3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

1

3 Die Menge ℚ der rationalen Zahlen Rationale Zahlen Seite 25

1. a) A +7,5 °C

b) A +1,5 °C

B +7,25 °C C +6,5 °C D +5,75 °C E +4,5 °C f)

2.

B +0,25 °C C -0,5 °C D -0,75 °C E -1,25 °C

A -25,25 °C B -26,25 °C C -26,75 °C D -27,5 °C E -28,75 °C °C +4,5°C +4°C

+2,1°C 1 +0,5°C 0 -0,9°C

-2,5°C -3°C

-5,1°C -6°C

c) A -0,25 °C d) A -3,5 °C B -1,5 °C C -2,25 °C D -2,5 °C E -3,5 °C

B -4 °C C -5,25 °C D -6 °C E -6,75 °C

e) A -12 °C B -12,5 °C C -13,75 °C D -14,5 °C E -15,25 °C

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

2

3. a) b) c) -3,75 -3,25 -2,75 -2,25 -1,75 -1,25 -0,75 -0,25

-3,5 -4

-2,5

-1,5

-0,5

0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75

0,5

1,5

2,5

3,5

-3 -2 -1 0 1 2 3 c) Die Anzahl der einzutragenden Zahlen verdoppelt sich. Die Anzahl der Nachkommastellen erhöht sich jeweils um eine. d) {0; 1; 2; 3; 4} 0 ℕ0 {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} 0 ℤ0 {0; 0,25; 0,5; 0,75; 1; 1,25; 1,5; ... 3,75; 4} 0 ℚ0+ 4. a) zwischen 1 und 7: {2; 3; 4; 5; 6} zwischen -3 und 3: {-2; -1; 0; 1; 2} zwischen +12 und -5: {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} b) {-19; -18; -17; -16; -15; -14; -13; -12; -11; -10} c) zwischen 0 und -10: z.B. {-1,5; -2,75; -3; -4,25; -5} zwischen -9 und +7: z.B. {-8,75; -1,5; 0,25; 2; 6,75} zwischen -3,5 und -4,5: {-4,4; -4,3; -4,2; -4; -3,6} zwischen -0,7 und -0,8: {-0,71; -0,72; -0,75; 0,78; -0,79} d) z.B. {0,5; 0,75; 1,25} e) z.B. {-0,75; -0,5; -0,25; -0,1}

Seite 26

5. a)

Bruch

Dezimalbruch

b) Bruch

Dezimalbruch

A

-1 2/3

- 1, 6

A -1 4/5

- 1,8

B

-1 1/3

- 1, 3

B -1 1/5

- 1,2

C

-5/6

- 0,83

C

-2/5

- 0,4

D

-1/2

- 0,5

D

2/5

0,4

E

2/3

0, 6

E

7/10

0,7

F

1 1/6

1,16

F

1 1/5

1,2

G

1 5/6

1,83

G

1 2/5

1,4

6. a) A -11/12; -22/24; -44/48 B -5/6; -10/12; -20/24 C -6/12; -1/2; -0,5 D -1/12; -2/24; -4/48 E 1/12; 2/24; 4/48 F 1/4; 3/12; 0,25 G 5/12; 10/24; 20/48 H 6/12; 1/2; 0,5 I 2/3; 0, 6 ; 4/6 K 5/6; 10/12; 20/24 L 1; 12/12; 2/2

4

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

7. a) -2/3 2/3

< -1/8

b) -0,15

> 1/8

d) 1 4/7 > 0

-0,50 e) -0,1

3

> -0,51 c) -1/11

< -1/12

< -0,05

> -3/11

-2/11

> -0,2

0 > -1 1/7 -0,03 > -0,3 Hinweis: Zum Vergleichen zweier Brüche musst du die Brüche zuvor gleichnamig machen. 8. a)

-2
-41/70 > -6/10 (= -42/70)

9. a) 98 > 58 > 42 > 29 > 7 > 0 > -3 > -5 > -7 > -12 > -32 > -53 b) 5 > 4,2 > 2,1 > 2 > 0,8 > -1,3 > -3,2 > -3,3 > -4,3 > -8,1 > -12 c) 10,01 > 1,001 > 0,011 > -0,101 > -10,01 > -10,1 > -11 d) 9 > 7 > 25/4 > 4 > 15/5 > 0,74 > -7/4 > -2,7 > -14/5 > -7/2 > -6,5 > -7 > -8,5 > -18/2 f) 5,34 > 32/6 > 36/7 > -4,329 > -5,184 > -21/4 > -51/8 > -20/3 > -7,83 10. a) In Hof hat die Temperatur um 7°C zugenommen: -2,5°C

-4

-3

-2

-1

b) Anfangstemperatur in °C Temperaturänderung in °C Endtemperatur in °C

0

1

1. a) b) c) d)

2

3

4

a)

b)

c)

d)

e)

8,1

-1,4

-2,3

-12,2

2,8

-9,2 7,9 -12 6,3 -7,5 Abnahme Abnahme Zunahme Zunahme Abnahme -1,1

-13,4

Rationale Zahlen im Koordinatensystem Seite 27

4,5°C

5,6

-5,9

-4,7

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

2. a) A(-5|-5); B(-3|-5); C(-2|-2); D(0|-5); E(7|-5); F(7|-3); G(5|-3); H(5|-1); I(3|1); K(-3|1); L(-3|4); M(-6|4); N(-6|1) b) A(-5|-1); B(1|-1); C(7|-3); D(9|-2); E(9|-1); F(7|-1); G(6|0); H(6|1); I(7|2); K(-9|2); L(9|3); M(7|4); N(1|2); P(-5|2) 3. a) Man erhält einen Fisch.

b) Man erhält ein Auto.

4

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

5

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

Seite 28

4. a)

b)

5. a) und b) Zeichnung auf der nächsten Seite Die Punkte, deren x- bzw.y-Koordinaten jeweils gleich sind, liegen auf einer Geraden. Sind die x-Koordinaten gleich, so ist die Gerade parallel zur yAchse. Sind die y-Koordinaten gleich, so ist die Gerade parallel zur x-Achse. c) Sowohl die x- als auch die y-Koordinaten dieser Punkte sind negativ. d) P1(1|2); P2(-1|2); P3(-1|-2); P4(1|-2) e) negative y-Koordinate: Diese Punkte liegen unterhalb der x-Achse. positive x-Koordinate: Diese Punkte liegen rechts von der y-Achse.

6

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

6. a) b)

c) Die Figuren sind kongruent. Die Figuren sind nur verschoben.

7

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

8

d) Die Winkel der Figuren sind maßgleich, die Längen werden halbiert. Da durch ist die zweite Figur verkleinert, hat aber dasselbe Aussehen.

Rechengesetze Seite 29

1. a) a) -3/2 + 1 = -1/2 b) -0,6 - (+0,7) = -1,3 c) -2 - (-2,5) = 0,5 d) -1,5 + (-2,5) = -4 b) Es gelten dieselben Vorzeichenregeln wie bei der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen. 2. a) (1) Der 2. Faktor nimmt um 1 ab. Der 1. Faktor bleibt gleich. (2) Der 1. Faktor nimmt um 1 ab. Der 2. Faktor bleibt gleich. b)

(1)

(2)

(+1,5) · (+3) = +4,5

(+3) · (-3/4) = -9/4

(+1,5) · (+2) = +3

(+2) · (-3/4) = -6/4

(+1,5) · (+1) = +1,5

(+1) · (-3/4) = -3/4

(+1,5) · (0) = 0

(0) · (-3/4) = 0

(+1,5) · (-1) = -1,5

(-1) · (-3/4) = +3/4

(+1,5) · (-2) = -3

(-2) · (-3/4) = +6/4

(+1,5) · (-3) = -4,5

(-3) · (-3/4) = +9/4

(+1,5) · (-4) = -6

(-4) · (-3/4) = +12/4

c) (1) Der Produktwert verringert sich um jeweils 1,5. (2) Der Produktwert erhöht sich um jeweils 3/4.

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

9

3. a) 0,4 + 1,8 = 2,2

b) (-3/8) + (+5/8) = 2/8

1,8 + 0,4 = 2,2

(+5/8) + (-3/8) = 2/8

d) 1/2 · (-3/4) = -3/8

c) -2/5 + 2,5 = 2,1 2,5 - 2/5 = 2,1

e) -6,4 · (-1/8) = 0,8

-3/4 · 1/2 = -3/8

(-1/8) · (-6,4) = 0,8

Es gilt für alle Aufgaben das Kommutativgesetz. D.h. der Produktwert (Summenwert) ändert sich nicht, wenn man die Faktoren (Summanden) vertauscht. 4. a)

b)

a

b

c

(a + b) + c

a + (b + c)

a+b+c

-7,5

3,7

0,2

-3,8 + 0,2 = -3,6

-7,5 + 3,9 = -3,6

-3,6

-2/3

1/3

-5/6 -1/3 + (-5/6) = -7/6 -2/3 + (-3/6) = -7/6

a

b

c

(a · b) · c

a · (b · c)

-7/6 a·b·c

4,5 -0,2 6,5 -0,9 · 6,5 = -5,85 4,5 · (-1,3) = -5,85 -5,85 4/3 -3/7 7/6 -4/7 · 7/6 = -4/6 4/3 · (-3/6) = -4/6 -4/6 Es fällt auf, dass auch bei der Addition und Multiplikation rationaler Zahlen das Assoziativgesetz gilt. 5. a) -3 · (7 + 9) = -48

b) -6 · (6 + 7) = -78

-3 · 7 + (-3) · 9 = -48 c) 2/3 · (8 + 1/2) = 17/3

-6 · 6 + (-6) · 7 = -78 d) 4/5 · (1/6 + 4/6) = 4/6

2/3 · 8 + 2/3 · 1/2 = 17/3

4/5 · 1/6 + 4/5 · 4/6 = 4/6

Es gilt das Distributivgesetz. 6. a) Kommutativgesetz: -0,5 + 0,3 = 0,3 + (-0,5) = -0,2 -0,5 · 0,3 = 0,3 · (-0,5) = -0,15 Assoziativgesetz:

(-3,5 + 2) + (-1,5) = -3,5 + (2 + (-1,5)) = -3 (-3,5 · 2) · (-1,5) = -3,5 · (2 · (-1,5)) = 10,5

Distributivgesetz: -3,5 · (2 + (-1,5)) = -3,5 · 2 + (-3,5) · (-1,5) = -1,75 b) Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten weder für die Division noch für die Subtraktion. z. B. -4,5 : 9 = -0,5 und 9 : (-4,5) = -2 (2 : 3) : (-3) = -2/9 und 2 : [3 : (-3)] = -2 3 - 8 = -5 und 8 - 3 = 5

Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen Seite 30

1. a) -3,3

b) 1/6

c) -0,44

d)

8/15

3,3

9/6

-0,36

-2/15

-8,1

-9/6

0,36

2/15

8,1

-1/6

0,44

-8/15

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

2. a) -3/4 + 4,15 = 3,4 b) -0,3 + 0,8 = 1/2 c) 0,38 + (- 3/8) = 0,05 d) -7/8 - 5,625 = -6,5 e) -0,97 + 0,07 = -0,9 f) 2,2 -2 4/5 = -0,6 3. a) -6,13 -32,97

b) 3,26 -86,65

e) -13/14

f) 1/12

7/12

1/6

4. obere Reihe:

untere Reihe:

oder oder oder oder oder oder

10

3,4 – (+4,15) = -3/4 1/2 – (+0,8) = -0,3 0,05 – (- 3/8) = 0,38 -6,5 – (-5,625) = -7/8 -0,9 – (+ 0,07) = -0,97 -0,6 – (-2 4/5) = 2,2

c) 27,19

d) 88,82

-40,46 g) -1/24

-78,01 h) -1 3/10

-13/45

1 7/60

- 2 798,34 + 1 875,9 = -922,44 23,0478 – (-395,03) = 418,0787 -98 - (-4,0592) = -93,9408 -4 692,97 + 8 145,336 = 3 452,366 -100,349 + 3 941,2 = 3 840,851

5. a) 3,9 + 6,1 - 4,8 = 10 - 4,8 = 5,2 5,7 - 4,7 + 23,2 = 1 + 23,2 = 24,2 b) -17,2 + 7,2 - 9,3 = -10 - 9,3 = -19,3 -13,5 + 3,5 -7,8 = -10 - 7,8 = -17,8 c) -234,56 - 567,44 - 47,08 = -802 - 47,08 = -849,08 39,66 - 256,1 + 81,1 = 39,66 - 175 = 135,34 d) 74,9 - 4,9 + 4,67 = 70 + 4,67 = 74,67 - 4,11 + 3,09 - 9,09 = - 4,11 - 6 = -10,11 e) -70,22 + 0,02 - 100,56 = -70,2 - 100,56 = -170,76 -8,01 - 71,99 + 916,4 = -80 + 916,4 = 836,4 f) 789,9 + 510,1 + 0,56 = 1300 + 0,56 =1300,56 34,285 + 18,315 - 21,64 = 52,6 - 21,64 = 30,96 6. Wert des gegebenen Terms: 1,07 a) Rechenzeichen: (-1,9) - (-2/5) + (+0,13) - (-2,7) = 1,33 Vorzeichen: (+1,9) - (-2/5) - (+0,13) - (-2,7) = 4,87 b) So könnten bis zu 7 (2 · 2 · 2 - 1) weitere Terme erstellt werden. Diese Aufgabe lässt sich auch mit Hilfe eines Baumdiagramms lösen. c) (-1,9) – [(-2/5) – (+0,13) – (-2,7)] = -4,07 (-1,9) – (-2/5) – [(+0,13) – (-2,7)] = -4,33 (-1,9) – [(-2/5) – (+0,13)] – (-2,7) = 1,33

Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen Seite 31

1. a) -1,7

b) -6/35

c) 15

d) 0,02

-1,7

6/35

-15

-0,02

1,7

6/35

-15

0,02

1,7

-6/35

15

-0,02

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

11

2. a) 2 · (-13) · (-50) = 2 · (-50) · (-13) = (-100) · (-13) = 1 300 b) 17 · (-4) · (-25) = 17 · 100 = 1 700 c) 5 · (-157) · 20 = 5 · 20 · (-157) = 100 · (-157) = -15 700 d) (-4) · 37 · (-2,5) = (-4) · (-2,5) · (37) = 10 · 37 = 370 e) 40 · 13,8 · (-25) = 40 · (-25) · 13,8 = (-1 000) · 13,8 = -13 800 f) 25 · 239 · (-0,4) = 25 · (-0,4) · 239 = (-10) · 239 = -2 390 g) -125 · (-24,7) · 8 = -125 · 8 · (-24,7) = -1 000 · (-24,7) = 24 700 h) 20 · (-50) · 74,6 = -1 000 · 74,6 = -74 600 i)12,5 · 7,3 · (-8) = 12,5 · (-8) · 7,3 = -100 · 7,3 = -730 3. (-0,3)3 = (-0,3) · (-0,3) · (-0,3) = -0,027 (-1,6)2 = (-1,6) · (-1,6) = 2,56 (-3/4)4 = (-3/4) · (-3/4) · (-3/4) · (-3/4) = -81/256 (-1,1)3 = (-1,1) · (-1,1) · (-1,1) = -1,331 (-2/5)2 = (-2/5) · (-2/5) = 4/25 (-1/3)5 = (-1/3) · (-1/3) · (-1/3) · (-1/3) · (-1/3) = -1/243 4. a) -1 d) 7/8 g) -2

b) 15/16 e) -3/4

c) -39/55 f) 8/15

h) -1 13/15

i) -1 1/4

5. a) -0,2

b) -0,5

c) 0,07

d) -0,02

0,25

-0,8

-1,6

0,021

6. a) 2/9

b) 7/64

c) 16/15

-3,4

d) 1

-5/42

14/23

2/15

1

1/3

-5/31

-343/512

3

7. 1/5 · (-0,1) · 6,6 = -0,132

e) -0,16

P -2 5/8 · (-5/7) : (-2) = -15/16

R

6/35 · 7/18 : (-0,4) = -1/6

L 1,1 · (-2,2) · 3,3 = -7,986

E

-16/25 : 3,2 · (-5/9) = 1/9

A 45/72 · (-48/75) : (-0,4) = 1

G

-6 · (-4/5) · 6,7 = 32,16

T -7,2 : 9 · 3 1/8 = -2,5

E

9/14 : (-18/35) : 0,25 = -5

Z 7,8 · (-5,9) : (-1/50) = 2 301

N

Verbindung der vier Grundrechenarten Seite 32

1. a) -17,3 · (-2/9) + 12,3 · (-2/9) = (-17,3 +12,3) · (-2/9) = -10/9 b) 1/8 · 0,64 + (-1/8) · 1,6 = 0,08 – 0,2 = -0,12 c) -5 · 7,6 + (-5) · (-6,2) = (-5) · (7,6 - 6,2) = (-5) · 1,4 = -7 d) 2,5 · 4/5 - 2,5 · 4/25 = 2,5 · (4/5 - 4/25) = 1,6

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

e) -7/9 · 9/14 + 7/9 · 1,8 = -1/2 + 14/10 = 9/10 f) 6,683 · (-1,25) + 6,683 · (-3/4) = 6,683 · [(-1,25) + (-3/4)] = -13,366

2. a) 3/10 + 2/3 · 3,6 = 3/10 + 2/3 · 36/10 = 3/10 + 24/10 = 27/10 = 2,7 b) -3/5 - 2/7 · 4,2 = -3/5 – 2/7 · 42/10 = -3/5 - 12/10 = -18/10 = -1,8 c) -1 5/8 + 7/11 · (-44/56) = -13/8 - 1/2 = -17/8 = -2 1/8 d) 4,8 · (-2/5) - (-3,84) = 4,8 · (-0,4) + 3,84 = -1,92 + 3,84 = 1,92 e) -2,5 · 3/5 – 7,9 = -1,5 – 7,9 = -9,4 f) 4,9 : 7 – 1 2/5 = 0,7 – 1,4 = -0,7 g) 2/13 : 5/26 – 22,7 = 4/5 – 22,7 =0,8 – 22,7 = -21,9 h) -0,009 · 9/81 + 12 3/4 = -0,001 + 12,75 = 12, 749 i) 5/8 - 3/8 · (-16) = 5/8 + 6 = 6,625 k) -0,6 - 0,6 : 1/2 = -0,6 - 1,2 = -1,8 l) 4 3/5 + 0,36 : (-0,09) = 4 3/5 - 4 = 3/5 m) 14/196 · (-0,7) + 0,05 = -1/20 + 0,05 = 0 3. a) 1,2 · (-1/2) – 1/6 · 8,4 = -0,6 - 1,4 = -2 b) (-2/3 - 4/9) · 0,9 = -10/9 · 0,9 = -1 c) (32 – 7/9 · 3,78) · (1/3 - 0, 3 ) = (32 – 7/9 · 3,78) · 0 = 0 d) -2 1/3 · (-6/4) - 2,5 = 7/2 – 2,5 = 1 e) 10/11 · (5 - 3/5) - 10/22 · 4,4 = 10/11 · 4,4 – 10/22 · 4,4 = 4,4 · (10/11 – 10/22) = 4,4 · 5/11 = 2 f) 6,4 · 3/8 – 1/5 · (-3) = 2,4 + 3/5 = 3 Der Termwert erhöht sich jeweils um 1. 4. a) (60 - 3,6) : (0,6 -1,2) = 56,4 : (-0,6) = -94 60 - 3,6 : 0,6 -1,2 = 60 - 6 - 1,2 = 52,8 (60 - 3,6) : 0,6 -1,2 = 56,4 : 0,6 - 1,2 = 94 - 1,2 = 92,8 60 - 3,6 : (0,6 -1,2) = 60 - 3,6 : (-0,6) = 60 + 6 = 66 b) 4/18 + 2/9 · 2/3 – 5/6 = 4/18 + 4/27 - 5/6 = -25/54 (4/18 + 2/9 · 2/3) – 5/6 = -25/54 4/18 + (2/9 · 2/3) – 5/6 = -25/54 4/18 + (2/9 · 2/3 – 5/6) = -25/54 c) (3/4 · 12 - 4,8) · 5 = (9 – 4,8) · 5 = 4,2 · 5 = 21 3/4 · (12 - 4,8) · 5 = 3/4 · 7,2 · 5 = 3/4 · 36 = 27 3/4 · 12 - 4,8 · 5 = 9 - 24 = -15 3/4 · (12 - 4,8 · 5) = 3/4 · (12 - 24) = 3/4 · (-12) = -9 5. a) (4/15 + 1 1/5) · 2,25 = 22/15 · 225/100 = 33/10 = 3,3 b) 8 · 5,75 · 4 1/3 - (-2/3) = 46 · 4 1/3 + 2/3 = 598/3 + 2/3 = 200 c) (1 1/5 - 2,3) - (1,1 - 1/5) = -1,1 - 0,9 = -2

12

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

6. z. B. -(-1,5 - 1,5) : (-1,5 -1,5) = - 1 -1,5 - 1,5 + [-1,5 : (–1,5)] = - 2 (- 1,5) - 1,5 ∙ [(- 1,5) : (- 1,5)] = - 3 -1,5 - 1,5 - [-1,5 : (–1,5)] = - 4 -1,5 - 1,5 -1,5 - 1,5 = - 6

13

- 1,5 - (- 1,5) + (- 1,5) - (-1,5) = 0 (-1,5 - 1,5) : (-1,5 -1,5) = 1 (- 1,5) : (- 1,5) + (- 1,5) : (- 1,5) = 2 (-1,5 - 1,5 - 1,5) : (-1,5) = 3 [- 1,5 + (- 1,5)] ∙ (- 1,5 + (- 1,5)) = 9

Detektiv Knödelmeier: C 12

Vermischte Übungen Seite 33

Tod Julius Caesar: 44 v. Chr. 1. a) Gründung Roms: 753 v. Chr. Caesar starb 709 Jahre nach der Gründung Roms. Blütezeit der griech. Demokratie: 450 v. Chr. b) Entdeckung Amerikas: 1492 Es liegen 1942 Jahre zwischen der Entdeckung Amerikas und der Blütezeit der griechischen Demokratie. Pyrrhus Sieg: 279 v. Chr. c) Kaiserkrönung: 800n. Chr. Es liegen 1079 Jahre dazwischen. Völkerwanderung: 400 n.Chr. d) Tod Julius Caesar: 44 v. Chr. Die Völkerwanderung begann 444 Jahre nach dem Tod von Julius Caesar. 2. a) A(-2|3); B(0|-5); C(0|-3); D(2|-3); E(5|0); F(5|2); G(3|2); H(0|-1) b) Spiegelung an der x-Achse:

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

14

Bei einer Spiegelung an der x-Achse ändert sich die x-Koordinate des Punktes nicht. Von der y-Koordinate wird die Gegenzahl gebildet. z. B. A(-2|-3) → A’(-2|3) Spiegelung an der y-Achse:

Bei einer Spiegelung an der y-Achse ändert sich die y-Koordinate des Punktes nicht. Von der x-Koordinate wird die Gegenzahl gebildet. z. B. F(5|2) → F’(-5|2) 3. 2,5 → 2,05 → 1 7/10 → 1 3/5 → 4/3 → 3/7 → 3/9 → -4,5 → -7 → -9,2 4. a) (14/15 – 1,4) · (-1) · (-1,5) = -0,7 b) (-0,825) · (-1/8)2 = -5/512 c) 0, 3 · (-3/5) · (-5)3 = -5 · (-5) d) (-1/3)3 · (-8,1) · 0,5 = 15 · 1/100 Hinweis: Überprüfe die Anzahl der negativen Vorzeichen der Faktoren. Ist die Anzahl der negativen Vorzeichen auf der linken Seite der Gleichung ungerade (gerade), so muss die Anzahl auf der rechten Seite ebenfalls ungerade (gerade) sein. 5.

0,925

-4,2 -5,25 Seite 34

+

14,8

:

16

-2

-

-16,8

+

32,8

:

2,1

·

-8

·

1,05

·

2

:

-1/4

-4,1

·

16,4

6. a) H steht für Haben und deutet eine Mehrung des Guthabens an. S steht für Soll und deutet eine Minderung des Guthabens an. b) Der neue Kontostand weist mit -13,90 € einen Fehlbetrag auf. c) Man versteht darunter, dass das Konto einen Fehlbetrag aufweisen darf. Die Bank räumt hier dem Kunden die Möglichkeit der in Anspruchnahme eines

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

sog. Dispositionskredits ein. Aber Vorsicht ist geboten: Die Bank verlangt hierfür einen sehr hohen Zinssatz. d) Der maximale Dispositionskredit umfasst 1.000,00 €. e) -1.000,00 € - (-13,90 €) = -986,10 € -986,10 € : 75,00 € = 13,148 Sie könnte noch 13 mal 75,00 € abheben. Dann stößt sie an die Grenze ihres Dispositionskredits. Bem: Zur Vermeidung von Verwechslungen erhalten Geldbeträge nach drei Stellen einen Punkt. 7. a) Höhenunterschied: 10 000 m – 450 m = 9 550 m Temperaturabnahme: 95,5 · (-0,6 °C) = -57,3 °C 20,5 °C – 57,3 °C = -36,8 °C Bei einer Flughöhe von 10 km herrscht eine Außentemperatur von –36,8°C b) Temperaturabnahme:(-50 °C) - (-0,4 °C) = -49,6 °C -49,6 °C : (-0,6 °C) = 82 2/3 Höhenunterschied: 82 2/3 · 100 m = 8 266 2/3 m Flughöhe: 8 266 2/3 m + 100 m = 8 366 2/3 m Das Flugzeug fliegt in einer Höhe von etwa 8 367 Metern. 8. a) Volumen des Wolkenausschnitts: 2 km · 1 km · 1 km = 2 km3 = 2 000 000 000 m3 Wassermasse pro m3: 0,6 g Wassermasse des Wolkenausschnitts: 0,6g · 2 000 000 000 = 1 200 000 000 g = 1 200 000 kg = 1 200 t Es segelt eine Wassermasse von 1 200 t durch die Luft. b) Volumen des Sees vor dem Regen: 20 ha · 240 cm = 2 000 000 000 cm2 · 240 cm = 480 000 000 000 cm3 = 480 000 m3 Volumen des Regenwassers: 1 200 t = 1 200 m3 Volumen des Sees nach dem Regen: 480 000 m3 + 1 200 m3 = 481 200 m3 Pegelstand des Sees: 481 200m3 : 20 ha = 481 200 m3 : 200 000 m2 = 2,406 m = 240,6 cm Der Wasserstand des Sees würde um 0,6 cm ansteigen. 9. a) Damit Wasser kochen kann, muss es seinen Siedepunkt erreichen. Der Siedepunkt ist abhängig von der Temperatur des Wassers und dem Luftdruck. Je geringer der Luftdruck, umso kleiner ist die Temperatur, die man zum Kochen braucht. Das bedeutet: Auf Meereshöhe kocht Wasser bei 100 Grad, in München (500 Meter hoch gelegen) schon bei 97 Grad. Angenommen wir befinden uns auf Meereshöhe, dann müsste das Wasser um 60°C abkühlen. b) Das Wasser hat durch das Mischen eine Temperatur von 60°C. Es müsste demnach noch um 20°C abkühlen. c) TMisch = (0,075 · 100 + 0,125 · 20)°C : (0,075 + 0,125) = 50°C Es ist nicht die richtige Mischung. Das Wasser müsste noch um 10°C abkühlen. d) [x · 100 + (200 - x) · 20] : 200 = 40 (100x + 4 000 - 20x) : 200 = 40 (80x + 4 000) : 200 = 40 0,4x + 20 = 40 |-20 0,4x = 20 |:0,4 x = 50

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3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

Nimmt man 50 ml Wasser mit einer Temperatur von 100 °C und 150 ml Wasser mit einer Temperatur von 20 °C, dann erhält man eine 40 °C warme Wassermenge von 200 ml. [Probe: TMisch = (0,050 · 100 + 0,150 · 20)°C : (0,050 + 0,150) = 40 °C]

Rationale Zahlen besser verstehen

Seite 35

1. A: falsch; Das Ergebnis wäre immer negativ. B: richtig C: falsch; (-1) · (-1) = 1 D: falsch; 0,5 · 2 = 1 E: richtig 2. a) b) c) d)

falsch, z.B. 1/2 · 1/2 = 1/4 falsch, z.B. 3 : 0,5 = 6 richtig, falls keiner der Faktoren die Null ist. richtig, falls kein Faktor Null ist.

3. a) -0,7 · (3/7 - 3/7) · 0,3 = 0 b) (-2/3)2 – [0,9 · (1/4 - 0,25)] : 1/2 = 4/9 c) Der Termwert ist negativ. Der Term ist mit dem Setzen der Klammer im Prinzip eine Summe. Die beiden Summanden wiederum sind ein Produkt und ein Quotient. Sowohl das Produkt als auch der Quotient sind offensichtlich negativ. Dann muss der Summenwert aus Produkt- und Quotientenwert ebenfalls negativ sein. 4. a) -0,25 b) -0,02 c) -3/6 = -1/2 5. a) Begründung: (0,6 + 0,68) : 2 = 0,64 bzw. (-0,13 + 1,41) : 2 = 0,64 weitere Zahlen: 0,63 und 0,65; 0 und 1,28 b) c) d) e) -0,18 Summe Differenz -0,36 0 -0,36 0,36 -0,54 0,18 -0,36 0,72 -1,18 0,82 -0,36 2 -0,17 -0,19 -0,36 0,02 -3,68 3,32 -0,36 7 0,25 Summe Differenz -0,1 0,6 0,5 0,7 0,12 0,38 0,5 0,5 -1 1,5 0,5 2,5 -0,24 0,74 0,5 0,98 0,249 0,251 0,5 0,5 Der Differenzwert entspricht dem Abstand der kleineren Zahl von der größeren Zahl. Der Wert der Summe entspricht dem doppelten Wert der Zahl in der Mitte.

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3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

6. a) (x + 11) · 5 = -45 5x + 55 = -45 | -55 5x = -100 |:5 x = -20 Die gesuchte Zahl ist -20. b) z. B. [x - (-3)] : 4 = 12 (x + 3) : 4 = 12 |·4 x + 3 = 48 |-3 x = 45 c) --

Grad Celsius und Grad Fahrenheit Seite 36

1. a) 86 °F °F b) 50 68 95 104 131 140 °C 10 20 35 40 55 60 c) ca. 99 °F d) -8 °C entspricht in etwa 18°F. Lösungsweg: 0 °C entspricht in etwa 32 °F -10 °C entspricht in etwa 16 °F D.h. bei einem Temperaturunterschied von 10 °C steigt die Fahrenheitskala in diesem Fall um 16 °F an, dass könnten pro Grad in etwa 1,6 °F sein. Der Tabelle bei Aufgabe b) ist allerdings zu entnehmen, dass kein proportionaler Zusammenhang vorliegt, weswegen es wohl weniger als 1,6 °F sein müssen. 2. a)

°F 131 158 23 5 194 77 32 -4 °C 55 70 -5 -15 90 25 0 -20 b) -15°C entspricht 5°F. Die Langläufer werden das Wachs „Frosty“ verwenden.

Umweltprojekt GLOBE Seite 37

1. Sowohl in Edmonton als auch in New York ist Nachtzeit (2:00 Uhr bzw. 4:00 Uhr). Dort anzurufen ist also eher ungünstig. Bei den anderen Städten dürften keine Probleme entstehen: London 9:00 Uhr, Tromso 10:00 Uhr, Darjeeling 15:00 Uhr. 2. a) Regensburg: 9,0 °C; London: 10,3 °C; Tromso: 2,7 °C; Edmonton: 2,6 °C; New York: 10,6 °C; Darjeeling: 13,1 °C b) Hier bietet sich ein Liniendiagramm an, da sich diese Diagrammart besonders gut für die Darstellung der Veränderung von Werten in einem bestimmten Zeitablauf eignet. z.B.

17

3 Die Menge Q der rationalen Zahlen

18

GLOBE 30 25

Temperatur

20 15

Regensburg

10

London

5

Tromsø

0

Edmonton

-5

Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez

-10

Darjeeling

-15 -20

c) Dezember: Januar: März: März: August: November:

New York

Monat

New-York – Darjeeling: Regensburg – Edmonton: Edmonton – London: Tromso – Darjeeling: New York – London: Darjeeling – Edmonton:

6,8 °C 11,2 °C 11,8 °C 14 °C 6,6 °C 15,1 °C