1D-Transportgleichung

Analytische Lösungen der Transportgleichung 15.05.2012 Transportmodellierung 1D-Transportgleichung Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, al...
Author: Moritz Weiß
58 downloads 0 Views 2MB Size
Analytische Lösungen der Transportgleichung

15.05.2012

Transportmodellierung

1D-Transportgleichung Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer Flüssigkeit bewegt, dann gilt folgende Gleichung ∂(nc ) ∂ ∂ & ∂ # + ⋅ (vx c ) − ⋅ $ nD c ! = 0 ∂t ∂x ∂x % ∂x " Frage: Was fehlt hier, bevor wir Lösungen konstruieren können? 15.05.2012

Transportmodellierung

Mathematisches Modell Randbedingungen

Transport-Gleichung & Anfangsbedingung

Randbedingungen 15.05.2012

Transportmodellierung

Vollständiges Modell

∂c ∂c ∂ 2c n + vx − nD 2 = 0 ∂t ∂x ∂x c ( x , t = 0 ) = c0 ( x ) c( x, t ) x∈Ω

15.05.2012

Transportmodellierung

Randbedingungen - Beispiel

kein Massenfluß

spezifizierte Konzentration

spezifizierter Massenfluß 15.05.2012

Transportmodellierung

Randbedingungen

15.05.2012

Transportmodellierung

Zheng & Bennett

1-D Transport nach kurzer Zugabe •  Konzentration nimmt im Zentrum der Verteilung ab •  Kein Verlust an der Gesamtmasse 1.0

C/C0

0.5

t1

0.0

15.05.2012

t2

t3

Time Transportmodellierung

Advektiver Transport ∂c(x, t ) ∂c(x, t ) =v ∂t ∂x

Lösungsvorschlag:

mit

c(t = 0) = f (x)

c(x, t ) = f (x − vt )

Warum ist das die Lösung?

15.05.2012

Transportmodellierung

Advektiver Transport ∂c(x, t ) ∂c(x, t ) =v ∂t ∂x Transformation:

mit

c(t = 0) = f (x)

dc (τ , ζ ) ∂c dt ∂c dx = + =0 dτ ∂t dτ ∂x dτ

c(τ = 0) = f (ζ ) Lösung:

x = ζ + vτ 15.05.2012

ist gerade die Lösung der Partikel- Bewegungsgleichung

dx =v dτ x(t ) = v

Transportmodellierung

Advektiver Transport c(τ = 0) = f (ζ ) = f (x − vt ) Alternative Darstellung der Lösung

c(x, t ) = f (x − vt ) = ∫ dx'dt 'δ (x − x'−v(t − t ')) f (x') δ (t ') Anfangsbed. 15.05.2012

Transportmodellierung

1-D Transportgleichung: Lösung •  Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) & ( x − vt / n) 2 # !! c( x, t ) = exp$$ − 4 Dt 2 A πDt % " M

A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung 15.05.2012

Transportmodellierung

1-D Transport Schwerpunkt: xs = vt/n Breite der Verteilung:

σ = 2 Dt = 2 DxS n / v

1 dσ 2 D= 2 dt 15.05.2012

Transportmodellierung

1D-Transport Alternative Darstellung der Lösung

c(x, t ) = f (x − vt ) = ∫ dx'dt ' g (x − x' , t − t ') f (x') δ (t ') Anfangsbed.

& ((x − x') − v(t − t ') / n) 2 # M !! g ( x − x' , t − t ' ) = exp$$ − ( ) 4 D t − t ' 2 A πD(t − t ') % " 15.05.2012

Transportmodellierung

1-D Transportgleichung mit Abbau: Lösung •  Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) ) ( x − vt / n) 2 & $$ exp(−λt ) c( x, t ) = exp'' − 4 Dt 2 A πDt ( % M

A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung 15.05.2012

Transportmodellierung

1-D Transportgleichung: Lösung •  Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) ) ( x − vt / (nR )) 2 & M $$ exp(−λt / R) c( x, t ) = exp'' − 4 Dt / R % 2 A πDt / R ( A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung 15.05.2012

Transportmodellierung

1D Transportgleichung: Lösung nach kontinuierlicher Zugabe

∂c ∂c ∂ 2c n + vx − nD 2 = 0 ∂t ∂x ∂x

Uniforme Strömung; longitudinale Dispersion; keine externen Quellen; keine chemische Reaktion

Ogata & Banks: Lösung der ADE für eine kontinuierliche Linienquelle als Randbedingung 15.05.2012

Transportmodellierung

Prinzip der Superposition Hat eine lineare Differentialgleichungen mehrere Elementarlösungen, so stellen auch deren Summe oder Superposition wiederum eine Lösung dar.

15.05.2012

Transportmodellierung

Lösung nach kontinuierlicher Zugabe

t1

t2

t3

15.05.2012

Transportmodellierung

Lösung nach kontinuierlicher Zugabe

t1

t1 t 2

t1 t 2

t3

15.05.2012

n

t

i =1

0

c(x, t ) ≅ ∑ c(x, ti ) → ∫ c(x, t ')dt '

Transportmodellierung

Lösung 1D Transport nach kontinuierlicher Zugabe Näherungslösung: für kleine D

15.05.2012

Transportmodellierung

1D Lösung nach kontinuierlicher Zugabe

15.05.2012

Transportmodellierung

Punktzugabe und kontinuierliche Zugabe •  1-D

& − (x − vt )2 # M1 Ci = exp$ ! 4 D t 2 πDxx t xx % " , xv M 1 exp** + 2 Dxx Cc = 2θv 15.05.2012

& ) $exp,* − x v )'erfc,* − x − vt )' '' * 2D ' * 2 D t' xx ( $ + xx ( + ( $ , xv ) x + vt , $ ** − ''erfc* − − exp $ * 2 D t + 2 Dxx ( xx + %Transportmodellierung

# ! ! ! )! ' '! ("

2-D Punktzugabe Dyy Dxx

t = 25

t = 51

t=1

Back dispersion

15.05.2012

Maximum

Transportmodellierung

2-D Punktzugabe

& − (x − vt )2 M2 y2 # Ci = exp$ − ! 4 Dyy t !" 4πt Dxx Dyy $% 4 Dxx t

15.05.2012

Transportmodellierung

3-D Punktzugabe Dzz Dyy Dxx

t = 25

t=1

Back dispersion

t = 51

15.05.2012

Transportmodellierung

3-D Punktzugabe

& − (x − vt )2 y2 z2 # Ci = exp$ − − ! 3 3 4 D t 4 D t 4 D t 8 π t Dxx Dyy Dzz $% xx yy zz ! " M3

15.05.2012

Transportmodellierung

3-D kontinuierliche Zugabe & , xv ) $exp,* − Rv '' M 3 exp** * 2D $ xx + 2 D xx ( + Cc = $ 8πR D yy Dzz $ , Rv ** + exp $ + 2 Dxx

%$R= 15.05.2012

x2 + y2

, R − vt ) ''erfc * − * 2 D t ( xx + , R + vt ) ''erfc * *2 D t ( xx +

Dxx D + z 2 xx D yy Dzz

Transportmodellierung

Durchbruchskurven & Brownsche Bewegung 15.05.2012

Transportmodellierung

) ' ' (

)# '! '! ( ! ! ! !"

Tracerversuche mit künstlich zugegebenen Tracern werden durchgeführt, um •Fließpfade und Fließ- bzw. Aufenthaltszeiten zu bestimmen •hydraulische Verbindungen nachzuweisen •hydraulische / hydromechanische Parameter (Kf, Dispersivität, Porosität) abzuschätzen •Systemverständnis zu verbessern.

15.05.2012

Transportmodellierung

Tracerversuche Prinzip: •Zugabe eines bekannten künstlichen Tracers (Markierungsstoffes) an bekannten Stellen •Messung und Auswertung des zeitlichen Konzentrationsverlaufes des Tracers an geeigneten abstromigen Messpunkten (Bohrlöcher, Quellen, etc.).

15.05.2012

Transportmodellierung

Tracerversuche

Bauer, 2008 15.05.2012

Transportmodellierung

•  Zur Durchführung von Tracerversuchen unter natürlichen Fliessbedingungen ist zunächst eine Abschätzung von v notwendig zur Dimensionierung und Planung der Feldarbeiten. •  Dies kann anhand eines Verdünnungsversuches in einer Messstelle durchgeführt werden. Dazu wird Tracer in einer Messstelle zugegeben und gleichmässig über ein definiertes Intervall (Packer) vermischt. Dabei wird die Konzentrationsverringerung durch Ausspülung des Tracers durch die Grundwasserströmung gemessen.

15.05.2012

Transportmodellierung

Verdünnungsversuch Massenbilanz:

(j

total, x

(x ) − jtotal, x (x + Δx ))A ⋅ Δt = m(t + Δt ) − m(t )

V dC/dt = -v A C mit der Lösung: v= -V/(A*t) ln(C/C(t=0)) Übergang auf das Grundwasser mit Fudge-Faktor α: α berücksichtigt den Brunnenausbau 15.05.2012

Transportmodellierung

Tracerversuche

15.05.2012

Transportmodellierung

Tracerversuche

15.05.2012

Transportmodellierung

Durchbruchskurven

15.05.2012

Transportmodellierung

Durchburchskurven

15.05.2012

Transportmodellierung

Analyse von Durchbruchskurven

& (x − vt )2 # x/t ! = exp(−$$ ! 4πDt % 4 Dt " 15.05.2012

Transportmodellierung

Analyse von Durchbruchskurven

µt ( x) = τ 1 ( x) = σ t2 ( x) = Wie lauten 15.05.2012

x1 v

2 D11 x v3

sie?

Transportmodellierung

Lagrange Bild

15.05.2012

Transportmodellierung

Euler Bild

15.05.2012

Transportmodellierung

Advektiver Transport ∂c(x, t ) ∂c(x, t ) =v ∂t ∂x Transformation:

mit

c(t = 0) = f (x)

Dc(τ , ζ ) ∂c dt ∂c dx = + =0 Dτ ∂t dτ ∂x dτ

Partikel- Bewegungsgleichung:

15.05.2012

Transportmodellierung

x(t ) = v

Advektiver Transport in 1D •  Uniforme Strömung: v = konstant

x (t ) = v ⇒ x = x0 + v(t − t0 ) •  Allgmeine Strömung in 1D x (t ) = v(x ) ⇒

15.05.2012

1 1 dx = dt ⇒ ∫ dx = ∫ dt v( x) v( x)

Transportmodellierung

Brunnenströmung Bewegungsgleichung

r(t ) = v(r ) =

Q r

Wie lautet die Lösung für die Bahnlinie r(t)?

15.05.2012

Transportmodellierung

Advektiver Transport in 3D •  Bewegungsgleichung für Partikel in der Strömung v=u/n dx dx = vx ⇒ = dt dt v x ( x, y , z ) dy dy = vy ⇒ = dt dt v y ( x, y , z ) dz dz = vz ⇒ = dt dt v z ( x, y , z ) 15.05.2012

Transportmodellierung

Approximation nach Pollock •  ModFlow berechnet Geschwindigkeiten in jedem Gitterpunkt •  Lineare Interpolation an Orten (x,y,z) zwischen Gitterpunkten

15.05.2012

Transportmodellierung

Approximation nach Pollock •  Substitution der interpolierten Geschwindigkeiten •  Integration von t1 nach t2

15.05.2012

Transportmodellierung

Approximation nach Pollock Direkte Integration ergibt

v x (t1 ) und nach Auflösen

15.05.2012

Transportmodellierung

Partikelwege

15.05.2012

Transportmodellierung

Brownsche Bewegung Advektive Bewegung gelöster Teilchen auf Stromlinie mit diffusiven Sprüngen (Brownsche Bewegung)

dX (t ) = v( X ) dt

+ dB (t )

X (t ) = ∫ v( X ) dt + B(t ) 15.05.2012

Transportmodellierung

Brownsche Bewegung •  Eine zufällige Variable, die vollständig durch Mittelwert und Varianz charakterisiert ist, ist eine gaussche Variable, d.h. die Verteilung, der die Variable gehorcht, ist durch eine Gaussche Verteilung gegeben

P( B(t )) =

15.05.2012

B 2 (t ) exp( − ) 2 2 2σ 2πσ 1

Transportmodellierung

Brownsche Bewegung •  Auflösen der Bewegungsgleichung für die Transport in der uniformen Strömung

P( X (t ) )

mit

15.05.2012

=

1 2πσ 2

2 ( x − vt ) exp( − )

2σ 2

x0 = 0 , t 0 = 0

Transportmodellierung

Beispiel •  Wie müssen wir die Varianz der Brownschen Bewegung wählen, damit die Lösung der 1DTransport Gleichung reproduziert wird?

15.05.2012

Transportmodellierung

1-D Transport 1 dσ 2 D= 2 dt Schwerpunkt: xs = vt Breite der Verteilung:

σ = 2 Dt = 2 DxS / v 15.05.2012

Transportmodellierung

15.05.2012

Transportmodellierung

Beispiel •  Wie müssen wir die Varianz der Brownschen Bewegung wählen, damit die Lösung der 1DTransport Gleichung reproduziert wird?

σ = 2Dt

15.05.2012

Transportmodellierung