11. Vorlesung Entwurf und Simulation von Mikrosystemen

10. / 11. Vorlesung Entwurf und Simulation von Mikrosystemen 5 Thermisches Management 5.4 Konvektion: forciert, natürlich 5.5 Strahlung WS 2007 / 20...
Author: Regina Möller
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10. / 11. Vorlesung Entwurf und Simulation von Mikrosystemen

5 Thermisches Management 5.4 Konvektion: forciert, natürlich 5.5 Strahlung

WS 2007 / 2008

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5.4 Wärmeübergang Festkörper – Fluid: Konvektion Konvektion besteht aus zwei gleichzeitig erfolgenden Mechanismen: ƒ Energieübertragung von einem festen Körper an ein Fluid durch mikroskopische Bewegung – d.h. Wärmeleitung ƒ Energietransport durch makroskopische Bewegungen von Fluidteilchen Diese Fluidbewegung kann hervorgerufen werden durch ƒ Dichtegradienten – natürliche (freie) Konvektion ƒ Druckdifferenzen, die z.B. durch eine Pumpe erzeugt werden – erzwungene (forcierte) Konvektion

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Beispiel forcierte Konvektion Fragestellung: ƒ Welche Leistung kann z.B. ein 5 x 5 mm² Chip dissipieren, wenn es mit Luft in erzwungener Konvektion gekühlt wird?

Luft: 2,5 m/s; 27°C A = 5 x 5 mm² 29,5 mm

Chip

Tmax=85°C

Substrat

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Forcierte (erzwungene) Konvektion

q& S = − k Fluid

dT | y =0 = hc ⋅ (TS − T∞ ) dy

ƒ Geschwindigkeits- und Temperaturprofil eines Fluids über einer geheizten Platte. ƒ Infolge von Reibungskräften (Viskosität) ist die Strömungsgeschwindigkeit u an der Platte Null und steigt dann gegen u∞ . u∞ ist die freie Strömungsgeschwindigkeit, die durch die äußere Kraft (z.B. Pumpe) hervorgerufen wird. ƒ Entsprechend nimmt die Temperatur T von TS (an der Platte) nach T∞ ab.

3

Wärmeübergang bei Konvektion ƒ Da das Fluid an der Oberfläche ruht, herrscht dort Wärmeleitung. ƒ Der Wärmeübergangsstrom könnte daher gemäß

dQC ∂T = − k Fluid A dt ∂y

y =0

berechnet werden, wenn ∂T ∂y

y =0

bekannt wäre.

ƒ Der Temperaturgradient hängt aber in komplizierter Weise von dem gesamten Strömungsfeld ab: Schon in geringem Abstand von der Oberfläche ist die Geschwindigkeit des Fluids ungleich Null. Das Temperaturprofil und damit der Temperaturgradient an der Oberfläche wird vom konvektiven Wärmetransport wesentlich beeinflußt! ƒ Man geht daher von der folgenden phänomenologischen Relation nach Newton aus:

dQC = h c A(TS − T∞ ) dt

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Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient dQ Q& C = C = hC A(Ts − T∞ ) = hC A∆T dt

ƒ Q& C : Wärmetransport von der Oberfläche in die Umgebung in [W] ƒ ƒ ƒ ƒ

A : Oberfläche in m2 Ts : Oberflächentemperatur in [°C] (bzw. [K]) T∞ : Umgebungstemperatur in [°C] (bzw. [K]) hC bzw. h c : Wärmeübergangskoeffizient für die Konvektion in [W/ m2 K]

Der Wärmeübergangswiderstand ist abhängig von: ƒ den Eigenschaften des Fluids: - Dichte ρ - Viskosität η - thermische Leitfähigkeit k - spezifische Wärmekapazität c ƒ der Oberflächengeometrie; ƒ den Strömungsbedingungen.

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ƒ Es wird zwischen der lokalen Wärmeflußdichte q& S und dem gesamten Wärmestrom Q& S über eine Oberfläche AS unterschieden. ƒ Entsprechend existiert neben dem lokalen Wärmeübergangskoeffizienten der gemittelte Koeffizient mit

hC =

1 AS

∫h

C

dAS

AS

ƒ Im Fall einer (in x-Richtung) längsangeströmten ebenen Platte (vgl. Zeichnung) vereinfacht sich der Ausdruck als Integration über die Länge zu: L

1 hC = ∫ hC dx L0

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Thermischer Oberflächenwiderstand für die Konvektion In Analogie zu den thermischen Widerständen bei der Wärmeleitung wird ein thermischer Übergangswiderstand (Oberflächenwiderstand) definiert:

∆T =

1 & QC hC AS



Rth =

1 hC ⋅ AS

Größenordnung des Wärmeübergangskoeffizienten: Fluid

hC [W/m²K]

Gase (Luft), freie Konvektion

5 - 15

Flüssigkeit (Wasser), freie Konvektion

50 – 100

Gase (Luft), erzwungene Konvektion

15 – 250

Flüssigkeit (Wasser), erzwungene Konvektion

100 – 2000 (5000)

R. Tummala: Fundamtentals of Microsystems Packaging

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Freie Konvektion

y

Geschwindigkeitsprofil Temperaturprofil

β

∂T ∂y

y =0

„heiße“ Platte Gewichtskraft

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ƒ Die freie Konvektion läuft ähnlich wie die erzwungene Konvektion ab, jedoch ergibt sich hier ein anderes Geschwindigkeitsprofil. ƒ Die Geschwindigkeit des Fluids im Unendlichen u∞ ist Null, da es keine äußeren Kräfte gibt. ƒ In der Nähe der erhitzten, um den Winkel β geneigten Platte wird das Fluid erwärmt. ƒ Seine Dichte wird geringer als die des umgebenden Fluids und es entsteht Auftrieb. Geschwindigkeitsprofil: ƒ Unmittelbar an der Grenzfläche ist wie bei der erzwungenen Konvektion die Geschwindigkeit u gleich Null. ƒ Da die Viskositätskräfte schneller abnehmen als die Auftriebskräfte, steigt die Geschwindigkeit u. ƒ Wenn die Dichte wieder ihren Normalwert erreicht wird der Auftrieb und damit die Geschwindigkeit Null.

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5.4.1 Konvektion und konvektiver Wärmeübergang • Wärmetransport in einem Fluid ƒ durch Konduktion (Wärmeleitung, molekularer Transport) ƒ oder Konvektion (Mitnahme durch das strömende Medium)

• Die Konduktion ist vernachlässigbar bei ƒ ausreichend großem Abstand von den Wänden ƒ ausreichend hoher Geschwindigkeit

• Haftbedingung unmittelbar an der Wand ƒ keine Relativbewegung zwischen Wand und Fluid aufgrund der Zähigkeit des Fluids

• Wandwärmefluss: Ansatz von Newton ƒ Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten h? ƒ nicht Stoffwert des Fluids, sondern Eigenschaft der Strömung; hängt in komplexer Weise von den Geschwindigkeits- und Temperaturfeldern ab

• Übergangsbereich in Wandnähe ƒ Grenzschicht ⇒ diffuse Effekte (Zähigkeit, Wärmeleitfähigkeit des Fluids) und Konvektion

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Übergangsbereich: Strömungsgrenzschicht • Fluid-Partikel, die in Kontakt mit der Oberfläche sind, haben die Geschwindigkeit Null (Haftbedingung). • Diese Partikel verzögern die Bewegung von Partikeln in angrenzenden FluidSchichten, diese in der nächsten Schicht usw. • In einer Entfernung δ von der Oberfläche wird dieser Effekt vernachlässigbar (u=

Beispiel längsangeströmte Platte:

Geschwindigkeit der freien Strömung u∞)

• Ausdehnung in x-Richtung • Geschwindigkeitsverteilung u(x,y) • Geschwindigkeitsvektor allgemein:

• Die Verzögerung der Fluid-Bewegung ist verbunden mit den Schubspannungen τ, die in den Ebenen parallel zur Strömung des Fluids wirken.

⎛ u ( x, y , z ) ⎞ ⎟ r ⎜ u = ⎜ v ( x, y , z ) ⎟ ⎜ w( x, y, z ) ⎟ ⎝ ⎠ Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung, 11 Pearson Studium

Schubspannung τ: ƒ Schubspannung τ [N/m2] in einer zur Wand parallelen Ebene nach Stokes:

τ =η

du du =ν ρ dy dy

η =dynamische Viskosität (Stoffwert für Newton‘sches Fluid [kg/ms]) ν=η/ρ kinematische Zähigkeit [m2/s] ƒ mehrdimensionale Strömungsfelder: τ = Tensor

Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung 12

Übergangsbereich: Temperaturgrenzschicht • Fluid-Partikel, die in Kontakt mit der Oberfläche sind, haben die gleiche Temperatur wie die Oberfläche (thermisches Gleichgewicht). • Diese Partikel tauschen Energie mit Partikeln in angrenzenden Fluid- Schichten aus, es entstehen Temperaturgradienten in einer thermischen Grenzschicht. • Die Dicke δth der Temperaturgrenzschicht nimmt mit der Entfernung x von der Einströmstelle zu.

Beispiel längsangeströmte Platte: • Ausdehnung in x-Richtung • Geschwindigkeitsverteilung u(x,y) • Temperaturverteilung T(x,y)

Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung 13

Strömungsarten – Reynoldzahl für die ebene Platte Existenz zweier verschiedener Strömungsformen: ƒ laminare Strömung (Reibungskräfte dominieren) ƒ turbulente Strömung (Impulskräfte dominieren)

Umschlagen von laminarer in turbulente Strömung: Reynold‘sche Kennzahl

Re x =

u∞ ⋅ x

ν

=

ρ ⋅ u∞ ⋅ x η

kritische Reynoldszahl (für die ebene Platte) 105 ≤ Rex,krit≤ 4x106

Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung 14

Reynoldzahl für das durchströmte Rohr Definition Reynoldzahl: ReD=um D / ν für ein durchströmtes Rohr ƒ Volumenstrom V‘=um D2 π /4 ƒ um=mittlere Geschwindigkeit ƒ ReD,krit zwischen 2300 und 50000, technisch ca. 3000 ƒ Anwachsen der Grenzschichtdicke; ab Einlauflänge Le keine Änderung des Geschwindigkeitsprofils mehr (hydraulisch ausgebildete Strömung) Le /D = 0.05 ReD

laminare Strömung: Das Geschwindigkeitsprofil ist im ausgebildeten Zustand parabolisch turbulente Strömung: Das Profil ist in der Rohrmitte flacher und steiler an der Rohrwand ⇒ steigende Wandschubspannung ⇒ steigender Druckverlust

Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung 15

Die hydrodynamischen Grundgesetze viskoser Fluide Fourier‘sche DGL:

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ω& 1 ∂T + + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 λ a ∂t

ƒ stationäre Medien ƒ Konduktion ƒ Herleitung aus den Energiebilanzen

a=

λ ρ ⋅c

Komplexere Zusammenhänge für instationäre Medien: ƒ Energieerhaltung muß die Auswirkungen der Fluidbewegung auf die Energieübertragung über die Oberfläche des Kontrollvolumens enthalten ƒ hinzu kommt die Wärmeleitung ⇒ Die resultierende DGL, die die Basis zur Berechnung der Temperaturverteilung bildet, erfordert die Kenntnis der Geschwindigkeitsverteilung. ⇒ Dazu müssen DGL gelöst werden, die auf der Massen- und der Impulserhaltung basieren.

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Die hydrodynamischen Grundgesetze viskoser Fluide in Form von Differentialgleichungen lassen sich aus den Erhaltungsgleichungen der Thermodynamik für ƒ Masse ƒ Impuls ƒ Energie aus den Bilanzen an infinitesimalen Kontrollvolumina ermitteln.

Das Strömungsverhalten läßt sich über diese Gleichungen beschreiben, sie sind allerdings für komplexe Strömungen nicht analytisch lösbar. Auf der numerischen Lösung diese Gleichungen beruhen kommerzielle Simulationsprogramme zur Berechnung von Strömungsproblemen wie Flotherm oder Icepak („CFD“: Computational Fluid Dynamics).

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Grundgleichungen: Erhaltung der Masse 1. Massenerhaltung

( )

zeitliche Dichteänderung

∂ρ + div ρ u = q ∂t Quellterm

pro Zeiteinheit aus dem Volumenelement ausströmende Masse

⇒ Kontinuitätsgleichung

div u =

∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z

• für ein inkompressibles Fluid (konstante Dichte) • stationäre Strömung • keine Quellen oder Senken in dem betrachteten Kontrollvolumen

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Grundgleichungen: Impulserhaltung – Navier-StokesGleichung 2. Impulserhaltung / Newton‘sche Bewegungsleichung ⇒ Navier-Stokes-Gleichungen (für inkompressible Fluide)

ρ

du = ρ F − ∇p + η ∆ u dt

Trägheitskräfte

Reibungskräfte Druckgefälle

Volumenkräfte; d.h. von außen angreifende Kräfte, die dem Volumen bzw. der Masse proportional sind (z.B. Schwerkraft)

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r du dt

heißt die totale Ableitung von u nach der Zeit

• Für die Änderung einer beliebigen Größe f (t , x, y, z ) die ein sich mit der Geschwindigkeit u bewegendes Teilchen „sieht“, gilt:

( )

df ∂f = + u ⋅∇ f ∂t dt lokale zeitliche Änderung

• Die Konvektionsbeschleunigung

Konvektive Änderung, die daher kommt, daß sich das Teilchen in der Zeit dt an eine andere Stelle bewegt, wo f einen anderen Wert hat.

(u ⋅ ∇)u

ist für die Nichtlinearität der Hydrodynamik verantwortlich. Kleine Abweichungen können sich aufschaukeln und zu „Chaos“ führen (Turbulenzen).

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Navier-Stokes Gleichungen für inkompressible Fluide, stationär:

⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ⎛ ∂u ∂u ∂u ⎞ ∂p ρ ⎜⎜ u + v + w ⎟⎟ = ρ f x − + η ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂y ⎝ ∂x ⎝ ∂x ⎛ ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ⎞ ⎛ ∂v ∂p ∂v ∂v ⎞ ρ ⎜⎜ u + v + w ⎟⎟ = ρ f y − + η ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ∂y ∂y ∂z ⎠ ∂z ⎠ ∂y ⎝ ∂x ⎝ ∂x ⎛ ∂2w ∂2w ∂2w ⎞ ⎛ ∂w ∂p ∂w ∂w ⎞ ρ ⎜⎜ u +v + w ⎟⎟ = ρ f z − + η ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ∂z ∂y ∂z ⎠ x y ∂ ∂ ∂z ⎠ ⎝ ⎝ ∂x Randbedingungen: • An festen Wänden ist die Geschwindigkeit des Fluids Null. • An der Trennungsfläche zweier Fluide sind Geschwindigkeiten sowie Drücke gleich.

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Grundgleichungen: Energieerhaltung 3. Temperaturform der Energieerhaltung

dT = a∆T + q dt Temperaturleitfähigkeit Quellterm (z.B. Reibungswärme)

ƒ Die Gleichung ist wie die „normale“ Wärmeleitungsgleichung, enthält aber aufgrund des konvektiven Teils von dT/dt auch die Möglichkeit eines Wärmetransports. ƒ Stationäre Gleichung ohne innere Quellterme:

⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞ ∂T ∂T ∂T u = a ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ +w +v ∂z ⎠ ∂y ∂z ∂y ∂x ⎝ ∂x

a=

k ρ ⋅c

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Simulation von Wärmeübergangsproblemen: Beispiel Software „Flotherm“

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Hydrodynamisches Ähnlichkeitsgesetz Die vollständige Lösung der Grundgleichungen ist nur in einfachen Fällen möglich. Daher nutzt man oft das Hydrodynamische Ähnlichkeitsgesetz aus. ƒ Zwei Strömungen in geometrisch ähnlichen Anordnungen oder um geometrisch ähnliche Körper (Modellversuche!) sind – im Falle der Inkompressibilität und beim Fehlen äußerer Kräfte – genau dann mechanisch ähnlich, wie sie in den folgenden beiden dimensionslosen Größen übereinstimmen: - Verhältnis von Druck zu Trägheitskräften

- Verhältnis der Trägheitskräfte zu den Reibungskräften L ist eine für die Anordnung charakteristische Länge (etwa ein Rohrdurchmesser)

p ρu 2

( ) ρLu η

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Begründung für das Ähnlichkeitsgesetz: Entdimensionierung der Erhaltungsgleichungen Normierung der Systemvariablen: Längen:

~ x =x/L

Geschwindigkeiten:

u~ = u / u∞

Temperatur:

~ T − T∞ T= TW − T∞

Druck:

~ p=

~ y= y/L

v~ = v / u∞

~ z =z/L

~=w/u w ∞

p ρ ⋅ u∞2

⇒ Erhaltungsgleichungen der Thermofluiddynamik in dimensionsloser Form

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Normierte Erhaltungsgleichungen Kontinuitätsgleichung:

~ ∂u~ ∂v~ ∂w + + =0 ∂~ x ∂~ y ∂~ z Unter Vernachlässigung der Volumenkräfte ergeben sich die Navier-StokesGleichungen in x-Richtung (analog für die y- und z-Koordinaten):

∂u~ ~ ∂u~ ~ ∂u~ ∂~ 1 ⎛ ∂ 2u~ ∂ 2u~ ∂ 2u~ ⎞ p ~ ⎜⎜ ~ 2 + ~ 2 + ~ 2 ⎟⎟ u ~ +v ~ +w ~ = − ~ + ∂x ∂y ∂z ∂x Re L ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Energieerhaltung:

~ ~ ~ 2~ 2~ 2~ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 T T T T T T⎞ ~ ~ ~ ⎜ ⋅ ⋅ ⎜ ~ 2 + ~ 2 + ~ 2 ⎟⎟ u ~ +v ~ +w ~ = ∂x ∂y ∂z Re L Pr ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

Pr =ν / a

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Kennzahlen Erhaltungsgleichungen der Thermofluiddynamik in dimensionsloser Form mit den Kennzahlen: • Reynold-Zahl Re = u∞ ⋅ L = ρ ⋅ u∞ ⋅ L L

(Verhältnis Trägheit zu Reibung)

• Prandtl-Zahl

Pr =ν / a

(Verhältnis Reibung / Wärmeleitung)

• Péclet-Zahl

Pe L =

ν

η

u∞ ⋅ L a

(Verhältnis Trägheit / Wärmeleitung)

• es gilt der Zusammenhang: PeL=Re·Pr ⇒ Ähnlichkeit thermofluiddynamischer Vorgänge: • Geometrie (charakteristische Länge L) • Randbedingung: Freistromgeschwindigkeit (u∞) • Prandtl- und Reynoldzahl • Verhältnis von Druck- zu Trägheitskräften:

~ p=

p ρ ⋅ u∞2 27

Vereinfachte Grenzschichtgleichungen für die Zwangskonvektion ƒ Bei ausreichend hoher Reynoldzahl unterscheidet man in Strömungen eine Kernströmung, die näherungsweise reibungsfrei behandelt werden kann, und eine Grenzschicht, in der Zähigkeitseffekte den Austausch von Impuls, Energie und Stoff wesentlich bestimmen. ƒ Da bei ausreichend hohen Reynoldzahlen die Grenzschicht sehr dünn ist, sind in der Grenzschicht wandnormale Gradienten von Geschwindigkeit oder Temperatur viel größer als Gradienten in Längsrichtung. Daraus resultiert eine wesentliche Vereinfachung der Navier-Stokes Gleichungen.

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Voraussetzungen für die forcierte Konvektion (in x-Richung): Re>>1 ⇒ für die Geschwindigkeit:

δ ( x) > v,

analog gilt für die Temperaturgrenzschicht:

δ th ( x) > , ∂y ∂x

∂u ∂v >> ∂y ∂y

∂T ∂T >> ∂y ∂x

Damit lautet der Satz vereinfachter Grenzschichtgleichungen für den 2-D-Fall:

∂u~ ∂v~ + ~ =0 ~ ∂x ∂y 2~ ~ ~ ~ ∂ ∂ ∂ 1 ∂ u u p u u~ ~ + v~ ~ = − ~ + ∂x ∂y ∂x Re L ∂~ y2 p ∂~ 0=− ~ ∂y ~ ~ 2~ ∂ ∂ 1 1 ∂ T T T ⋅ ⋅ ~2 u~ ~ + v~ ~ = ∂x ∂y Re L Pr ∂y

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Konvektiver Wärmeübergang Ziel: Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten hC ƒ Der Wärmeübergangskoeffizient ist abhängig von der Dicke δ der Grenzschicht: h ~ k/ δ ƒ Bestimmung der Grenzschichtdicke δ - Lösung eines strömungsmechanischen Problems: Verteilung der Geschwindigkeit in der Grenzschicht unter dem Einfluß von Trägheit und Reibung - Lösung eines konduktiv-konvektiven Wärmeproblems ⇒ Ansatz: Ermittlung von Zusammenhängen zwischen Grenzschichtdicken und der Prandtl-Zahl für bestimmte Geometrien und Strömungsarten. Diese lassen sich dann über den Ähnlichkeitsansatz für eine Klasse von Problemen nutzen. ƒ Lösungsansatz: es wird ein dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient (Nußelt-Zahl) bestimmt, der sich über Korrelationen (Kennzahlen: Reynold-Zahl, Prandtl-Zahl) ermitteln läßt. ƒ verschiedene Nußelt-Korrelationen für verschiedenen Geometrien

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Prandtl‘sche Grenzschichttheorie Unterscheidung: Grenzschicht - Kernströmung • hydrodynamische Grenzschicht (Strömungsgrenzschicht) ƒ wandnahe Grenzschicht: Zähigkeits- und Trägheitskräfte ƒ Kernströmung: Trägheitskräfte; Reibung vernachlässigbar • thermische Grenzschicht ƒ in Wandnähe: konvektiver und diffusiver Energietransport ƒ außerhalb: diffusiver Energietransport vernachlässigbar • Grenzschichtnäherungen ƒ zur Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen bei erzwungener Konvektion ⇒ Bestimmung der Geschwindigkeits- und Temperaturprofile in der Grenzschicht

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Beispiel: Strömungsgrenzschicht über einen ruhenden ebenen Platte Geschwindigkeitsprofil u∞

Außenraum δ

y L x Laminare Strömung:

ƒ Unter dem Einfluss der Reibung bildet sich längs der Platte die Grenzschicht aus. ƒ In der Grenzschicht wächst die die Geschwindigkeit des Fluids von Null auf u∞, der Geschwindigkeit des freien Fluids. ƒ In der Grenzschicht fließt des Fluid laminar. Das laminar fließendes Fluid lässt sich in Schichten verschiedener Geschwindigkeiten einteilen, die aneinander vorbei gleiten ƒ Die Dicke der Grenzschicht wächst von Null am Anfang der Platte bis zu ihrem Wert δ am Ende der Platte.

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Bestimmung der Dicke der Strömungsgrenzschicht δ ƒ Die Dicke δ der Grenzschicht lässt sich z.B. durch die folgende (vereinfachte) energetische Betrachtung ermitteln: Geschwindigkeitsprofil u∞

Außenraum τ0

x y

u

δ

L

ƒ Die Reibungskraft F, die das freie Fluid pro Flächeneinheit bei dem Fluss in xRichtung erfährt ist gleich der Schubspannung τ0:

F'=τ0 =η

∆u = η 2u∞ δ ∆y

(gemittelt ) 33

ƒ Die auf der Strecke L dissipierte Energie Eη ist:

E 'η = F '⋅L = 2ηu∞ L δ ƒ Andererseits hat die Grenzschicht nur noch die (mittlere) Geschwindigkeit u∞/2. ƒ Die verlorene kinetische Energie ist also:

E 'kin = 1 2 (ρ δ 2)(u∞ 2 )

2

ƒ Da gilt: E‘kin = E‘η, ergibt sich

2ηu∞ L δ = 1 2 (ρ δ 2 )(u∞ 2 )

2

⇒δ =

32ηL ρu∞

34

ƒ Die genauere Rechnung ergibt statt den Faktor 25 unter der Wurzel

δ=

25ηL ρu∞

ƒ Durch Umformung erhält man:

δ L

=

5 5 = u ∞ Lρ Re

η

ƒ Da bei Platten die Länge L der Relevante Geometrieparameter ist, bezeichnet man Reynoldszahl auch als ReL

Re L = Platte:

Rohr:

u ∞ Lρ

η

δ= δ=

5L Re L 5d Re L 35

Turbulente Strömungen ƒ δ steigt mit dem Abstand vom dem Anfang der Platte. ƒ Wenn aber die laminare Dicke δlam einen bestimmten Wert überschritten hat, bilden sich Wirbel. ƒ Über der laminaren Grenzschicht entsteht eine turbulente Grenzschicht. ƒ Es ergeben sich neue Zusammenhänge zur Bestimmung der Grenzschichtdicke.

Abb.: Polifke / Kopitz: Wärmeübertragung 36

Turbulente Strömungen: kritische Reynoldszahl ƒ Wegen des Ähnlichkeitsgesetzes gibt es eine kritische Reynoldszahl, bei der der Umschlag in turbulente Strömung erfolgt. ReL,krit ≈ 3 105 ƒ Bei vorgegebener Geschwindigkeit und Fluidparameter entspricht dem eine kritische Länge Lkrit und damit auch eine kritische laminare Dicke δlam,krit

Lkrit

Re 2L ,krit η 2 = u∞ ρ

δ lam ,krit =

5 Lkrit Re L ,krit

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Exkurs: Entstehung von Wirbeln ƒ Generell treten Wirbel dort auf, wo die Strömung gegen steigenden Druck anlaufen muss, d.h. wo die Stromlinien sich erweitern ƒ Dieses passiert zum Beispiel nach dem Umströmen von Hindernissen. ƒ Die wandnahen Fluidteilchen haben nicht genügend kinetische Energie, um vorwärtszuströmen. Die Teilchen fließen zurück. ƒ Reibung ist also für die Entstehung von Wirbeln entscheidend.

Beispiel: Umströmung eines Rohrs

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Beispiel: Strömung im Rohr ƒ Beim Eintritt des Fluids in das Rohr bildet sich zunächst eine laminare, u.U. auch turbulent werdende Grenzschicht aus. ƒ Erfüllt diese Grenzschicht das ganze Rohr, so spricht man von voll ausgebildeter laminarer (bzw. turbulenter) Strömung.

39

ƒ Die Bedingung für Turbulenz im Rohr ist:

d > δ lam ,krit 2 ƒ Bei voller Ausfüllung des Rohres bildet sich dann eine turbulente Grenzschicht aus. ƒ Für Rohre ist daher der Durchmesser d der relevante Geometrieparameter. ƒ Ebenso muss hier wegen des Geschwindigkeitsprofils u = u∞/2 gesetzt werden. ƒ Also:

Re d =

udρ

η

ƒ Eine Näherung für Red,krit erhält man durch die Verwendung der Ausdrücke für die ebene Platte:

Re d ,krit ≈ 2500

40

Die Temperaturgrenzschicht ƒ Analog zur Strömungsgrenzschicht definiert man ein Temperaturgrenzschicht. ƒ Die Temperaturgrenzschicht hat die Dicke δT ƒ Bei Kühlung fällt innerhalb der Temperaturgrenzschicht die Temperatur von TS (Oberflächentemperatur) auf T∞ (Umgebungstemperatur)

T∞ y

TS x

δT

Oberfläche A

Die Prandtlzahl gibt das Verhältnis von Geschwindigkeits- zu Temperaturprofil an, es gilt:

δT = 3

δ

Pr

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Ausnutzen der Ähnlichkeitsgesetze zur Bestimmung des Übergangskoeffizienten dQkonv dQS ∂T = = − k Fluid ⋅ A⋅ ∂y dt dt

= hC ⋅ AS ⋅ (TS − T∞ ) y =0

ƒ Wegen des hydrodynamischen Ähnlichkeitsprinzip reicht es, den gesuchten Wärmeübergangskoeffizienten hC für typische Geometrien zu berechnen oder experimentell zu bestimmen. ƒ Den Wert für die spezielle Situation gewinnt man durch Skalierung.

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Ausnutzen der Ähnlichkeitsgesetze: NußeltKennzahl ƒ Der dimensionslose Wärmeübergangskoeffizient heißt Nußelt-Zahl:

Nu x =

hC x , k fluid

⎛ Nu ⎞ also hC = ⎜ x ⎟k fluid ⎝ x ⎠

ƒ x ist ein Geometrieparameter: - Platte:

x = L (Länge der Platte)

- Rohr:

x = d (Durchmesser des Rohrs)

ƒ Bei einer beliebig geformten durchströmten Struktur ist x der so genannte hydraulische Durchmesser dh.

dh =

4× Querschnitt A benetzter Umfang

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Hydraulischer Durchmesser dh: Beispiele dh =

a

dh = a

4× Querschnitt A benetzter Umfang

a b dh =

a

D n

d

2ab a+b

D 2 − nd 2 dh = D + nd

44

Ableitung der Nußelt-Zahl aus der Grenzschichttheorie Temperatur – Randbedingungen: Wandtemperatur TS ƒ Bei den folgenden Überlegungen wir von einer konstanten Wandtemperatur ausgegangen. ƒ Bei einer veränderlichen Wandtemperatur stellen die durch die obige Annahme gewonnenen Werte untere Grenzwerte dar. Umgebungstemperatur T∞ ƒ Bei einer inneren Strömung (z.B. im Rohr) ist T∞ nicht konstant, sondern steigt in Flussrichtung. ƒ Die über einen Querschnitt gemittelte Temperatur wird die Bulktemperatur TB genannt.

y

TB(x2)

x

TB(x1)

45

Beispiel ebene Platte ∆T = TB ( x2 ) − TB ( x1 )

Wärmetransport: Wärmestrom parallel zur ebenen Platte:

dM dt C

dQm dM = C∆TB dt dt ƒ Bei laminarer Strömung kann man annehmen, dass der Wärmetransport senkrecht zur Platte über Wärmeleitung durch die Temperaturgrenzschicht erfolgt. ƒ Die Wärmeabfuhr durch die Strömung dient dazu, die Temperaturdifferenz aufrecht zu erhalten.

Massenstromstärke spezifische Wärme

dQm dt

δT

dQK dt

46

Temperatur- und Strömungsgrenzschicht δu∞ T∞

u∞

δT um,T

L/2

L

ƒ Die Breite der Temperaturgrenzschicht ist im Mittel δT/2. ƒ Dann ist:

T −T dQK = L ⋅ b ⋅ k fluid ⋅ 2 S ∞ δT dt

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Berechung des Wärmestroms parallel zur Platte (dQm/dt) ƒ Das Fluid erwärmt sich in der Grenzschicht im Mittel um:

∆T =

TS − T∞ 2

ƒ Für die mittlere Strömungsgeschwindigkeit in der thermischen Grenzschicht um,T gilt:

um ,T u∞

δT

= 2

δ

⇒ um ,T =

δ T ⋅ u∞ 2δ

ƒ Die Massenstromstärke in der Grenzschicht ist dann:

δ dM = b ⋅ T ⋅ um ,T ⋅ ρ 2 dt

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Wärmestromgleichung der Temperaturgrenzschicht ƒ

Die pro Zeiteinheit abgeführte Wärmemenge Qm:

dQm dM = C∆T dt dt T −T 1 δ δ u u = b T T ∞ ρ C S ∞ = bδ T2 ∞ ρC (TS − T∞ ) 2 2 δ 2 8 δ ƒ

Setzt man die Wärmemengen Qk und Qm pro Zeiteinheit gleich, erhält man die Wärmestromgleichung der Temperaturgrenzschicht:

T −T 1 δ T2 u∞ (TS − T∞ ) = a S ∞ 16 δ ⋅ L δT ƒ

k = a Temperaturleitfähigkeit (ρ ⋅ C )

Hieraus ergibt sich die folgende Abhängigkeit der thermischen Grenzschicht von der Strömungsgrenzschicht:

δ T3 =

16 δ L a u∞

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Die kinematische Viskosität ƒ Man setzt nun:

δT δ

X= ƒ Dann wird aus:

δ T3 =

16 δ L a u∞



X 3δ 3 =

16 δ L a u∞



X3 =

16 L a δ 2 u∞

ƒ Bei der Berechnung der Strömungsgrenzschicht der ebenen Platte hatten wir erhalten:

δ =5

L Re L

ƒ Den Quotienten ν =

mit

Re L =

u ∞ Lρ

η

η [m²/s] bezeichnet man als „kinematische Viskosität“ ρ

50

Die Prandtlzahl ƒ Mit der kinematischen Viskosität ν kann die Dicke δ der Strömungsgrenzschicht auch beschrieben werden durch:

δ2 =

25 ν L u∞



X3 =

16 a 25 ν



X = 0,863

a

ν

≈3

a

ν

ƒ Das Verhältnis von ν zu a heißt Prandtlzahl

Pr =

ν

⎛ ηC⎞ ⎜= ⎟ Prandtlzahl k ⎝ ⎠

a

(Materialkonstante) ƒ Die Prandtlzahl gibt das Verhältnis von Geschwindigkeits- zu Strömungsprofil an, da gilt:

δT = 3

δ Pr

51

Pr

Verhältnis der Strömungsprofile

Materialien

1

δ > δT

Flüssigkeiten

Temperatur °C

Prandtlzahl

27

0,707

127

0,694

20

7,02

40

4,34

60

3,02

Prandtlzahlen für Luft und Wasser:

Luft

Wasser

52

Die Nußeltzahl für die ebene Platte ƒ Mit Hilfe der Reynolds- und der Prandtlzahl läßt sich die Nußeltzahl für die ebene Platte bei rein laminarer Strömung angeben:

Nu L =

L

δT

; δT =

δ 3

Pr

; δ =5

L Re L

⇒ Nu L = 0,2 Re L 3 Pr

ƒ Mit einer genaueren Rechnung erhält man: - Lokal

Nu x ,lam = 0,332 Re x 3 Pr

- Über die Platte gemittelt

Nu L ,lam = 0,664 Re L 3 Pr

ƒ Allgemein gilt oft der Zusammenhang:

Nu L = C ⋅ Re n Pr m

53

Beispiel: Ebene Platte, turbulente Strömung

ƒ Für die laminare Unterschicht gelten dieselben Betrachtungen wie oben. ƒ Der Einfachheit halber stellen wir uns Pr=1 vor; der laminaren Strömungsschicht entspricht dann eine gleich große laminare Temperaturgrenzschicht – die Aussagen gelten aber allgemein. ƒ In der turbulenten Schicht vergrößert der Impulsaustausch der Wirbelballen den Wärmetransport erheblich.

54

Turbulenzen:„scheinbare“ Leitfähigkeit, Viskosität, Nußeltzahl ƒ Turbulenzen führen zu einem zusätzlichen Massentransport in dem Fluid. Dieser zusätzliche Massentransport kann durch eine zusätzliche „scheinbare“ Leitfähigkeit εK berücksichtigt werden. ƒ Die scheinbare Leitfähigkeit wird zur Temperaturleitfähigkeit addiert:

dqC ∆T − ∆Tlam = ρ C (a + ε K ) dt δ T ,turb − δ T ,lam ƒ Auch die kinematische Viskosität ν erhöht sich durch die Turbulenzen um die Wirbelviskosität εν auf ν + εν. Es gilt:

εk ≈1 εν ƒ Man erhält damit für die Nußeltzahl bei Turbulenzen:

Nu L ,turb = 0,037 Re 0L,8 Pr 0, 48

5 ⋅105 < Re L < 107 0,6 < Pr < 100

55

Beispiel: Laminare und turbulente Rohrströmung

ƒ Laminare Strömung (voll ausgebildete hydrodynamische und thermische Strömung, d.h. Rohrlänge größer als die Einlauflänge):

Nu d ,lam

d⎞ ⎛ = h ⎜ C ⎟ = 3,66 k⎠ ⎝ = 4,36

für TS = const für

dQ C = const dt

ƒ Turbulente Strömung: Es gilt die folgende Näherungsformel (sowohl für konstante Wandtemperatur als auch für konstanten Wärmefluss):

Nu d ,turb = 0,023 Re 0d,8 Pr 0, 4

0,7 < Pr < 160 Re d > 6000

56

Nußeltzahlen für voll entwickelten laminaren Fluss in Rohren unterschiedlichen Querschnitts Nu dQC/dt = const

Nu TS = const

4,364

3,66

1,0

3,61

2,98

a

2,0

4,12

3,39

a

4,0

5,33

4,44

8,0

6,49

5,60

Querschnitt

b/a

a a b b b

a

57

Beispiel: Chip ƒ Welche Leistung kann ein 5 x 5 mm² Chip dissipieren, wenn es mit Luft in erzwungener Konvektion gekühlt wird?

Luft: 2,5 m/s; 27°C A = 5 x 5 mm² 29,5 mm

Chip

Tmax=85°C

Substrat

58

Beispiel: Vorgehensweise ƒ Ziel: Bestimmung des lokalen Wärmeübergangskoeffizienten hc. ƒ Für die Bestimmung von hC benötigen wir die Nußeltzahl. ƒ Frage: laminare oder turbulente Nußeltzahl? ƒ Bestimmung der Strömungsart über die lokale Reynoldszahl. ƒ Benötigte Materialparameter von Luft (27°C, normaler Luftdruck): Materialparameter

Wert

Einheit

Dichte ρ

1,1614

kg/m³

Viskosität η

1,84 10-5

Ns/m²

Wärmeleitfähigkeit k

0,026

W/mK

Prandtlzahl

0,707

59

Beispiel Chip: lokale Reynoldszahl, lokale Nußeltzahl ƒ Die lokale Reynoldszahl (x = 29,5 mm) für die ebene Platte ist:

Re x =

u∞ xρ

η

2,5 ⋅ 29,5 ⋅1,1614 10 −3 = ⋅ −5 = 4,7 ⋅103 1,84 10

ƒ Kriterium für turbulente Strömung: Rex > 3 105 ⇒ laminare Strömung am Chip ƒ lokale Nußeltzahl:

Nu x ,lam = 0,332 Re x 3 Pr = 0,332 4,7 ⋅10³ 3 0,707 = 20,3 ƒ Wärmeübergangskoeffizient:

hC = Nu x ,lam

[

k 0,026 = 20,3 = 17,9 W / m 2 K x 0,0295

] 60

Beispiel Chip: maximal abführbare Wärmestrom Damit folgt für den maximal abführbaren Wärmestrom (die Verlustleistung des Chips):

dQC 2 = hC A∆T = 17,9(0,005) (85 − 27 ) = 0,026 W dt Mögliche Verbesserungen: ƒ Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit ƒ Erhöhung der Fläche (Kühlrippen) ƒ Immersionskühlung (Chip eingetaucht in Verdampfungsmittel)

61

Einfluss der Rauhigkeit auf die Strömung ƒ Bei laminarer Strömung ergibt sich durch die Rauhigkeit der Rohrwände keine Veränderung des Wärmeübergangs. ƒ Bei turbulenter Strömung ragen die „Spitzen“ in die besser leitende turbulente Schicht hinein. ƒ Auch die Module auf einer Baugruppe können als Rauhigkeit betrachtet werden.

62

5.4.2 Freie Konvektion ƒ Wird die Strömung nicht „von außen“ (Pumpen), sondern durch die Erwärmung selbst erzeugt, so spricht man von freier oder natürlicher Konvektion.

y

Geschwindigkeitsprofil Temperaturprofil

α

∂T ∂y

y =0

„heiße“ Platte Gewichtskraft

63

ƒ Durch die Erwärmung dehnen sich die wandnahen Fluidschichten aus ƒ Dadurch vermindert sich die Dichte dieser Schichten und eine Auftriebskraft entsteht:

F ' = ∆ρg

(g ist die Erdbeschleungigung )

ƒ Eine – allerdings pauschale und stark vereinfachte – Energiebetrachtung liefert

∆ρgL = K

ρ 2

um2

Potentielle Energie

Kinetische Energie (K: Reibungsverlust, aus Versuchen K=5)

∆ρgL = 2,5 ρu m2

64

Grashofzahl ∆ρgL = 2,5 ρu m2 ƒ Erweitert man die Gleichungen mit L2/ν2, um auf der rechten Seite eine Reynoldszahl zu erhalten, ergibt sich:

∆ρ

um2 L2 L3 g = 2,5 2 ρ ν 2 / ρ2 ν

(gültig für 0,5 < Pr < 50)

ƒ Den Ausdruck auf der linken Seite nennt man Grashofzahl.

gL3 Gr =

ρ∞ − ρ ρ ν2

ƒ Sie gibt das Verhältnis von Auftriebs- zu Reibungskräften an und stellt eine Art Reynoldszahl für die freie Konvektion dar.

Gr = 2,5 Re 2L

65

ƒ Die Grashof-Zahl kann über den thermischen Ausdehnungskoeffizienten β bestimmt werden. β koppelt in linearisierter Form Dichte- und Temperaturänderungen:

β ≡−

Grx =

1 ⎛ ∂ρ ⎞ 1 (ρ ∞ − ρ ) ⎜ ⎟ ≈ ρ ⎝ ∂t ⎠ p ρ (T − T∞ ) gx 3 β (TS − T∞ )

ν

2

Gr =

gL3 β (TS − T∞ )

ν2

ƒ Bei der freien Konvektion hängt die Nußelt-Zahl Nu von der Grashof- und der Prandtl-Zahl ab Nu=f(Gr,Pr) ƒ Bei bekannter Grashofzahl ergibt sich also die Reynoldszahl. Damit ist es z.B. möglich, die Gleichungen der Plattenströmung zu verwenden.

66

Rayleigh-Zahl ƒ Verwendet man die Gleichung zur Bestimmung der Nußeltzahl aus der Reynoldszahl, so erhält man nach einem „Fitting“ an empirische Messwerte:

Nu L ≈ 0,5(Gr Pr )

14

ƒ Das Produkt Gr Pr wird Rayleigh-Zahl (Ra) genannt. ƒ Man setzt oft:

Nu = c(Ra )

n

und bestimmt c und n empirisch. ƒ Die kritische Rayleigh-Zahl bei freier Konvektion gibt den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung an. Es gilt Rax,krit≅109

67

Rechengang bei freier Konvektion Vorgehensweise zur Bestimmung des Wärmeübergangs bei freier Konvektion: Bestimmung der Grashofzahl Gr Prandtlzahl Pr als Stoffkonstante des Fluids Rayleighzahl Ra = Gr ·Pr (Entscheidung laminar oder turbulent) Bestimmung der mittleren Nußeltzahl =f(Ra) mit Korrekturfaktoren für bestimmte Geometrien ƒ analog zur Zwangskonvektion kann über die Nußelt-Zahl der mittlere Wärmeübergangskoeffizient hc (=Nu · L/k) bestimmt werden

ƒ ƒ ƒ ƒ

68

Kenndaten: Natürliche Konvektion

R. Tummala: Fundamtentals of Microsystems Packaging

69

Kenndaten: Zwangskonvektion

R. Tummala: Fundamtentals of Microsystems Packaging

70

Erzwungene und freie Strömungen ƒ Sind erzwungene und freie Strömung überlagert, so muss das Verhältnis

Ar =

Gr 2 Re erzw

betrachtet werden. ƒ Dieses Verhältnis wird die Archimedeszahl (Ar) genannt. Ar > 0,225

Nur erzwungene Strömung

0,225 < Ar < 10

beides

Ar > 10

Nur freie Strömung

ƒ Die Reynoldszahl ergibt sich als geometrisches Mittel aus der erzwungenen und der freien Reynoldszahl. ƒ Mit ihr können dann die normalen Plattengleichungen verwendet werden.

71

5.5 Wärmestrahlung Wärmestrahlung: Austausch von Wärme zwischen Körpern unterschiedlicher Temperatur durch elektromagnetische Strahlung im Wellenängenbereich von 0,1 – 1000µm (sichtbares Licht und Infrarot) ƒ Jeder Körper sendet Strahlen entsprechend seiner Temperatur und Oberflächenbeschaffenheit aus ƒ Den möglichen Höchstbetrag an Strahlung liefert ein schwarzer Körper. ƒ Es gilt: Emissionsverhältnis (ε) = Absorptionsverhältnis (α) ƒ ε hängt von der Wellenlänge ab (auch von der Temperatur und Abstrahlwinkel) und wird daher meist als Mittelwert angegeben. ƒ Typische Werte schwanken zwischen 0,02 (poliertes Gold, Silber, Kupfer) bis > 0,97 (matter schwarzer Lack, Eis mit rauem Reifbelag).

72

Energieverteilung in Abhängigkeit von λ ƒ Durch das Planck‘sche Strahlungsgesetz beschriebene Energieverteilung der schwarzen Strahlung. ƒ Die durch die Strahlung bewirkte Wärmestromdichte ergibt sich durch Integration über alle Wellenlängen zu:

dq = σT 4 (Stefan - Boltzmann) dt σ = 5,67 ⋅10 −8 W m 2 K 4

(

)

ƒ Bei 100°C ist:

dq = 0,1W cm 2 dt

73

Der Wärmeübergangskoeffizient hStr ƒ Definition eines Wärmeübergangskoeffizienten hStr analog zum Newton-Gesetz. ƒ Für den Wärmeübergangskoeffizienten hStr muss auch berücksichtigt werden, dass der Körper von der Umgebung Strahlung absorbiert. ƒ Um abzuklären, ob der Strahlungsanteil bei einem gegebenen Körper ins Gewicht fällt, nimmt man ε=1 an und benutzt die folgende obere Abschätzung:

hStr = 4 σ Tm3 = 2,3 ⋅10 −7 ⋅ Tm3 wobei Tm =

und

1 (TKörper + TUmgebung ) 2

dq = hStr (TKörper − TUmgebung ) dt

74

Bedeutung der verschiedenen Wärmeübertragungsmechanismen Strahlung eines schwarzen Körpers bei 100°C: 0,05 W/cm³ Kühlmittel

Maximaler Wärmeübergangskoeffizient hmax [W/(cm²K)

Mechanismus

Luft von 1 – 3 atm Fluorchemischer Dampf Transformatorenöl Fluorchemische Flüssigk.

0,002 0,01 0,02 0,03

Natürliche Konvektion

Luft von 1 – 3 atm Fluorchemischer Dampf Transformatorenöl Fluorchemische Flüssigk. Wasser

0,01 0,1 0,15 0,2 0,6

Erzwungene Konvektion

Fluorchemische Flüssigk. Wasser

0,6 3,0

Sieden

75

O. Wittler, Fraunhofer IZM 76

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