II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa •zdarzenia elementarne •zdarzenia losowe •zmienna losowa skokowa i ciągła •prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa •rozkład zmiennej losowej •parametry rozkładu- wartość oczekiwana, dystrybuanta, wariancja, kwantyle

Przykłady rozkładów typu skokowego: rozkład dwupunktowy, rozkład Bernoulliego

Przykłady rozkładów typu ciągłego: jednostajny, normalny, t-Studenta, χ2,F-Fishera

STATYSTYKA „….Statystyka jest zarówno nauką, techniką, jak i sztuką-nowo odkrytą logiką traktowania niepewności i podejmowania roztropnych decyzji…” C. Radharkrishma Rao, Statystyka i prawda, PWN Warszawa 1994, s. 65

EKSPERYMENT LOSOWY (DOŚWIADCZENIE LOSOWE ) RANDOM EXPERIMENT Rachunek prawdopodobieństwa jest integralną częścią statystyki, zwłaszcza wnioskowania statystycznego. Doświadczenie losowe jest to proces, którego wynikiem jest jeden z kilku możliwych i którego nie można z pewnością przewidzieć. Przykłady: DOŚWIADCZENIE 1. Rzut monetą 2. Rzut kostką 3. Losowanie Toto-Lotka 4. Narodziny 5. Notowania dzienne kursu zł

WYNIK orzeł (O), reszka (R) 1, 2, 3, 4, 5, 6 parzysta liczba oczek, nieparzysta liczba oczek „szóstka” liczb: ze zbioru {1,2…49} chłopiec, dziewczynka, bliźniaki itp… wzrost, spadek, stagnacja

ZDARZENIA LOSOWE EVENT Zbiór zdarzeń elementarnych (Przestrzeń zdarzeń elementarnych); Sample space (list of simple events) - Zbiór wszystkich prostych wyników doświadczenia losowego. Wyniki muszą być wykluczające się i wyczerpujące wszystkie możliwości.

Ω ={e1 , e2, …. } Zdarzenie losowe (event) - Podzbiór zbioru zdarzeń losowych: A, B,… AΩ ; BΩ ei є A mówimy, że zaszło A ( ei - sprzyja A) Ω – zdarzenie pewne A’ – zdarzenie przeciwne do A Ω’ =Ø –zdarzenie niemożliwe ei є AB zaszło A lub B ei є A  B zaszło A i B

ZMIENNA LOSOWA Ω ={e1 , e2, …. }

f: Ω → R Przykłady: 1) Rzut monetą: zdarzeniu ‘orzeł’ przypisujemy 0; zdarzeniu reszka przypisujemy 1. 2) Analog. losowanie wyrobów: zdarzeniu ‘brak’ (wadliwy) - 0, dobry – 1 3) Rzut kostką wyrzucenie ‘1’ – 1, ‘2’ – 2 itd… 4) Odcinek [a, b] na osi liczbowej – wybór punktu o współrzędnej ‘x’ przypisujemy np. wartość x ; wartość sin2(3x+17) itp.…

GDY WARTOŚCI ZMIENEJ LOSOWEJ X SĄ IZOLOWANYMI PUNKTAMI NA OSI LICZBOWEJ TO ZMIENNA LOSOWA JEST DYSKRETNA (SKOKOWA). NATOMIAST GDY STANOWI ZBIÓR CIĄŁY (np. wszystkie punkty odcinka) TO JEST ONA CIĄGŁĄ

PRAWDOPODOBIEŃSTWO DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA (DLA X TYPU SKOKOWEGO)

KLASYCZNA „równych szans” Gdy eksperyment losowy ma n równoprawdopodobnych wyników, to prawdopodobieństwo danego jest p(ei )=1/n

CZESTOTLIWOŚCIOWA (EKSPERYMENTALNA) Przyjmuje, że prawdopodobieństwo danego zdarzenia jest równe częstotliwości jego zajścia w wielokrotnie powtarzanym doświadczeniu losowym p(A) = f(A)

MATEMATYCZNA Spełnione są warunki: 1)p(Ω) =1 2)0≤ p(A)≤1 dla każdego A 3)p(An )=Σp(An ) dla dowolnego ciągu, parami rozłącznych A1 , A2 , ….

PRAWDOPODOBIEŃSTWO (c.d) A= {e1 , e2, …, ek }

p(A) = 1-p(A’) Zdarzenia A i B są niezależne, gdy:

GĘSTOŚĆ PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Wartość oczekiwana A)X- typu dyskretnego:

B) X-typu ciągłego:

Prawa dla EX: 1.

E( c )= c

2.

E(cX)= cE(X)

3.

E(XY)=E(X)E(Y)

4.

E(XY)=E(X)E(Y) gdy X i Y niezależne zmienne losowe

5.

Y=g(X) to:

WARIANCJA 2=E(X-EX)2 A) X-typu dyskretnego:

B) X-typu ciąglego:

σ- ODCHYLENIE STANDARDOWE

DYSTRYBUANTA F(t) : R => [0, 1] A) X-typu dyskretnego:

B)

X-typu ciągłego:

DYSTRYBUANTA

KWANTYLE Kwantylem rzędu p (0