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3 PROBABILIDAD Y DISTRIBUCION NORMAL La probabilidad puede ser considerada como una teoría referente a los resultados posibles de los experimentos. Estos experimentos deben ser repetitivos; es decir poder volver a repetirlos bajo las mismas condiciones.

3.1

Probabilidad

3.1.1 Enfoque Clásico de las probabilidades La definición clásica esta definida por: p(A) = Numero de resultados favorables al suceso A Numero total de sucesos (favorables A + no favorables A) Las probabilidades se definen como una proporción Ejemplo: Supóngase que se desea conocer la probabilidad de que caiga un 6 al lanzar un dado. p(6)= ? # de resultados favorables a 6 = 1 cara del dado # total de resultados = 6 (favorables + no favorables ) p(6) = 1/ 6 La probabilidad de que no ocurra el evento favorable se le llama: q q = p(A’) =

Número de resultados no favorables al suceso A Número total de sucesos (favorables A + no favorables)

Ejemplo: La probabilidad de que no sea 6 al lanzar un dado es: # de resultados no favorables a =5 # total de resultados = 6 (favorables + no favorables ) q =5/6 entonces: p + q = 1

3.1.2 Enfoque Empírico En los experimentos de la vida real se asigna frecuencia relativa esperada basándose en resultados empíricos. Ejemplo: Si en una muestra aleatoria de 100 estudiantes hallamos que 30 tienen ojos negros, podríamos esperar que la proporción de estudiantes con ojos negros en la universidad es de 0.30. p (ojos negros) = 30 / 100 =0 .30

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Ejercicio En cierta ciudad la proporción de personas con sangre tipo A es de 0.20 ¿Cuál es la probabilidad de que: Una persona dada seleccionada al azar tenga sangre tipo A? Una persona dada no tenga sangre tipo A?

3.1.3 Propiedades Formales de la probabilidad 3.1.3.1 La probabilidad varía ente 0 y 1 La p es una proporción comprendida entre 0 y 1; es decir si tenemos la certeza de que el suceso A ocurra la p = 1si hay certeza de que no ocurra p = 0. Otra forma que se utiliza para representar la probabilidad además de la proporción, es en forma de porcentaje, o sea el número de posibilidades en 100.si la probabilidad de un suceso es de 0.05, esperamos que este ocurra el 5% de las veces. 3.1.3.2 Regla de la adición Probabilidad para eventos mutuamente excluyentes Si A1 y A2 son dos eventos y la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia de otro, ya probabilidad de que ocurra uno u otro es: P ( A ó B) = P(A1) + P (B) Ejemplo: Cual es la probabilidad de elegir un as de tréboles ó un as de diamantes al seleccionar una baraja de un mazo de 52 cartas A = as de trébol B = as de diamante

p(A) = 1/52 p (B)= 1/52

P (A ó B ) = p (A + B) = 1/52 +1/52 = 2/52 La regla de la adición se cumple en eventos mutuamente excluyentes. La palabra ó nos indica suma de probabilidades. Ejercicio Cual es la probabilidad de obtener un 3 o un 6 en el lanzamiento de un dado. Existen eventos que pueden ocurrir en forma independiente pero también ocurren en forma conjunta, esto nos lleva a otra formulación general de la regla de la adición: Si A y B son sucesos, la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la probabilidad de su realización conjunta. P(A o B ) = p(A) + p(B) – p ( A y B ) 2

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Ejemplo: Una muestra de 500 estudiantes que toman cursos, 250 de ellos álgebra, de física 150, de estadística 100 y 83 toman los tres cursos durante un semestre. Cual es la probabilidad de seleccionar a un estudiante que estudia física o álgebra? p(Álgebra)= 250 / 500 p(Física) = 150 / 500 p( Física y álgebra) = 83 / 500 p (álgebra o física) = 250 / 500 + 150 / 500 – 83 / 500 = .634

3.1.3.3 Regla de la multiplicación La probabilidad de realización simultanea o sucesiva de dos sucesos es igual al producto de las probabilidades separadas de cada uno. Expresado simbólicamente: P(A y B) = p( A ) * p( B ) Ejemplo En el lanzamiento de dos dados cual es la probabilidad de obtener un 5 y un 3 Solución: P(5) = 1/6 P(3) = 1/6

p(3 y 5) = (1/6) * (1/6) = 1/36

Ejercicio En el lanzamiento de dos dados cual es la probabilidad de obtener un 1 y un 2 Ahora combinemos ambas reglas: Ejemplo Si extraemos dos bolas de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 2 bolas verdes y 5 bolas negras. Encontrar la probabilidad de seleccionar una blanca y una negra P(blanca) = 4/11 P(negra) =5/11 Las extracciones pueden ser : La primera blanca y la segunda negra ó La primera negra y la segunda blanca 3

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P =P(blanca y negra) + p(negra y blanca) P = (4/11)(5/11) + (5/11)(4/11) =20/121 + 20/121 = 40/121

3.1.4 Ejercicios 1.

Confeccionar una lista de todos los resultados posibles al lanzar una moneda tres veces. Calcular la probabilidad de obtener a) 3 caras b) 3 cruces c) 2 caras y una cruz d) 2 caras por lo menos

2.

Se extrae al azar una carta de una baraja compuesta por 52 naipes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a) El as de espada? b) Un as? c) Un as o una figura d) Una espada o una figura?

3.

En un lanzamiento de dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener a) Un 7? b) Dos números iguales? c) Dos números iguales o un 8? d) Un número par?

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3.2

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Curva Normal

La distribución más importante de toda la estadística es la distribución normal. Porque muchos fenómenos de la vida tienen un comportamiento normal, ejemplo: el coeficiente intelectual, la estatura de los adultos, la cantidad de elementos que consumen las personas, la puntualidad de asistir a una clase, etc. Para comprender, la naturaleza de la distribución de una variable. Considere los datos presentados en la actividad 1. el histograma esta construido, en una serie de rectángulos, cuyas bases son los tamaños de cada intervalo y la altura representa la frecuencia de ocurrencia de los valores. El polígono se forma en la línea que une los puntos medios. Si la amplitud de los intervalos de la clase se hacen más pequeños el polígono se aproxima a una curva más suave.

3.2.1 Características de la curva normal. 1. Es simétrica respecto a su media µ. La curva hacia cualquiera de los lados de µ es una imagen de espejo de la del otro lado. 2. La media, la mediana y la moda son todas iguales. 3. Es unimodal. 4. Es Asintótica. 5. El área total bajo la curva es igual a 1 esta característica se deduce del hecho de que la distribución normal es una distribución de probabilidad. 6. Se levantan perpendiculares a una distancia de una desviación estándar desde la media hacia ambos lados, el área delimitada por esa perpendiculares, el eje de las x y la curva será de 68.26% del área delimitada por esa perpendiculares. Si los limites laterales se extienden a 5

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dos desviaciones estándares de ambos lados de la media, estará incluido aproximadamente 95.44% del área, y extendiéndose a una distancia de tres desviaciones estándares, aproximadamente 99.74 del ara total estará englobada. 7. Los parámetros µ y σ determinan completamente la distribución normal. En otras palabras, por cada valor diferente de µ y σ se especifica una distribución normal distinta. Los valores diferentes de µ desplazan la grafica de la distribución a lo largo de del eje x. los valores de σ determinan el grado de aplanamiento o levantamiento de la grafica de la distribución.

3.2.2 Obtención del Área entre dos valores dados Es posible determinar el área entre dos puntos cualquiera, haciendo uso de los valores tabulados del área bajo la curva normal (ver tabla de curva normal).La columna de la izquierda encabezada por “z” representa la desviación respecto a la media expresada en unidades de desviación estándar. En la parte central de la tabla podemos determinar el área entre un valor dado y la media. X −µ Z=

σ

Ejemplo: Así si una persona obtuvo una calificación de 24.65 en una variable normalmente distribuida con µ = 16 y σ = 5 su calificación z sería Ζ = 24.65 − 16 = 1.73 5 Remitiéndonos a la tabla encontramos que el área bajo la curva entre la media y z = 1.73 es 0.4582 o el 45.82% NOTA: El valor de la tabla para una z dada es el área entre z y la media. Ejemplo: Suponga que la estatura de cierta población sigue una distribución normal con una media de 70 pulgadas y desviación estándar 3 pulgadas. a) ¿ Cual es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga una estatura de entre 65 y 74 pulgadas.

z = (65 – 70) / 3 z = - 1.67 Área = 45.25%

z = (74 – 70) / 3 z = 1.33 Área = 40.82 %

El área total entre 65 y 74 pulgadas es de 86.07 % Ejemplo: Que probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una estatura entre 72 y 76 pulgadas?

Z = (72 – 70) / 3 Z = 0.66 Área = 24.54 %

z = ( 76 – 70 ) / 3 z = 2.00 Área = 47.72 %

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El área total entre 70 y 76 es de 23. 18 % NOTA : Las áreas se restaron porque las dos están ubicadas en el lado derecho de la media. Ejemplo: Cual es la probabilidad de que una persona seleccionada tenga una estatura 63 pulgadas ó más? z = (63 –70) / 3 = -2.33 Área = 49.01 % El área entre 63 y 70 es de 49.01 % y el área de 70 ó más es 50 % por lo tanto la probabilidad es la suma de ambos es 99.01 %

3.2.3 Ejercicios 1. En cualquier distribución normal de puntajes, ¿qué porcentaje del área total cae (a) entre –1 DE y + 1 DE (b) entre –2 DEs y 2DEs (c) entre –3 DEs y +3 DEs? 2. Dada una distribución normal de ingreso diario en la cual µ = $ 10,50 y σ $ =1.80, expresar cada uno de los siguientes ingresos como puntaje z, de la distribución de ingreso, determinar: a) el porcentaje de entrevistados que tienen un ingreso diario de $ 15,00 o más, b) la probabilidad de localizar un entrevistado cuyo ingreso diario sea de $ 15,00 o más ; c) el porcentaje de entrevistados que ganan entre $ 10,00 y $ 10,50; d) la probabilidad de localizar un entrevistado cuyo ingreso fluctúe entre $ 10,00 y $ 10,50; e) la probabilidad de localizar un entrevistado cuyo ingreso sea de $ 10,00 o menos; f) la probabilidad de localizar un entrevistado cuyo ingreso sea ya de $ 10, 00 o menos o de $ 11,00o más; g) la probabilidad de localizar dos entrevistados cuyo ingreso sea $ 10,00 o menos. 3. Dada una distribución normal de puntajes crudos en la cual µ = 80 y σ = 7,5, determinar: a) el porcentaje de entrevistados que obtuvieron puntajes de 60 o menos; b) la probabilidad de localizar a un entrevistado que haya obtenido un puntaje de 60 o menos ; c) el porcentaje de entrevistados que obtuvieron puntajes entre 80 y 90; d) la probabilidad de localizar un entrevistado que haya obtenido puntajes entre 80 y 90 ; e) el porcentaje de entrevistados que lograron puntajes de 85 o más; f) la probabilidad de localizar a un entrevistado que haya obtenido un puntaje de 85 o más g) la probabilidad de localizar a un entrevistado que haya obtenido puntajes sea ya de 70 o menos o de 90º más; h) la probabilidad de obtener tres entrevistados que hayan logrado puntajes de 90 o más. 4. Si la µ es 400, y la σ es 100 ¿Cuál es la probabilidad (área) de valores entre a) 250 y 500 y b) menores de 250?

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