura se repite la operación, punto a punto; se unen los vértices 1, 2, 3, ... etc. del polígono dado con el centro C de simetría y se toman C-1'= C-1, C-2'= C-2, etc. Los lados simétricos son paralelos.

Fig.5.14

Simetría axial. La simetría axial o respecto de un eje, es, como la anterior, una relación geométrica que liga los puntos simétricos por dos condiciones: Un punto A y su simétrico A' están en la misma perpendicular al eje de simetría; los dos puntos A y A' equidistan del eje, estando uno a cada lado del mismo. De la predisposición o situación geométrica del mismo en el soporte o papel, la simetría puede ser vertical u horizontal.

Construcción del segmento simétrico de otro dado respecto de un eje. Fig.5.15 Se tiene el segmento s cuyos extremos son A y B; el simétrico del A es A' y el simétrico de B es B'; el segmento s' que une A' y B' es el simétrico del s. En la simetría axial las parejas de rectas simétricas se cortan en un punto del eje de simetría. Fig.5.15

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Si deseamos hallar el simétrico de una figura o polígono realizaremos este proceso para cada uno de los lados del polígono.

GIROS

El giro es una transformación homográfica definida por un centro de giro O, un ángulo de giro " y un sentido de giro dado, de modo que un punto A se transforma en un punto A', siendo AO=A'O, el ángulo AOA'=a y el sentido AA' el indicado en los datos. Fig.5.16 La rotación del polígono puede realizarse en torno a su centro, a un punto interior, a un punto situado sobre un lado, a un vértice o a un punto exterior. Fig.5.17 El único punto doble es el centro de giro O, ya que su homólogo es el propio centro. Fig.5.16 No existen en general rectas dobles. Son dobles las circunferencias que tienen su centro en el centro de giro

Fig.5.17

Transform aciones en el plano 5-16

Propiedades de los giros. - La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano y sus homólogos, es la misma en los giros. - En los giros se conservan los ángulos y las distancias. - Los giros transforman rectas en rectas, ya que a CA le corresponde C'A' obtenida girando dos cualesquiera de sus puntos.

Girar la figura ABC 30°, respecto del centro O, en sentido positivo antihorario. Fig.5.18 Únase la recta AO. Se construye un ángulo de 30° con vértice en O, siendo AO un lado y teniendo en cuenta que A se tiene que desplazar en sentido contrario a las agujas del reloj. El otro lado del ángulo será la recta OA'. Dibujamos la trayectoria de A trazando un arco de circunferencia de centro O y radio OA en el sentido indicado. La intersección de dicho arco con la recta OA' será el punto A' buscado.

Fig.5.18

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INVERSIÓN

La inversión es una transformación geométrica en la que a todo punto A del plano se le hace corresponder otro punto A' alineado con el primero y con un punto fijo C llamado centro de inversión, de tal forma que el producto de sus distancias al centro es un valor constante y distinto de cero (K…0) llamado potencia de inversión, o razón de inversión. Es decir, CA.CA'= K Fig.5.19

Elementos que definen la inversión Una inversión puede definirse con: - el centro C y un par de puntos homólogos A y A'. De CA y CA' puede deducirse el valor de K. - el centro C, K y la posición de un punto A. La recta CA' se deduce de CA.CA'=k - los pares de puntos homólogos A-A' y B-B'. El centro C se deduce. Inversión positiva (Cuando K>0) Fig.5.20 Se llama así cuando los puntos homólogos A y A' están a un mismo lado del centro C. Inversión negativa (Cuando K0

Transform aciones en el plano 5-20

1) - Si K>0 la recta tendrá sólo dos puntos dobles, a la distancia ±%&K de C. En el ejemplo A/A' y B/B' equidistan de C. El punto A está a distancia -%&K y el B a distancia +%&K . Aunque sólo tiene dos puntos dobles, la recta r es doble, pues sobre ella están los puntos y sus inversos.

2) - Si K0 se genera una circunferencia de autoinversión de puntos dobles (cpd) Para construirla basta trazar una circunferencia de radio=%&k con centro en C. Los puntos que disten de C esa distancia %&K son inversos de sí mismos, son puntos dobles. Todos los puntos de la circunferencia serán dobles y la circunferencia es doble (inversa de sí misma) y se llama cpd. Fig.5.26

Caso segundo. Fig.5.27 Si K0 a) Fig.5.34. Si %&K < CP, es decir, si la razón %&K es menor que la distancia del centro C a la recta r entonces la c.p.d. no corta a la recta. Para hallar la circunferencia inversa de r, dado un K=100, trazamos desde C una perpendicular a r y se obtiene el punto P. Se traza la cpd con centro en C, y desde P trazamos la tangente a la Fig.5.34 cpd. Desde el punto de tangencia T se lleva una perpendicular a CP para conseguir el punto P'. La circunferencia inversa de r es la circunferencia de diámetro P'C. b) Fig.5.35. Si %&K > CP, la c.p.d. corta a la recta r. Trazada la cpd, el punto P queda interior a la misma. Para hallar el punto P' se traza la cpd que corta a r en A/A' y B/B'. Como la circunferencia inversa ha de pasar por CA y B, se hallan las mediatrices de CA y CB, que se cortan en el punto O, centro de la circunferencia inversa buscada. El punto P' estará sobre CP. - Para hallar el inverso de cualquier punto X que esté sobre la recta, unimos C con X y donde corte la prolongación de CX a la circunferencia estará X'. El mismo procedimiento seguiremos Fig.5.35

Transform aciones en el plano 5-24

para hallar el inverso de un punto de la circunferencia; es decir uniremos Y' con C y donde corte a la recta estará Y. - El inverso de un punto del infinito de la recta r estará en el centro C de inversión. c) Si %&K = CP. Fig.5.36 Si la c.p.d. es tangente a la recta (%&K=CP) entonces P/P'. La circunferencia inversa de r será tangente a la recta r y a la cpd en el punto P/P'.

Fig.5.36

2) Si %&K