Analytische Lösungen der Transportgleichung
15.05.2012
Transportmodellierung
1D-Transportgleichung Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer Flüssigkeit bewegt, dann gilt folgende Gleichung ∂(nc ) ∂ ∂ & ∂ # + ⋅ (vx c ) − ⋅ $ nD c ! = 0 ∂t ∂x ∂x % ∂x " Frage: Was fehlt hier, bevor wir Lösungen konstruieren können? 15.05.2012
Transportmodellierung
Mathematisches Modell Randbedingungen
Transport-Gleichung & Anfangsbedingung
Randbedingungen 15.05.2012
Transportmodellierung
Vollständiges Modell
∂c ∂c ∂ 2c n + vx − nD 2 = 0 ∂t ∂x ∂x c ( x , t = 0 ) = c0 ( x ) c( x, t ) x∈Ω
15.05.2012
Transportmodellierung
Randbedingungen - Beispiel
kein Massenfluß
spezifizierte Konzentration
spezifizierter Massenfluß 15.05.2012
Transportmodellierung
Randbedingungen
15.05.2012
Transportmodellierung
Zheng & Bennett
1-D Transport nach kurzer Zugabe • Konzentration nimmt im Zentrum der Verteilung ab • Kein Verlust an der Gesamtmasse 1.0
C/C0
0.5
t1
0.0
15.05.2012
t2
t3
Time Transportmodellierung
Advektiver Transport ∂c(x, t ) ∂c(x, t ) =v ∂t ∂x
Lösungsvorschlag:
mit
c(t = 0) = f (x)
c(x, t ) = f (x − vt )
Warum ist das die Lösung?
15.05.2012
Transportmodellierung
Advektiver Transport ∂c(x, t ) ∂c(x, t ) =v ∂t ∂x Transformation:
mit
c(t = 0) = f (x)
dc (τ , ζ ) ∂c dt ∂c dx = + =0 dτ ∂t dτ ∂x dτ
c(τ = 0) = f (ζ ) Lösung:
x = ζ + vτ 15.05.2012
ist gerade die Lösung der Partikel- Bewegungsgleichung
dx =v dτ x(t ) = v
Transportmodellierung
Advektiver Transport c(τ = 0) = f (ζ ) = f (x − vt ) Alternative Darstellung der Lösung
c(x, t ) = f (x − vt ) = ∫ dx'dt 'δ (x − x'−v(t − t ')) f (x') δ (t ') Anfangsbed. 15.05.2012
Transportmodellierung
1-D Transportgleichung: Lösung • Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) & ( x − vt / n) 2 # !! c( x, t ) = exp$$ − 4 Dt 2 A πDt % " M
A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung 15.05.2012
Transportmodellierung
1-D Transport Schwerpunkt: xs = vt/n Breite der Verteilung:
σ = 2 Dt = 2 DxS n / v
1 dσ 2 D= 2 dt 15.05.2012
Transportmodellierung
1D-Transport Alternative Darstellung der Lösung
c(x, t ) = f (x − vt ) = ∫ dx'dt ' g (x − x' , t − t ') f (x') δ (t ') Anfangsbed.
& ((x − x') − v(t − t ') / n) 2 # M !! g ( x − x' , t − t ' ) = exp$$ − ( ) 4 D t − t ' 2 A πD(t − t ') % " 15.05.2012
Transportmodellierung
1-D Transportgleichung mit Abbau: Lösung • Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) ) ( x − vt / n) 2 & $$ exp(−λt ) c( x, t ) = exp'' − 4 Dt 2 A πDt ( % M
A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung 15.05.2012
Transportmodellierung
1-D Transportgleichung: Lösung • Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) ) ( x − vt / (nR )) 2 & M $$ exp(−λt / R) c( x, t ) = exp'' − 4 Dt / R % 2 A πDt / R ( A durchströmter Querschnitt, D Diff.-koeffizient, v Fliessgeschwindigkei, für v = 0 rein diff. Lösung 15.05.2012
Transportmodellierung
1D Transportgleichung: Lösung nach kontinuierlicher Zugabe
∂c ∂c ∂ 2c n + vx − nD 2 = 0 ∂t ∂x ∂x
Uniforme Strömung; longitudinale Dispersion; keine externen Quellen; keine chemische Reaktion
Ogata & Banks: Lösung der ADE für eine kontinuierliche Linienquelle als Randbedingung 15.05.2012
Transportmodellierung
Prinzip der Superposition Hat eine lineare Differentialgleichungen mehrere Elementarlösungen, so stellen auch deren Summe oder Superposition wiederum eine Lösung dar.
15.05.2012
Transportmodellierung
Lösung nach kontinuierlicher Zugabe
t1
t2
t3
15.05.2012
Transportmodellierung
Lösung nach kontinuierlicher Zugabe
t1
t1 t 2
t1 t 2
t3
15.05.2012
n
t
i =1
0
c(x, t ) ≅ ∑ c(x, ti ) → ∫ c(x, t ')dt '
Transportmodellierung
Lösung 1D Transport nach kontinuierlicher Zugabe Näherungslösung: für kleine D
15.05.2012
Transportmodellierung
1D Lösung nach kontinuierlicher Zugabe
15.05.2012
Transportmodellierung
Punktzugabe und kontinuierliche Zugabe • 1-D
& − (x − vt )2 # M1 Ci = exp$ ! 4 D t 2 πDxx t xx % " , xv M 1 exp** + 2 Dxx Cc = 2θv 15.05.2012
& ) $exp,* − x v )'erfc,* − x − vt )' '' * 2D ' * 2 D t' xx ( $ + xx ( + ( $ , xv ) x + vt , $ ** − ''erfc* − − exp $ * 2 D t + 2 Dxx ( xx + %Transportmodellierung
# ! ! ! )! ' '! ("
2-D Punktzugabe Dyy Dxx
t = 25
t = 51
t=1
Back dispersion
15.05.2012
Maximum
Transportmodellierung
2-D Punktzugabe
& − (x − vt )2 M2 y2 # Ci = exp$ − ! 4 Dyy t !" 4πt Dxx Dyy $% 4 Dxx t
15.05.2012
Transportmodellierung
3-D Punktzugabe Dzz Dyy Dxx
t = 25
t=1
Back dispersion
t = 51
15.05.2012
Transportmodellierung
3-D Punktzugabe
& − (x − vt )2 y2 z2 # Ci = exp$ − − ! 3 3 4 D t 4 D t 4 D t 8 π t Dxx Dyy Dzz $% xx yy zz ! " M3
15.05.2012
Transportmodellierung
3-D kontinuierliche Zugabe & , xv ) $exp,* − Rv '' M 3 exp** * 2D $ xx + 2 D xx ( + Cc = $ 8πR D yy Dzz $ , Rv ** + exp $ + 2 Dxx
%$R= 15.05.2012
x2 + y2
, R − vt ) ''erfc * − * 2 D t ( xx + , R + vt ) ''erfc * *2 D t ( xx +
Dxx D + z 2 xx D yy Dzz
Transportmodellierung
Durchbruchskurven & Brownsche Bewegung 15.05.2012
Transportmodellierung
) ' ' (
)# '! '! ( ! ! ! !"
Tracerversuche mit künstlich zugegebenen Tracern werden durchgeführt, um •Fließpfade und Fließ- bzw. Aufenthaltszeiten zu bestimmen •hydraulische Verbindungen nachzuweisen •hydraulische / hydromechanische Parameter (Kf, Dispersivität, Porosität) abzuschätzen •Systemverständnis zu verbessern.
15.05.2012
Transportmodellierung
Tracerversuche Prinzip: •Zugabe eines bekannten künstlichen Tracers (Markierungsstoffes) an bekannten Stellen •Messung und Auswertung des zeitlichen Konzentrationsverlaufes des Tracers an geeigneten abstromigen Messpunkten (Bohrlöcher, Quellen, etc.).
15.05.2012
Transportmodellierung
Tracerversuche
Bauer, 2008 15.05.2012
Transportmodellierung
• Zur Durchführung von Tracerversuchen unter natürlichen Fliessbedingungen ist zunächst eine Abschätzung von v notwendig zur Dimensionierung und Planung der Feldarbeiten. • Dies kann anhand eines Verdünnungsversuches in einer Messstelle durchgeführt werden. Dazu wird Tracer in einer Messstelle zugegeben und gleichmässig über ein definiertes Intervall (Packer) vermischt. Dabei wird die Konzentrationsverringerung durch Ausspülung des Tracers durch die Grundwasserströmung gemessen.
15.05.2012
Transportmodellierung
Verdünnungsversuch Massenbilanz:
(j
total, x
(x ) − jtotal, x (x + Δx ))A ⋅ Δt = m(t + Δt ) − m(t )
V dC/dt = -v A C mit der Lösung: v= -V/(A*t) ln(C/C(t=0)) Übergang auf das Grundwasser mit Fudge-Faktor α: α berücksichtigt den Brunnenausbau 15.05.2012
Transportmodellierung
Tracerversuche
15.05.2012
Transportmodellierung
Tracerversuche
15.05.2012
Transportmodellierung
Durchbruchskurven
15.05.2012
Transportmodellierung
Durchburchskurven
15.05.2012
Transportmodellierung
Analyse von Durchbruchskurven
& (x − vt )2 # x/t ! = exp(−$$ ! 4πDt % 4 Dt " 15.05.2012
Transportmodellierung
Analyse von Durchbruchskurven
µt ( x) = τ 1 ( x) = σ t2 ( x) = Wie lauten 15.05.2012
x1 v
2 D11 x v3
sie?
Transportmodellierung
Lagrange Bild
15.05.2012
Transportmodellierung
Euler Bild
15.05.2012
Transportmodellierung
Advektiver Transport ∂c(x, t ) ∂c(x, t ) =v ∂t ∂x Transformation:
mit
c(t = 0) = f (x)
Dc(τ , ζ ) ∂c dt ∂c dx = + =0 Dτ ∂t dτ ∂x dτ
Partikel- Bewegungsgleichung:
15.05.2012
Transportmodellierung
x(t ) = v
Advektiver Transport in 1D • Uniforme Strömung: v = konstant
x (t ) = v ⇒ x = x0 + v(t − t0 ) • Allgmeine Strömung in 1D x (t ) = v(x ) ⇒
15.05.2012
1 1 dx = dt ⇒ ∫ dx = ∫ dt v( x) v( x)
Transportmodellierung
Brunnenströmung Bewegungsgleichung
r(t ) = v(r ) =
Q r
Wie lautet die Lösung für die Bahnlinie r(t)?
15.05.2012
Transportmodellierung
Advektiver Transport in 3D • Bewegungsgleichung für Partikel in der Strömung v=u/n dx dx = vx ⇒ = dt dt v x ( x, y , z ) dy dy = vy ⇒ = dt dt v y ( x, y , z ) dz dz = vz ⇒ = dt dt v z ( x, y , z ) 15.05.2012
Transportmodellierung
Approximation nach Pollock • ModFlow berechnet Geschwindigkeiten in jedem Gitterpunkt • Lineare Interpolation an Orten (x,y,z) zwischen Gitterpunkten
15.05.2012
Transportmodellierung
Approximation nach Pollock • Substitution der interpolierten Geschwindigkeiten • Integration von t1 nach t2
15.05.2012
Transportmodellierung
Approximation nach Pollock Direkte Integration ergibt
v x (t1 ) und nach Auflösen
15.05.2012
Transportmodellierung
Partikelwege
15.05.2012
Transportmodellierung
Brownsche Bewegung Advektive Bewegung gelöster Teilchen auf Stromlinie mit diffusiven Sprüngen (Brownsche Bewegung)
dX (t ) = v( X ) dt
+ dB (t )
X (t ) = ∫ v( X ) dt + B(t ) 15.05.2012
Transportmodellierung
Brownsche Bewegung • Eine zufällige Variable, die vollständig durch Mittelwert und Varianz charakterisiert ist, ist eine gaussche Variable, d.h. die Verteilung, der die Variable gehorcht, ist durch eine Gaussche Verteilung gegeben
P( B(t )) =
15.05.2012
B 2 (t ) exp( − ) 2 2 2σ 2πσ 1
Transportmodellierung
Brownsche Bewegung • Auflösen der Bewegungsgleichung für die Transport in der uniformen Strömung
P( X (t ) )
mit
15.05.2012
=
1 2πσ 2
2 ( x − vt ) exp( − )
2σ 2
x0 = 0 , t 0 = 0
Transportmodellierung
Beispiel • Wie müssen wir die Varianz der Brownschen Bewegung wählen, damit die Lösung der 1DTransport Gleichung reproduziert wird?
15.05.2012
Transportmodellierung
1-D Transport 1 dσ 2 D= 2 dt Schwerpunkt: xs = vt Breite der Verteilung:
σ = 2 Dt = 2 DxS / v 15.05.2012
Transportmodellierung
15.05.2012
Transportmodellierung
Beispiel • Wie müssen wir die Varianz der Brownschen Bewegung wählen, damit die Lösung der 1DTransport Gleichung reproduziert wird?
σ = 2Dt
15.05.2012
Transportmodellierung