3.

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4) Brüche sind Teile von ganzen Zahlen. Zwischen zwei unterschiedlichen ganzen Zahlen hat es immer unendlich viele Brüche. 2 . Brüche entstehen aus einer Division; eine ganze Zahl wird in Einzelteile aufgeteilt: 2 : 5 = 5 Der obere Teil des Bruches (der Dividend) heisst Zähler, der untere Teil (Divisor) heisst Nenner. Echte Brüche:

Der Zähler ist kleiner als der Nenner

Unechte Brüche:

Der Zähler ist mindestens so gross wie der Nenner

1 3 2⎞ ⎛ ⎜ z.B. ; ; ⎟ 3 4 5⎠ ⎝

4 7 5⎞ ⎛ ⎜ z.B. ; ; ⎟ 3 4 5⎠ ⎝ 1 1 7 1 1 Schreibweise: oder 2 Æ 2 bedeutet 2 + (nicht 2 • ) 3 3 3 3 3 Steht allerdings zwischen Ziffern und Variablen kein Operationszeichen, bedeutet das eine Multiplikation (d.h. 3a bedeutet 3 • a).

Neben der Bruchschreibweise kennen wir auch die Dezimalschreibweise. Bruchschreibweise: 2 Dezimalschreibweise: 0.4 5 Bei der Dezimalschreibweise gibt die 1. Dezimalstelle nach dem Komma die Zehntel an: 2 = 4 = 0.4 5 10

3.1

Brüche und Dezimalbrüche Teile eines Ganzen können als Bruch ⎛⎜ z.B. 1 ⎞⎟ oder als Dezimalzahl (z.B. 0.25) dargestellt werden. ⎝

4⎠

Jeder Bruch kann als Dezimalzahl und umgekehrt jede Dezimalzahl als Bruch dargestellt werden.

3.1.1 Brüche in Dezimalbrüche umwandeln Brüche sind eigentlich Divisionen. Indem wir die Division ausführen, können wir einen Bruch in seine Dezimaldarstellung überführen. Am einfachsten geht das mit dem Taschenrechner. a)

4 25

= 4 : 25

= 0.16

Nicht alle Divisionen gehen auf, es kann zu unendlich vielen Stellen kommen, die sich aber spätestens nach einer bestimmten Anzahl Stellen wiederholen. b)

7 11

= 7 : 11

= 0.636363 ... Man spricht hier von der Periode 63 und schreibt 0.63 .

c)

2 7

= 2 : 7

=

d)

1 13

= 1 : 13

=

0.076923

Eine Periode kann aber auch weniger Stellen haben.

e)

7 15

= 7 : 15

=

0.46

Oder die Periode kann nicht direkt nach dem Dezimalpunkt beginnen.

0.285714

Eine Periode hat maximal 1 Stelle weniger als der Wert des Nenners. 2 hat maximal eine Periode mit 6 Stellen (= 7 – 1). 7

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

33

D o z e n t e n s e i t e

( m i t

L ö s u n g )

3.1.2 Dezimalbrüche in Brüche umwandeln Nicht periodische Dezimalbrüche können wir in Brüche umwandeln, indem wir als Nenner das entsprechende Zehnervielfache analog der Anzahl Dezimalstellen einsetzen.

45 ⎛ 9 ⎞ ⎜= ⎟ 100 ⎝ 20 ⎠

0.45 =

0.3125 =

3'125 ⎛ 5 ⎞ ⎜= ⎟ 10'000 ⎝ 16 ⎠

10'000

10

100 Bei periodischen Dezimalbrüchen ist das Verfahren zur Umwandlung in Brüche aufwändiger. Wir müssen durch geschickte Subtraktion erreichen, dass sich der periodische Teil des Dezimalbruchs auflöst. Beispiele a)

b) 0.36

0.6

-

10x ( 1x

= =

9x

=

x c)

6 6 = 9

100x ( 10x

x

99x =

2 3

x

= 73.333... = 7.333... ) = 66 66 = 90

=

- (

= 36 36 = 99

f)

(

100x = 90.9090... 1x = 0.9090... )

90 99

= =

9'900x

=

x

0.90

x =

=

4 11

1'590.9090... 15.9090... )

1'575 1'575 = 9'900

=

7 44

1.27

-

100x = 127.777... ( 10x = 12.777... ) 90x = 115

10 11

x =

115 90

23 18

h) 0.0045

0.076923 1'000'000x = 76'923.076923076923... ( 1x = 0.076923076923...) 999'999x = 76'923 x=

34

= 36.3636... = 0.3636... )

10'000x 100x

11 15

99x = 90

g)

100x 1x

d) 0.1590

90x

-

(

-

0.73 -

e)

6.666... 0.666... )

76'923 999'999

10'000x = 45.045045... - ( 10x = 0.045045... ) 9'990x = 45

1 13

x =

45 9'990

1 222

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

D o z e n t e n s e i t e 3.2

( m i t

L ö s u n g )

Runden, Genauigkeit und signifikante Stellen Brüche lassen sich in Dezimalbrüche umwandeln. Oft ergeben sich dabei sehr viele (oder sogar unendlich viele) Dezimalstellen. Wenn in der Praxis mit diesen Dezimalzahlen gerechnet werden soll, so müssen wir uns mit Näherungswerten begnügen. Diese Werte erhalten wir durch geeignetes Runden der Ursprungszahl. Rundungsregel:

Folgt der Rundungsstelle – die Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, bleibt die Rundungsstelle unverändert. – die Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9, wird die Rundungsstelle um 1 erhöht. Die Ziffern hinter der Rundungsstelle fallen weg.

Runden auf 1 Dezimalstelle

Runden auf 2 Dezimalstellen

a) 0.22

=

0.2

a) 0.454

=

0.45

b) 0.27

=

0.3

b) 0.7868

=

0.79

c)

=

2.3

c)

0.8381

=

0.84

d) 0.241

=

0.2

d) 3.2751

=

3.28

e) 0.249

=

0.2

e) 4.3427

=

4.34

f)

=

8.0

f)

=

0.30

2.25

7.953

0.295

Sonderfall: Rundung auf 5 Rappen Im Finanz- und Rechnungswesen kommen oft Frankenbeträge als Resultate vor. Hier gilt meist noch die Regel, dass auf 5 Rappen genau gerundet werden muss. Regel:

Sofern es im Resultat – weniger als 2.5 Rappen hat Æ Zehner beibehalten, danach eine 0 hinzufügen (nachfolgende Ziffern fallen weg) – mindestens 2.5, aber weniger als 7.5 Rappen hat Æ Zehner beibehalten, danach eine 5 hinzufügen (nachfolgende Ziffern fallen weg) – mindestens 7.5 Rappen hat Æ Zehner um 1 erhöhen, danach eine 0 hinzufügen (nachfolgende Ziffern fallen weg)

Beispiele:

3.100... bis 3.124...

Æ 3.10

3.600... bis 3.624...

Æ 3.60

3.125... bis 3.174...

Æ 3.15

3.625... bis 3.674...

Æ 3.65

3.175... bis 3.199...

Æ 3.20

3.675... bis 3.699...

Æ 3.70

10

2.5 < 12.5 abrunden

3.10

15

7.5

20 Rappen

≥ 12.5 und < 17.5

≥ 17.5

auf 5 Rappen auf-/abrunden

aufrunden 3.20

3.15

a) 5.4425

=

5.45

b) 7.883

=

7.90

c)

=

12.20

d) 13.5238

=

13.50

=

0.65

f)

=

8.75

12.175

e) 0.63756

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

8.759

35

D o z e n t e n s e i t e

( m i t

L ö s u n g )

Genauigkeit Die gerundete Zahl 2.1 ist weniger genau als die Zahl 2.10. Dies lässt sich an den Werteschranken der gerundeten Zahl erläutern. Zahl 2.1 2.10

Genauigkeit 1 Dezimalstelle 2 Dezimalstellen

untere Schranke 2.05 2.095

obere Schranke 2.14 2.104

Deshalb besteht ein Unterschied – in Bezug auf die Genauigkeit – zwischen den Zahlen 2.1 und 2.10. Signifikante Stellen Mit signifikanten (= bedeutsamen) Stellen meint man die Anzahl Stellen, die übrig bleibt, wenn man führende Nullen links der Zahl nicht mitzählt. 0.248 0.0002 2.001 0.0230

sind 3 signifikante Stellen ist 1 signifikante Stelle sind 4 signifikante Stellen sind 3 signifikante Stellen

(0.248) (0.0002) (2.001) (0.0230)

Runden Sie die folgenden Zahlen auf 2 signifikante Stellen: a) 0.483

=

0.48

b) 0.00718

=

0.0072

c)

0.002803

=

0.0028

d) 0.000000275

=

0.00000028

e) 0.2089

=

0.21

f)

=

13

g) 7.2873

=

7.3

h) 4.000738

=

4.0

i)

0.70663

=

0.71

j)

0.2080452

=

0.21

k)

0.00198

=

0.0020

13.4531

Signifikante Dezimalstellen Werden signifikante Dezimalstellen gefordert, so gilt die Regel der führenden Nullen analog, aber nur für die Dezimalstellen (d.h. führende Nullen links in der Folge der Dezimalstellen werden nicht mitgezählt). Runden Sie die folgenden Zahlen auf 2 signifikante Dezimalstellen: =

1.028

m) 12.01086

=

12.011

n) 3.002844

=

3.0028

o) 17.02095

=

17.021

p) 0.000895

=

0.00090

q) 4.09073

=

4.091

l)

36

1.0275

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

3.3

Vorzeichen bei Brüchen Die Regeln für Vorzeichen gelten auch bei Brüchen. Zusätzlich gilt, dass wenn das Vorzeichen für den gesamten Zähler oder Nenner gilt, es überall stehen kann, auch vor dem Bruch. a)

b)

c)

3.4

−1 2

oder

a−b −2

oder

−

Vorzeichen im Nenner

oder

Vorzeichen vor dem Bruch

1 −2 Vorzeichen im Zähler

− (a − b) 2

a−b a

oder

−

oder

= b−a 2

Vorzeichen im Zähler

Vorzeichen vor dem Bruch

−

oder

1 2

a−b = −a+b = b −a 2 2 2

Vorzeichen im Nenner

− (a − b) = b − a a a

a−b −a

Erweitern und Kürzen 4 , 8 und 1 haben denselben Wert. 8 16 2 Sie sind durch Erweitern bzw. Kürzen auseinander hervorgegangen. Erweitern:

Zähler und Nenner werden mit demselben Faktor multipliziert. 4

• 2

8

• 2

=

8 16

Die Technik des Erweiterns wird vor allem benötigt, um bei der Addition und Subtraktion von Brüchen die Nenner gleichnamig zu machen.

Kürzen:

Zähler und Nenner werden durch denselben Faktor dividiert. Dabei bleibt sowohl im Zähler wie im Nenner immer ein Faktor übrig (oft die Zahl 1). 4

: 4

8

: 4

=

1 2

Jede Lösung einer Aufgabe muss möglichst einfach dargestellt werden, d.h. sie muss vollständig gekürzt sein. Gewöhnen Sie sich bitte daran, von "kürzen" zu sprechen, und vermeiden Sie das Wort "streichen". Streichen bedeutet nämlich "wegstreichen". Würde der Nenner eines Bruchs aber "weggestrichen", würde das zu einer Division durch Null führen, die nicht definiert ist.

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

37

Bei Termen mit Variablen müssen zuerst geeignete Faktoren ausgeklammert werden, damit ein Bruch gekürzt werden kann. Summanden dürfen nicht gekürzt werden. a)

2a 2 − 4a

n Ausklammern

o Kürzen

5a 2 − 10a

im Zähler: 2a im Nenner: 5a

mit a und ( a - 2 )

2a ( a - 2 ) 5a ( a - 2 )

1 1 2a ( a - 2 )

Æ

2

=

5a ( a - 2 ) 1 1

5

Manchmal können Terme auch als Produkt zweier anderer Terme geschrieben werden. b)

a2 − b2 2

a − 2ab + b

2

n Faktorzerlegung

o Kürzen

binomische Formeln

mit ( a - b )

(a+b)(a-b)

1 (a+b)(a-b)

(a-b)(a-b)

Æ

(a-b)(a-b) 1

a+b

=

a-b

Manchmal ist es auch möglich, sowohl einen Faktor auszuklammern als auch eine Zerlegung in zwei Klammern vorzunehmen. c)

n Ausklammern

6a2 − 6b2 2

4a + 8ab + 4b

o Kürzen

und Faktorzerlegung

2

6 ( a + b) (a - b) 4 ( a + b) ( a + b )

mit 2 und ( a + b)

3 1 6 ( a + b) (a - b)

Æ

=

4 ( a + b) ( a + b ) 2 1

3(a-b) 2(a+b)

3.4.1 Spezialfall I: Ausklammern von -1 d)

2 1 + a − 2b 2b − a Das Ausklammern von ( -1 ) beim Nenner des 2. Bruchs führt dazu, dass die Nenner gleichnamig werden: 2

1

+

a - 2b

( 1 ) ( a - 2b )

Das Weiterrechnen kann auf zwei Arten geschehen: Variante 1: ( -1 ) in den Zähler setzen

2 a - 2b

38

+

1

a - 2b

=

Variante 2: ( -1 ) vor den Bruch setzen

1

2

1

a - 2b

a - 2b

a - 2b

=

1 a - 2b

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

D o z e n t e n s e i t e

( m i t

L ö s u n g )

3.4.2 Spezialfall II: Erweitern mit -1 e)

2 1 + a − 2b 2b − a Auch das Erweitern des einen oder andern Bruchs mit ( -1 ) kann dazu führen, dass Nenner gleichnamig werden. ♦ Durch Erweitern mit ( -1 ) beim 1. Bruch erhält man: 2•( 1)

+

(a - 2b) • ( 1 )

1 2b - a

=

2 2b - a

+

1 2b - a

=

-1 2b - a

♦ Durch Erweitern mit ( -1 ) beim 2. Bruch erhält man: 2

+

a - 2b

1•( 1) ( 2b - a ) • ( 1 )

=

2 a - 2b

+

1 a - 2b

=

1 a - 2b

Beachten Sie, dass die beiden Resultate identisch sind. Jedes der beiden Resultate kann durch Erweitern mit ( -1 ) in das jeweils andere Resultat umgeformt werden.

3.4.3 Spezialfall III: Ausklammern von Faktoren Speziell beachten müssen Sie das Ausklammern von Faktoren bei Potenzen. f)

(2a + 6b) 2 Durch Ausklammern von 2 erhält man: [2 (a + 3b)] 2 = 2 2 (a + 3b) 2 = 4 (a + 3b) 2

g)

(3a + 3b) 2 (a + b) 2 Durch Ausklammern von 3 erhält man: [3 (a + b)] (a + b)2

h)

2

2 2 2 = 3 (a + b) = 9 (a + b) = 9 (a + b) 2 (a + b) 2

( 4a + 2b) 2 (6a + 3b) 2 Durch Ausklammern von 2 im Zähler und 3 im Nenner erhält man:

[2 (2a + b)] 2 [3 (2a + b)] 2

i)

2 2 = 2 (2a + b) 3 2 (2a + b) 2

2 = 2 32

4 9

(9a2 + 3b)2 (15a2 + 5b)2 Durch Ausklammern von 3 im Zähler und 5 im Nenner erhält man:

[ 3 (3a [ 5 (3a

2 2

] + b)] + b)

2 2

2 2 2 = 3 (3a + b) 52 (3a2 + b)2

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

2 = 3 52

9 25

39

D o z e n t e n s e i t e

( m i t

L ö s u n g )

3.4.4 Spezialfall IV: Binomische Formeln Beachten Sie die Spezialfälle bei binomischen Formeln:

1

j)

(a − b)

1

+

2

(b − a)

=

2

= =

1 (a − b)

2

1 (a − b)

2

+ +

1+ 1 (a − b)

1

[( −1) (a − b)] 2 1 2

( −1) • (a − b)

1 (a − b)

2

+

1 ( +1) • (a − b)2

2

=

2

=

2

(a − b)2

aber: k)

1 (a − b)

1

+

3

(b − a)

=

3

= =

Fazit:

1

3 2

(2x − y )

3 (2x − y )2 3 2

(2x − y ) 3

2

(2x − y)

m)

5 3

(x − 4 y ) 5

(x − 4 y )3 5 3

(x − 4 y ) 5

3

(x − 4 y )

40

3

(a − b) 1

3

(a − b)

+ +

1− 1 (a − b)3

1

[( −1) (a − b)] 3 1 3

−

− − −

−

− − +

=

=

3

( −1) • (a − b)

1 3

(a − b)

+

1 ( −1) • (a − b)3

= 0

Der Exponent n ist eine gerade Zahl:

(b − a)n

l)

1

Der Exponent n ist eine ungerade Zahl:

+1

1

(a − b)n

(b − a)n

=

−1 (a − b)n

2 (y − 2x)2

2

[(−1) (2x − y)] 2 2 2

( −1) (2x − y)2 2

1

(2x − y)2

(2x − y)2

3 (4y − x)3 3

[(−1) (x − 4y )]

3

=

5 (x − 4 y )3

−

3 ( −1)3 (x − 4 y )3

3 ( −1) (x − 4 y )3 3 (x − 4 y )3

8 (x − 4 y )3

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

D o z e n t e n s e i t e 3.5

( m i t

L ö s u n g )

Addition und Subtraktion von Brüchen Brüche können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleiche Nenner haben. Zuerst müssen die Brüche also gleichnamig gemacht werden. Das geschieht durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner. Als gemeinsamen Nenner wählen wir das kgV (= kleinstes gemeinsames Vielfaches), Details dazu finden Sie in Kapitel 3.5.1. Beispiele a)

1 1 + 4 6 = 1• 3 + 1• 2 6•2 4•3

b)

c)

=

3 2 + 12 12

5 12

=

Wenn ein Bruch subtrahiert wird, müssen sämtliche Vorzeichen im Zähler des zu subtrahierenden Bruchs geändert werden.

3 a+2 − 2 2a − 2 a −1 n Ausklammern:

=

3 a+2 − 2 (a − 1) (a + 1) (a − 1)

o Erweitern auf Hauptnenner:

=

3 • (a + 1) (a + 2) • 2 − 2 (a − 1) • (a + 1) (a + 1) (a − 1) • 2

p Vereinfachen:

=

3a + 3 − (2a + 4) 2 (a + 1) (a − 1)

=

Æ Hauptnenner: 2 ( a + 1 ) ( a - 1 )

3a + 3 − 2a − 4 2 (a + 1) (a − 1)

=

a −1 2 (a + 1) (a − 1)

=

1 2 (a + 1)

a a + 2 a +1 a −1 a a Æ Erweitern auf Hauptnenner: ( a + 1 ) ( a - 1 ) + a +1 (a + 1) (a − 1) a • (a − 1) a + (a + 1) • (a − 1) (a + 1) (a − 1) 2 a2 a2 a −a + a oder (a + 1) (a − 1) a2 − 1 (a + 1) (a − 1)

d)

a2 + 3 2

a + 4a + 4

−

3 + 2a 2a + 4

a2 + 3 3 + 2a − (a + 2) (a + 2) 2 (a + 2)

Æ Hauptnenner: 2(a+2)(a+2)

Æ

(a2 + 3 ) • 2 (3 + 2a) • (a + 2) − (a + 2) (a + 2) • 2 2 (a + 2) • (a + 2)

2a 2 + 6 − (3a + 6 + 2a2 + 4a) 2 (a + 2) (a + 2) 2a 2 + 6 − 3a − 6 − 2a2 − 4a 2 (a + 2) (a + 2) − 7a 2 (a + 2) (a + 2)

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

−

7a 2 (a + 2)2

41

3.5.1 Brüche gleichnamig machen: das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) Brüche können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleichnamig sind (d.h. gleiche Nenner haben). 1 + 2 lassen sich deshalb nicht ohne weiteres addieren. 3 5 Brüche werden gleichnamig gemacht, indem sie auf einen gemeinsamen Nenner erweitert werden. Als gemeinsamen Nenner sollte immer das kgV (= kleinstes gemeinsames Vielfaches) gewählt werden. Es sollten also nicht einfach die einzelnen Nenner miteinander multipliziert werden, weil so unnötig grosse Zahlen bzw. unnötig komplizierte Ausdrücke entstehen können.1 Brüche werden wie folgt gleichnamig gemacht: n

o

Hauptnenner (das kgV) ermitteln c

Jeden Nenner in seine Primfaktoren zerlegen (d.h. in Faktoren, die nicht mehr weiter aufgeteilt werden können)

d

Für alle unterschiedlichen Primfaktoren das häufigste Vorkommen ermitteln

e

Jeden Primfaktor so oft mit sich selber multiplizieren, wie es dem häufigsten Vorkommen entspricht. Æ Die Gesamtmultiplikation aller Primfaktoren mit deren Häufigkeit entspricht dem kgV.

Alle Brüche auf den Hauptnenner (das kgV) erweitern Anschliessend kann die Addition / Subtraktion erfolgen, vgl. Beispiele auf der vorherigen Seite.

Fall I: Die Nenner bestehen nur aus Zahlen

a)

3 5 7 + − 8 12 18 n

c

d

Jeden Nenner in seine Primfaktoren zerlegen

3 8

5 12

7 18

È

È

È

2 • 2 • 2

2 • 2 • 3

2 • 3 • 3

Häufigstes Vorkommen für alle Primfaktoren ermitteln

Faktor 2: Faktor 3: e

3 mal (im Nenner "8") 2 mal (im Nenner "18")

Hauptnenner (das kgV) ermitteln

kgV = 2 • 2 • 2 • 3 • 3

Æ kgV = 72

Jeder verschiedene Faktor (hier 2 und 3) muss so oft in die Berechnung übernommen werden, wie er am häufigsten vorkommt. Der Faktor 2 kommt beim ersten Nenner am häufigsten vor (dreimal) und der Faktor 3 kommt beim dritten Nenner am häufigsten vor (zweimal).

o

Alle Brüche auf den Hauptnenner (das kgV) erweitern

3 • 9 8 • 9

1

42

+

5 • 6 12 • 6

-

7 • 4 18 • 4

=

27 + 30 - 28 72

=

29 72

Noch wichtiger als bei der Addition und Subtraktion von Brüchen ist die Verwendung des kgV beim Auflösen von Bruchgleichungen. Werden die Brüche nicht durch Erweitern auf das kgV zum Verschwinden gebracht, entstehen oft Gleichungen mit x2 oder gar mit x3, was uns vor unnötige und teilweise sogar unlösbare Probleme stellen wird.

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

Fall II: Die Nenner bestehen aus Produkten mit Zahlen und Parametern

b)

7 4 3 + + 3 8a 15ab 18a2b n

4

3 8a

7 3

18a 2b È

È

15ab È

c

2 • 2 • 2 • a

3 • 5 • a • b•b•b

d

Faktor 2: 3 mal (im Nenner "8a") 2 Faktor 3: 2 mal (im Nenner "18a b") 3 Faktor 5: 1 mal (im Nenner "15ab ")

e

kgV = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • a • a • b • b • b

2 • 3 • 3 • a • a • b 2

Faktor a: Faktor b:

2 mal (im Nenner "18a b") 3 3 mal (im Nenner "15ab ") Æ kgV = 360a 2b 3

Um das kgV zu bestimmen, muss wiederum jeder verschiedene Faktor so oft in die Berechnung übernommen werden, wie er am häufigsten vorkommt. 3

o

3 • 45ab

3

2

4 • 24a

+

3

8a • 45ab

15ab

3

7 • 20b

+

2

• 24a

2

18a b • 20b

=

96a + 135ab

2

+ 140b

2 3

360a b

Fall III: Die Nenner bestehen aus Summen und Differenzen

c)

4 7 1 + 2 + 6a − 12 8a + 16 a −4 n

4

1 8a + 16

a −4

7 6a − 12

È

È

È

2

c

2 • 2 • 2 • (a+2)

d

Faktor 2: Faktor 3: Faktor ( a + 2 ): Faktor ( a - 2 ):

e

kgV = 2 • 2 • 2 • 3 • ( a + 2 ) • ( a - 2 )

3 mal 1 mal 1 mal 1 mal

(a+2) • (a-2)

2 • 3 • (a-2)

(im Nenner "8a + 16") (im Nenner "6a - 12") 2 (im Nenner "8a + 16" bzw. "a - 4") 2 (im Nenner "a - 4" bzw. "6a – 12") Æ kgV = 24 (a + 2)(a − 2)

Um das kgV zu bestimmen, muss wiederum jeder verschiedene Faktor so oft in die Berechnung übernommen werden, wie er am häufigsten vorkommt.

o

1 • 3(a-2) 8(a+2) • 3(a-2)

=

4 • 24 +

( a + 2 ) ( a - 2) • 24

3a - 6 + 96 + 28a + 56 24 ( a + 2 ) ( a - 2 )

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

=

7 • 4(a+2) +

6 ( a - 2) • 4 ( a + 2 )

31a + 146 24 ( a + 2 ) ( a – 2 )

43

D o z e n t e n s e i t e 3.6

( m i t

L ö s u n g )

Multiplikation von Brüchen Brüche werden multipliziert, indem die Zähler sowie die Nenner je miteinander multipliziert werden.

a)

b)

a c • b d

2a a2 − b2

=

•

a−b 4

Vor dem Multiplizieren sollte wenn möglich zuerst gekürzt werden, um die Aufgabe zu vereinfachen = = =

c)

4 •

a a−b

e)

3 • a a+b

4a 2 + 4a + 1 3a 2 − 27

a−b 2a • 4 (a + b)(a − b) a 1 • a+b 2 a 2 (a + b)

Bei der Multiplikation mit einer ganzen Zahl wird diese als Bruch mit dem Nenner 1 geschrieben. =

d)

ac bd

=

•

6a 2 − 36a + 54

(2a + 1) (2a + 1) 3 (a 2 − 9)

4a 2 − 1

•

a 4 • a−b 1 3 a • a+b 1

=

=

4a a−b 3a a+b

Bei solchen Aufgaben muss vor dem Ausmultiplizieren versucht werden, Zähler und Nenner in Faktoren zu zerlegen und die Aufgabe durch Kürzen zu vereinfachen.

6 (a 2 − 6a + 9) (2a + 1) (2a − 1)

(2a + 1) (2a + 1) 6 (a − 3) (a − 3) • 3 (a + 3) (a − 3) (2a + 1) (2a − 1) 2a + 1 6 (a − 3) (a − 3) • 3 (a + 3) (a − 3) 2a − 1 2a + 1 2 (a − 3) • a+3 2a − 1

2 (2a + 1) (a − 3) (a + 3) (2a − 1) 2 (a − 3) (2a + 1) (a + 3) (2a − 1)

44

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

D o z e n t e n s e i t e

f)

( m i t

L ö s u n g )

3 (2a − 2b) 2 • 12 (b − a) 2

[2 (a − b)] 2

3

•

12

[( −1) (a − b)] 2

22 (a − b)2 3 • 2 12 ( −1) (a − b)2 4 (a − b)2 3 • 12 (a − b)2

4 3 • 12 1

g)

1

3

4a 2 •

2

2a + 4a

4a 2 3 • 1 2a (a + 2) 2a 3 • 1 a+2

6a a+2

6a a+2 h)

3a 3

(b − a)

3a (b − a) 3

• (a − b)2

•

(a − b) 2 1

3a

[(−1) (a − b)] 3 3a ( −1) 3 (a − b) 3 3a ( −1) (a − b) 3

•

(a − b)2 1

•

(a − b) 2 1

•

(a − b) 2 1

3a 1 • ( −1) (a − b) 1

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

3a b−a

45

3.7

Division von Brüchen Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs (Reziprokwert) multipliziert wird. Æ Der Kehrwert eines Bruchs entsteht durch Vertauschen von Zähler und Nenner. 3 → Kehrwert 4 4 3

1 → Kehrwert 5 (= 5) 5 1

2 → Kehrwert 1 2

Beispiele

a)

b)

c)

a c : b d

(a + b)2 a2 − b2 : 3b 6b 2

=

a d • b c

=

ad bc

=

(a + b)2 (a + b)(a − b) : 3b 6b 2

=

(a + b)2 6b 2 • 3b (a + b)(a − b)

=

a+b 2b • 1 a−b

=

2b (a + b) a−b

4a : (a + b) a−b

Auch bei Divisionen zwischen ganzen Zahlen und Brüchen wird die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 geschrieben.

=

4a a+b : a−b 1

=

4a 1 • a−b a+b

=

d)

46

6a :

4a a−b

4a 2

a − b2

=

6a 4a : 1 a−b

=

6a a−b • 1 4a

=

3 a−b • 1 2

=

3 (a − b) 2

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

D o z e n t e n s e i t e

e)

( m i t

L ö s u n g )

a+b a : 2 2 a−b a −b

a+b a2 − b2 • a−b a

a+b (a + b) (a − b) • a−b a a+b a+b • 1 a

(a + b) 2 a f)

10a + 5b 2a + b : 2 2 3a − b 9a − b

10a + 5b 9a 2 − b 2 • 3a − b 2a + b 5 (2a + b) (3a + b)(3a − b) • 3a − b 2a + b 5 (3a + b)(3a − b) • 3a − b 1 5 3a + b • 1 1

5 (3a + b)

g)

a2 − b2 a 2 + 2ab + b 2

a2 − b2 2

a + 2ab + b

2

a2 − b2 2

a + 2ab + b

2

: (b − a)

:

b−a 1

•

1 b−a

(a + b) (a − b) 1 • (a + b) (a + b) b−a

a−b 1 • a+b ( −1) (a − b) 1 1 • a+b −1

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

−

1 a+b

47

D o z e n t e n s e i t e 3.8

( m i t

L ö s u n g )

Doppelbrüche Eine Division zweier Brüche lässt sich – wie eine Division zweier ganzer Zahlen – auch als Bruch schreiben. a a c b ↔ : b d c d Da nun Zähler und Nenner auch wieder Brüche sind, spricht man hier von einem Doppelbruch. Die Auflösung eines Doppelbruchs geschieht, indem der Bruch im Zähler mit dem Kehrwert des Bruchs im Nenner multipliziert wird. Beispiele

a b c d

a)

=

a d • b c

=

ad bc

Natürlich können bei Doppelbrüchen sowohl im Zähler wie auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Diese werden wie bereits bekannt als Bruch mit dem Nenner 1 geschrieben.

a b c

b)

=

c)

a b c 1

= a • 1 b c

=

a bc

2a 3b − 10b 2a 3b − 10b 1 2a 1 • 3b − 10b a 1 • 3b − 5b −

48

a 15 b 2

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

Anspruchsvoll(er) wird das Auflösen eines Doppelbruchs, wenn im Zähler und / oder Nenner eine Summe oder Differenz von Brüchen oder eine Kombination von ganzen Zahlen und Brüchen steht. Vorgehen:

Sowohl den Zähler wie auch den Nenner zuerst als einen einzigen Bruch schreiben. Æ Dies geschieht durch Gleichnamigmachen des Zählers bzw. des Nenners. Danach weiterfahren mit der Division des "Zählerbruchs" durch den "Nennerbruch". Æ D.h. der Multiplikation des "Zählerbruchs" mit dem Kehrwert des "Nennerbruchs".

d)

1 1 + a b 1 1 − a b

b a + ab ab b a − ab ab

=

e)

=

1 1− x

1 x

1 1 − 1 x

=

ab a+b • b−a ab

=

1 x x −1 x

=

1 x • x x −1

1 x − 1

=

1 a 1 a − a 1

=

a+b b−a

=

1 x

a+b ab b−a ab

1+

f)

a +

a −

Bei noch komplexeren Doppelbrüchen betrachten wir zuerst Zähler und Nenner separat, und setzen danach beide Ausdrücke zum Gesamtbruch wieder zusammen

1 a

Zähler:

a +1 a = a2 − 1 a

1 a 1 a − a 1+

a a +1 • (a + 1)(a − 1) a

=

=

1 a −1

Nenner:

a +

1 a −

1 a

= a +

1 a2 − 1 a

= a +

Zusammenfassung (Gesamtbruch): 1 Zähler 1 a2 − 1 a −1 = • = a −1 Nenner a3 a3

a a2 − 1

=

=

a (a2 − 1) + a

=

a2 − 1

1 (a + 1)(a − 1) • a −1 a3

=

a3 a2 − 1

a +1 a3

a2 − 1

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

49

D o z e n t e n s e i t e

g)

( m i t

L ö s u n g )

2a + 1 ab 4a 2 + 2a

Hier haben wir sowohl im Zähler als auch im Nenner nur einen einzigen Bruch. Æ "Zählerbruch" • Kehrwert des "Nennerbruchs" Vorgehen wie bei den Musterbeispielen a) und b).

b2 Zähler:

Nenner:

2a + 1 ab

4a 2 + 2a b

2

= 2a (2a + 1) b2

Zusammenfassung (Gesamtbruch):

2a + 1 ab 2a (2a + 1)

b2 = 2a + 1 • ab 2a (2a + 1)

= 1 • b a 2a

b2 b 2a 2

h)

Hier haben wir sowohl im Zähler als auch im Nenner noch je zwei Brüche. Diese müssen zuerst zu einem einzigen "Zählerbruch" und zu einem einzigen "Nennerbruch" umgeformt werden.

a a + a+3 a −1 a a − a +1 a+3 Zähler:

Nenner:

Vorgehen wie bei den Musterbeispielen d) bis f).

a a + a −1 a+3

=

a (a + 3) a (a − 1) + (a − 1) (a + 3) (a + 3) (a − 1)

2a 2 + 2a (a − 1) (a + 3)

=

2a (a + 1) (a − 1) (a + 3)

a a − a+3 a +1

=

a (a + 1) a (a + 3) − (a + 3) (a + 1) (a + 1) (a + 3)

a2 + a − a2 − 3a (a + 1) (a + 3)

=

2 2 = a + 3a + a − a (a − 1) (a + 3)

2 2 = a + a − (a + 3a) (a + 1) (a + 3)

− 2a (a + 1) (a + 3)

Zusammenfassung (Gesamtbruch):

2a (a + 1) (a − 1) (a + 3) − 2a (a + 1) (a + 3)

=

2a (a + 1) (a + 1) (a + 3) • (a − 1) (a + 3) − 2a

= a +1 • a +1 a −1 −1

(a + 1) 2 1− a

50

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

D o z e n t e n s e i t e

( m i t

L ö s u n g )

a

i)

a

a −

1+

1 a

Zähler:

a

Nenner:

a −

a 1+

a −

= a −

1 a

a 1• a 1 + a a

2 = a (a + 1) − a a +1 a +1

a2 a +1

= a −

a a +1 a

= a − a •

2 2 = a +a − a a +1

=

a a +1

a a +1

Zusammenfassung (Gesamtbruch): = a • a +1 1 a

a a a +1

= 1 • a +1 1 1

a +1

j)

a a +1 2a + 2 + 1 a2 − 1 1−

= 1 • (a + 1) − a a +1 a +1

a a +1

Zähler:

1−

Nenner:

2a + 2

2 (a + 1) + 1 (a + 1) (a − 1) a −1 2 1 • (a − 1) = 2 + a − 1 + a −1 a −1 a −1 2

=

+ 1

= a +1 − a a +1

=

1 a +1

2 + 1 a −1 = a +1 a −1

=

Zusammenfassung (Gesamtbruch):

1 a +1 a +1 a −1

=

1 a −1 • a +1 a +1

a −1 (a + 1) 2

Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in 4)

51