Cloodt ______________________________________________________________________________ Qualitätsmanagement 4L. Normalverteilung

4L Die Normalverteilung 4 3 2 1 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

Zufallsverteilungen lassen sich in der Natur gut beobachten, denn die Natur setzt bei ihrer Fortpflanzungsstrategie auf den totalen Überfluss. So ergab zum Beispiel eine Kastaniensammlung der Klasse IMM der Max Eyth Schule Kassel im September 2000, bei der die Massen gewogen wurden, folgendes Ergebnis. Wie schwer ist eine Kastanie?

Anzahl der Kastanien

50 40 30 20 10 0 10 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Masse in g Bild 4L: Verteilung von augelesenen Kastanien

Gauß kam dem Zufall auf die Spur Immer dann, wenn nur der Zufall entscheidet, entsteht die Normalverteilung. Sie ist also so alt wie die Natur. Es ist das Verdienst von Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) dass er diese Zufallsverteilung berechenbar gemacht hat. Seine berühmte Formel war auf dem letzten 10,-DM-Schein aufgedruckt.

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1 Y= ⋅e 2⋅π ⋅σ

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-

(µ - x i )2 2 ⋅ σ2

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Kennzeichen der Normalverteilung Wenn nur zufällige Fehler auftreten, so ergibt sich bei unendlich vielen Messungen stets eine Normalverteilung nach Gauß (Glockenkurve). Das Galton'sche Nagelbrett gilt als Hilfsmittel zur modellmäßigen Darstellung einer Normalverteilung.

Die Eigenschaften der Gaußschen Kurve ‹Sie ist symmetrisch zum Mittelwert ‹Beide Äste nähern sich asymptotisch der Messwertachse ‹Beide Äste durchlaufen einen Wendepunkt ‹Der Wendepunkt liegt immer in 60% der Scheitelhöhe ‹Der Abstand beider Wendepunkte vom Mittelwert wird als Standardabweichung bezeichnet ‹Zwischen den durch die einfache Standardabweichung (Wendepunkte) gekennzeichneten Messwerten liegen stets 68,26% der Teile.

Diese Prozente muss man sich merken!

Zwischen x-quer +/- 1s liegen stets 68,26% der Teile Zwischen x-quer +/- 2s liegen stets 95,44% der Teile Abb.: Galtonbrett als Modell für Normalverteilung

Zwischen x-quer +/- 3s liegen stets 99,73% der Teile Zwischen x-quer +/- 4s liegen stets 99,994% der Teile Tabelle 4l: Prozentsätze der Normalverteilung

Die Normalverteilung zeigt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit (g(x) die einzelnen Messwerte x vom Mittelwert µ abweichen. Sie ist eindeutig bestimmt durch die Parameter Mittelwert und Standardabweichung. xquer = µ= s= σ=

Mittelwert einer Stichprobe Mittelwert einer Gesamtheit Standardabweichung einer Stichprobe Standardabweichung einer Gesamtheit

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Die Verteilungsprozente

Wird zum Beispiel die Forderung gestellt, dass bei einer Stichprobe der 3s-Bereich innerhalb der Toleranzgrenzen liegen soll, so beträgt der maximale Fehleranteil 0,27%. Wenn x-quer +/- 4s im Toleranzbereich liegt, dann ist Prozessfähigkeit gegeben, da cp > 1,33 ist. Dann ist die Fehlerprozentzahl 0,006%. Diese kleine Prozentzahl wird häufig in ppm (parts per million) ausgedrückt (siehe Kasten). Regel:

% * 10 000 = ppm

0,0064 % = 0,000064 =

64 = 64 ppm 1 000 000

Übungsbeispiel 4L-3: Bei einer Fertigungsserie wurden der Mittelwert mit 4,2 und die Standardabweichung mit 0,1 ermittelt. Geben Sie bitte an, wieviel % der Teile über dem Wert 4,3 zu erwarten sind und wieviele Teile in % unter 4,0 erwartet werden.

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Die graphische Darstellung der Normalverteilung Die Darstellung von Funktionen ist aus der Mathematik geläufig. Hier sind zunächst einige Beipiele der Darstellung mit Wertetabellen. Sie zeigen die Einordnung der Normalverteilung in diesen Kontext.

Die Gerade

Die Parabel

y =2⋅x

Die Hyperbel

y = x2

y=

1 x

x

y

x

y

0

0

0

0

x

y

1

2

1

1

0,5

2

2

4

2

4

1

1

1,5

0,5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

0 0

1

2

0

Der Kreis y= 3 -x 2

1

0

2

0

Die e-Funktionen y = ex

2

1

2

3

Normalverteilung y = e -x

y =3⋅e

(xquer - x)2 2 ⋅ s2

x

y

x

y

x

y

x

y

0,5

2

-1

0,37

-1

2,7

-1

1,81

1

1

0

1

0

1

0

3

1,5

0,5

1

2,7

1

0,37

1

1,81

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0

0 -2 -1 0 1

0 -2 -1 0 1

0

-

1

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2

3

2 3

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2 3

0 -3 -2 -1 0 1 2 3

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Graphische Darstellung der Normalverteilung Aufgabe: Zeichnen Sie eine Normalverteilungskurve Gegeben: Die Auswertung einer Stichprobe hat folgendes Ergebnis gebracht: Spezifikation 8 +/- 0,5 mm Mittelwert xquer = 8,2 mm Standardabweichung s = 0,2 mm Verwenden Sie zur punktweisen Berechnung die Wertetabelle und die Formel 4L

Wertetabelle:

(xquer - x)2 2 ⋅ s2

Formel 4L

Hier die Punkte einzeichnen

X

Y

7,6

0,09

7,7

0,351495469

7,8

1,082682266

7

7,9

2,597219739

6

7,95

3,662666894

8

4,852245278

8,05

6,038716816

8,1

7,059975221

8,15

7,753865876

2

8,2

8

1

8,25

7,753865876

8,3

7,059975221

8,35

6,038716816

8,4

4,852245278

8,45

3,662666894

8,5

2,597219739

8,6

1,082682266

Normalve.dtp

y =8⋅e

-

9 8

5 4 3

0 7,4

7,6

7,8

8

8,2

Beispiel für ersten Punkt (7,6):

y ( 7, 6 ) = 8 ⋅ e

-

(8,2 - 7,6) 2 2 ⋅ 0,2

Seite 4L - 5

= 0,0889

8,4

8,6

8,8