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2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones L´ımite de una funci´ on en un punto Sea una funci´ on f (x) definida en el entorno de un punto x0 (no necesariamente en el propio punto, basta que f est´e definida en un conjunto de la forma (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) con δ > 0). Se dice que f tiende al l´ımite l en x0 si los valores de f (x) est´ an tan pr´oximos a l

como se quiera con tal de tomar x suficientemente pr´oximo a x0 . Se escribe lim f (x) = l. x→x0

Fig.6 Ejemplo lim (2x + 5) = 11,

x→3

ya que cuando x tiende a 3, 2x tiende a 6, y 2x + 5 tiende a 11. 

Propiedades de los limites Si limx→x0 f (x) = l, limx→x0 g(x) = m y α es un n´ umero real, entonces 1. Si f (x) = g(x),

l = m. (Unicidad del l´ımite)

2. limx→x0 [f (x) + g(x)] = l + m 3. limx→x0 [αf (x)] = αl 4. limx→x0 [f (x)g(x)] = lm.  l f (x) = (si m 6= 0). g(x) m p p √ 6. limx→x0 f (x) = limx→x0 f (x) = l. 

5. limx→x0

Ejemplos r 1.

2.

lim

x→+∞

3

3x + 5 = 6x − 8

r 3

3x + 5 lim = x→+∞ 6x − 8

s 3

(Siempre que l ≥ 0)

limx→+∞ 3x + 5 = limx→+∞ 6x − 8

s 3

p limx→+∞ 3 + 5/x = 3 1/2 limx→+∞ 6 − 8/x

√ √ p ( x2 + 3 − x)( x2 + 3 + x) x2 + 3 − x2 3 √ lim ( x2 + 3 − x) = lim = lim √ = lim √ =0 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x2 + 3 + x x2 + 3 + x x→+∞ x2 + 3 + x

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√ 3.

lim

x→−∞

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r x2

+x = lim x→−∞ 3x − 6

x x2 + 2 x2 x = −1. 3x 6 3 − |x| |x|

N´ otese que se divide el numerador y el denominador por |x|. 

Continuidad en un punto Se dice que una funci´ on f , definida al menos en un intervalo abierto de la forma (x0 − r, x0 + r), es continua en x0 si lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Fig.7 Si una funci´ on es continua en todos los puntos de un intervalo se dice que es continua en el intervalo. Esto quiere decir de forma gr´afica que no tiene “agujeros” ni “saltos” en el intervalo. Propiedades de la continuidad Si f y g son continuas en x0 y α es un n´ umero real se verifica 1. f + g es continua en x0 2. αf es continua en x0 para todo α real 3. f g es continua en x0 4. f /g es continua en x0 siempre que g(x0 ) 6= 0. Dos teoremas b´ asicos 1. Si f es continua en [a, b] y K es un n´ umero entre f (a) y f (b), existe al menos un n´ umero c entre a y b tal que f (c) = K. En particular si f (a) y f (b) son de distinto signo entonces existe al menos un punto c en el intervalo en el cual f (c) = 0 (figura 8a). 2. Si f es una funci´ on continua en [a, b], entonces (i) f est´ a acotada en [a, b]. (ii) f alcanza tanto su m´ aximo M como su m´ınimo m en [a, b] (figura 8b).

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Fig.8

Ejemplo El primero de los dos teoremas anteriores es muy u ´til para resolver ecuaciones. Para demostrar que la ecuaci´ on x = 1/2x tiene al menos una ra´ız real en el intervalo [0, 1], construimos la funci´on f (x) = x −

1 . 2x

Esta funci´ on cumple que f (0) = −1 < 0 y f (1) = 12 > 0. Como la funci´on es continua en [0, 1], tiene una ra´ız en (0, 1) y por tanto su parte entera es cero, es decir, la ra´ız es de la forma 0, . . . 

La derivada Se dice que una funci´ on f es derivable en x0 si existe lim

h→0

f (x0 + h) − f (x0 ) . h

A este l´ımite se le denomina derivada de f en x0 y se designa por f 0 (x0 ). El n´ umero 0 f (x0 ) puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la gr´ afica en el punto (x0 , f (x0 )). Esta recta tangente que pasa por el punto (x0 , f (x0 )) con pendiente f 0 (x0 ), (siendo su ecuaci´on y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 )), es la recta que mejor se aproxima a la gr´afica de f en la proximidad del punto (x0 , f (x0 )). La figura 9 muestra la recta tangente en el punto (1, 1) a la gr´ afica de y = x2 .

Fig.9

Observaci´ on La derivabilidad de una funci´ on en un punto implica la continuidad de la funci´on en ese punto; el rec´ıproco no es cierto. 

Propiedades de la derivaci´ on Si α es un n´ umero real y f y g son derivables en x: 1. (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)

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2. (αf )0 (x) = αf 0 (x) 3. (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)  0 f f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) 4. (x) = g [g(x)]2

si g(x) 6= 0

5. Si f (x) = α, entonces f 0 (x) = 0 para todo x real 6. Si f (x) = x, entonces f 0 (x) = 1 para todo x real. En la u ´ltima p´ agina de este tema se da una tabla con las derivadas m´as frecuentes. Regla de la cadena Si y es una funci´ on de x y ´esta es a su vez funci´on de t (esquem´aticamente t 7−→ x 7−→ y), entonces dy dy dx = dt dx dt dy . donde hemos utilizado la notaci´ on de Leibniz f 0 (x) ≡ dx Ejemplo dy Dada la funci´ on y = sen(x2 ), hallar . Interpretamos la funci´on propuesta como composici´on dx de dos funciones: u = x2 , y = sen u Aplicando la regla de la cadena tenemos dy du dy = = cos u · 2x = 2x cos(x2 ).  dx du dx

Derivadas de orden superior Si una funci´ on es derivable, se puede formar una nueva funci´on f 0 . Si f 0 es a su vez derivable, podemos formar su derivada, llamada derivada segunda de f y designada por f 00 . Mientras sigamos teniendo derivabilidad podemos continuar de esta manera formando f 000 , etc. En notaci´ on de Leibniz, las derivadas de orden superior se escriben     d2 y d dy d3 y d d2 y = , = , ... dx2 dx dx dx3 dx dx2 Crecimimiento y decrecimiento de una funci´ on Supongamos que f es continua en un intervalo [a, b] y derivable sobre el intervalo abierto (a, b). (a) Si f 0 (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b]. (b) Si f 0 (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]. (c) Si f 0 (x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f es constante en [a, b].

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Concavidad y convexidad Sea f dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. (a) Si f 00 (x) > 0 sobre I, entonces f es c´oncava hacia arriba sobre I. (b) Si f 00 (x) < 0 sobre I, entonces f es c´oncava hacia abajo sobre I. Si f es continua sobre un intervalo abierto conteniendo el punto x0 , y si f cambia la direcci´on de su concavidad en dicho punto f tiene un punto de inflexi´ on en x0 , y decimos que el punto (x0 , f (x0 )) de la gr´ afica de f es un punto de inflexi´ on de f . Ejemplo Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de inflexi´on de la funci´on f (x) = xe−x . Calculando las dos primeras derivadas de f obtenemos f 0 (x) = (1 − x)e−x ,

f 00 (x) = (x − 2)e−x

Teniendo en cuenta que e−x es siempre positivo, el signo de f 0 (x) estar´a determinado por el factor 1 − x. La primera derivada es positiva para x < 1, y negativa para x > 1, luego la funci´on es creciente para x ≤ 1 y decreciente para x ≥ 1. An´alogamente el signo de f 00 estar´a determinado por el factor x − 2. Entonces, f 00 (x) < 0 si x < 2, y f 00 (x) > 0 si x > 2, lo cual implica que la gr´ afica es c´ oncava hacia abajo para x < 2 y c´oncava hacia arriba para x > 2. As´ı pues, en x = 2 hay un punto de inflexi´ on. 

Fig.10

Funci´ on impl´ıcita Algunas veces es preciso conocer y 0 (x) a partir de una expresi´on entre las dos variables como, por ejemplo, y 5 + xy = 3. La funci´on y(x) no puede obtenerse expl´ıcitamente. Todo lo que se tiene es una definici´ on de y como una soluci´on de y 5 + xy = 3. El punto (2, 1), por ejemplo, satisface la ecuaci´ on de la curva. Se trata de hallar dy/dx en x = 2. Derivando en los dos miembros de la ecuaci´on, teniendo en cuenta la regla de la cadena tenemos dy dy 5y 4 +x +y =0 dx dx sustiuyendo x = 2 e y = 1, y resolviendo para dy/dx: 5

dy dy +2 + 1 = 0, dx dx

dy 1 =− . dx 7

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´ Esta es la derivaci´ on impl´ıcita y, como se ha visto, proporciona dy/dx a partir de la regla de la cadena aunque y no sea conocida expl´ıcitamente como una funci´on de x. La diferencial de una funci´ on Si una funci´ on es derivable en un punto x0 de su dominio se define la diferencial de la funci´on en ese punto y para un incremento arbitrario de la variable ∆x = x − x0 como df (x0 ) = f 0 (x0 )∆x. Se escribe normalmente como df (x) = f 0 (x)dx ya que dx = x0 ∆x y x0 = 1. Si consideramos la expresi´ on f 0 (x0 ) = limx→x0 a x0 podemos poner f 0 (x0 ) ≈

f (x) − f (x0 ) x − x0

f (x) − f (x0 ) en puntos x “muy pr´oximos” x − x0

o bien f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).

Esta u ´ltima expresi´ on constituye una aproximaci´on a la funci´on f (x) para puntos cercanos a x0 aproximaci´ on lineal local de f en x 0 . Tanto mejor aproximaci´on cuanto menor sea la distancia entre x y x0 . El t´ermino que da esta aproximaci´on, es decir, la cantidad que hay que sumar a f (x0 ) para obtener una aproximaci´on de f (x) es precisamente la diferencial de f (x) en x0 para un incremento ∆x de la variable independiente. Observaci´ on N´ otese que ∆f (x) = f (x) − f (x0 ) ≈ f 0 (x0 )(x − x0 ) = df (x), o bien ∆y ≈ dy, para peque˜ nos incrementos ∆x de la variable x (figura 13).

Fig.11 El siguiente teorema est´ a estrechamente relacionado con estas cuestiones. 

Teorema del valor medio Si f es una funci´ on continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces existe al menos un punto c comprendido entre a y b tal que se puede escribir f (x) en forma exacta (ver figura 12), f (b) = f (a) + f 0 (c)(b − a). Observaci´ on En particular si x0 y x son puntos de [a, b] existir´a un c entre los dos puntos tal que f (x) = f (x0 ) + f 0 (c)(x − x0 ),

(1)

es decir, el valor de la funci´ on en el punto x se puede escribir como suma del valor en otro punto x0 m´ as un t´ermino complementario. 

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Fig.12 F´ ormula de Taylor La expresi´ on (1) del apartado anterior se puede generalizar para funciones n veces derivables con continuidad en el intervalo [a, b] que tienen derivada de orden n + 1 en (a, b). En tal caso se puede escribir: f (n) (x0 ) f (n+1) (c) f 00 (x0 ) (x−x0 )2 +· · ·+ (x−x0 )n + (x−x0 )n+1 2! n! (n + 1)! (2) donde x0 < c < x. Es decir, se expresa el valor de la funci´on en un punto x por un polinomio en potencias de x − x0 m´as un t´ermino complementario. f (x) = f (x0 )+f 0 (x0 )(x−x0 )+

Observaci´ on La expresi´ on (1) es entonces un caso particular de la expresi´on (2) cuando n = 0, es decir, cuando s´ olo se exige derivabilidad de primer orden de la funci´on f .  Ejemplo Hallar el polinomio de Taylor de sen x en el punto x0 = 0. Calculamos el valor de f (x) = sen x y de sus derivadas sucesivas hasta orden cinco en x0 = 0. f (0) = sen(0) = 0, f 000 (0) = − cos(0) = −1,

f 0 (0) = cos(0) = 1,

f 00 (0) = − sen(0) = 0,

f (iv) (0) = sen(0) = 0,

f (v) (0) = cos(0) = 1.

Llevando estos resultados a la expresi´ on (2) se tiene x3 x5 + + Resto 3! 5! La figura 13 muestra la gr´ afica de los polinomios de Taylor de grado uno, tres y cinco en el 5 3 punto x0 = 0 para la funci´ on f (x) = sen x(= x − x3! + x5! + · · ·).  sen x = x −

Fig.13

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Extremos relativos Sea f : D ⊂ R → R. Un punto x0 ∈ D es un m´ınimo local (respect. m´ aximo local) de f si f (x) ≥ f (x0 ) (respect. f (x) ≤ f (x0 )) cerca del punto. El punto x0 se llama extremo local o extremo relativo. Puntos cr´ıticos Un punto x0 es un punto cr´ıtico de f si f 0 (x0 ) = 0. Si f : D ⊂ R → R es diferenciable la condici´ on necesaria de extremo local en x0 es que x0 sea punto cr´ıtico. Observaci´ on Un punto cr´ıtico puede no ser extremo local, se le llama un punto de inflexi´ on. 

Condici´ on suficiente de extremo Un punto cr´ıtico es un m´ aximo (respect. m´ınimo) de una funci´on f si la primera derivada que no se anula en ese punto es de orden par y es negativa (respect. positiva) en ese punto. Si la primera derivada que no se anula es de orden impar, la funci´on carece de extremos en ese punto. Ejemplo En una reacci´ on autocatal´ıtica una substancia A se convierte en otra B de modo que B cataliza su propia formaci´ on. Suponiendo que la velocidad de reacci´on es proporcional a la cantidad x de B y tambi´en a la cantidad restante de A en el tiempo t, se quiere determinar para qu´e valor particular de x es m´ axima la velocidad de reacci´on. Llamando a a la cantidad inicial de substancia A se tiene v(x) =

dx = kx(a − x) dt

(k constante positiva),

La primera derivada de la velocidad es v 0 (x) = k(a − 2x) que se anula para x = a/2 y corresponde a un m´ aximo, ya que a v 00 = −2k < 0.  2

EJERCICIOS 1

Hallar los siguientes l´ımites x2 − 2x + 1 , x→1 x2 + 2x − 3

(a) lim

x2 + sen x , x→0 x

(b) lim

(c)

lim

x→0−

2x + |x| . x − |x|

2 Discutir la continuidad de las siguientes funciones (a) f (x) =

x2 + 1 , x4 + 1

(b) f (x) =

p

x6 − 3x2 + 7,

(c) f (x) =

x . x3 + 3x

3 Demostrar que la funci´ on sen x + 2x + 1 = 0 tiene al menos una ra´ız real en el intervalo [−1, 0]. 4

Calcular las derivadas de las siguientes funciones r x+1 x (a) f (x) = , (b) f (x) = , x+3 x+1

(c) f (x) =

√ 1 − 3x √ . 1 + 3x

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5 Una bola se mueve en l´ınea recta seg´ un la ecuaci´on x(t) = 180 + 64t − 16t2 , donde x se mide en metros y t en segundos. Hallar su aceleraci´on (derivada segunda de x respecto de t) al cabo de 5 segundos. √

x para calcular

√

99.

6

Utilizar la diferencial de la funci´ on f (x) =

7

Hallar el polinomio de Taylor de las siguientes funciones en x0 = 0 2

f (x) = xe−x (grado 7),

f (x) = sen x2 (grado 10),

f (x) = cos 3x (grado 5).

8

Calcular el seno de 10◦ y el coseno de 10◦ con un error, en ambos casos, inferior a 10−5 .

9

Hallar los extremos relativos de la siguientes funciones (a) f (x) = x2/3 (1 − x)2/3 ,

(b) f (x) =

x2 , 1 + x3

(c) f (x) = x + 2 cos x.

10 Sabiendo que la potencia suministrada por una pila de Volta es W = RI 2 , siendo R la resistencia del circuito, I = E/(R + r) la intensidad de la corriente que produce, E su fuerza electromotriz y r la resistencia interior de la pila, hallar la R para que la potencia W sea m´axima.

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De Modelos matem´ aticos en las ciencias experimentales de Mariano J. Valderrama Bonet.