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2. Zeitdiskrete Signale
Definitionen
Elementarsignale
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Impuls-Folge δ(n): (Dirac-Folge, Delta-Folge, Einheitsimpuls) ⎧1 : n = 0 δ ( n) = ⎨ ⎩0 : n ≠ 0 MATLAB-Erzeugung: N0=5; N1=10; n=(-N0:N1)'; d=[zeros(N1+N0+1,1)]; d(1+N0)=1;
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Zeitdiskrete Signale, Seite 2
Elementarsignale
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Puls-Folge δΝ(n): (Deltakamm) ⎧1 : n = l ⋅ N , l ∈ Z δ N ( n) = ⎨ ⎩0 : sonst
MATLAB-Erzeugung: N0=8; N1=11; N=4; n=(-N0:N1)'; p = pulstran(n,(-N0/N:(N1+1)/N-1)'*N,1);
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Zeitdiskrete Signale, Seite 3
Elementarsignale
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Sprung-Folge σ(n): ⎧1 : n ≥ 0 σ ( n) = ⎨ ⎩0 : n < 0 MATLAB-Erzeugung: N0=5; N1=10; n=(-N0:N1)'; s=[zeros(N0,1);ones(N1+1,1)];
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Zeitdiskrete Signale, Seite 4
Elementarsignale
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Zusammenhang Sprung- und Impulsfolge:
σ ( n) =
n
∑ δ (l )
Summation vgl. Integration bei zk Signalen
l = −∞
n < 0 : σ ( n) = 0 + 0 + 0 + L + 0 = 0
n ≥ 0 : σ ( n) = 0 + 0 + 0 + L + 0 + 1 + 0 + L + 0 = 1 Differenz vgl. Differentiation bei zk Signalen δ (n) = σ (n) − σ (n − 1) n < 0 : δ ( n) = 0 − 0 = 0 n = 0 : δ (n) = σ (0) − σ (−1) = 1 − 0 = 1 n > 0 : δ ( n) = 1 − 1 = 0
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Zeitdiskrete Signale, Seite 5
Elementarsignale
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Rechteck-Folge rectN(n): ⎧1 : 0 ≤ n < N rect N (n) = ⎨ ⎩0 : sonst MATLAB-Erzeugung: N0=5; N1=10; N=5; n=(-N0:N1)'; r=zeros(N0+N1+1,1); r(N0+1:N0+N)=ones(N,1);
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Exponentialsignale
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Reelle Exp.-Signale: x(n) = λn , λ ∈ IR, λ > 0 λ0: x(n) monoton steigend oder fallend MATLAB-Erzeugung: N0=5; N1=20; l=0.8; n=(-N0:N1)'; e=l.^n;
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λ>1
Zeitdiskrete Signale, Seite 7
Exponentialsignale
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Reelle Exp.-Signale: x(n) = λn , λ ∈ IR, λ < 0 = (−1) λ n
n
λ 2f0.
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Zeitdiskrete Signale, Seite 13
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2. Zeitdiskrete Signale
Eigenschaften
Periodische zd Signale
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Ein Signal heißt periodisch wenn gilt: x(n)=x(n+N) für alle n N ist die Periode des zd Signals. Es gilt: Aus einem TP-periodischen zk Signal ergibt sich durch Abtastung nur dann ein N-periodisches zd Signal, wenn Abtastdauer T und Periode TP in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen: TP N = , N, K ∈ N T K
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Zeitdiskrete Signale, Seite 15
Symmetrische zd Signale
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Ein Signal heißt gerade wenn gilt: x(n)=x(-n) für alle n Ein Signal heißt ungerade wenn gilt: x(n)=-x(-n) für alle n Gerade:
x(n)
Ungerade: x(n)
1 -3
-2
2
3
-1
n -3
-2
-1
1
2
3
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Zeitdiskrete Signale, Seite 16
n
Mittelwert
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Mittelwert µx (N1,N2):
N2 1 µX ( N1, N2 ) = x(n) ∑ N2 − N1 +1 n=N1
Mittelwert µx:
N 1 µ X = lim x(n ) ∑ N →∞ 2 N + 1 n=− N
MATLAB: m=mean(x);
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Zeitdiskrete Signale, Seite 17
Energie und Leistung Energie Ex : Leistung Px(N1,N2)
Leistung Px:
EX =
∞
∑
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x(n )
2
n = −∞
N2 1 2 ( ) PX ( N1 , N 2 ) = x n ∑ N 2 − N1 + 1 n = N1
N 1 2 PX = lim x(n ) ∑ N →∞ 2 N + 1 n=− N
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Zeitdiskrete Signale, Seite 18
Energie und Leistung
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Ein Signal mit endlicher Energie Ex
