1/26/2010

Band Theory of Solids ‐1 We concluded that, due to the periodic potential  associated with the crystalline lattice, there are  allowed and disallowed energy bands.  Let us look at  how carrier transport is affected if a band is filled  with  electrons or not. 1. If an allowed band is completely empty of  electrons, obviously there are no electrons in the  band to participate in electrical conduction. This  can happen, for example, in a high‐energy band  where the energies of the band are above the  energies of the systems electrons.  2. Similarly, and surprisingly, if an allowed band is  completely filled with electrons, those electrons  can not contributive to electric conduction either. 3. Only electrons in a partially filled energy band can  contribute to conduction.

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

43

Band Theory of Solids ‐2 There is another way to view band structures that is particularly helpful in understanding   how two systems interact when brought together.  It turns out that if a quantum system has energy levels E1, E2, E3, then if two such identical  systems (e.g. two atoms) are brought together, it can be shown that each energy level ill split  into two levels.

E n  E b , E n

±

Where En is an energy level slightly above or below the energy value E Where E is an energy level slightly above or below the energy value En of the isolated  of the isolated system.  E

System 1

E

System 2 E2

E2

E1

E1

System 1

E2+ E2‐ E1‐ E1+

System 2 E2 E1

~

~ x

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

x

44

Band Theory of Solids ‐3 The splitting is due to the overlap of each system's wavefunctions (orbitals).  For example, in  the case of two atoms that can come together to form a molecule, the atomic orbitals  associated with each atom begin to overlap as atoms are brought together. This can be seen  by considering a simplified liner model of forming a lithium (Li) molecule. Lithium has the  electronic configuration 1s2 2s1 and in forming the molecule Li2 the s shell atomic orbitals  form antibonding and bonding molecular orbitals as depicted . In the ground configuration  the bonding molecular state is filled with two 2s1  electrons (one from each atom) and the  antibonding state is empty. 

If N identical atoms are brought together, each energy level of an isolated atom, E1, E2, E3 will  split into N levels forming quasi‐continous bands.  © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

45

1

1/26/2010

Band Theory of Solids ‐4 When isolated atoms are brought together to form a solid, various  interactions occur between neighboring atoms. The forces of attraction and repulsion between atoms will find a  balance at the proper interatomic spacing for the crystal.  In this process, important changes occur in the electron energy  level configurations, and these changes result in the varied  electrical properties of solids. 

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

46

Band Theory of Solids ‐5 •when two atoms are completely isolated from each other, they  can have identical electronic structures •as the spacing between the two atoms becomes smaller,  electron wave functions begin to overlap. The Pauli exclusion  principle dictates that no two electrons in a given interacting  system may have the same quantum state; thus there must be a  splitting of the discrete energy levels of the isolated atoms into  new levels belonging to the pair rather than to individual atoms.

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

47

Band Theory of Solids ‐6

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

48

2

1/26/2010

Band Theory of Solids ‐7

Linear combinations of atomic orbitals (LCAO): The LCO when 2 atoms are brought together leads to 2  distinct “normal modes – a higher energy antibonding orbital and a lower energy bonding orbital . Note that  the electron probability density is high in the region between the ion cores (covalent “bond”), leading to  lowering of the bonding energy level and the cohesion of the crystal. If instead of 2 atoms, one brings  together N atoms, there will be N distinct LCAO, and N closely spaced energy levels in a band.  © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

49

Band Theory of Solids ‐8

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

50

Band Theory of Solids ‐9 Energy levels in Si as a function of  atomic spacing. The core levels  (n=1,2) in SI are completely filled  with electrons. At the actual  atomic spacing of the crystal, the  2N electrons in the 3s subshell  and the 2N electrons in the 3p  subshell undergo sp3  hybridization, and all end up in  y , p the lower 4N states  (valence  band) while the higher lying 4N  states (conduction band) are  empty separated by a band gap.

1s2 ֲ 2N states 2s2 ֲ 2N states

2p6 ֲ 6N states 3s2 ֲ 2N states

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

51

3

1/26/2010

Band Theory of Solids ‐10 Two atoms                  Six atoms                Solid of N atoms

Electrons must occupy different energies due to Pauli Exclusion principle.

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

52

Intrinsic Materials –1 A perfect semiconductor crystal with no impurities or lattice defects is called an intrinsic semiconductor.  In such material there are no free charge carriers at T= 0 K, since the valence band is filled  with electrons and the conduction band is empty. At higher temperatures electron‐hole  pairs are generated as valence band electrons are excited thermally across the band gap  to the conduction band.  These EHPs are the only charge carriers in intrinsic material. These EHPs are the only charge carriers in intrinsic material. If one of the Si valence electrons is broken away from its position in the bonding structure  such that it becomes free to move about in the lattice, a conduction electron is created  and a broken bond (hole) is left behind.  The energy required to break the bond is the band gap energy Eg. 

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

53

Intrinsic Materials –2 Since the electrons and holes are created in pairs, the conduction band electron  concentration n (electrons per cm3) is equal to the concentration of holes in the valence  band p (holes per cm3). Thus for intrinsic material

n= p= ni where ni is concentration of EHPs in intrinsic material or intrinsic concentration. ni depends on temperature (!) Obviously, if a steady state carrier concentration is maintained, there must be  recombination of EHPs at the same rate at which they are generated.  Recombination occurs when an electron in the conduction band makes a transition  (direct or indirect) to an empty state (hole) in the valence band, thus annihilating the  pair. 

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

54

4

1/26/2010

Intrinsic Materials –3

Band diagram for intrinsic semiconductor © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

55

Extrinsic Materials –1 In addition to the intrinsic carriers generated thermally, it is possible to create carriers in  semiconductors by purposely (controllably) introducing impurities into the crystal. 

This process is called doping. By doping a crystal can be altered so that it has a predominance of either electrons or By doping, a crystal can be altered so that it has a predominance of either electrons or  holes. There are two types of doped semiconductors: 

•p‐type (mostly holes) •n‐type (mostly electrons)

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

56

Extrinsic Materials –2 When a crystal is doped such that the equilibrium carrier concentrations n0 and p0 are different from the intrinsic carrier concentration ni, the material is said to be extrinsic. Donors

Acceptors

Dopants increasing electron concentration

Dopants increasing electron concentration

P (phosphorus)

B (Boron)

As (Arsenic)

Ga (Gallium)

Sb (Antimony)

In (Indium) Al (Aluminum)

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

57

5

1/26/2010

Extrinsic Materials –3

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

58

Extrinsic Materials –4 When impurities or lattice defects are introduced into an otherwise perfect crystal,  additional levels are created in the energy band structure, usually within the band gap. 

n‐type semiconductors An impurity from V‐column of the periodic table (P, As, and Sb) introduces an energy level  very near the conduction band in Si or Ge. This level is filled with electrons at T= 0 K, and  very little thermal energy is required to excite these electrons to the conduction band.  At T about 50–100 K virtually all of the electrons in the impurity level are "donated" to the  conduction band. Such an impurity level is called a donor level. Thus semiconductors  doped with a significant number of donor atoms will have n0>> ni or p0 at room  temperature. This is n‐type material.

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

59

Extrinsic Materials –5

n‐type

Semiconductor Si (Z= 14): 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 Dopant (donor) As (Z= 33): 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p3 © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

60

6

1/26/2010

Extrinsic Materials –6 The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.

Band diagram for n‐type semiconductor © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

61

Extrinsic Materials –7 Atoms from III‐column (B, Al, Ga, and In) introduce impurity levels in Ge or Si near the  valence band. These levels are empty of electrons at 0 K.  At low temperatures, enough thermal energy is available to excite electrons from the  valence band into the impurity level, leaving behind holes in the valence band.  Since this type of impurity level "accepts" electrons from the valence band, it is called an acceptor level, and the column III impurities are acceptor impurities in Ge and Si. Doping with acceptor impurities can create a semiconductor with a hole concentration  p0much greater than the conduction band electron concentration n0 or ni( this type is p‐ type material) 

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

62

Extrinsic Materials –8

p‐type

Semiconductor Si (Z= 14): 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 Dopant (acceptor) B (Z= 5): 1s2 2s2 2p1 © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

63

7

1/26/2010

Extrinsic Materials –9

Band diagram for p‐type semiconductor © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

64

Extrinsic Materials –10 Example: Calculate the approximate energy required to excite the extra electron of As donor atom  into the conduction band of Si (the donor binding energy). 

Solution: Let’s assume for rough calculations that the As (1s2 2s2 2p2 3s2 3p6 3d10 4s2 4p3) atom has  its four covalent bonding electrons rather tightly bound and the fifth “extra” electron  g g y loosely bound to the atom.  We can approximate this situation by using the Bohr model results, considering the loosely  bound electron as ranging about the tightly bound "core" electrons in a hydrogen‐like orbit.  We have to find energy necessary to remove that “extra” electron from As atom.

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

65

Extrinsic Materials –11 We can approximate As dopant atom in Si lattice by  using the Bohr model: the loosely bound “fifth” electron is ranging about  the tightly bound "core" electrons in a hydrogen‐like  orbit. The magnitude of the ground‐state energy (n= 1) of  such an electron in the Bohr model is 

E1 

mq 4 2 K 2 2

Constant K in this case is K=4πεrε0 where εr is  relative dielectric constant of Si

Approximation of As dopant  atom in Si lattice.

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

66

8

1/26/2010

Extrinsic Materials –12 Besides relative dielectric constant of Si, we have to use conductivity effective mass of  electron mn* in Si in the formula for energy E:

E

E

mn* q 4

2(4 0 r )  2

2



mn* q 4 8( 0 r h) 2

1.18(9.1110 31 )(1.6  10 19 ) 4 8(8.85 10 12 11.8  6.63 10 34 ) 2



1.18  9.11 (1.6) 4  (10 107 ) 8  (8.85) 2  (11.8) 2  (6.63) 2 10 92



70.45 10 107  1.837 10  20 (J) 3.835 10 6  10 92

1eV  1.6  10 19 J  E  0.1 eV © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

67

Extrinsic Materials –13 Generally, the column‐V donor levels lie approximately 0.01 eV below the conduction  band in Ge, and the column‐III acceptor levels lie about 0.01 eV above the valence band. In Si the usual donor and acceptor levels lie about 0.03‐0.06 eV from a band edge. When a semiconductor is doped n‐type or p‐type, one type of carrier dominates. For example, when we introduce donors, the number of electrons in conduction band is  much higher than number of the holes in the valence band. 

In n‐type material: holes –minority carriers electrons –majority carriers

In p‐type material: holes –majority carriers electrons –minority carriers

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

68

Charge Carrier Statistics ‐1 In previous quantum well problems the allowed energy states were obtained, but here was  no way to say which states would actually be “filled” by electrons. Here we will examine  how many allowed states are near an energy of interest, and the probability that those  states will actually be filled with electrons.  Density of states and particle statistics concepts  are indispensible in study of bulk materials as well as small material systems.  The density of states is required as the first step in determining the carrier concentrations  and energy distributions of carriers within a semiconductor. Integrating the density of states  function g(E) between two energies E1 and E function g(E) between two energies E and E2 tells us the number of allowed states available  tells us the number of allowed states available to electrons in the cited energy range per unit volume of the crystal.  In  principle, the  density of states could be determined from band theory calculations for a given material.  Such calculations however, would be rather involved and impractical. Fortunately, an  excellent approximation for the density of states near the band edges can be obtained a  simple and familiar approach of “particle in a box” problem. 

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

69

9

1/26/2010

Charge Carrier Statistics ‐2 Remember the solution of Schrodinger’s equation for particle in a 3D box

  r  

8 sin k x x sin k y y sin k z z  Lx Ly Lz

where

kx 

nx Lx

ky 

n y

kz 

Ly

n z Lz

n x , n x , n x  1,2,3...

Each solution can be uniquely associated with  a k‐space vector k = (nxπ/Lx)ax+(nyπ/Ly) ay+(nzπ/z) az where  ax ,ay ,az are unit vectors directed  along k‐space coordinate axes. In the figure,  each point represents one solution of  Schrodinger’s equation.    © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

70

Charge Carrier Statistics ‐3 Taking note of lattice arrangements of the solution dots, we can deduce that a k‐space “nit  cell” of volume  (π/Lx)(π/Ly) (π/Lz) contain one allowed solution. And therefore: 

  Lx Ly Lz Solutions    3  Unit volume of k - space  C id i th t th Considering that there is no physical difference  i h i l diff between wavefunction solutions which differ only  in sign,  the total number should  be divided to 8.  On the other hand, for electrons, two allowed  spin states (spin up and spin down ) must be  associated with each independent solution.  We  therefore obtain

  Lx Ly Lz Solutions    4 3  Unit volume of k - space  © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

71

Charge Carrier Statistics ‐4 The next step is to determine the number of states  with a k‐value between arbitrarily  chosen k and k+dk.  This is equivalent to adding up the states lying  between the two k‐space spheres shown in the figure.  Considering that the large dimensions of the system  and close‐packed  density of k‐space state s, the  desired result is  simply obtained by multiplying the k‐ space volume between the two spheres, 4πk2dk,  times the last equation for the allowed states per unit  k‐space volume.

 Energt states with k   Lx Ly Lz     3  between k and k  dk   4 2

2

 k 2m  2 kdk dE  m E

or or

  4k 2 dk 





2mE 2 1 m dE dk   2 E

k2 

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

72

10

1/26/2010

Charge Carrier Statistics ‐5 Therefore

 Energt states with E   Lx Ly Lz     2 3  between E and E  dE    

 m 2mE dE 

Then by definition

E t states t t with ith E   Energt  / VdE N ( E )    between E and E  dE  where V is the volume of the crystal and g(E) is the density of states. Thus, finally  

N (E) 

m 2mE  2 3

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

73

Charge Carrier Statistics ‐6 To obtain the conduction and valence band densities of states near the band edges in real   materials , the mass m of the particle in the forgoing derivation is replaced by the  appropriate carrier effective mass. Also if EC is taken to be the minimum electron energy in  the conduction band and EV the maximum hole energy in the valence  band the E in the last  equation must be replaced by E‐EC in treating conduction band states and by EV‐E in treating  valence band states.  Introducing the subscripts c and v to identify the conduction and  valance band densities of states, respectively, we can then write in general 

NC (E )  NV ( E ) 

mn* 2mn* ( E  EC )  2 3 m*p 2m*p ( EV  E )

 2 3

E  EC E  EV

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

74

Charge Carrier Statistics ‐6 To gain appreciation of the last equations assuming m*=m we have

N ( E )  6.8 10 21 ( EeV  V0 ) 1/eVcm3 For example if E=0.1 eV and V0=0  then N(E)=2.15x1021 1/eVcm3 Thinking physically, if there are  enough electrons to fill the  various states, then the density of  states N(E) is the density of  electrons having energy E. However, this is not case in reality  and therefore we should find the  probability for electrons to have  the energy E.

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

75

11

1/26/2010

Statistical Distributions –1 Given: System of N particles (air molecules, for example) in thermal  equilibrium at temperature T. Question: How is the total energy E distributed over the particles? How is the total energy E distributed over the particles? or: How many particles have the energy E1, E2, etc.? How can we answer these questions?

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

76

Statistical Distributions – 2 Maxwell‐Boltzmann  statistics •identical particles •“far” apart  (no overlap of ψ)

Bose‐Einstein  statistics •identical particles •integral spin (bosons) •close together (overlapping  ψ))

Distinguishable  particles (e.g. molecules  in a gas)

Indistinguishable particles  ‐ Bosons (e.g. photons)

f ( E )  Ae



E kT

1

f (E)  Ae

E kT

Fermi‐Dirac statistics •identical particles •odd half‐integral spin  (fermions) •close together  (overlapping ψ)

Indistinguishable particles ‐ Fermions (e.g. electrons)

1

f (E) 

1

Ae

E kT

1

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

77

Statistical Distributions – 3 Maxwell‐Boltzmann  statistics

f ( E )  Ae



E kT

Bose‐Einstein  statistics

f (E) 

1 E

Ae kT  1

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

Fermi‐Dirac statistics

f (E) 

1 E

Ae kT  1

78

12

1/26/2010

The Fermi Level –2 f (E) 

1 1 e

The function f(E),‐the Fermi‐Dirac distribution function,‐ reflects probability that an available energy state at energy  level E will be occupied by an electron at temperature T.

E  EF kT

The quantity EF is called the Fermi level Important property of the Fermi level: f for an energy E equal to the Fermi level energy  EF ,the occupation probability is 

1

( EF )  Ae

EF  EF kT

 1

1 1  11 2

Fermi level is an energy state which has always a probability of ½ of being occupied  by an electron.   © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

79

The Fermi Level –3 Let’s take a look on what happens with Fermi‐Dirac distribution function when  temperature changes.

1. T = 0 For any energy value E< EF: 

f ( EF ) 

1 1 e 1

For any energy value E> EF: 

f ( EF ) 

E  EF 0

1 1 e

E  EF 0



1 1  1 1  e  1  0



1 1  0 1  e 1  

At T = 0 K the Fermi‐Dirac distribution function f(E) takes the simple rectangular  form what means:  At T= 0 K, every energy state up to the Fermi level EF is filled with electrons and all states  above EF are empty. © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

80

The Fermi Level –4 2. T > 0 There is some probability for states above the Fermi level to be filled.  •At T >0,for E >EF probability that energy states above EF are   filled f (E) ≠0 (> 0). •At T >0,there is a corresponding probability [1-f (E)]≠0 that  states below EF (E > EF) are empty.  Fermi function f (E) is symmetrical about the Fermi level EF for all temperatures: 

the probability f (EF+ΔE) that a state ΔE above EF is filled is the same as the  probability [1-f(EF+ΔE)] that a state ΔE below EF is empty. 

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

81

13

1/26/2010

The Fermi Level –5

The Fermi‐Dirac distribution function The symmetry of the distribution of empty and filled states about EF makes the Fermi  level a natural reference point in calculations of electron and hole concentrations in  semiconductors. © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

82

The Fermi Level –6 Fermi level in intrinsic material The symmetry of the distribution of empty and filled states about EF makes the Fermi  level a natural reference point in calculations of electron and hole concentrations in  semiconductors. For intrinsic material we know: the concentration of holes in the valence band is equal to the  concentration of electrons i f l i h in the conduction band. d i b d

֝ the Fermi level EF must lie at the middle of the band gap in  material. 

intrinsic 

Since f (E) is symmetrical about EF, the electron probability "tail" of f (E) extending into  the conduction band is symmetrical with the hole probability tail [1 –f (E)] in the valence  band.  The Fermi level in intrinsic material is located at energy Ei

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

83

The Fermi Level –7 For intrinsic material at T > 0 K

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

84

14

1/26/2010

The Fermi Level –8 Fermi level in n‐type material In n‐type material there is a high concentration of electrons in the conduction band  compared with the hole concentration in the valence band.

֝ The distribution function f (E) lies above its intrinsic position on the energy scale.  n‐type material has larger concentration of electrons at E t t i lh l t ti f l t t Ec and correspondingly smaller  d di l ll hole concentration at Ev, than intrinsic material. Energy difference (Ec-EF) gives a measure of concentration of electrons in the  conduction band.

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

85

The Fermi Level –9 For n‐type material at T > 0 K

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

86

The Fermi Level –10 Fermi level in p‐type material In n‐type material there is a high concentration of holes in the valence band as  compared to the electron concentration in the conduction band.

֝ The distribution function f (E) lies below its intrinsic position on the energy scale.  The [1 –f (E)] tail below Ev is larger than the f (E) tail above Ec in p‐type material. The value of (EF - Ev) indicates how strongly p‐type the material is. 

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

87

15

1/26/2010

The Fermi Level –11 For p‐type material at T > 0 K

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

88

Charge Carrier Concentrations at Equilibrium Our goal is to find carrier concentration n0 and p0 in semiconductor.  We can find concentration of carriers if we know:  1. the distribution function f (E) (probability of carriers to occupy energy  state)  2. the densities of states N (E) in the valence and conduction bands. 

Then concentration of electrons in the conduction band at equilibrium: 

n0 

 f ( E ) N ( E )dE

The subscript “0”used with the electron and  hole concentration symbols (n0, p0) will  indicate equilibrium conditions. 

EC

where f (E) is Fermi distribution function; N (E) is the density of states; N(E)dE is the  density of states (cm‐3) in the energy range dE.  © Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

89

Concentrations at Equilibrium –2 Using quantum mechanics approach, it can be shown that density of states N(E) in the  conduction band is proportional to √E: 

N (E) 

(mn* ) 3 / 2 2 E  2 3

Then concentration of carriers in the  conduction band at equilibrium can be  calculated as:



n0 



EC

1 1 e

E  EF kT

(we take this as given !) 



n0 

 f ( E ) N ( E )dE

EC

(mn* ) 3 / 2 2 E ( m* ) 3 / 2 2 dE  n0  n 2 3  2 3  

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology





EC

E 1 e

E  EF kT

dE 90

16

1/26/2010

Concentrations at Equilibrium –3 At room temperature kT is 0.026 eV → (Ec-EF) >>kT → Fermi distribution function f (E) can be simplified: 

1  e ( EC  EF ) / kT 1  e ( EC  EF ) / kT n0 

(mn* ) 3 / 2 2  2 3





EC

E

E 1 e

E  EF kT



x

Using standard integral 

dE 

1 / 2  ax

e

(mn* ) 3 / 2 2 kTF e  2 3

dx 

0





Ee



E kT

dE

EC

 2a 3 / 2

we can obtain concentration of carriers in the conduction band at equilibrium:

 2mn* kT  n0  2 2   h 

3/ 2

e

E F  EC kT

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

91

Concentrations at Equilibrium –4  2mn* kT   n0  2 2  h 

3/ 2

e

E F  EC kT

‐concentration of carriers in the  conduction band at equilibrium.

or 

n0  N C e

E F  EC kT

 2mn* kT   N C  2 2  h 

where

3/ 2

NC is the effective density of states located at the bottom of the conduction band Ec

We have found concentration of electrons in the conduction band at equilibrium.

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

92

Concentrations at Equilibrium –5 The concentration of holes in the valence band at equilibrium is

p0  NV [1  f ( EV )] where constant NV is the effective density of states in the valence band:

 2m*p kT   NV  2  h2   

3/ 2

Thus, the concentration of holes in the valence band is 

p0  N V e

EV  E F kT

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

93

17

1/26/2010

Concentrations at Equilibrium –6

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

94

© Nezih Pala  [email protected]                                       EEE5425 Introduction to Nanotechnology

95

18