3.6. Soluciones de los ejercicios

Teor´ıa de la Comunicaci´ on 3.6. Soluciones de los ejercicios Ejercicio 3.1 Soluci´on a) Las modulaciones y frecuencia de portadora son Figura (a)...
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Teor´ıa de la Comunicaci´ on

3.6.

Soluciones de los ejercicios

Ejercicio 3.1 Soluci´on a) Las modulaciones y frecuencia de portadora son Figura (a): modulaci´on AM convencional, con frecuencia de portadora fc = 100 kHz. Figura (b): modulaci´on de doble banda lateral, con frecuencia de portadora fc = 102 kHz. Figura (c): modulaci´on AM de banda lateral u ´nica. Aqu´ı hay dos posibilidades • Banda lateral superior con frecuencia de portadora fc = 98 kHz. • Banda lateral inferior con frecuencia de portadora fc = 102 kHz.

Figura (d): modulaci´on angular, con frecuencia de portadora fc = 100 kHz. b) La se˜ nal moduladora es una sinusoide de frecuencia 2 kHz, es decir m(t) = Ac cos(!c t + ) con !c = 2⇡fc y fc = 2 kHz. Ejercicio 3.2 Soluci´on El espectro de la se˜ nal modulada son deltas en las frecuencias !c + m ⇥ !m para todo m entero, donde !c es la frecuencia de la portadora y !m es la frecuencia de la se˜ nal moduladora (en ambos casos son frecuencias angulares en rad/s). En este caso !c = 2⇡fc y !m = 2⇡fm . La amplitud de cada delta se ⇡ veces el coeficiente Jm ( ), en este caso Jm (5). Teniendo en cuenta que J0 (5) =

0,18, J1 (5) =

0,32, J2 (5) = 0,05

J3 (5) = 0,37, J4 (5) = 0,39, J5 (5) = 0,26, · · ·

m

y que J m ( ) = ( 1) Jm ( ), la transformada de Fourier de la se˜ nal modulada tendr´a la forma de la Figura 3.50 (se representan s´olo las 11 frecuencias centrales, para el resto, se seguir´ıa el mismo procedimiento). Ejercicio 3.3 Soluci´on En este caso se define para todos los apartados AM = 1. a) El ancho de banda de 2B Hz. La densidad espectral de potencia, para un ´ındice de modulaci´on gen´erico a, es la de la figura SS (j!) A2c 2 ⇡⇣

6

........... ..... ...... ... .. ........ . . . . . ...... ....... .. .. ......... . . !c Open Course Ware (OCW)

W

!c

AM

!c + W

aAc 2CM

+!c

145

⌘2

6

W

+!c

........... ..... ...... ... .. ........ . . . . . ...... ....... .. .. ......... . . +!c + W

! c Marcelino L´ azaro, 2014

Teor´ıa de la Comunicaci´ on S(j!) Ac ·⇡

+0,5 +0,4

6

+0,3 +0,2 +0,1

6

6

6

··· !c

5!m

!c

!c

4!m

3!m

0 !c

0,1

!c !c + !m

6 !c 2!m

6

!m

···

6

!

!c + 2!m !c + 4!m !c + 3!m !c + 5!m

?

0,2

?

0,3

?

?

0,4

-

!m

0,5

Figura 3.50: Respuesta en frecuencia de la se˜ nal modulada para el Ejercicio 3.2. b) El ancho de banda de 2B Hz. La densidad espectral de potencia es la de la figura SS (j!) AM A4c

......... .... ...... ... .. ........ . . . . . ...... ....... .. .. ........... . . !c

W

!c

!c + W

+!c

......... .... ...... ... .. ........ . . . . . ...... ....... .. .. ........... . . W

+!c

+!c + W

!

c) El ancho de banda de B Hz. La densidad espectral de potencia es la de la figura SS (j!)

... ...... ... . . . . . . .. ...... . .................................... !c

W

!c

AM Ac

!c + W

+!c

......... .. ........ ...... .. .................................... . W

+!c

+!c + W

!

d) El ancho de banda aproximado es 12B Hz. Ejercicio 3.4 Soluci´on En todos los casos se considera PM = 12 , que es la potencia de la se˜ nal moduladora, y W = 2⇡fm . ⇤ 2 ⇥ a) La potencia de la se˜ nal modulada es PS = A2c 1 + P4M . La densidad espectral de potencia, para un ´ındice de modulaci´on gen´erico a, es la de la figura SS (j!) A2c 2 ⇡ Ac 2 4

6 6 !c Open Course Ware (OCW)

W

6 !c

!c + W

+!c

146

6 6 W

6 +!c

+!c + W

! c Marcelino L´ azaro, 2014

Teor´ıa de la Comunicaci´ on b) La potencia de la se˜ nal modulada es PS = la figura

A2c P . 2 M

La densidad espectral de potencia es la de

SS (j!)

6 !c

W

6 !c

A2c 4

AM

!c + W

6

+!c

6 +!c

W

+!c + W

!

c) La potencia de la se˜ nal modulada es PS = A2c PM . La densidad espectral de potencia es la de la figura SS (j!) AM A2c

6 !c

W

!c

!c + W

6

+!c

+!c

W

+!c + W

!

Ejercicio 3.5 Soluci´on a) El ancho de banda es 2B Hz, y la relaci´on se˜ nal a ruido es peor que la obtenida en una transmisi´on en banda base ✓ ◆ ✓ ◆ S S = ⌘AM N AM N b con a2 2 PM PM a PM CM ⌘AM = = = C2 2 a M 1 + PM a 1 + C 2 PM 2 + PM a

M

b) El ancho de banda es 2B Hz, y la relaci´on se˜ nal a ruido es igual que la obtenida en una transmisi´on en banda base ✓ ◆ ✓ ◆ S S =⌘ N DBL N b c) El ancho de banda es B Hz, y la relaci´on se˜ nal a ruido es igual que la obtenida en una transmisi´on en banda base ✓ ◆ ✓ ◆ S S =⌘ N BLU N b d) El ancho de banda es B + B Hz, donde B es el exceso de ancho de banda debido al vestigio, y la relaci´on se˜ nal a ruido es ligeramente que la obtenida en una transmisi´on en banda base ✓ ◆ ✓ ◆ S S = ⌘BLV N BLV N b con ⌘BLV = Open Course Ware (OCW)

B B+

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B

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Teor´ıa de la Comunicaci´ on e) El ancho de banda es aproximadamente 8B Hz, y la relaci´on se˜ nal a ruido es mejor que la obtenida en una transmisi´on en banda base, siendo la ganancia proporcional al ´ındice de modulaci´on al cuadrado ✓ ◆ ✓ ◆ S PM 2 S ⇡3 2 f· N FM CM N b Ejercicio 3.6 Soluci´on a) Modulaci´on de amplitud de doble banda lateral (DBL). b) Modulaci´on angular de fase (PM). c) Modulaci´on de amplitud AM convencional (o doble banda lateral con portadora). d) Modulaci´on de banda lateral u ´nica (BLU), de banda lateral superior. e) Modulaci´on angular de frecuencia (FM). f) Modulaci´on de banda lateral u ´nica (BLU), de banda lateral inferior. Ejercicio 3.7 Soluci´on a) Modulaci´on de banda lateral u ´nica (BLU), de banda lateral inferior. b) Modulaci´on de amplitud de doble banda lateral (DBL). c) Modulaci´on de amplitud AM convencional (o doble banda lateral con portadora). d) Modulaci´on de banda lateral u ´nica (BLU), de banda lateral superior. e) Modulaci´on angular, de fase (PM) o frecuencia (FM), cuando la se˜ nal moduladora es una sinusoide. f) Modulaci´on de amplitud AM convencional (o doble banda lateral con portadora). Ejercicio 3.8 Soluci´on a) Un receptor coherente es un receptor compuesto por un multiplicador por una sinusoide de la frecuencia de la portadora (a veces denominado demodulador, por su funci´on de devolver el espectro de la se˜ nal a banda base) seguido de un filtro paso bajo con el ancho de banda de la se˜ nal moduladora, B Hz, tal y como se muestra en la figura r(t) - ......j x(t)- LPF .. ....... B

6

d(t)-

cos(!c t + ) En un receptor coherente, la fase de la portadora en el receptor ha de coincidir con la fase de la portadora que se utiliz´o en el modulador para generar la se˜ nal, c(t) = Ac cos(!c t + c ), es decir, que debe cumplirse que = c . Normalmente, para lograr esta sincronizaci´on de las fases se puede transmitir una se˜ nal piloto a la frecuencia y fase de la portadora, o bien se utilizar´a un lazo enganchado en fase, o PLL, en el receptor. Open Course Ware (OCW)

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Teor´ıa de la Comunicaci´ on b) Las variantes de modulaciones AM que requieren un receptor coherente son Modulaci´on AM de doble banda lateral (DBL) Modulaci´on AM de banda lateral u ´nica (BLU) Modulaci´on AM de banda lateral vestigial (BLV) La modulaci´on AM convencional, que tambi´en puede hacer uso de un receptor cohetente, puede utilizar un receptor m´as simple, en este caso un detector de envolvente, que se puede implementar con un diodo rectificador y un filtro RC paso bajo, como se muestra en la figura s

s

I ⇠ ⇠ X X X ⇠R ⇠

r(t)

C

s

d(t) s

c) En el caso de la modulaci´on de doble banda lateral, el efecto de tener una fase diferente en las portadoras del transmisor ( c ) y del receptor ( ), va a ser que la se˜ nal demodulada idealmente (sin ruido ni distorsiones) tendr´a la expresi´on d(t) =

Ac · m(t) · cos( 2

c

),

con lo que el desfase entre portadoras generar´a una atenuaci´on en la se˜ nal recibida dependiente de la diferencia de fases. Se puede comprobar, por ejemplo, que un desfase de 90o ser´ıa cr´ıtico, ya que en este caso se anular´ıa totalmente la se˜ nal recibida. En el caso de la modulaci´on de banda lateral u ´nica (y de la de banda lateral vestigial, que es muy similar), el problema es a´ un mayor, ya que la expresi´on de la se˜ nal a la salida del demodulador es d(t) =

Ac · m(t) · cos( 2



c

Ac · m(t) ˆ · sin( 2

),

c

con lo que una diferencia de fases no s´olo atenuar´a el t´ermino asociado a la se˜ nal m(t), sino que har´a no nulo el t´ermino proporcional a la transformada de Hilbert de la se˜ nal moduladora, m(t), ˆ que es una interferencia sobre la se˜ nal deseada m(t). Ejercicio 3.9 Soluci´on a) SS (j!) =

(

0, A2c · [SM (j!

|!| > !c j!c ) + SM (j! + j!c )], |!| < !c SS (j!)

@

!c + !c Open Course Ware (OCW)

@

A2c · AM @ @

W 3

+!c

@ @

!c + W

+!c 149

W

W 3

+!c

-

! (rad/s)

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Teor´ıa de la Comunicaci´ on b) En t´erminos de eficiencia espectral, la modulaci´on BLU es la m´as eficiente de todas, ya que el ancho de banda requerido para transmitir una se˜ nal moduladora de ancho de banda B Hz es B Hz, mientras que tanto la AM convencional como la AM de doble banda lateral requieren el doble de ancho de banda, 2B Hz, mientras que la modulaci´on FM requiere un ancho de banda mayor, dependiente del ´ındice de modulaci´on, en concreto, seg´ un la regla de Carson, 2( + 1)B Hz. Ejercicio 3.10 Soluci´on a) El ancho de banda es BWAM = 2B = 10 kHz. La se˜ nal modulada en el dominio temporal tendr´a la forma 1.5 ................ ............. ....... ... ....... ........ ...... .............. ........ ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ... .... .... .... ........ ........ ........ ........ ........ ........... ........ ........ ... . . . . . . . 1 .. . .. ... ... .. ... . . . . . . ... .. .. ... . . . ... .. .. .... ....... ......... ....... ... .... ... .... ... .... ....... ............ ......... ....... ... .... ... . . ... .. ... .. ... ..... ...... . . . . . . ...... .... . .. . ... . ... . ... . .. .... ...... ...... .... . .. . ... . 0.5 .... ... .... ... .... ... ... ................................... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... ... .................................. ... .... ... .... ... .... ... ... .. .. .. .. .. ... .. .. ..... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. ..... .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... ... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... ... ... ... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . ... . .. . .. . .. . .. . ... . .. . .. . .. . ... . ... . ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .... .. ... .. .. .. ... .. . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . -0.5 .... ... .... ... .... ... ....... ... ... ....... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... ....... ... ... ....... .... ... .... ... .... ... .. ... .. . .. . .. . .. . ... .. .. ... .. . .. . ... . .. . ... .. ..... ... .. .. .. .. .. ... .. ..... ..... ... .. .. .. ... .. ... .. ...... . . . . . ... ..... ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1 ... .... ............... s(t) .... .... .... .... .... .... ..... ... .... .... .... ... .... ..... .... . ............... 1 + a · m(t) . ..... ..... . . .... .. .. .. .. -1.5 0

0.5

1

1.5

2 t(⇥10

4)

2.5

3

3.5

4

b) Las modulaciones de amplitud que no incluyen la transmisi´on de la portadora son Modulaci´on de doble banda lateral (DBL). Modulaci´on de banda lateral u ´nica (BLU). Modulaci´on de banda lateral vestigial (BLV). El ancho de banda de la DBL es igual que el de la AM convencional, mientras que el de la BLU es la mitad, y el de la BLV es aproximadamente la mitad (despreciando el vestigio de la banda lateral eliminada) BWDBL = 2B = 10 kHz, BWBLU = B = 5 kHz, BWBLV ⇡ B = 5 kHz. c) El ancho de banda te´orico es infinito, ya que la transformada de Fourier se puede escribir como una suma infinita de sinusoides en las frecuencias !c ± n · !m rad/s. El ancho de banda efectivo es el ancho de banda que contiene el 98 % de la potencia de la se˜ nal, y en este caso es BWF M = 2 · (

f

+ 1) · fm = 80 kHz.

d) La principal ventaja de las modulaciones angulares es su mayor relaci´on se˜ nal a ruido (inmunidad frente al ruido), que aumenta respecto a la relaci´on en banda base de forma proporcial al cuadrado del ´ındice de modulaci´on. El principal inconveniente es que el ancho de banda se incrementa de forma proporcional a dos veces el ´ındice de modulaci´on m´as uno, lo que es sensiblemente superior al requerido por las modulaciones lineales. Open Course Ware (OCW)

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Teor´ıa de la Comunicaci´ on Ejercicio 3.11 Soluci´on a) Las modulaciones de amplitud se distinguen de las angulares en que en las primeras lo que var´ıa con la se˜ nal de informaci´on o moduladora es la amplitud de la se˜ nal, mientras que en las u ´ltimas la amplitud permanece constante, pero se modifica la informaci´on angular (frecuencia instant´anea o t´ermino de fase). Por tanto, las modulaciones de amplitud son las de las figuras B y C. Las expresiones anal´ıticas para la modulaci´on AM convencional y la modulaci´on de doble banda lateral son, respectivamente sAM (t) = [1 + a ⇥ ma (t)] ⇥ c(t), sDBL (t) = m(t) ⇥ c(t). En la primera, la envolvente de la se˜ nal es [1 + a ⇥ ma (t)], que para a < 1, como es el caso, es siempre positiva, mientras que en la segunda, simplemente se multiplica la se˜ nal moduladora por la portadora, lo que hace que la se˜ nal se invierta respecto a la portadora para valores negativos de m(t). Es trivial ver que Se˜ nal B: modulaci´on AM convencional Se˜ nal C: modulaci´on de doble banda lateral. En cuanto a las modulaciones angulares, las modulaciones PM y FM tienen la siguiente expresi´on anal´ıtica ( kp ⇥ m(t), para PM Rt s(t) = Ac cos(!c t + (t)) con (t) = . 2⇡kf ⇥ 1 m(⌧ ) d⌧, para FM

Por tanto, el t´ermino de fase (t) es proporcional en un caso a la se˜ nal moduladora, y en otro caso a su integral. En cualquier caso, cuando (t) toma valores positivos, se incrementa el argumento de la sinusoide, lo que significa que la se˜ nal modulada se “adelanta” respecto a la portadora, mientras que cuando toma valores negativos, se reduce el argumento de la sinusoide, lo que significa que la se˜ nal modulada se “retarda” respecto de la portadora. Por tanto, en una modulaci´on PM, la se˜ nal se adelantar´a respecto a la portadora para valores positivos de m(t), y se retardar´a para valores negativos, lo que sucede en la se˜ nal A. En una modulaci´on FM, que se adelante o retrase respecto a la portadora est´a relacionado con el signo de la integral de m(t), lo que sucede en la figura D. Por tanto Se˜ nal A: modulaci´on PM. Se˜ nal D: modulaci´on FM. b) La modulaci´on m´as conveniente para cada caso es: i) En este caso lo mejor es utilizar una modulaci´on angular con un ´ındice de modulaci´on alto, ya que estas tienen una mejor relaci´on se˜ nal a ruido que las modulaciones angulares, relaci´on que es proporcional a 2 . De entre las dos variantes, para un mismo valor de (mismo ancho de banda), tiene mejor relaci´on se˜ nal a ruido la modulaci´on FM (3 veces la de la PM). ii) El receptor m´as simple que se puede utilizar en una modulaci´on anal´ogica es un detector de envolvente, que se puede implementar con un diodo, y un filtro RC. La modulaci´on que puede usar este receptor es la modulaci´on AM convencional. El resto de modulaciones de amplitud debe usar un receptor coherente, y las modulaciones angulares usan receptores m´as complejos. Open Course Ware (OCW)

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Teor´ıa de la Comunicaci´ on iii) En este caso, se podr´an multiplexar m´as se˜ nales cuanto menor sea el ancho de banda de la se˜ nal modulada, y la modulaci´on que tiene un menor ancho de banda es la modulaci´on de banda lateral u ´nica, que necesita el mismo ancho de banda que la se˜ nal moduladora. El resto de modulaciones usa un mayor ancho de banda. Ejercicio 3.12 Soluci´on a) La se˜ nal modulada de una modulaci´on AM de banda lateral vestigial se genera de la siguiente forma Se genera una se˜ nal de doble banda lateral (de amplitud doble, en la notaci´on que se sigui´o en la asignatura, pero este factor de amplitud no es en realidad relevante) multiplicando la moduladora por la se˜ nal portadora. Se realizar un filtrado de esta se˜ nal de doble banda lateral con un filtro de banda lateral vestigial, un filtro que tiene que cumplir unas ciertas condiciones (siguiente apartado). La figura muestra el diagrama de bloques de un transmisor de AM de banda lateral vestigial m(t) - .....j sDBL (t) ... - Filtro ....... BLV

6

s(t) -

2Ac cos(!c t + ) b) La condici´on que debe cumplir un filtro de banda lateral vestigial es que su respuesta en frecuencia tenga una simetr´ıa impar repecto de la frecuencia de portadora, !c , de modo que la contribuci´on de la respuesta del filtro desplazada !c a la izquierda m´as la misma respuesta desplazada !c a la derecha (efecto de un demodulador) sea constante en el ancho de banda de la se˜ nal |HBLV (j! j!c ) + HBLV (j! + j!c )| = cte, en |!|  W = 2⇡B. El u ´nico filtro que cumple la condici´on es el filtro A. En este caso, se tratar´ıa de un filtro para una modulaci´on de banda lateral vestigial de banda lateral superior, ya que se deja pasar la banda de frecuencias por encima de la frecuencia de portadora (m´as el correspondiente vestigio de la banda lateral inferior).

Open Course Ware (OCW)

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