Mathematische Probleme, SS 2016

Freitag 8.7

$Id: sphaere.tex,v 1.15 2016/07/08 13:57:53 hk Exp $

§5

Sph¨ arische Trigonometrie

5.3

Kleinkreise als sph¨ arische Kreise

In der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die sph¨arischen Kreise auf einer Sph¨are K genau die Kleinkreise von K sind, d.h. die Schnitte K ∩ e wobei e eine nicht durch den Mittelpunkt M von K gehende Ebene ist die K in mehr als einem Punkt schneidet. Hatten wir einen Punkt A ∈ K und einen Winkelradius 0 < % < π/2 so bezeichnete N den Punkt zwischen M und A mit |M N | = R cos % und e die auf M A senkrechte Ebene durch N . Dann war der sph¨arische Kreis k mit Mittelpunkt A und Winkelradius % genau der Durchschnitt k = K ∩e und k ist in e ein euklidischer Kreis mit Mittelpunkt N und Radius R sin %. Nun sei ∆ = ABC ein sp¨arisches Dreieck bezeichnet gem¨aß der Standardkonvention. Sei e die Ebene durch A, B, C. Dann ist k = K ∩ e ein Kleinkreis durch die drei Ecken von ∆ und k ist zugleich der Umkreis des euklidischen Dreiecks ABC in der Ebene e. Ist N der Lotfußpunkt von M in e, so p haben alle Punkte von k = K ∩ e nach dem Satz des Pythagoras den Abstand r := R2 − |M N |2 zu N , d.h. N ist der Mittelpunkt des euklidischen Kreises k und r ist sein Radius. Ist weiter Z der Schnitt der Halbgeraden M N mit K, so ist k der sph¨arische Kreis mit Mittelpunkt Z und Winkelradius % gegeben durch cos % =

|M N | r also auch sin % = . R R

Damit haben alle Ecken von ∆ denselben Winkelabstand % zu Z und wir nennen Z den Umkreismittelpunkt von ∆, % den Umkreisradius von ∆ und k den Umkreis von ∆. Insbesondere ist der Umkreisradius wieder im Sinn des Winkelabstands gemeint. Satz 5.9 (Umkreis eines sph¨ arischen Dreiecks) Seien K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 und ∆ = ABC ein sp¨arisches Dreieck auf K mit Seiten a, b, c bezeichnet gem¨aß den Standardbezeichnungen. Weiter sei S der Eckensinus von ∆. Dann hat ∆ den Umkreisradius % gegeben durch S tan % = 4 sin

a b c sin sin . 2 2 2

Beweis: Sei Z der Umkreismittelpunkt von ∆. Der Umkreis k von ∆ ist dann der sph¨arische Kreis mit Mittelpunkt Z und Winkelradius % und nach Lemma 8 ist k = K ∩ e ein Kleinkreis, wobei e die auf M Z senkrechte Ebene zwischen M und Z im 24-1

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Abstand d = R cos % zu M ist, und weiter ist k in e ein euklidischer Kreis mit Radius U = R sin %. Sei N := M Z ∩ e der euklidische Mittelpunkt von k, also |M N | = d. Wegen A, B, C ∈ k ist k auch der Umkreis des euklidischen Dreiecks Λ := ABC in e, d.h. U ist auch der Umkreisradius von Λ. Ist F := A(Λ) die Fl¨ache des Dreiecks Λ, so gilt nach §1.Satz 18 e aebe c , U= 4F wobei e a, eb, e c die Seitenl¨angen von Λ sind. Wenden wir den Cosinussatz §1.Satz 4 im Dreieck M AB an, so ergibt sich c c e c2 = 2R2 (1 − cos c) = 4R2 sin2 , also e c = 2R sin . 2 2 Analog sind e a = 2R sin

b a und eb = 2R sin , 2 2

also U=

2R3 sin a2 sin 2b sin 2c . F

Betrachte nun das Simplex T := co({M, A, B, C}. Nach Lemma 7 ist dann 1 vol(T ) = R3 S. 6 Andererseits k¨onnen wir T als einen Kegel mit Grundfl¨ache Λ und H¨ohe d auffasen, also ist 1 vol(T ) = F d, 3 und es wird 3 vol(T ) R3 S F = = , d 2d und somit 4d sin a2 sin 2b sin 2c R sin % = U = S und wegen d = R cos % ist schließlich S tan % = 4 sin

a b c sin sin . 2 2 2

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5.4

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Elliptische Geometrie

Wir haben bisher gesehen das die Geometrie einer Sph¨are sehr ¨ahnlich zur euklidischen Geometrei ist, wir haben Abst¨ande, Winkel, Fl¨achen, Kreise, Dreiecke und all diese Dinge die sich weitgehend wie ihre euklidischen Gegenst¨ ucke verhalten. Den euklidischen Geraden entsprechen dabei die Großkreise, allerdings gibt es bez¨ uglich dieser Gera” den“ keine eindeutige Verbindbarkeit von Punkten mehr. Durch je zwei verschiedene und nicht diametrale Punkt geht zwar genau ein Großkreis, durch ein Paar diametraler Punkte laufen allerdings mehrere, sogar unendlich viele, solcher Großkreise. Man kann dieses Problem beseitigen, und damit wieder die eindeutige Verbindbarkeit herstellen, wenn wir zu einem Quotienten“ der sph¨arischen Geometrie u ¨bergehen. ” Hierzu erinnern wir uns an die in §4.6 eingef¨ uhrte projektive Ebene, diese war definiert mit der Punktmenge P2 R := {U ≤ R3 | dim U = 1}, die Punkte von P2 R sind also die eindimensionalen Untervektorr¨aume des R3 und als Geraden hatten wir die zweidimensionalen Untervektorr¨aume des R3 verwendet. Sei jetzt K eine Kugel mit Mittelpunkt im Nullpunkt und einem Radius R > 0. Dann betrachten wir die Abbildung p : K → P2 R; x 7→ R · x die jedem Punkt der Sph¨are den von ihm aufgespannten Untervektorraum zuordnet. Diese ist surjektiv aber nicht injektiv, da f¨ ur jedes x ∈ K stets p(x) ∩ K = {x, −x} gilt haben wir ∀(x, y ∈ K) : p(x) = p(y) ⇐⇒ y ∈ {x, −x}. ¨ Die Kernrelation von p identifiziert also diametrale Punkte. Uber die Projektion p kann die sph¨arische Geometrie auf P2 R u ur alle ¨bertragen werden. Zun¨achst definieren wir f¨ x, y ∈ K den Abstand |p(x)p(y)| := d(p(x), p(y)) := min{|xy|, |x(−y)|} ¨ und als eine Ubungsaufgabe kann man sich u ¨berlegen das dies eine wohldefinierte Metrik auf P2 R ist. Bez¨ uglich dieser Metrik stimmt der in §4.6 diskutierte projektive Abschluß von Kegelschnitten u uglich einer ¨brigens mit dem gew¨ohnlichen“ Abschluß bez¨ ” Metrik u ¨berein. Die Großkreise k auf K haben die Form k = K ∩ e wobei e eine Ebene durch den Mittelpunkt 0 von k ist, d.h. e ist ein zweidimensionaler Untervektorraum des R3 und damit wird p(k) eine projektive Gerade. Da je zwei verschiedene eindimensionale Untervektorr¨aume einen zweidimensionalen Untervektorraum aufspannen haben wir damit die Eindeutigkeit der Verbindungsgerade wiederhergestellt. Auch die Winkel lassen sich mit p u ¨bertragen. Haben wir zwei Geraden g, h in P2 R die sich in einem projektiven Punkt A schneiden, so entsprechen diesen zwei Großkreise g 0 , h0 die sich in einem Paar diametraler Punkt schneiden und wir definieren den Winkel zwischen diesen Großkreisen als den Winkel zwischen g und h. Dabei spielt es keine 24-3

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Rolle in welchem der beiden diametralen Schnittpunkte wir diesen Winkel betrachten da sie beide u ¨bereinstimmen. Ist k ein Großkreis auf K und h eine der beiden durch k bestimmten Hemisph¨aren so ist p|h injektiv und sogar eine isometrische Einbettung. Alle S¨atze u ¨ber sph¨arische Dreiecke in der Hemisph¨are h u ¨bersetzen sich also in S¨atze u ¨ber Dreiecke in P2 R. Damit gelten f¨ ur projektive Dreiecke die beiden Formen des sph¨arischen Cosinussatzes und der sph¨arische Sinussatz und die Winkelsumme in solchen Dreiecken ist immer echt gr¨oßer als π. Man nennt P2 R verstehen mit diesem Abstand, Winkeln, Dreiecken und so weiter eine elliptische Geometrie. Dies ist eine der sogenannten nicht-euklidischen Geometrien, sie erf¨ ullt alle Axiome der euklidischen Geometrie bis auf das Parallelenaxiom. Da wir die Axiome der euklidischen Geometrie“ nicht eingef¨ uhrt haben k¨onnen wir dies ” an dieser Stelle nicht exakt ausf¨ uhren. Dass das Parallelenaxiom verletzt ist ist allerdings klar, in P2 R haben je zwei verschiedene Geraden genau einen Schnittpunkt, dies bedeutet ja nur das sich je zwei verschiedene zweidimensionale Untervektorr¨aume des R3 in einem eindimensionalen Untervektorraum schneiden. In der elliptischen Geometrie gibt es also gar keine Parallelen. Man kann zeigen das dies der Tatsache das die Winkelsumme in elliptischen Dreiecken gr¨oßer als π ist entspricht. Es gibt eine zweite Sorte nicht-euklidischer Geometrien, die sogenannten hyperbolischen Ebenen, und in diesen gibt es zu jeder Geraden g und jedem Punkt A ∈ / g stets mehrere zu g parallele Geraden durch A und entsprechend ist die Winkelsumme in hyperbolischen Dreiecken kleiner als π. Wir k¨onnen die Abbildung p dazu verwenden eine weitgehend anschauliche Vorstellung der reellen projektiven Ebene zu erhalten. Hierzu w¨ahlen wir eine abgeschlossene Hemisph¨are h mit berandenden Großkreis k auf unserer Sph¨are K. Dann ist auch die Einschr¨ankung p|h : h → P2 R noch surjektiv und die Kernrelation von p|h identifiziert diametrale Punkt auf den Großkreis k. Projizieren wir die Hemisph¨are h auf einen Vollkreis, so wird k auf den Ramd dieses Vollkreises abgebildet, wir k¨onnen P2 R also als den Quotienten P2 R = B/{(x, y) ∈ B × B|y ∈ {x, −x}} auffassen wobei B der ebene Kreis mit Mittelpunkt in 0 und Radius 1 ist. Wir denken uns B nun in drei Teile zerlegt, zum einen den mittleren Streifen   1 1 0 M := (x, y) ∈ B − ≤ y ≤ 2 2 und zum anderen die beiden Kreissegmente     1 1 + + B := (x, y) ∈ B y ≤ und B := (x, y) ∈ B y ≤ − . 2 2 Weiter kann M 0 zum Rechteck R := [−1, 1] × [−1/2, 1/2] deformiert werden so, dass die diametralen Punktepaare auf dem Rand gerade als {(−1, t), (1, −t)} f¨ ur −1/2 ≤ 24-4

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¨ t ≤ 1/2 gegeben sind. Beim Ubergang zu P2 R werden also die linke und die rechte Seite des Rechtecks R gegenl¨aufig miteinander verklebt und es entsteht ein M¨obiusband M := p(M 0 ) ⊆ P2 R. Kommen wir nun zu den beiden Kreisteilen. Jedem zum Rand von B geh¨orenden Randpunkt von B + entspricht ein Randpunkt von B − als Diametralpunkt. Bei Anwendung von p werden also B + und B − zu einer Kreissscheibe D := p(B + ∪ B − ) ⊆ P2 R verklebt deren Rand mit dem Rand des M¨obiusbandes M u ¨bereinstimmt. Die reelle projektive Ebene entsteht also indem die berandende Kreislinie eines M¨obiusbandes durch eine Kreisscheibe abgedeckelt“ wird. ”

5.5

Geographische Koordinaten N

N γ

a

b

β

P

c

α

P2

P1 M

M

ϕ

ϕ2

λ

L¨angengrad λ und Breitengrad ϕ

Abstand auf Großkreis

Wir betrachten wieder eine Kugel, die wir uns diesmal als die Erdkugel vorstellen. Wir wollen die Punkte auf K durch Koordinaten beschreiben. Eine Gerade durch den Mittelpunkt M der Kugel sei vorgegeben, im Fall der Erde nimmt man hierf¨ ur die Rotationsachse der Erde. Die beiden Schnittpunkte der Achse mit K sind die beiden Pole, einen nennen wir Nordpol N , den anderen den S¨ udpol S. Die Großkreise durch Nord- und S¨ udpol, heißen dann die L¨angenkreise, oder Meridiane. Einer von diesen wird willk¨ urlich als Nullmeridian ausgew¨ahlt, im Fall der Erde wurde hierf¨ ur der durch Greenwich laufende Meridian gew¨ahlt. Die erste geographische Koordinate λ eines Punktes P ist nun der L¨angengrad, dies ist der Winkel den der Meridian durch P mit dem Nullmeridian bildet. Dabei z¨ahlen wir die ¨ostliche Richtung als positiv, also mit steigenden L¨angengrad. Statt eines Vorzeichens wird u ¨bleicherweise der Zusatz E“ ” f¨ ur o¨stlich“ und W“ f¨ ur westlich“ verwendet, d.h. ein L¨angengrad von 17◦ E meint ” ” ” den Meridian 17◦ ¨ostlich des Nullmeridians w¨ahrend 17◦ W den Meridian 17◦ westlich des Nullmeridians bezeichnet. Wird nichts weiter angegeben so ist in diesem Skript immer die positive, also ¨ostliche, Richtung gemeint. Die Ebene senkrecht auf der Achse durch M schneidet die Kugel K in einem Groߨ ¨ kreis der der Aquator genannt wird, die Ebene heißt entsprechend die Aquatorebene. 24-5

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Die zweite Koordinate eines Punktes P ist nun der Breitengrad ϕ, d.h. der Winkel ¨ den M P mit der Aquatorebene bildet. Die Punkte konstanten Breitengrades bilden ¨ einen zum Aquator parallelen Kleinkreis, einen sogenannten Breitenkreis. Die n¨ordliche Richtung interpretieren wir beim Breitengrad als die positive Richtung und die s¨ udliche entsprechend als die negative Richtung. Wie beim L¨angengrad wird dies auch beim Breitengrad u ¨blicherweise nicht durch ein Vorzeichen angegeben sondern durch die Zus¨atze N“ f¨ ur n¨ordlich“ und S“ f¨ ur s¨ udlich“. Liegt keine weitere Angabe vor ” ” ” ” so ist in diesem Skript immer die n¨ordliche Richtung gemeint. F¨ ur die folgenden Beispiele schauen wir uns zwei Punkte an, den Punkt P1 ist Kiel mit λ1 = 10◦ 080 , ϕ1 = 54◦ 200 , und den Punkt P2 ist Peking mit λ2 = 116◦ 280 , ϕ1 = 39◦ 540 . Die Nachkommastellen bei solchen geographischen Koordinaten werden traditionell sexagesimal zur Basis 60 dargestellt, d.h. 280 meint 28/60 Grad, weitere Nachkommastellen werden dann mit mehreren Strichen markiert. In dezimales Gradmaß umgerechnet sind auf vier Nachkommastellen λ1 = 10, 1333◦ , ϕ1 = 54, 3333◦ , λ2 = 116, 4666◦ , ϕ2 = 39, 9◦ . Angenommen wir haben zwei Punkte P1 mit Koordinaten λ1 , ϕ1 und P2 mit Koordinaten λ2 , ϕ2 . Um den Abstand dieser beiden Punkte auszurechnen, betrachte des sph¨arische Dreieck P1 P2 N mit Seiten wie im obigen Bild markiert. Gesucht ist die Sei¨ te c. Setzen wir den Meridian durch P2 bis zum Aquator fort, so entstehen insgesamt ◦ ¨ 90 und der Teil zwischen P2 und dem Aquator ist dabei der Breitengrad ϕ2 , also haben wir π π a = − ϕ2 und analog b = − ϕ1 . 2 2 Der Winkel γ ist der Winkel zwischen den Meridianen durch P1 und P2 , und da der L¨angengrad der Winkel zum Nullmeridian ist, folgt γ = λ2 − λ1 . Damit haben wir genug Daten zusammen unser Dreieck zu berechnen. Mit dem Seitencosinussatz Satz 3 folgt cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ π  π  π  π  − ϕ2 cos − ϕ1 + sin − ϕ2 sin − ϕ2 cos γ = cos 2 2 2 2 = sin ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ1 cos ϕ2 cos(λ2 − λ1 ). Mit dieser Formel lassen sich Abst¨ande von in L¨angengrad und Breitengrad gegebenen Punkten berechnen. In unserem obigen Beispiel Kiel–Peking wird cos c ≈ 0, 395334 also c ≈ 1, 164365. 24-6

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Dies ist der Winkelabstand, um den metrischen Abstand zu kriegen m¨ ussen wir noch mit dem Radius unserer Kugel multiplizieren, also mit dem Erdradius R = 6371, 2km und der Abstand Kiel–Peking l¨angs des verbindenden Großkreises wird |P1 P2 | = Rc ≈ 7418, 4km. Auch die beiden Winkel α und β in unserem sph¨arischen Dreieck P1 P2 N haben eine Bedeutung. Unter dem Kurswinkel einer Kurve auf K in einem Punkt versteht man den Winkel zum durch den Punkt laufenden Meridian, dann sind α der Kurswinkel im Startpunkt P1 der Strecke P1 P2 und β der Kurswinkel im Endpunkt P2 , man nennt α den Abfahrts- und β den Ankunftswinkel. Wir k¨onnen diese beispielsweise mit dem sph¨arischen Sinussatz Satz 6 berechnen, es ist sin c/ sin γ ≈ 0, 95716698 und somit sin α =

sin a cos ϕ2 = ≈ 0, 80149562 0, 95716698 0, 95716698

und der Abfahrtswinkel wird α ≈ 53, 273162◦ . F¨ ur den Ankunftswinkel berechnen wir ◦ analog β ≈ 37, 528888 . N

b

γ

a β

P2

α P1 M

Beim Vorgehen u ¨ber den Sinussatz ist allerdings etwas Sorgfalt erforderlich da sich der Sinus nur zwischen 0 und π/2 umkehren l¨aßt, man muss also wissen ob der untersuchte Winkel gr¨oßer oder kleiner als π/2 ist. Alternativ kann man α und β auch u ¨ber den Seitencosinussatz berechnen, dies ist zwar rechnerisch etwas unangenehmer f¨ uhrt allerdings immer zum Erfolg.

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