3. Cambio de variables en integrales dobles

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 2. Integrales múltiples. 3. Cambio de variab...
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GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 2. Integrales múltiples.

3. Cambio de variables en integrales dobles. Para calcular integrales dobles existe, además del teorema de Fubini, otra herramienta fundamental que es la técnica del cambio de variables. Recordemos que para integrales de funciones reales de una variable real se verifica la siguiente fórmula, conocida como fórmula del cambio de variables. TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLE). Sea ϕ : t ∈ [ a, b ] ⊆ \ → ϕ (t ) ∈ \ una función derivable con deriva ϕ ′ continua en [ a, b ] y sea f : x ∈ ϕ ([a, b]) ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función continua. Entonces se verifica que



ϕ (b)

ϕ (a)

f ( x)dx =



b

f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt.

a

El correspondiente resultado para integrales dobles es el siguiente. TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES). Sea Φ : (u, v) ∈ U ⊆ \ 2 → Φ (u, v) ∈ \ 2

una función inyectiva, con derivadas parciales continuas en U tal que det DΦ (u, v) ≠ 0, para todo (u, v) ∈ U . Sea f : ( x, y ) ∈ Φ (U ) ⊆ \ 2 → f ( x, y ) ∈ \ una función continua. Entonces

∫∫

Φ (U )

f ( x, y ) dxdy =

∫∫

f ( Φ (u, v) ) ⋅ det DΦ (u, v) dudv.

U

La conclusión de este teorema también es válida si det DΦ (u, v) se anula sólo en los puntos de una curva C ⊂ U .

OBSERVACIÓN. 1) Recuerda que decimos que ( x, y ) = Φ (u , v) es un cambio de variables y denota∂ ( x, y ) := det DΦ (u , v) al determinante jacobiano de dicho cambio de variables. La igualmos por ∂ (u, v) dad del teorema anterior se conoce como fórmula del cambio de variables para integrales dobles. ∂ ( x, y ) dudv. Φ (U ) U ∂ (u , v ) Esto indica que el determinante jacobiano actúa como factor de dilatación o de compresión del área al pasar de U a Φ (U ) mediante el cambio de variables ( x, y ) = Φ (u , v). 2) En el caso particular que f ( x, y ) = 1 obtenemos área ( Φ (U ) ) :=

∫∫

1⋅ dxdy =

∫∫

3) En el caso de una variable, el teorema del cambio de variable se usa para simplificar la función del integrando. Sin embargo, los cambios de variables en integrales dobles permitirán, en general, simplificar la función integrando o, lo que en otros casos es más importante: el recinto de integración. Ejemplos habituales de cambios de variables. Vamos a describir los cambios de variables más importantes en \ 2 indicando a qué tipo de recintos de integración están asociados.

⎡a b ⎤ (1) Cambios lineales. Dada una matriz no singular A = ⎢ ⎥ , el cambio de variables dado por ⎣c d ⎦

1

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( x, y ) = Φ (u, v) = (au + bv, cu + dv) se llama cambio de variable lineal. Puesto que DΦ (u, v) = A, se verifica que el determinante jacobiano es igual a det( A). Los cambios lineales de variables son apropiados para pasar de integrar en un paralelogramo (o en un triángulo) a integrar en un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados (o en un triángulo rectángulo con catetos paralelos a los ejes coordenados). EJEMPLO. Sea P el paralelogramo limitado por las rectas y = 2 x, y = 2 x − 2, y = x e y = x + 1. Vamos a calcular la integral

∫∫ xydxdy. Observemos que podemos describir este conjunto mediante P

⎧u = y − x, P = {( x, y ) ∈ \ 2 : 0 ≤ y − x ≤ 1, − 2 ≤ y − 2 x ≤ 0} . Si hacemos el cambio de variables ⎨ ⎩ v = y − 2 x, es decir ( x, y ) = Φ (u , v) = ( u − v, 2u − v ) , obtenemos que, en las nuevas variables, el conjunto P es

concretamente E = {(u, v) ∈ \ 2 : −2 ≤ v ≤ 0, 0 ≤ u ≤ 1} = [ 0,1] × [ −2, 0] . La matriz del cambio de va-

⎡1 −1⎤ riables es ⎢ ⎥ , cuyo determinante es 1. El teorema del cambio de variables afirma que ⎣ 2 −1⎦

∫∫

P

xydxdy =

∫∫

(u − v)(2u − v)1dudv =

E

⎡ ⎢ −2 ⎣



0

∫ ( 2u 1

0

2

⎤ − 3uv + v 2 ) du ⎥ dv = 7. ⎦

⎧ x = r cosθ , es decir, (2) Coordenadas polares. El cambio de variables a coordenadas polares ⎨ ⎩ y = r sen θ ,

( x, y ) = Φ(r ,θ ) = ( r cos θ , r sen θ ) tiene, como sabemos, determinante jacobiano igual a r. Es apropiado para pasar de integrar en un círculo, en un sector circular o en un recinto cuya frontera esté formada por trozos de circunferencias a hacerlo en un rectángulo. EJEMPLO. Sean 0 ≤ a < b, y consideremos la región D = {( x, y ) ∈ \ 2 : 0 ≤ x, y : a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 } . Vamos a calcular la integral

∫∫ log ( x D

2

+ y 2 ) dxdy realizando un cambio a coordenadas polares y

aplicando el teorema del cambio de variables. En primer lugar es necesario describir el conjunto D en términos de las variables r y θ . Haciendo el cambio de variables, las restricciones x ≥ 0 e ⎡ π⎤ y ≥ 0 equivalen a que el ángulo polar θ ∈ ⎢0, ⎥ . Además, tenemos que a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 si, y sólo ⎣ 2⎦ si, a ≤ r ≤ b. Por consiguiente,

∫∫

2

⎡ ⎢ ⎢⎣

π

r =b ⎤ ⎛⎛ π b r2 ⎤ log ( x + y ) dxdy = log(r )rdθ ⎥ dr = 2 log(r )rdr = π ⎜ ⎜ log(r ) ⎥ − ⎜⎝ 2 a 2 ⎦ r =a 0 D a ⎥⎦ ⎝ π⎛ 1 ⎞ = ⎜ b 2 log b − a 2 log a − ( b 2 − a 2 ) ⎟ . 2⎝ 2 ⎠

∫ ∫ b

2

2

2





b

a

1 r2 ⎞ dr ⎟ r 2 ⎟ ⎠

2

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EJEMPLO. Vamos a calcular

∫∫

x 2 + y 2 dxdy en el cuadrado R = [ 0,1] × [ 0,1]. Observa que, en este

R

caso, no se trata de simplificar el recinto de integración. Por el contrario, la descripción del conjunto R se complica si trabajamos con coordenadas polares. A pesar de ello, vamos a ver que el cálculo de la integral usando coordenadas polares es bastante simple. Para describir el cuadrado R en coordenadas polares lo dividimos en dos regiones: R1 = {( x, y ) ∈ R : y ≤ x} y R2 = {( x, y ) ∈ R : x ≤ y} . Para describir el conjunto R1 usando coordenadas polares, observemos que para ( x, y ) ∈ R, se tiene π 1 que y ≤ x si, y sólo si, θ ≤ . Además, x ≤ 1 si, y sólo si, r ≤ . De esta forma, el conjunto 4 cosθ ⎧ 1 ⎫ ⎡ π⎤ R1 , en coordenadas polares, viene dado por D1 = ⎨(r ,θ ) : θ ∈ ⎢0, ⎥ , 0 ≤ r ≤ ⎬ . Análogamente, cosθ ⎭ ⎣ 4⎦ ⎩

⎧ 1 ⎫ ⎡π π ⎤ el conjunto R2 en coordenadas polares está dado por D2 = ⎨(r ,θ ) : θ ∈ ⎢ , ⎥ , 0 ≤ r ≤ ⎬ . Ansen θ ⎭ ⎣4 2⎦ ⎩ tes de aplicar el teorema del cambio de variables observemos que

∫∫

x 2 + y 2 dxdy =

R

∫∫

x 2 + y 2 dxdy +

R1

∫∫

x 2 + y 2 dxdy.

R2

Calcularemos, por separado, cada una de estas dos últimas integrales. En primer lugar,

∫∫

x + y dxdy = 2

2

R1

π

∫∫

rrdrdθ =

D1

1 = 3



0

0

2 2

⎡ ⎢ ⎢⎣

∫ ∫ 4

1

(1 − u )

2 2

1 cosθ

0

1 du = 12

⎤ 1 r dr ⎥ dθ = 3 ⎥⎦ 2



0

2 2



π

0

4

⎡u = sen θ , du = cos θ dθ ⎤ 1 ⎢ ⎥ dθ = π 2 3 ⎢ ⎥ cos θ θ = 0, u = 0, θ = , u = ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦

⎛ −1 1 1 1 ⎞ + + + du ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ u − 1 (u − 1) u + 1 (u + 1) ⎠ 2

1⎛ 2+ 2 ⎞ 1⎛ u +1 1 1 ⎤2 = ⎜⎜ log − − ⎟ ⎥ = ⎜⎜ 2 2 + log 12 ⎝ 12 ⎝ u − 1 u − 1 u + 1⎦ 0 2 − 2 ⎟⎠ 1 = 2 2 + log 3 + 2 2 . 12

(

De forma análoga obtenemos que nemos que

∫∫

R

x 2 + y 2 dxdy =

))

(

(

∫∫

x 2 + y 2 dxdy =

R2

(

(

(

))

1 2 2 + log 3 + 2 2 . Finalmente obte12

))

1 2 2 + log 3 + 2 2 . 6

OBSERVACIÓN. Existen algunas variaciones en el cambio de variables con coordenadas polares. Por ejemplo, se pueden considerar las coordenadas polares que tienen como polo el punto ( x0 , y0 ), es ⎧ x = x0 + r cos θ , En este caso el determinante jacobiano sigue siendo r. También se puede decir, ⎨ ⎩ y = y0 + r sen θ . ⎧ x = a r cosθ , considerar el cambio a coordenadas elípticas ⎨ siendo a, b > 0, que tiene determinante ⎩ y = b r sen θ ,

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jacobiano igual al producto abr. Dicho cambio de variables es, en realidad, el resultado de la com⎧u = r cos θ , ⎧ x = au, posición del cambio de variables lineal ⎨ y el de coordenadas polares, es decir, ⎨ ⎩v = r sen θ . ⎩ y = bv EJEMPLO. Vamos a calcular la integral doble

∫∫

x 3 y 3 dxdy, siendo U la región limitada por las si-

U

guientes curvas de ecuaciones x + y = 2, x + y 2 = 4, x 2 − y 2 = 1 y x 2 − y 2 = 2, en el cuadrante 2

2

2

2 2 ⎪⎧u = x + y , con lo que el transformado de U positivo. Ahora usaremos el cambio de variables ⎨ 2 2 ⎪⎩v = x − y ,

por este cambio de variables es E := {(u, v) ∈ \ 2 : 2 ≤ u ≤ 4,1 ≤ v ≤ 2} = [ 2, 4] × [1, 2] . Observa que es u+v u −v e y= . Además te2 2

posible obtener el cambio inverso, de hecho, se verifica que x = nemos que

∫∫

∂ ( x, y ) 1 . Entonces, = ∂ (u, v) 8 xy

x 3 y 3 dxdy =

U

∫∫

x 2 y 2 ⋅ xy

E

1 32

=



2

1

∂ ( x, y ) 1 dudv = ∂ (v, u ) 32

∫∫ (u

2

E

− v 2 ) dudv =

1 32

⎡ ⎢ ⎣

∫ ∫ 2

1

4

2

(u

2

⎤ − v 2 ) du ⎥ dv ⎦

⎡⎛ 56 7 2 ⎞⎤ ⎢⎜ 3 − 2v ⎟ ⎥ dv = 16 . ⎠⎦ ⎣⎝

∞ − ⎛1⎞ EJEMPLO. El propósito de este ejemplo es calcular las integrales x 2 e − x dx. e dx y Γ ⎜ ⎟ := 0 0 ⎝2⎠ Observa que ambas son integrales impropias: la primera lo es de primera especie y la segunda de primera y segunda especie. Ambas son convergentes y, de hecho, están relacionadas entre sí. En efecto,







e− x

0

2

⎡u = x 2 , du = 2 xdx ⎤ ⎥= dx = ⎢ ⎢ dx = du ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 u





0

e−u



1 − 12 1 u du = 2 2







1

u 2 e − u du.

0

Basta pues calcular la primera para obtener la segunda. Recordemos que





e − x dx = lim 2

0

2

1



− x2

R →∞



R

e − x dx. 2

0

2 2 ⎛ R 2 ⎞ ⎛ R 2 ⎞⎛ R 2 ⎞ Ahora observemos que ⎜ e − x dx ⎟ = ⎜ e − x dx ⎟ ⎜ e − y dy ⎟ = e − x − y dxdy. Por otra par[0, R ]×[0, R ] ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎝ 0 ⎠ te, consideremos los conjuntos B (r ) := {( x, y ) ∈ \ 2 : 0 ≤ x, 0 ≤ y, x 2 + y 2 ≤ r 2 } , siendo r > 0. Enton-





ces tenemos que B ( R ) ⊆ [ 0, R ] × [ 0, R ] ⊆ B

∫∫

B( R )

e− x

2

− y2

dxdy ≤

∫∫



(

∫∫

)

2 R y, por tanto,

[0, R ]×[0, R ]

e− x

2

− y2

dxdy ≤

∫∫ ( B

2R

)

e− x

2

− y2

dxdy.

Vamos a calcular la primera integral con un cambio a coordenadas polares. Entonces

4

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∫∫

B( R )

e

− x2 − y 2

⎡ x = r cos θ ⎤ dxdy = ⎢ ⎥= ⎣ y = r sen θ ⎦

Igualmente, tenemos que

∫∫ ( B

2R

π 4

)

e− x

2

− y2

∫∫ R

0

dxdy =

(1 − e ) ∫ ⎛ ≤⎜ ⎝

− R2

2

e − r rdrdθ = 2

0

π

niendo en cuenta que,



1 2 −x

x e dx = 2

0





e

− x2

0

EJERCICIO 1. Calcula la integral

−r2

⎤ = π 1 − e− R . ⎦0 4

(

R

2

)

2 ⎞ π dx ⎟ ≤ 1 − e −2 R . 4 ⎠

(

2

e

− x2





)

e− x dx = lim 2

0



( −e 4

−2 R 2

Y tomando límite, cuando R → ∞, obtenemos que ∞

π

(1 − e ) . Entonces, concluimos que 4

R

0

π

R →∞



R

2

2

0

⎛1⎞ dx, concluimos que Γ ⎜ ⎟ = ⎝2⎠







2

. Finalmente, te-

1 2 −x

x e dx = π .

0

∫∫ x dxdy, siendo U := {( x, y) ∈ \ : x ≥ y, x U

π

e − x dx =

2

+ y 2 − 2 x ≤ 0} .

∫∫

1 dxdy, siendo U la región del primer cuadrante que está U x dentro de la circunferencia de ecuación polar r = 3cos θ y fuera de la cardioide r = 1 + cos θ . EJERCICIO 2. Calcula la integral

EJERCICIO 3. Calcula

∫∫

D

1 R 2 − ( x 2 + y 2 ) dxdy, siendo D el círculo centrado en el origen y de 2

radio R. EJERCICIO 4. Haciendo un cambio a coordenadas polares, calcula el área de la región encerrada por la curva de ecuación polar r = 3 + 2 cos θ . EJERCICIO 5. Haciendo un cambio de variables adecuado, calcula el área de la región del primer cuadrante acotada por las curvas xy = 1, xy = 2, xy1/ 2 = 1 y xy1/ 2 = 2. EJERCICIO 6. Considera la región U := {( x, y ) ∈ \ 2 : 1 ≤ x + y ≤ 2, y ≤ x, x 2 − y 2 ≤ 1} y el cambio ⎧u = x 2 − y 2 , de variables ⎨ ⎩v = x + y.

1) Calcula el área de la región U . 2) Calcula la integral doble

∫∫

U

x− y dxdy. x+ y

⎧u = x − y, 3) Calcula la integral anterior con este otro cambio ⎨ ⎩v = x + y.

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GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 2. Integrales múltiples. ⎧ y = ux, EJERCICIO 7. Considera el cambio de variables x = x(u, v) e y = y (u, v) definido por ⎨ 2 2 2 ⎩x + y = v .

1) Calcula el determinante de su matriz jacobiana. 2) Sea R el cuadrado del plano de las variables u y v dado por 1 ≤ u , v ≤ 2. Describir la región D del plano de las variables x e y en la que se transforma este cuadrado R mediante el cambio de variables dado. 3) Calcula la integral

∫∫

1 dxdy, usando el cambio de variables dado. D xy

4) Calcula la integral anterior usando coordenadas polares. EJERCICIO 8. Sea S la porción acotada del primer cuadrante situada entre las curvas de ecuaciones

xy = 1, xy = 2, y = x e y = 4 x. Dibújala y calcula la integral

∫∫ x y dxdy. 2

2

S

⎧ x = u + v, EJERCICIO 9. Considera el cambio de variables definido por las ecuaciones ⎨ 2 ⎩y = v −u . (1) Calcula el determinante jacobiano de dicho cambio de variables.

(2) Sea T el triángulo del plano OUV cuyos vértices son los puntos (0, 0), (2, 0) y (0, 2). Sea S la imagen en el plano OXY del triángulo T mediante el cambio de variables dado. Haz un dibujo de la región S . (3) Calcula el área de S . (4) Calcula la integral doble

∫∫

S

1 dxdy. x − y +1

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