Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

2. Modelos

de

comportamiento

de

transmisores

para

comunicaciones. Importantes avances se han logrado en la caracterización de amplificadores de potencia y en la predistorsión de la señal para compensar su comportamiento no lineal, sin embargo, en los moduladores en cuadratura no han surgido grandes avances. Estos últimos ven afectada su linealidad por imperfecciones tales como el offset de dc en una o ambas ramas de las señales banda base en fase (I) y en cuadratura (Q), la diferencia de ganancia que existe a lo largo de cada rama y la no perfección en los 90º que se necesitan para desfasar ambos caminos, provocando además niveles considerables de productos de intermodulación y degradación del BER (Bit Error Rate), [cavers93][cavers97].

2.1 Caracterización teniendo en cuenta efectos lineales. La caracterización de imperfecciones en moduladores en cuadratura teniendo en cuenta solo el comportamiento lineal y proponiendo además algoritmos para su compensación, cobró importancia desde 1991 con la publicación de Faulkner [faulkner91] y utilizado para aplicaciones prácticas algo más recientes [runton00]. 2.1.1 Algoritmo de Faulkner para compensación de imperfecciones en un modulador. En [faulkner91], se propone la compensación de residuo de portadora agregando términos de DC (direct current) a la señal moduladora, compensación de diferencias de ganancia entre las ramas en cuadratura y compensación de error de fase. Las correcciones anteriores se pueden hacer independientes unas de otras aplicando el esquema de la Figura 2.1, de donde podrán obtenerse las ecuaciones necesarias. Es importante señalar que la corrección de DC debe aplicarse al final para que ninguna compensación afecte a esta última y no sufra desbalances al recorrer las ramas en cuadratura.

8

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

i

sec (φ / 2 )

− sin (φ / 2 ) q

− sin (φ / 2 )

sec (φ / 2 )

idc

ki kq

i'

q'

qdc

Figura 2.1 Modelo analítico de Faulkner para corrección de imperfecciones en el modulador, [faulkner91].

Se presenta una estrategia para compensar las imperfecciones generadas por el modulador que puede resumirse en los siguientes pasos, [faulkner91]: 1. Corrección del residuo de la portadora. Básicamente, el residuo de la portadora puede corregirse cuando utilizamos el vector de prueba [0,0] si consideramos la notación [I,Q] para las señales aplicada a cada rama, para este caso no se aplicaría señal alguna en la rama en fase ni en cuadratura. Se procede a ajustar idc y qdc hasta obtener un mínimo local en la salida del detector. 2. Medidas de ganancia en las ramas I y Q. Luego de anular el residuo de la portadora, las medidas para determinar la ganancia de cada rama no se ve afectada por errores de offset. Deberán aplicarse los vectores [A,0] y [0,A] de manera independiente y medir la amplitud de los mismos. La relación entre estas magnitudes será el desbalance de ganancia. 3. Estimación del error de fase. Con las imperfecciones anteriores corregidas, pudiera compensarse el error de fase. Este error produce una elipse en lugar de una circunferencia en el plano IQ cuando la señal moduladora es [ cos(2π f ⋅ t ),sin(2π f ⋅ t )] . Si el ángulo entre las ramas en cuadratura es menor de 90º, la máxima amplitud Emax se obtiene con el vector de entrada [A,A] y la mínima amplitud Emin con el vector [A,-A], obsérvese la Figura 2.2.

9

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

Figura 2.2 Constelación con error de fase [faulker91].

El error de fase estará relacionado por las expresiones:

Er =

Emax Emin

φ

 E −1  = arctan  r  2  Er + 1 

(2.1)

2.2 Aplicación del algoritmo de Faulkner en CDMA. Una aplicación del algoritmo anterior tiene lugar en [runton00], donde se analiza específicamente el impacto de los moduladores en un sistema de comunicaciones CDMA (Code Division Multiple Access). Se plantea un sistema de medidas similar al utilizado en [faulker91] y se sigue el algoritmo de compensación planteado por este trabajo. En la Figura 2.3, se representa la variación que sufre el espectro de la señal inyectada a medida que se hace variar el offset de dc para la rama I, expresado en tanto por ciento de la máxima amplitud de la señal de entrada del modulador en cuadratura, mientras que a la rama Q no se fuerza offset alguno. Lo anterior demuestra, a través de medidas, la importancia del offset de dc y el recrecimiento que provoca a la salida del modulador. De manera similar se procede para el desbalance de ganancia entre ambas ramas. Sin embargo, en este trabajo no se logran resultados significativos al respecto. Estos efectos son más ilustrativos en la constelación del plano complejo IQ.

10

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

Figura 2.3 Espectro de señal CDMA a la salida del modulador variando offset de dc en la rama I. Línea en negro, sin aplicar offset de DC, línea en magenta, -7 % de offset y línea en rojo aplicando offset de 10%, [runton00].

La Figura 2.4 ilustra una gráfica del espectro de la misma señal CDMA que se ha venido utilizando, ahora con 12o de desbalance de fase aplicados a la rama I. La diferencia se hace notar especialmente en la región de canal adyacente, obteniéndose una degradación de 6 dB aproximadamente para el caso del desbalance de fase introducido intencionalmente.

Figura 2.4 Espectro de señal CDMA a la salida del modulador introduciendo error de fase en la rama I [runton00].

El efecto de variar el error de fase sobre medidas de potencia en el canal adyacente (ACP, Adjacent Channel Power) conforme al estándar IS-97 es analizado en este trabajo, aunque no se llegan a derivar conclusiones significativas al respecto.

11

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

2.3 Modelo de Cavers. En el artículo de Cavers [cavers97] ya comienza a detectarse que los errores del modulador en cuadratura habían sido ignorados, incluso para el diseño de predistorsionadores con el objetivo de compensar la respuesta no lineal de los amplificadores. En este trabajo se realiza un análisis completo de las imperfecciones en los moduladores que provocan errores de intermodulación. Mientras que en [cavers93] el mismo autor ya había hecho mayor énfasis en la degradación que sufre el BER en un sistema de comunicaciones debido a las imperfecciones del modulador en cuadratura. Además de presentar una técnica de compensación adaptativa tanto para el modulador como para el demodulador. En ambos trabajos se parte de la estructura física del modulador en cuadratura que se muestra en la Figura 2.5. El predistorsionador puede considerarse también un generador de forma de onda arbitraria, un generador aleatorio de bits, etc; según el caso de estudio.

Re [ vd (t )]

DAC

OSC L.O

vq (t )

Predistort

90º

I m [ vd (t )]

DAC

Figura 2.5 Estructura física del modulador en cuadratura [cavers97].

El principal aporte, para dar cumplimiento a los objetivos del presente trabajo, se encuentra en el modelo analítico lineal del modulador en cuadratura mostrado en la Figura 2.6. En estos trabajos se definen y recogen las imperfecciones que pueden alejar a un modulador en cuadratura de su comportamiento ideal. Convenientemente se definen formalmente a continuación. 12

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

C1

α I

I

vd (t )

vq (t )

sin(φ ) cos(φ )

β

C2

Q

Q Figura 2.6 Modelo analítico de un modulador en cuadratura [Cavers].

El desbalance de fase, denotado por ߶௠ , no es más que la cantidad en unidades angulares de la fase de la portadora seno que difiere de su valor ideal ( 90o , π / 2 ) respecto a la portadora coseno. El desbalance de ganancia informará sobre la desigualdad de ganancia que existirá a lo largo de la rama I, denotada por α con respecto a la ganancia β en la rama Q. Se definirá como muestra la ecuación (2.2), [cavers93][cavers97]:

εm =

α −1 β

(2.2)

Teniendo en cuenta la composición física del modulador en cuadratura, no resulta difícil señalar que este desbalance se debe al desapariamiento entre los componentes de una y otra rama, en especial, el mezclador utilizado en cada una de ellas. En [cavers93] se considera la normalización α 2 + β 2 = 2 , las siguientes expresiones son verdaderas:

α = (1 + ε m ) ⋅

β=

2 εm + 2 ⋅εm + 2

2 εm + 2 ⋅εm + 2

(2.3)

(2.4)

El offset de dc es otra imperfección que provoca efectos no deseados en el comportamiento de los moduladores, causado fundamentalmente por el propio offset 13

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

de dc de los conversores D/A y filtros de reconstrucción activos. Además puede escaparse señal del oscilador local y acoplarse directamente a la señal de salida a través de los propios mezcladores.[wisell00Nov] La envolvente compleja a salida del modulador en cuadratura puede escribirse como se muestra (2.5), en forma de vectores conjugados [cavers97]:

vq (t ) = A ⋅ vd (t ) + B ⋅ vd* (t ) ,

(2.5)

donde,

A= B=

1 + cos (φm ) + ε m − j sin (φm ) 2 ⋅ ε m2 + 4 ⋅ ε m + 4

ε m ⋅ cos (φm ) + j sin (φm )

(2.6)

2 ⋅ ε m2 + 4 ⋅ ε m + 4

C = C1 + jC2 Las expresiones anteriores pueden reducirse, considerando que los errores ε m y φm son relativamente pequeños, por lo que se propone la aproximación de A ≈ 1 y

B = ( ε m + jφm ) / 2 , quedando la expresión: vq (t ) ≈ vd (t ) + B ⋅ vd* (t ) + C Teniendo en cuenta que B

2

(2.7)

es la relación de potencias entre la imagen de la señal

deseada y la propia señal desea, siendo esta un tono desplazado de una frecuencia portadora, mientras que C

2

representa la potencia en el centro de la banda, o el

resido de la portadora. Dos parámetros importantes son definidos en estos trabajos. La relación de supresión de frecuencia imagen ISR (Image Supression Ratio) y la relación de supresión de residuo de portadora o DSR (DC Supression Ratio):

ε m2 + φm2

ISR = B = 2

4

(2.8)

14

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

DSR =

C

2

xm

(2.9)

2.4 Caracterización teniendo en cuenta efectos no lineales. En este apartado se recogen algunas estrategias seguidas para la identificación de coeficientes en modelos de comportamiento no lineales para caracterizar moduladores en cuadratura, así como también los principales modelos que se reportan hasta la fecha. 2.4.1 Modelo de Wisell con punto de operación fijo. La caracterización no lineal de los transmisores de conversión directa ha sido investigada inicialmente por Wisell, mostrando simulaciones en [wisell00Jul] y este mismo estudio ampliado posteriormente con algunas medidas en [wisell00Nov], destacando el comportamiento no lineal desde el tratamiento de la señal que se desea modular y transmitir en la banda base. En estos trabajos la identificación, separación de las no linealidades y otras imperfecciones cobran especial importancia. El esquema de transmisor utilizado se asemeja al de la Figura 2.5, más cercano a la composición física de los moduladores y con un amplificador de potencia antes de su correspondiente salida paso de banda. Se estudia por separado, la distorsión de fase y de amplitud para un punto específico de operación, o sea, para una potencia de transmisión en concreto y para una separación entre tonos fijada. La identificación de los coeficientes del modelo se realiza partiendo de la expresión muestral de error de fase del transmisor ε (r , φ ) , donde se omite n, [wissel00Nov]:

  g Q ( y ) cos θ 0  y − arctan   + f ( a )    x  g I ( x ) − g Q ( y ) sin θ 0 

ε (r , φ ) = arctan 

(2.10)

Las funciones no lineales g I (•) , g Q (•) y f (•) , correspondientes a la rama I de la banda base, la rama Q y la distorsión de AM/PM del amplificador de potencia respectivamente, son aproximadas por polinomios. Luego de estimar los coeficientes 15

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

de las funciones anteriores, se procede a la estimación de la distorsión AM/AM del amplificador de potencia, g (•) . La Figura 2.7 muestra la comparación de las simulaciones con las medidas realizadas. Se presentan los productos de intermodulación hasta de tercer orden y las medidas realizadas para un nivel de potencia determinado. Puede observarse una buena similitud con las simulaciones.

Figura 2.7 Comparación entre las medidas y simulaciones. Los cuadrados representan los valores simulados, mientras que los rombos las medidas. Las frecuencias f1 y f 2 son de las frecuencias de los tonos de banda base y la intensidad de los tonos que se miden son referidos a la potencia de portadora, [wisell00Nov].

2.4.2 Modelos no lineales considerando diferentes niveles de señal. Algunos modelos son desarrollados a través de características AM/AM con diferentes niveles de señales a la entrada, como en [li06]. También han sido utilizadas medidas AM/PM para el desarrollo del modelo equivalente banda base de la Figura 2.8. En él se asume que las no linealidades de banda de paso G% I ( z I ) y G% Q ( zQ ) correspondientes a la rama I y Q respectivamente son independientes.

16

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

z I (t )

G% I

G% I ( z I )

∑ zQ (t )

G% Q

G% Q ( zQ )

z%RF (t )

i

Figura 2.8 Modelo equivalente de banda base no lineal de un modulador en cuadratura [li06].

En este trabajo solo se han tenido en cuenta los coeficientes impares de las series de potencia que se utilizan para modelar las no linealidades a través de las funciones transferenciales complejas. Se consigue simular con buena similitud con las medidas reportadas, la característica AM/AM y AM/PM del modulador en cuadratura considerando niveles de señal desde -19.7 dBm hasta 7.7 dBm. Otro modelo más complejo de un transmisor de conversión directa excluyendo el amplificador de potencia puede encontrarse en [gadringer08]. Para la caracterización del transmisor se plantea que el desbalance de fase, el desbalance de ganancia y los errores en el mezclador de las ramas I y Q deben ser evaluados maximizando el ISR sobre el ancho de banda que se desea realizar el análisis. Basados en la caracterización lineal y la distorsión no lineal realizada, el transmisor es parametrizado. Para comprobar la precisión del modelo se realizan medidas con una señal multitono que consiste en 100 tonos localizados en banda base entre 0-20 MHz. La comparación con las simulaciones es presentada en la Figura 2.9, donde los marcadores de color representan las simulaciones y los grises los puntos de medidas. La forma de los marcadores representa los distintos productos de intermodulación y distorsión de armónicos. Obsérvese las distorsiones entre -20 y 0 MHz debidas a los desbalances del transmisor [gadringer08].

17

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

Figura 2.9 Comparación de las medidas y la simulación de la respuesta del transmisor para una señal multitono. La forma de los marcadores representan distintos productos de intermodulación y armónicos [gadringer08].

De los últimos trabajo presentados sobre el tema de moduladores en cuadratura se hace destacar [Cao09]. La contribución principal consiste en la propuesta de un modelo no lineal de dos entradas basado en series de Volterra, obsérvese los detalles en la Figura 2.10. El modelo es desbalanceado y una vez estimado sus coeficientes se utiliza el modelo inverso para la compensación de las imperfecciones en el modulador de RF mediante un algoritmo adaptativo. Se discuten algunas ideas como la de la existencia de desbalance I/Q dependientes y no dependientes de la frecuencia. Los desbalances I/Q independientes de la frecuencia pueden ser caracterizados mediante los errores de fase y de amplitud, mientras que los desbalances I/Q dependientes de frecuencia, que son los considerados en el artículo, son originados principalmente por los componentes analógicos presentes en las ramas I y Q del modulador. Se plantea que las distorsiones no lineales estáticas sin memoria se introducen a través del conversor D/A como ruido de cuantización y cortes del rango dinámico. En cambio, las no linealidades con memoria se introducen mediante los filtros pasabajos analógicos de reconstrucción y el offset de fase del oscilador local, [cao09].

18

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

Re {•}

x I ( n)

yˆ I (n)

(V1 ) x Q ( n)

x ( n)

yˆ (n)

x I ( n) Im {•}

x Q ( n)

(V2 )

yˆ Q (n)

Figura 2.10 Modelo no lineal de doble entrada de desbalance I/Q basado en Volterra, [cao09].

La señal de entrada utilizada para la validación del modelo propuesto a través de medidas es ruido blanco limitado en una banda de 8 MHz y trasladado por el transmisor a 2.4 GHz, con una potencia media de 3 dBm. La única distorsión considerada es la generada por el VSG (Vector Signal Generator) con desbalance I/Q muy pequeño.

Figura 2.11 Figura de error de espectro de potencia después de la pre-compensación para el modelo no lineal basado en serie de Volterra y comparación con otros modelos reportados. Véase referencias utilizadas en [cao09].

En la Figura 2.11 se presenta el espectro de potencia de errores entre la señal recibida

y (n) después de la pre-compensación y la señal de entrada x(n) . Se comparan las prestaciones del modelo propuesto con pre-compensación activa, representado en la

19

Modelos de comportamiento de transmisores para comunicaciones.

figura por (2) en color verde, sin pre-compensación (1), con un modelo basado en filtro FIR (3), un ecualizador linear (5) y un ecualizador no lineal (4). Debe destacarse que el método de compensación basado en el modelo que se propone en este trabajo, necesitará 570 coeficientes. Los propios autores señalan que de aumentar el orden necesario de la no linealidad y la profundidad de memoria que se necesite, el método de compensación es computacionalmente ineficiente.

20