WEIT 2013 Introdução à Lógica Fuzzy Benjam´ın R. Callejas Bedregal Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN ´ ´ Departamento de Informatica e Matematica Aplicada – DIMAp ´ ˜ Teoria e Aplicac¸oes ˜ – LoLITA Grupo de Logica, Linguagem, Informac¸ao, [email protected]

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AGENDA Motivação; Introdução; Teoria dos Conjuntos Fuzzy; Lógica Fuzzy; Relações e Composição Fuzzy; Sistemas Fuzzy Baseados em Regras; Tomada de Decisão; e Considerações Finais.

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MOTIVAÇÃO

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Imprecisão dos conceitos Não se imagina que tudo é vago até que se tenta faze-lo de maneira precisa. Bertrand Russel Quando as leis da matemática referem-se à realidade elas não estão certas. Quando estas leis estão certas elas não se referem à realidade. Albert Einstein Uma mente educada está satisfeita com o grau de precisão que a natureza do sujeito admite e não busca exatidão onde apenas aproximação é possível. Aristóteles

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Teorias Matemáticas de Incertezas As 3 mais importantes: Teoria das probabilidades (Blaise Pascal em 1654): estudo matemático das probabilidades, Matemática intervalar (Ramon Moore em 1959): Impossibilidade de se manipular o valor exato, e Lógica fuzzy (Lotfi Zadeh em 1965): Imprecisão dos conceitos. Outras teorias matemáticas que lidam com incertezas: Teoria Generalizada da Incerteza (Zadeh 2005), Shadow sets (Pedrycz 1998), teoria de Dempster-Shafer (Dempster 1967 e Shafer 1976), rough sets (Pawlak 1991), etc. ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 5/111

Limitações da Lógica Aristotélica Os predicados são sempre ou verdadeiros ou falsos (isto é conhecido como Lei do terceiro Excluído). Quando associamos a um predicado P o conjunto A de objetos do universo de discurso U que satisfazem P , então isto é equivalente a dizer que todo elemento de U ou pertence ou não pertence ao conjunto A. Ex: uma figura geométrica ou é um quadrado ou não, ou equivalentemente pertence ou não ao conjunto dos quadrados. Existe uma estreita relação entre lógica Aristótelica com a Teoria dos Conjuntos. ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 6/111

Paradoxo de Sorites Embora a teoria clássica dos conjuntos seja a base da matemática moderna, tem problemas para modelar a maioria dos problemas reais. O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos (alto ou não alto), denominado de paradoxo de sorites (que em grego significa feixe ou monte), é atribuído a Eubulides de Mileto, um dialético adversário de Aristóteles. “Quando um monte de areia deixa de ser um monte de areia, caso tiremos um grão de areia de cada vez?”

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INTRODUÇÃO

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Conjuntos fuzzy Na teoria dos conjuntos fuzzy (TCF) todo objeto do universo de discurso “pertence” ao conjunto em algum grau. Tipicamente valores no intervalo [0, 1], onde 0 significa que absolutamente não está e 1 que está completamente. Graus intermediarios, refletem um grau de incerteza enquanto a pertinência ou não do objeto ao conjunto. Quanto mais próximo de 0.5, maior a incerteza. TCF foi introduzida por Lotfali Askar-Zadeh (mais conhecido como Lotfi A. Zadeh) em 1965.

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Aplicações de LF 1. Sistemas fuzzy que controlam nos carros a força com que os freios são acionados para evitar derrapagens, a suspensão, tração, caixa de câmbios, etc. 2. No controle e otimização do trafico em cidades, rodovias, aereo, etc. 3. Na determinação do risco de investimentos e de outras naturezas. 4. No apoio à tomada de Decisão 5. Em medicina no diagnóstico de doenças, quantificação do QI em adultos, em epidemiologia, etc.. 6. etc. ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 10/111

Aplicações de LF

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Lógica fuzzy não é probabilidade

Copo contendo um líquido com 0,5 de probabilidadede ser letal.

Copo contendo um líquido que tem um grau de pertinência 0,5 aos líquidos letais.

Se você for obrigado a escolher um copo para beber, qual escolherias?

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TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY

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Função característica Universo de discurso Em teoria dos conjuntos clássica todo conjunto A num determinado universo de discurso U pode ser identificado com a função χA : U → {0, 1} definida por:   1 , se x ∈ A χA (x) =  0 , se x 6∈ A χA é chamada função característica do conjunto A.

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Exemplo Função característica Objetos vs. Dados Exemplo: O conjunto das pessoas consideradas idosas (idades) pela lei brasileira pode ser representado pelo seguinte gráfico: χidoso

1

65

Idade ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 15/111

Conjuntos fuzzy Um conjunto fuzzy pode ser vista através dos graus de pertinência associados a cada objeto do universo. Ou seja, sua melhor representação é através de uma função que atribui a cada objeto do universo de discurso um grau de pertinência O universo de discurso é um conjunto clássico (Crisp), usualmente um subconjunto de R com alguma unidade de medida (graus, metros, kilos, percentagem, etc.).

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Diagramas de Venn (Fuzzy) Conjunto Crisp

Conjunto Fuzzy U

x

x∈A

µA (x) = 0, 6

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Exemplo O conjunto dos idosos (idades) descritos de maneira fuzzy (segundo meu ponto de vista) pode ser o seguinte:   , se x ≥ 70 anos   1 µIdoso (x) = 0 , se x ≤ 50 anos    x−50 , se 50 < x < 70 20

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Exemplo de Idoso Graficamente:

1

50

70

Anos

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Variáveis e Termos Lingüísticos Idade

Variável Lingüística Termos Ligüísticos

Criança

Jovem

Adulto

Conjunto de Termos Ligüísticos

Idoso

Semântica

1

1215 17 20

25

30 35

45 50

60

70

Idade

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Funções de pertinência Lineares São as mais fáceis de serem descritas, implementadas e manipuladas. Triangulares, trapezoidais e semi-trapezoides. µ

1

U

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Funções de pertinência curvas Sigmoidais Graficamente: µ

1

U

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α-cortes Dado um α ∈ (0, 1]. O α-corte de um conjunto fuzzy A sobre um universo U é o conjunto crisp Aα = {x ∈ U : µA (x) ≥ α}

1

A α

Aα A-

α

+ Aα

U

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Suporte e Núcleo de Conjuntos fuzzy O conjunto suporte de um conjunto fuzzy A é SA = {x ∈ U : µA (x) > 0} O núcleo de um conjunto fuzzy A é o conjunto crisp NA = {x ∈ U : µA (x) = 1} Um conjunto fuzzy A é normal se NA 6= ∅

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União, Intersecção e Complemento Todo conjunto clássico (crisp) A num universo U pode ser visto como um conjunto fuzzy A sobre U cuja função de pertinencia é µA (x) = 1 para todo x ∈ A e µA (x) = 0 para todo x ∈ A. Em particular U ={(x, 1) : x ∈ U } e ∅={(x, 0) : x ∈ U }. Sejão A e B dois conjuntos fuzzy sobre um universo U com funções de pertinência µA e µB . Para todo x ∈ U : União: µA∪B (x) = max(µA (x), µB (x)) Interseção: µA∩B (x) = min(µA (x), µB (x)) Complemento: µA (x) = 1 − µA (x)

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União, Interseção e Complemento

União

Interseção

Complemento

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S T Propriedades da , e

−

Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A Associatividade: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Involução: A = A Idempotência: A ∪ A = A e A ∩ A = A Elemento Neutro: A ∩ U = A e A ∪ ∅ = A Elemento Absorvente: A ∩ ∅ = ∅ e A ∪ U = U

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S T Propriedades da , e

−

Distributividade: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Leis de De Morgan: A ∪ B = A ∩ B e A ∩ B = A ∪ B Leis da Absorção: A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A (A ∪ B)α = Aα ∪ Bα , (A ∩ B)α = Aα ∩ Bα e Aα = Aα para todo α ∈ (0, 1]

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Propriedades negativas Não satisfaz nem a lei do terceiro excluído (A ∪ A = U ) nem a lei da contradição (A ∩ A = ∅).

AUA A

A

U

A

A

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Inclusão de Conjuntos Fuzzy A ⊆ B se µA (x) ≤ µB (x) para todo x ∈ U

U

A

B

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Propriedades da Inclusão A ⊆ B sss A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C ∅⊆A⊆U A⊆A A = B sss A ⊆ B e B ⊆ A A ⊆ B sss B ⊆ A Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C Se A ⊆ B então Aα ⊆ Bα para todo α ∈ (0, 1].

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LÓGICAS FUZZY

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Conjunção/Intersecção clássica Tabela da conjunção: α β

α∧β

1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

0

Propriedades da conjunção: α∧β =β∧α

α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ α∧1=α eα∧0=0

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T-normas Normas triangulares (t-norms) foram introduzidas em 1942 por Menger para modelar distancia em espaços métricos probabilísticos Em 1962 Schweizer e Sklar deram uma axiomatização e dividiram as Normas triangulares entre t-normas e t-conormas. Alsina, Trillas e Valverde em 1980 usaram t-normas para modelar conjunção fuzzy generalizando diversas interpretações para conjunção fuzzy dadas até esse então.

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T-normas T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] é uma t-norma se é comutativa, i.e. T (x, y) = T (y, x) é associativa, i.e. T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z) é isotônica, i.e. se x ≤ x′ e y ≤ y ′ então T (x, y) ≤ T (x′ , y ′ ) 1-identidade, i.e. T (x, 1) = x

Seja T uma t-norma, então T (x, y) = x ∧ y se x, y ∈ {0, 1}.

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Exemplos de t-normas As t-normas mais conhecidas são: Gödel: TG (x, y) = min(x, y) Łukaciewisz: TL (x, y) = max(x + y − 1, 0) Produto: TP (x, y) = xy

Fraca: TW (x, y) = min(x, y) se max(x, y) = 1 e TW (x, y) = 0 caso contrário Hamacher: Seja γ ≥ 0, TH,γ (x, y) =

xy γ+(1−γ)(x+y−xy)

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Propriedades de t-normas É possível estabelecer uma ordem entre t-normas. Sejam T e T ′ duas t-normas quaisquer, então T ≤ T ′ se ∀x, y ∈ [0, 1], T (x, y) ≤ T ′ (x, y) Proposição: Seja T uma t-norma. TW ≤ T ≤ TG . Proposição: Existe uma quantidade não-contável de t-normas (Ex: a familia TH,γ )

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Disjunção clássica Tabela verdade da disjunção clássica: α β

α∨β

1 1

1

1 0

1

0 1

1

0 0

0

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t-conormas são funções S : [0, 1]2 → [0, 1] é uma conorma triangular(t-conormas) se Comutatividade: S(x, y) = S(y, x) Associatividade: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z) Isotonicidade: Se x ≤ x′ e y ≤ y ′ então S(x, y) ≤ S(x′ , y ′ ) 0-identidade: S(x, 0) = x

Se x, y ∈ {0, 1}, então S(x, y) = x ∨ y. x ∈ (0, 1) é 1-divisor não trivial de S se existe y ∈ (0, 1) tal que S(x, y) = 1.

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Exemplos de t-conormas Dada uma t-conorma S então TS (x, y) = 1 − S(1 − x, 1 − y) é uma t-norma Dada uma t-norma T então ST (x, y) = 1 − T (1 − x, 1 − y) é uma t-conorma Claramente STS = S e TST = T STG (x, y) = max(x, y) STP (x, y) = x + y − xy STL (x, y) = min(x + y, 1)

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Distributividade Seja uma t-norma T e uma t-conorma S. Então: T distribui sobre S se T (x, S(y, z)) = S(T (x, y), T (x, z)). S distribui sobre T , se S(x, T (y, z)) = T (S(x, y), S(x, z)) Proposição: S distribui sobre T sss T = TG e T distribui sobre S sss S = STG Corolário: O único par (T, S) tal que T distribui sobre S e S distribui sobre T é (TG , STG ).

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Negação Fuzzy A negação clássica é definida por ¬0 = 1 e ¬1 = 0 Enric Trillas em 1979 unifica as definições de negações fuzzy existente na época numa classe de funções: N : [0, 1] −→ [0, 1] é uma negação fuzzy se N (0) = 1 e N (1) = 0 Se x ≥ y então N (x) ≤ N (y) Uma negação fuzzy é forte se satisfaz a propriedade involutiva, isto é N (N (x)) = x. Toda negação forte é contínua e estritamente decrescente. ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 42/111

Ponto de equilíbrio e ∈ [0, 1] é um ponto de equilíbrio de uma negação fuzzy N se N (e) = e. Se e é um ponto de equilíbrio de N e x ≤ e ≤ y então N (y) ≤ e ≤ N (x). Se N tem um ponto de equilíbrio este é único. Toda negação contínua tem exatamente um ponto de equilíbrio. Sejão negações fuzzy N1 e N2 com pontos de equilíbrio e1 e e2 . Se N1 ≤ N2 então e1 ≤ e2

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Negações Naturais de t-(co)normas Dada um t-norma T . A negação natural induzida por T é NT (x) = sup{y : T (x, y) = 0} Dada um t-conorma S. A negação natural induzida por S é NS (x) = inf{y : S(x, y) = 1} Proposição: NTS (x) = 1 − NS (1 − x) e NST (x) = 1 − NT (1 − x). NTL (x) = 1 − x e NSTL (x) = 1 − x. Neste caso e = 0.5.   1 NTP (x) = NTG (x) =  0

se x = 0 caso contrário ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 44/111

Outros exemplos Outros exemplos são: Negação de Sugeno (generalizada√ por Hamacher) 1−x NS (x) = 1+λx com λ ∈ [1, ∞) tem λ+1−1 como λ ponto de equilíbrio Negação intuicionistica ou de Yager: √ 1 α α NY (x) = (1 − x ) com α ∈ (0, ∞) tem α 0.5 como ponto de equilíbrio. Negação de Bedregal: NB (x) = 1 − x2 tem √ 1.25 − 0.5 como ponto de equilíbrio.

Maior negação: N⊤ (1) = 0 e N⊤ (x) = 1 para todo x ∈ [0, 1). ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 45/111

Triplas De Morgan hT, S, N i é uma tripla de De Morgan se satisfaz 1. N (S(x, y)) = T (N (x), N (y)) 2. N (T (x, y)) = S(N (x), N (y)) Se só satisfaz uma delas é dita semi-tripla de De Morgan Exemplos de triplas de De Morgan: hTG , STG , NTG i hTP , STP , NTP i

hTL , STL , NTL i

hTP , STP , NTL i

Exemplos de semi-triplas de De Morgan: hTP , STP , NB i satisfaz 1 mas não 2. ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 46/111

Implicações clássicas Tabela da implicação clássica α β

α→β

1 1

1

1 0

0

0 1

1

0 0

1

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Implicações fuzzy I : [0, 1]2 → [0, 1] é uma implicação fuzzy se Se x ≤ z então I(x, y) ≥ I(z, y) Se y ≤ z então I(x, y) ≤ I(x, z)

I(0, y) = 1, I(x, 1) = 1 e I(1, 0) = 0 Trivialmente, se x, y ∈ {0, 1}, I(x, y) = x → y. Seja I uma implicação fuzzy, então NI (x) = I(x, 0) é uma negação fuzzy Seja T uma t-norma. IT (x, y) = Sup{z : T (x, z) ≤ y} é uma implicação fuzzy, conhecida como resíduo de T .

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Exemplos de R-implicações   1 ITP (x, y) =  y

x

  1 ITG (x, y) =  y

se x ≤ y caso contrário

se x ≤ y caso contrário

  1 ITL (x, y) =  1+y−x

se x ≤ y caso contrário

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Bi-implicações fuzzy A bi-implicação clássica é definida como: x ↔ y = 1 sss x = y. B : [0, 1]2 → [0, 1] é uma bi-implicação fuzzy se B1: B(x, y) = B(y, x), B2: Se x = y então B(x, y) = 1 , B3: B(0, 1) = 0, B4: Se x ≤ y ≤ z então B(x, y) ≥ B(x, z) e B(y, z) ≥ B(x, z). BT,I (x, y) = T (I(x, y), I(y, x)) é uma bi-implicação. Denotaremos BT,IT por BT (bi-residuo de T ).

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Exemplo de Bi-implicações fuzzy   1 BTG (x, y) =  min(x, y)   1 BTP (x, y) =  min(x,y)

max(x,y)

  min(x, y) BG′ (x, y)[  1

se x = y senão

se x = y senão

se max(x, y) = 1 senão ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 51/111

Lógicas Proposicionais Seja P um conjunto de símbolos proposicionais. A linguagem LP é o menor conjunto tal que P ∪ {0} ⊆ LP e se α, β ∈ LP então ¬α, (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β), (α ↔ β) ∈ LP . Lógicas proposicionais são pares hLP , |=i onde |=⊆ ℘(L) × L é uma relação, chamada de conseqüência lógica, que satisfaz: Reflexividade: Γ |= α se α ∈ Γ

Monotonicidade: Se Γ |= α então Γ ∪ ∆ |= α

Transitividade (ou corte): Se Γ |= α e Γ ∪ {α} |= β então Γ |= β ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 52/111

Semântica Fuzzy para LP F = hT, S, I, N, Bi é chamada de semântica fuzzy de LP . Seja θ : P → [0, 1]. Defina θF : LP → [0, 1] por θF (p) = θ(p) θF (0) = 0 θF (¬α) = N (θF (α)) θF (α ∧ β) = T (θF (α), θF (β)) θF (α ∨ β) = S(θF (α), θF (β))

θF (α → β) = I(θF (α), θF (β))

θF (α ↔ β) = B(θF (α), θF (β)) ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 53/111

F -Tautologias Dado um t ∈ (0, 1], uma formula α ∈ LP é uma t-tautologia em F , denotado por |=F α, se para cada evaluation fuzzy θ, θF (α) ≥ t. t-tautologias em F são chamadas de F -tautologias, Denotaremos o conjunto das F -tautologias de LP por T autF (LP ) e o conjunto das tautologias clássicas por T aut(LP ). Proposition: Para toda semântica fuzzy F temos que T autF (LP ) ⊆ T aut(LP ).

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Semânticas Fuzzy Tipo Clássica Seja F uma semântica fuzzy. F é uma semântica tipo clássica se T aut(LP ) ⊆ T autF (LP ). Uma semântica fuzzy F = hT, I, N, S, Bi é tipo clássica sse 1. S não tem 1-divisores; 2. I(x, y) = 1 sse x < 1 ou y = 1; 3. N = N⊤ ; e 4. B = BG′ .

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Consequências Semânticas A noção clássical de consequência lógica pode ser generalizada em duas formas: 1. Considerando elas como relações fuzzy 2. Considerando elas como uma relação clássical. Aqui seguiremos a segunda linha. ˆ ´ Uma fórmula α ∈ LP é uma consequencia logica de Γ ⊆ LP com respecto a uma semântica fuzzy F , denotado por Γ |=F α, se para cada evaluação θ ou θF (α) = 1 ou existe γ ∈ Γ tal que θF (γ) 6= 1.

Esta noção de consequência semântica é reflexiva, associativa e transitiva ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 56/111

Teorema da Dedução Teorema: Seja F uma semântica fuzzy tal que I(x, y) = 1 sse x < 1 e y = 1. Então para cada Γ ⊆ LP e α, β ∈ LP , Γ, β |=F α sse Γ |=F β → α

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F -Operações de Conjuntos fuzzy Dada uma semântica fuzzy F podemos definir: µA∪S B (x) = S(µA (x), µB (y)) µA∩T B (x) = T (µA (x), µB (y)) µAN (x) = N (µA (x)) V IncI (A, B) = I(µA (x), µB (x)) (grau de inclusão) x∈U V SimB (A, B) = B(µA (x), µB (x)) (grau de x∈U

similaridade)

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RELAÇÕES E COMPOSIÇÃO FUZZY

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Relações fuzzy sobre conjuntos crisp O producto cartesiano dos conjuntos (crisp) A e B, é o conjunto crisp A × B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B} Uma relação fuzzy entre A e B é qualquer conjunto fuzzy sobre o universo A × B B

b1

b2

b3

b4

A Exemplo: a1 a2 a3

0

0, 1 0, 2 0, 8

0, 7 0, 2 0, 3 0, 4 1

0, 6 0, 2

1 ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 60/111

Relações fuzzy sobre conjuntos fuzzy Dada uma t-norma o producto cartesiano dos conjuntos fuzzy A sobre universo X e B sobre o universo Y , é o conjunto fuzzy sobre o universo X × Y definido por µA×T B (x, y) = T (µA (x), µB (y)) Uma relação fuzzy entre os conjuntos fuzzy A e B é qualquer conjunto fuzzy R sobre o universo X × Y , tal que R ⊆ A ×T B.

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Operações sobre Relações fuzzy Como relações fuzzy são conjuntos fuzzy, podemos opera-las com união, intersecção e complemento, além da ordem de inclusão entre elas. Seja a relação fuzzy R = {((x, y), µR (x, y)) : x ∈ A e y ∈ B}. Primeira projeção de R: R(1) = {(x, max µR (x, y)) : x ∈ A} y∈B

Segunda projeção de R: R(2) = {(y, max µR (x, y)) : y ∈ B} x∈A

Projeção total de R: R(T ) = max max µR (x, y) x∈A y∈B

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 62/111

Exemplo de Projeções y1

y2

y3

y4

y5

1

0, 5 0, 3

R(1)

x1

0, 1 0, 3

1

x2

0, 2 0, 5 0, 7 0, 9 0, 6

x3

0, 3 0, 6

1

0, 8 0, 2

1

R(2) 0, 3 0, 6

1

0, 9 0, 6

1

0, 9

= R(T )

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 63/111

Composição Max-min e Min-Max Seja R1 uma relação fuzzy entre A e B e R2 uma relação fuzzy entre B e C. A composição max-min de R1 com R2 é a siguiente relação fuzzy entre A e C: R1 ◦R2 = {((x, z), max min{µR1 (x, y), µR2 (y, z)}) : x ∈ A e z ∈ C} y∈B

Analogamente, a composição min-max de R1 com R2 é a siguiente relação fuzzy entre A e C: R1 2R2 = {((x, z), min max{µR1 (x, y), µR2 (y, z)}) : x ∈ A e z ∈ C} y∈B

A composição min-max de relações crisp em geral não resulta na composição crisp dessas relações. Proposição: R1 2R2 = R1 ◦ R2

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 64/111

Exemplo de Composição Max-min R1

y1

y2

x1

0, 1 0, 3

x2

0, 8

1

y3 0 0, 4

R2

z1

z2

z3

y1

0, 8 0, 2

0

y2

0, 2

1

0, 6

y3

0, 5

0

0, 4

R1 ◦ R2

z1

z2

z3

x1

0, 2 0, 3 0, 3

x2

0, 8

1

0, 6

min{µR1 (x1 , y1 ), µR2 (y1 , z1 )} = min{0, 1; 0, 8} = 0, 1 min{µR1 (x1 , y2 ), µR2 (y2 , z1 )} = min{0, 3; 0, 2} = 0, 2 min{µR1 (x1 , y3 ), µR2 (y3 , z1 )} = min{0; 0, 5} = 0

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 65/111

Composição Max-min A ◦ R Seja A uma conjunto fuzzy de universo A e R uma relação fuzzy entre A e B. A composição max-min de A com R é o siguiente conjunto fuzzy B: A ◦ R = {(y, max min{µA (x), µR (x, y)}) : x ∈ A e y ∈ B} x∈A

A

µA

R

y1

y2

x1 0, 1

x1 0, 8 0, 2

x2 0, 3

x2 0, 2 x3 0, 5

x3

0

y3

A ◦ R µA◦R

0

y1

0, 2

1

0, 6

y2

0, 8

0

0, 4

y3

0, 3

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 66/111

T -Composição Seja R1 uma relação fuzzy entre A e B, R2 uma relação fuzzy entre B e C, e T uma t-norma. A T -composição de R1 com R2 á a siguiente relação fuzzy entre A e C: R1 ◦T R2 = {((x, z), sup T (µR1 (x, y), µR2 (y, z)) : x ∈ A e y ∈ B} y∈B

Assim,

µR1 ◦T R2 (x, z) = sup{T (µR1 (x, y), µR2 (y, z)) : y ∈ B}

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 67/111

Modus Ponens Clássico Modus Ponens Clássico: p, p → q |= q ou Premisa 1

xéA

Premisa 2

se x é A então y é B

Conclusão y é B Exemplo: Premisa 1

a água está burbulhando

Premisa 2

Se a água está burbulhando então a água está fervendo

Conclusão

a água está fervendo

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 68/111

Modus Ponens Fuzzy Toda implicação fuzzy I determina uma relação fuzzy RI entre conjuntos fuzzy A e B, onde µRI (x, y) = I(µA (x), µB (y)) Assim, dada uma t-norma T o MP fuzzy é nada mais que uma T -composição entre A e RI Mas A ◦T RI 6= B.

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 69/111

Modus Ponens Fuzzy Generalizado Modificadores linguísticos são funções que modificão os graus de pertinência de qualquer conjunto fuzzy. µm(A) (x) = m(µA (x)) P remisa 1 x é m1 (A) P remisa 2

se x é A então y é B

Conclusão y é m2 (B) Premisa 1

Se a garrafa tem o fundo profundo então o vinho é de boa qualidade

Premisa 2

A garrafa tem o fundo muito profundo

Conclusão

O vinho é de muito boa qualidade

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 70/111

SISTEMAS FUZZY BASEADOS EM REGRAS

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 71/111

Arquitetura de um sistemas fuzzy

Valor de entrada

Fuzzificador

Gerente de Informações

Máquina de Inferência

Desfuzzificador

Base de Regras

valor de saída

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 72/111

Componentes de um SF Fuzzificador: Contem as funções de pertinência das variáveis lingüísticas de entrada. Recebe um valor do universo de discurso e retorna o grau de pertinência ao respectivo conjunto fuzzy Máquina de inferência: Faz todos os cálculos Gerente de Informações: Obtém da base de regras as regras aplicáveis para essas entradas. Base de Regras: Contém as regras do sistema. Desfuzzificador: Contem as funções de pertinência das variáveis lingüísticas de saída. Recebe graus de pertinência para uma variável lingüísticas de saída e retorna um valor para essa variável. ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 73/111

Como construir um sistema fuzzy Definir as variáveis de entrada, saída e intermediárias (se for o caso) Definir faixas de valores (universo de discurso das variáveis lingüísticas) Dividir o universo de discurso em conjuntos fuzzy (termos lingüísticos) Definir a semântica dos conjuntos fuzzy (funções de pertinência) Construir a base de regras

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 74/111

Como construir um sistema fuzzy Definir o método de inferência e o método de defuzzificação a ser usado. Simular o sistema Testar o sistema

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 75/111

Método de Inferência de Mandami Cada regra assim como o conectivo e é modelada pela t-norma do mínimo (∧). Para o conectivo ou que conecta as regras usa-se o máximo (∨) . Exemplo: Seja a seguinte base de regras R R1 : Se x é A11 e y é A12 então z é B1 R2 : Se x é A21 e y é A22 então z é B2 A relação fuzzy determinada por R é µR (x, y, z) = (µA11 (x)∧µA12 (y)∧µB1 (z)))∨({µA11 (x)∧µA12 (y)∧µB1 (z))) Dado conjuntos fuzzy A1 e A2 a composição µA1 ×min A2 ◦ µR determina um conjunto fuzzy B que pode ser visto como a união das saídas parciais das regras R1 e R2 . ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 76/111

EXEMPLO DE SISTEMA FUZZY BASEADOS EM REGRAS

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 77/111

Características gerais do sistema A máquina de inferência vai usar a regra de inferência MAX-MIN para determinar a superfície dos conjuntos fuzzy de saída. MAX-MIN para cada grau de saída e cada conjunto fuzzy de saída considera o menor grau, e depois o máximo das intersecções entre termos lingüísticos. Conjunções: t-norma de Gödel (mínimo) Para extrair dessa superfície o valor desejado (defuzzificação) será usado o método do centro de gravidade

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 78/111

Análise da qualidade da agua potável A qualidade da água potável será analisado considerando somente os seguintes fatores: Aparência da cor, medida em UH (Unidade Hazen); potencial hidrogeniônico, medida em pH, ou seja concentração dos íons de hidrogênio; e turbidez, medida em UT, causada pela presença de substâncias suspensas e coloidais e que é determinada pela quantidade de luz dispersada quando passa através de uma amostra. Outras variáveis que poderiam ter sido consideradas são: odor e sabor, nível de fluor, quantidade de coliformes fecais, etc. ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 79/111

Variável lingüística de entrada Aparência da água

1

Boa

Adequada

4

8

12

Inadequada

16

20

24

28

UH

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 80/111

Variável lingüística de entrada Potencial hidrogeniônico

1 Boa

Inadequado alto Inadequado baixo 2

4

Adequada 6

8

10

12

14

pH

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 81/111

Variável lingüística de entrada Turbidez

1

Boa

1

Adequada

2

3

4

Inadequada

5

6

7

8

9

10

UT

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 82/111

Regras Fuzzy Considerando a “Aparência da agua” como sendo “boa”. Turbidez

boa

adequada

inadequada

pH Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada Adequado

adequada

adequada

inadequada

Bom

boa

boa

inadequada

Inadequado alto

inadequada inadequada inadequada

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 83/111

Regras Fuzzy Considerando a “Aparência da agua” como sendo “adequada”. Turbidez

boa

adequada

inadequada

pH Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada Adequado

adequada

adequada

inadequada

Bom

boa

adequada

inadequada

Inadequado alto

inadequada inadequada inadequada

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 84/111

Regras Fuzzy Considerando a “Aparência da agua” como sendo “inadequada”. Turbidez

boa

adequada

inadequada

pH Inadequado baixo inadequada inadequada inadequada Adequado Bom Inadequado alto

inadequada inadequada inadequada adequada

adequada

inadequada

inadequada inadequada inadequada

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 85/111

Valores de entrada Suponha que num determinado momento a aparência da água está em 15 UH. Então

1 0,75 Boa

Adequada

Inadequada

0,25

4

8

12

15

20

24

28

UH

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 86/111

Valores de entrada Suponha que nesse mesmo momento o potencial hidrogeniônico da água está em 7 pH. Então

1 Boa 0,65625 Inadequado alto Inadequado baixo 2

4

Adequada 6

7

8

10

12

14

pH

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 87/111

Valores de entrada Suponha que nesse mesmo momento a turbidez da água está em 3 UT. Então

1

Boa

1

Adequada

2

3

4

Inadequada

5

6

7

8

9

10

UT

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 88/111

Regras que se aplicam Se aparência é adequada, o pH é adequado e a turbidez adequada então a potabilidade é adequada min{0.75, 1, 1} = 0, 75 Se aparência é adequada, o pH é bom e a turbidez adequada então a potabilidade é boa min{0.75, 0.65625, 1} = 0, 65625 Se aparência é inadequada, o pH é adequado e a turbidez adequada então a potabilidade é adequada min{0.25, 1, 1} = 0, 25 Se aparência é inadequada, o pH é bom e a turbidez adequada então a potabilidade é boa min{0.25, 0.65625, 1} = 0, 25 ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 89/111

Variável de saída Qualidade da potabilidade da água

1

Inadequada

Adequada

Boa

0,5

0.1 0.2 0.3

0.4 0.5 0.6

0.7

0.8

0.9

1

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 90/111

Cortes na variável de saída Regra 1: gera a seguinte região para o termo lingüístico “potabilidade da água adequada”: µP A′ (z) = min{0.75, µP A (z)} Regra 2: gera a seguinte região para o termo lingüístico “potabilidade da água boa”: µP B ′ (z) = min{0.65625, µP B (z)} Regra 3: gera a seguinte região para o termo lingüístico “potabilidade da água adequada”: µP A′ (z) = min{0.25, µP A (z)} Regra 4: gera a seguinte região para o termo lingüístico “potabilidade da água boa”: µP B ′ (z) = min{0.25, µP B (z)} ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 91/111

Cortes na variável de saída

1 0.75 0.65625 Inadequada

Adequada

Boa

0.25

0.1 0.2 0.3

0.4 0.5 0.6

0.7

0.8

0.9

1

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 92/111

Região Solução A utilização da regra MAX-MIN gera a seguinte região solução

1 0.75 0.65625 0.5

0.3

0.6

0.9

1

0.75

0.2

0.45 0.475

0.1

Boa

0.725 0.76

Adequada

Inadequada

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 93/111

Centro de Gravidade Dessa região se extrai o valor pelo método do Centro de Gravidade usando a seguinte fórmula Σni=0 xi µA (xi ) RA = Σni=0 µA (xi ) Na medida que escolhermos mais x′i s mais próximos do centro de gravidade estaremos. É o método mais usado pois os valores defuzzificados tendem a se mover mais suavemente entre dois cálculos com pequenas variações nas entradas. Pode ser aplicado a projetos que usam representações discretas de funções de pertinência ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 94/111

Cálculo do Centro de Gravidade Um método simplificado é considerar somente os pontos de inicio e de fim de uma curva. Assim

P otabilidade = ≈

0·0.4+0.75·0.475+0.75·0.725+0.5·0.75+0.65625·0.76+0.65625·1.1 0+0.75+0.75+0.725+0.5+0.65625+0.65625 2.5000021875 3.7125

= 0.67340126 Logo a água estaria adequada.

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 95/111

LÓGICA FUZZY NO APOIO À TOMADA DE DECISÃO

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 96/111

Tomada de Decisão Tomada de decisão se resolve um problema envolvendo a perseguição de metas sobre certas restrições. A decisão tomada deveria resultar numa ação. Tomada de decisão tem um role importante em economia, administração, engenharia, ciências sociais e políticas, estratégia militar, etc. A dificuldade reside em que as informações podem ser incompletas, imprecisas, subjetivas, etc. Assim este processo pode ser realizado num ambiente “fuzzy” onde as metas e restrições sejam modeladas por conjuntos fuzzy. ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 97/111

Restrições e metas Cada Restrição e meta podem ser encaradas como conjuntos fuzzy só que em sentidos opostos, ou seja que enquanto o grau de pertinência a uma meta se aproxima de 1, o grau de pertinência à restrição se aproxima de 0.

1

x

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 98/111

Restrições, metas e Decisões A decisão é caracterizada pela seleção o escolha de uma alternativa entre várias possíveis. A melhor decisão é dada por aquele ponto de maior grau de pertinência à intersecção das restrições e metas.

1

xopt

x

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 99/111

Restrições, metas e Decisões Assim, D = {(x, y) : x ∈ A e y = min{µC (x) : C ∈ C}}, onde C é o conjunto de restrições e metas fuzzy. xopt = {x ∈ A : µD (x) ≥ µD (y) para todo y ∈ A}, onde A é o conjunto de alternativas.

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 100/111

Exemplo: Descrição do problema Uma empresa espera preencher uma vaga para um determinado cargo. Existem 5 candidatos c1 , . . . , c5 que formam o conjunto de alternativas A = {c1 , . . . , c5 }. As metas são 1. Experiência no cargo (M1 ) 2. Conhecimento em computação (M2 ) 3. jovem (M3 ) só há uma única restrição: o salário oferecido deve ser modesto (R1 ).

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 101/111

Exemplo: O processo de decisão fuzzy Suponha que a comissão de seleção avaliou cada candidato do ponto de vista das metas e restrição salarial. Chegando-se aos seguintes conjuntos fuzzy M1 = {(c1 , 0.8), (c2 , 0.6), (c3 , 0.3), (c4 , 0.7), (c5 , 0.5)} M2 = {(c1 , 0.7), (c2 , 0.6), (c3 , 0.8), (c4 , 0.2), (c5 , 0.3)} M3 = {(c1 , 0.7), (c2 , 0.8), (c3 , 0.5), (c4 , 0.5), (c5 , 0.4)} R1 = {(c1 , 0.4), (c2 , 0.7), (c3 , 0.6), (c4 , 0.8), (c5 , 0.9)}

Fazendo a intersecção fuzzy usual (mínimo) temos o seguinte conjunto fuzzy decisão: D = {c1 , 0.4), (c2 , 0.6), (c3 , 0.3), (c4 , 0.2), (c5 , 0.3)} Portanto copt = c2 ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 102/111

Relações de Preferência Fuzzy Uma Relações de Preferência Fuzzy (RPF) sobre um conjunto de alternativas A é uma relação fuzzy R sobre A que satisfaz as seguintes condições: Para a ∈ A, µR (a, a) = 0.5 e

Para cada a, b ∈ A, µR (a, b) + µR (b, a) = 1 µR (a, b) indica quanto a alternativa a é melhor que a alternativa b.

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 103/111

Tomada de Decisão baseado em RPF Considere um conjunto de alternativas A; um conjunto de critérios C; um vetor de pesos P associados aos P critérios, tal que pc = 1; e uma familia de RPF c∈C

indexada por C. Determinar a RPF colletiva R sobre A da seguinte forma: Para cada a, b ∈ A, calcule P µR (a, b) = pc · µRc (a, b) c∈C

(

Seja V : A → [0, 1] definida por V (a) =

P

µR (a,b))+0.5

b∈A

#A

Ordenar as alternativas de acordo com o valor dado pela função V . ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 104/111

Exemplo Considere 4 alternativas, dois critérios com o peso 0.4 e 0.6 e as seguintes RPF para cada um dos criterios. Rc1

a1

a2

a3

a4

Rc2

a1

0.5

0.6 0.7

0.6

a2

0.4

0.5 0.6

a3

0.3

a4

0.4

a1

a2

a3

a4

a1

0.5 0.6

0.3

0.8

0.4

a2

0.4 0.5

0.4

0.7

0.4 0.5

0.2

a3

0.7 0.6

0.5

0.8

0.6 0.8

0.5

a4

0.2 0.3

0.2

0.5

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 105/111

Exemplo RPF coletiva: a1 a2 R

a3

a4

a1

0.5

0.6

0.46

0.72

a2

0.4

0.5

0.48

0.58

a3

0.54

0.52

0.5

0.56

a4

0.28

0.42

0.44

0.5

= 0, 695, Calculando V : V (a1 ) = 2,78 4 2,62 = 0, 615, V (a ) = = 0, 655 e V (a2 ) = 2,46 3 4 4 V (a4 ) = 2,14 = 0, 535 4 Então: a1 > a3 > a2 > a4 . ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 106/111

CONSIDERAÇÕES FINAIS

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 107/111

Direções em LF Direções no estudo da lógica fuzzy 1. Lógica Fuzzy no sentido amplo: Desenvolvimento de sistemas baseados no raciocínio aproximado. Ex.: sistemas de apoio à tomada de decisão, sistemas controladores e de agrupamento/classificação. 2. Lógica Fuzzy no sentido restrito: Estudo da LF enquanto lógica simbólica e portanto aqui a preocupação é determinar teorias formais, formas normais, estruturas algébricas dos conectivos lógicos 3. Fuzzyficação de conceitos formais, tais como grupos, reticulados, métricas, linguagens formais, computabilidade, etc. ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 108/111

Revistas Internacionais – Qualis-CC IEEE Transactions on Fuzzy Systems - Qualis-CC= A1 Fuzzy Sets and Systems (Elsevier) - Qualis-CC= A1 Approximate Reasoning - Qualis-CC= A2 Knowledge-Based Systems - Qualis-CC= A2 Soft Computing - Qualis-CC= Applied Soft Computing - Qualis-CC= Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems (World Scientific) - Qualis-CC= B1 Intelligent and Fuzzy Systems (IOS Pres) - Qualis-CC= B2 International J. on Fuzzy Systems - Qualis-CC= ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 109/111

Congressos sobre LF FUZZ-IEEE (Qualis-CC A2) IPMU (Qualis-CC B2) IFSA (Qualis-CC B1) CBSF EUSFLAT FLINS (Qualis-CC B4) FSKD (Qualis-CC B2) NAFIPS (Qualis-CC B2) GEFS (Qualis-CC B4) EUROFUSE ˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 110/111

Lógica Fuzzy no Brasil Rosana S.M. Jafelice, Laécio C. de Barros, e Rodney C. Bassanezi. Teoria dos Conjuntos Fuzzy com Aplicações. Notas em Matemática Aplicada 17. Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional São Carlos - SP, 2005. http://www.sbmac.org.br/notas.php Livro Laécio C. de Barros, e Rodney C. Bassanezi. Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática. Editora UNESP, 2a ed., 2010 Minissimposio sobre lógica fuzzy no CNMAC de 2009 3o Congresso Brasileiro de Sistemas Fuzzy: Em João Pessoa-PB, 17–20 de Agosto de 2014, junto com o FLINS Criação do Comitê temático sobre Sistemas Fuzzy no CNMAC 2010.

˜ a` Logica ´ WEIT 2013Introduc¸ao Fuzzy – p. 111/111