3. Cellular Automata (CA) – Teil 1

 Cellular Automata Computing Model  Formal Definition  Grids, Randbehandlung, Nachbarschaft, Rule Types

     

Updating: Synchron / Asynchron Game of LIFE XOR Rule Wolfram Classes of Complex Behavior Software Performance Hardware Support

WS 10/11 MMA - WS 10/11, R. Hoffmann, Rechnerarchitektur, TU Darmstadt

Massivparallele Modelle und Architekturen R. Hoffmann, FB Informatik, TU-Darmstadt

3-1

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„Batterie of 1D communicating Buddhas“ Photo taken by Patrick Ediger, Kamakura, Japan, 2008

3-2

Universal Computation

Hydrodynamics

Self-Reproduction

Sound Waves

Biological Growth

Wave Optics

Crystal Growth

Ising Spin Systems

Artifical Worlds

Simulation of Digital Logic

Games

Numerical Applications (e.g. Sorting)

Physical Fields Movement and Collision of Particles

Layout of Printed Circuits

Lattice Gas Models

Pattern Recognition

Diffusion

Random Generator

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Cellular Automata Applications

Image Processing

3-3

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Oil&Water Simulation

Bruce Boghosian, Boston Univ. 3-4

Surfactant = oberflächenaktiver Stoff, Tensid

Bruce Boghosian, Boston Univ.

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Surfactant Formation

3-5

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Art

3-6

 CA Idee erstmals vorgestellt von Stanislaw Ulam 1940  weiter untersucht von John von-Neumann (selbst reproduzierende Automaten)  Zuse: Rechnender Raum, Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1969. 70 p. [Calculating Space, MIT Technical Translation AZT-70-164-GEMIT, Massachusetts Institute of Technology (Project MAC), Cambridge, Mass. 02139, February 1970. ]  John Horton Conway: Game of Life  Tommaso Toffoli und Normal Margolus: Cellular Automata Machines, MIT Press 1987  Stephen Wolfram: A New Kind of Science. Wolfram Media, Inc., May 14, 2002.

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Literatur

 Moshe Sipper: Evolution of Parallel Cellular Machines, Springer 1997, http://www.moshesipper.com/pcm/ 3-7

    

NW

N

NE

W

C

E

SW

S

SE

neighbors C‘ = rule(C, N, E, S, W) // newstate C  C‘ // nextstate C(t+1)=C(t)

Regular grid of active cells with local connections. The application of a local rule (transition function) to each cell of the array allows the modelling of complex global behaviours. The model is inherent massively parallel. The cells may have a complex state (record) or may be considered as objects.

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Principle of Cellular Processing Cellular Automata Computing Model

3-8

CA: General and Simple  the model supports universal computation  the basic units encode a general form of local interaction rather than some specialized action

 Simplicity  the basic units of interaction are modest in comparison to Turing machines. The CA model is one of the simplest, general models available. From the point of view of parallel cellular machines, CAs exhibit three notable features, namely, massive parallelism, locality of cellular interactions, and simplicity of basic components (cells).

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 Generality

Sipper, Sec. 1.2.1 3-9

Begriffe  Bestimmter Zeitpunkt, (je nach Kontext auch Konfiguration K(t) zum Zeitpunkt t)

 Konfiguration K  die Summe aller Zellzustände des CA

 Garden of Eden Configuration  kann nicht wieder erreicht werden (non reversible CA)

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 Generation t

3-10

             

CA=(I, S, s0, X, Y, N, f) I = {0, 1, 2, …m-1} Index Set an jeder Pos. i befindet sich ein endlicher Automat S = {s0, s1, …sn-1} Zustandsmenge s0 ∈ S Ruhezustand X⊆S Eingabealphabet Y⊆S Endzustände, f(y, beliebige Nachbarzustände) = y ∈ Y N = {rel | rel ∈ R ⊆{0, ∓ 1, ∓ 2, …} } Nachbarschaft, rel. Indizes f: S|N|  S Transition Function, Rule f(s0, s0, … s0) = s0 Nullregel gefordert, Background Rule t Zeit, Generation s[i] = si Zustand der Zelle i K = (s[0], s[1], …) Konfiguration, alle Zellzustände K(t+1) ergibt sich durch paralleles Anwenden von f auf alle Zellen aus K(t) (Definition in Anlehnung an Vollmar/Worsch: Modelle der Parallelverarbeitung, Teubner 1995)

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Formal Definition, 1D-CA

3-11

Grids, Randbehandlung  n-dimensional

   

rectangular triangular hexagonal n-angular

 Randbehandlung  „reiner CA“: kein Rand, unendliche Ausdehnung  Aktive und inaktive Bereiche unterschieden durch Nullregel

 mit Rand: Randzellen werden nicht neu berechnet und liefern feste Konstanten  ohne Rand mit Wrap-around (Cyclic, Periodic)  Ring, Torus  Reflecting (Rand fungiert als Spiegel)

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 Grid of cells, sites, tiles, points in space

3-12

1D Nachbarschaften, Beispiele Radius 1

L

C

R

C(-1)

C(0)

C(1)

relative Sichtweise / Adressierung

Radius 2

unsymmetrisch

spezielle

L2

L1

C

R1

L2

L1

C

R1

L2

L1

C

R2

R2

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Nachbarschaft N = {-1, 0, +1}

R4

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 Von-Neumann-Neighborhood (1 Center + 4 nearest Neighbours)  C  f(C, N, E, S, W)

 Moore-Neighborhood (1 Center + 8 nearest Neighbours  C f(C, N, NE, E, SE, S, SW, W, NW) Manhattan-Distance

 Erweiterte Nachbarschaft:  Radius r bzw. Manhattan-Distanz >1

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2D-Nachbarschaften

Radius

3-14

Rule Types  Each cell obeys to the same local rule  specified as rule table, transition function

 Non-uniform  cells may obey to different rules (space-dependent)

 Totalistic  Neuer Zustand hängt nur von der Anzahl der Nachbarn (in einem bestimmten Zustand) ab, (inklusive der eigenen Zelle), (Bsp. LIFE)

 Reversible  In eine frühere Konfiguration kann zurückgekehrt werden

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 Uniform

3-15

 Information kann sich im CA nur mit begrenzter Geschwindigkeit ausbreiten, die maximale Geschwindigkeit vmax(überbrückte Entfernung pro Takt) ist durch die am weitesten entfernte Zelle C(dmax) in der Nachbarschaft gegeben: vmax = dmax  Die Information fließt von der Nachbarzelle H zur Zentrumszelle C , C kopiert / liest H. (C H)  „Zellulare Lichtgeschwindigkeit“: Radius=1, vmax=1. copy from

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Ausbreitungsgeschwindigkeit

dmax=3

3-16

Updating: Synchron synchrones Updating  



wird meist verwendet der Ablauf der Zustandsänderungen ist reproduzierbar

Berechnungschema 1. verwende die Zellwerte (Eigener Zustand und Nachbarzustände) der momentanen Generation(t) 2. berechne die Regel für alle Zellen und speichere die neuen Zellwerte in GenerationNEXT 3. Kopiere: Generation(t+1)