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11.

ANALISIS DE MAQUINAS SECUENCIALES SINCRONICAS

Dada una red secuencial sincrónica se desea obtener su diagrama de estados. Y a partir de éste, inferir el funcionamiento de la máquina. En el esquema general, se ilustran los elementos de memoria como flip-flops JK.

Red Combinacional

x

z Y

y Qi Qi

Ji Ki

reloj

Figura 11.1. Esquema máquina secuencial empleando flip-flops JK K El estado actual y (k) es sostenido en las salidas Qi de los flip-flops, durante el intervalo k. K K En este intervalo, se generan z (k) e Y (k). Estas últimas se llevan a las entradas de los flip-flops. De tal K manera que en el instante (k +1) las salidas de los flip-flops, que memorizan el estado, dependen de Y (k). Para esto es indispensable que las entradas a los flip-flops sean estables en el momento de aplicar el canto del reloj que efectuará la conmutación, o cambio de estado (pasar del intervalo k al intervalo k+1). K K K K Las ecuaciones: Ji = fi( y , x ) y Ki = gi( y , x ), se denominan: Programas de los flip-flops, o ecuaciones de excitación de éstos. Las representaciones de estas ecuaciones en un mapa de Karnaugh se denominan: Matrices de Programación.

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11.1. Método de análisis tabular El siguiente esquema muestra el proceso: Programas de flip-flops

Matrices de programación x

K K Ji = fi( y , x ) K K Ki = gi( y , x )

y J i, K i

Tablas características

Tabla de transiciones x

Ji

Ki

0 0 1 1

0 1 0 1

Qi (k+1) = yi(k+1)

y (k)

yi 0 1 yi'

y(k+1)

Figura 11.2. Esquema análisis tabular Para cada par Ji , Ki de la matriz de programación, mediante la tabla característica, se encuentra el próximo estado yi(k+1) asociado. Se reemplaza el par J,K por el valor del próximo estado y(k+1). A partir de la tabla de transiciones, resulta sencillo dibujar el diagrama de estados.

11.2. Método analítico. Las ecuaciones de los programas de los flip-flops, se reemplazan en las ecuaciones características de los flip-flops: yi(k+1) = Ji y'i + K'i yi De esta forma se eliminan las variables Ji y Ki , quedando: yi(k+1) = fi (yi(k), xi (k)) que se pueden dibujar en un mapa de Karnaugh, formando de esta manera la tabla de transiciones.

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11.3. Ejemplo método tabular Se tiene el siguiente esquemático: Clk

clk

CP1Q1 CP2

x Data 8 Seq 7

A

6 5 4 3 22 1

CP1 CP2

J CP K

S

Q _ Q

A

R

1 Reset

B

xx

J CP K

S

B

Q _ Q

R

z C

J CP K

S

Q __ QQ

C

R

Figura 11.3. Ejemplo de máquina secuencial empleando flip-flops JK Nótese que se tiene una señal de reset común para los tres flip-flops. Esto implica que el estado inicial será el 000. Los cambios ocurren con el canto de subida del reloj. Se indica un generador de una secuencia temporal de valores de la entrada x. La cual también es una secuencia sincrónica con el mismo reloj (clk) del sistema. Leyendo las ecuaciones de las entradas de los flip-flops, directamente del esquemático, se obtienen:

J A = ( B C + B x); K A = B J B = ( AB + BC ); K B = B J C = Ax; K C = B + x

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Para obtener la matriz de programación del flip-flop A: Se debe establecer JA y KA para cada combinación posible del estado presente y la entrada. Se procede en forma análoga para los flip-flops B y C. Se obtienen las siguientes matrices de programación: x ABC 000 001 011 010 110 111 101 100

x 0

1

10 10 01 01 01 01 10 10

00 10 01 01 01 01 10 00

x

ABC 000 001 011 010 110 111 101 100

J , K A A

0

1

00 10 01 01 01 01 10 10

00 10 01 01 01 01 10 10

ABC 000 001 011 010 110 111 101 100

J , K B B

0

1

01 01 01 01 01 01 01 01

10 10 11 11 01 01 00 00

J , K C C

Figura 11.4. Matrices de Programación Usando la tabla característica del flip-flop JK se logra, la matriz de transiciones: x ABC

0

000 001 011 010 110 111 101 100

100/0 110/0 000/0 000/0 000/0 000/0 110/0 110/0

1 001/0 111/0 000/1 001/0 000/0 000/1 111/0 110/0

A(k+1) B(k+1) C(k+1)/z

Figura 11.5. Matriz de transiciones ejemplo 11.3. Para todas las ocurrencias de J, K igual a 1,0 se coloca un 1 en la columna correspondiente. Se coloca 0 para J, K igual a 0,1. Para J, K igual a 0,0, se coloca el valor actual de la variable en la columna correspondiente. Para J, K igual a 1,1, se coloca el valor complementado de la variable actual en la columna correspondiente. Si colocamos la cifra decimal equivalente del nombre binario del estado se logra, la matriz de transiciones, empleando nombres simbólicos para los estados:

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3

Estado actual

0/0

x

0 1 3 2 6 7 5 4

2 0/0

1/1

0

1

4/0 6/0 0/0 0/0 0/0 0/0 6/0 6/0

1/0 7/0 0/1 1/0 0/0 0/1 7/0 6/0

0

1/0 1/0

0/0

1/0 φ/0

4 φ/0

1/0

0/0

Estado próximo/z

1/1

1

6

0/0

7 0/0

1/0 5

Figura 11.6. Diagrama de estados ejemplo 11.3 Y de esta matriz se obtiene el diagrama de estados. Se observa que los estados 2, 3 y 5 sólo pueden ser estados iniciales y no participan de la naturaleza secuencial del resto. Si no se dibujan, resulta: Con estado inicial igual a cero, puede concluirse: 0

0/0

0/0

1/0

4

1/1

1

φ/0

1/0

φ/0

0/0 6

Reconocedor de secuencia de largo fijo, igual a 3; en recorrido fijo. Analiza cada 3 bits de la secuencia, si ésta es 111, genera un uno en la salida. Cero en el resto de los casos.

7

Figura 11.7. Diagrama de estados reducido. También puede describirse en forma declarativa:

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X | A ← A B + A B C; B ← A B + A B C; C ← A B + A B C + A B C; z ← BC X | A ← B;

B ← A B + A B C; C ← 0;

z←0

Leyendo directamente de la tabla de transiciones. Las variables a la izquierda de las asignaciones o transferencias, son el próximo estado, para la condición dada.

11.4. Ejemplo método analítico. Las siguientes ecuaciones se obtienen del esquemático del ejemplo 11.3.:

J A = ( B C + B x); K A = B J B = ( AB + BC ); K B = B J C = Ax; K C = B + x Para los flip-flops JK se tienen las siguientes ecuaciones características:

A(k + 1) = J A A + K A A B (k + 1) = J B B + K B B C (k + 1) = J C C + K C C Donde se han reemplazado las salidas Q de los flip-flops, por las variables de estado: A, B y C. Eliminando las variables J y K de los tres flip-flops se obtienen:

A(k + 1) = ( B C + B x) A + B A B (k + 1) = ( AB + BC ) B + BB C (k + 1) = AxC + ( B + x ) C Las ecuaciones anteriores permiten obtener directamente la matriz de transición:

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x ABC

0

000 001 011 010 110 111 101 100

100/0 110/0 000/0 000/0 000/0 000/0 110/0 110/0

1 001/0 111/0 000/1 001/0 000/0 000/1 111/0 110/0

A(k+1) B(k+1) C(k+1)/z

Figura 11.8. Matriz de transiciones, empleando método analítico. Que resulta ser igual a la obtenida antes, por el método tabular. Luego se continua en forma similar.

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11.4.1. Análisis empleando método analítico. Analizar máquina secuencial descrita por: z1 x

M.S.S.

z2 z3

Clk

Figura 11.9. Entradas y salidas de máquina secuencial. J 1 = xy 2 ;

K1 = x

z1 = y 1 ⋅ y 2

J 2 = xy1 ;

K2 = x

z 2 = xy1 y 2 z 3 = y1y 2

Solución: Las ecuaciones de los flip-flops:

Y1 = J 1 y1 + K 1 y1 Y2 = J 2 y 2 + K 2 y 2 Reemplazando las ecuaciones de programación de los flip-flops en las ecuaciones anteriores, resultan: Y1 = xy 2 y1 + xy1 Y2 = xy1 y 2 + xy 2 Que puede escribirse según una tabla de transiciones: y1 0 0 1 1

y2 0 1 1 0

x 0 1 00 01 01 10 11 00 10 00 Y1Y2

Figura 11.10. Tabla de transiciones ejemplo 11.4.1

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Para las salidas se tiene: x 0 1 y1 y2 00 100 100 01 000 000 11 001 001 10 000 010 z1 z2 z3

Figura 11.11. Ecuaciones de salidas. Con la siguiente asignación de estados, en la que se emplea como nombre lógico el equivalente decimal del nombre físico o binario: x 0 1 0 1 1 2 3 0 2 0 Est. próximo

Estado 0 1 3 2

Figura 11.12. Asignación de estados Se obtiene el siguiente diagrama de estados: 0/100

1/100

0 1/001

0/000 1 1/100

x/z1z2z3

1/010 0/001

3

2

0/000

Figura 11.13. Diagrama de estados de Mealy ejemplo 11.4.1. • El estado 3 sólo puede ser estado inicial. • La salida z3 indica que se está en estado 3. • La salida z1 indica que se está en estado 0.

Si se parte de estado cero, se cuentan 3 pulsos de la entrada y se lo indica en salida z2 mediante un pulso. Debido a que z2 depende de x, se modeló mediante una máquina de Mealy.

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11.5. FRECUENCIA MÁXIMA DE OPERACIÓN DEL RELOJ DE UNA MÁQUINA SINCRÓNICA Para un flip-flop sincronizado por cantos de bajada: Red Combinacional

J K

Q

tp

reloj tf

Figura 11.14. Definición de tiempos de propagación. a) Se puede calcular el retardo de propagación, a través de los circuitos combinacionales, por la vía más larga. Es decir, por aquella vía de realimentación que produzca el mayor retardo, está vía suele denominarse ruta crítica. Sea este tiempo: tp. b) Desde el canto de bajada del reloj, hasta que la salida de un flip-flop cambie de estado, se tiene el tiempo de propagación en el flip-flop. Sea este tiempo: tf. c) Se tiene además el tiempo de setup, tsu, que es aquel durante el cual las entradas de los flip-flops no deben cambiar, antes del canto. d) El período del reloj puede cambiar debido a que la frecuencia puede experimentar variaciones por temperatura. También la señal del reloj en diferentes puntos del circuito puede tener variaciones por el tiempo de propagación a través de los cables. Sea el máximo tiempo de variación tskew. Si tenemos un reloj:

t0

t1

t

Figura 11.15. Ciclos del reloj La condición c implica que: t1 > tsu Por las condiciones a, b, c y d, se debe cumplir: to + t1 > tf + tp+ tsu+ tskew. Asegurando que mientras el reloj esté alto y si las entradas no cambian en este intervalo, el flip-flop funcionará confiablemente. Entonces el período mínimo del reloj, debe cumplir: Obteniéndose una frecuencia máxima:

Tmín = tf + tp + tsu+ tskew. f máx =

1 t f + t p + t su + tskew

Algunos valores típicos, de la familia TTL: tf =20 ns ; tsu =20 ns ; tp =15 ns que dan frecuencias de operación menores que 18 [Mhz] sin considerar tskew.

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12. SÍNTESIS DE MÁQUINAS SECUENCIALES SINCRÓNICAS A PARTIR DEL DIAGRAMA DE ESTADOS El problema que deseamos resolver es obtener el esquemático de una red secuencial que emplee flipflops, a partir del diagrama de estados (reducido y con asignación de estados).

12.1. Procedimiento síntesis tabular A partir de la tabla de transiciones, con la ayuda de la tabla de excitaciones de los flip-flops, se obtienen las matrices de control de los flip-flops. Y mediante éstas, se determinan los programas de los flip-flops. Esquemáticamente: x(k)

Matriz de control G x

y(k)

y(k+1)

Q(k)

Q(k+1)

JK

Programas

G G Ji = f( y, x )

G y

JJi,i, kKi i

G G Ki = g( y, x )

Figura 12.1. Esquema general de síntesis

En el esquema anterior se ilustra, empleando flip-flops de tipo JK. Pero se procede en forma similar si los flip-flops son de otro tipo.

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12.2. Procedimiento síntesis analítico Se escriben las ecuaciones características de los flip-flops; y se escriben las ecuaciones de próximos estados, a partir de la tabla de transiciones. Por comparación de coeficientes se determinan los Ji y Ki si se emplean flip-flops de este tipo. Resumen de las tablas de excitaciones para diversos flip-flops. Q(k) Q(k+1) D J K T 0 0 0 0 X 0 0 1 1 1 X 1 1 0 0 X 1 1 1 1 1 X 0 0

S 0 1 0 X

R X 0 1 0

Figura 12.2. Tablas de excitaciones para diferentes flip-flops. Luego se verán las flip-flops SR, cuyas tablas se indican al final.

12.3. Ejemplos. Ejemplo 12.3.1 Para el detector de secuencia 110 cada vez que se presente, se tiene: 1/0

1/0 0/0

1/0 START

Estado 1

Estado 0 0/0

reset

0/1

Figura 12.3. Detector de secuencia 110. Con la siguiente asignación de estados, se obtiene la matriz de transiciones: Estado Start Estado 0 Estado 1

Q1 0 0 1

Q0 0 1 1

Q1 0 0 1 1

Q0 0 1 1 0

x 0 1 00/0 01/0 00/0 11/0 00/1 11/0 xx/x xx/x Q1+Q0+/z

Figura 12.4. Asignación de estados y matriz de transiciones. Notar la elección de condiciones superfluas para el estado 10, que no se emplea en el diseño. Se escogió el estado de start como el 00, para simplificar el diseño de la señal reset; en este caso basta activar la señal clear asincrónico del flip-flop que se emplee para lograr la función reset.

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La elección de condiciones superfluas simplifica las redes combinacionales que efectúan los programas de los flip-flops.

Procedimiento tabular empleando flip-flops Ds: Usando la tabla de transiciones de flip-flops Ds, se logra:

Q1 0 0 1 1

Q0 0 1 1 0

x 0 1 00 01 00 11 00 11 xx xx D1D0

Figura 12.5. Programas de flip-flops D Con programas: D1 = Q0 x D0 = x

Método analítico empleando flip-flops Ds: De la matriz de transiciones se tiene: z = Q1 x' Q0+ = x Q1+ = Q0 x De los flip-flops Ds: Q1+ = D1 Q0+ = D0 Y comparando coeficientes se logra igual resultado.

Procedimiento tabular empleando flip-flops JKs: Empleando flip-flops JK, de la matriz de transiciones se tienen: Q1 0 0 1 1

Q0 0 1 1 0

x 0 1 0∅ 0∅ 0∅ 1∅ ∅1 ∅0 ∅∅ ∅∅ J1K1

Q1 0 0 1 1

Q0 0 1 1 0

x 0 1 0∅ 1∅ ∅1 ∅0 ∅1 ∅0 ∅∅ ∅∅ J0K0

Figura 12.6. Programas de flip-flops JK Resultan: J1 = Q0 x ; K1 = x' ; J0 = x ; K0 = x' Notar que K1 también se podría haber expresado como: K1 = x' +Q0'

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Método analítico empleando flip-flops JKs: De la matriz de transiciones, y aplicando el teorema de expansión, para tener presente la variable correspondiente de cada ecuación, se logra: z = Q1 x' Q1+ = Q0 x = Q0xQ1' + Q0xQ1 (se expande en Q1) Q0+ = x = xQ0' + xQ0 (se expande en Q0) De los flip-flops JKs: Q1+ = J1Q1' +K1'Q1 Q0+ = J0Q0' +K0'Q0 Comparando coeficientes: J1 = Q0 x ; K1 = Q0' + x' ; J0 = x ; K0 = x' Notar que el método analítico, en este caso, agrega el término Q0' que resulta superfluo. Como se puede apreciar en el ejemplo anterior, el procedimiento tabular es capaz de generar expresiones más reducidas que el procedimiento analítico. Esto se debe a que en este último la reducción se efectúa a nivel de la tabla de transiciones y no se pueden aprovechar las condiciones superfluas que aparecen producto de las ecuaciones características de los flip-flops, en conjunto con las de la tabla de transiciones. En caso de diseñar empleando flip-flops JK y si la tabla de transiciones tiene condiciones superfluas conviene usar el método tabular. Puede observarse viendo la tabla siguiente, que la información puede plantearse como una tabla de verdad, entre las entradas (estado presente y entradas) y las salidas (próximo estado y salidas) Q0 0 0 0 0 1 1 1 1

Entradas Q1 0 0 1 1 0 0 1 1

x 0 1 0 1 0 1 0 1

Q1+ 0 0 0 1 ? ? 1 1

Salidas Q2+ 0 1 0 1 ? ? 0 1

Z 0 0 0 0 ? ? 1 0

Figura 12.7. Programas de flip-flops D

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Ejemplo 12.3.2. Determinar los programas de los flip-flops JK, para la siguiente matriz de transiciones.

AB x

00

0

00

1

11

0

1

00 11

10

11

01 2

3

11 10

6

7

10 01

4

5

A+B+ Figura 12.8. Matriz de transiciones ejemplo 12.3.2 Se tienen, de la matriz: A+ = A'x + AB +Ax' = ( x )A' + (B + x') A B+ = A'x + ABx' +B'x = A'xB' + A'xB + ABx' +B'x = (A'x + x) B' + (A'x + Ax')B De los flip-flops: A+ = JaA' +Ka'A B+ = JbB' +Kb'B Comparando coeficientes, resultan: Ja = x ; Ka = (B + x')' = B'x ; Jb = A'x +x = x ; Kb = (A'x +Ax')' = A'x + x'A

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Ejemplo 12.3.3. Diseñar máquina secuencial, que implemente la siguiente matriz de transiciones:

AB x

00

01

0

010

1

000

0

1

001 110

11 2

3

101

10 6

000

7

111 011

4

5

A+ B+ z Figura 12.9. Matriz de transiciones ejemplo 12.3.3 Es una máquina de Mealy, ya que: z = Ax +B x'

(la salida depende de la entrada)

Con flip-flop D para el estado A, se obtiene: A+ = Da = AB + Bx (directamente del mapa) Con flip-flop JK para la variable B, se logra: B+ = JbB' +Kb'B B+ = B x + Ax + A'B'x' = B x + ABx + AB'x +A'B'x' = (Ax+A'x') B' +(x + Ax) B Entonces: Jb = A' ⊕ x Kb = x'

Ejemplo 12.3.4. Diseñar un flip-flop JK empleando compuertas y un flip-flop D. De la matriz de transiciones del flip-flop JK se tiene la siguiente ecuación: Q+ = JQ' + K'Q El programa del flip-flop D, resulta entonces: D = JQ' + K'Q

Q

J

Q

D

K'

Q'

reloj

Figura 12.10. JK basado en flip-flop D

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Este diseño se emplea en dispositivos programables que no disponen en las macroceldas de flip-flops JK. El siguiente diagrama muestra la implementación de un JK, mediante un dispositivo lógico programable, que tienen flip-flops de tipo D en su estructura interna:

D J

Q.fb

K

Q

Secuencial istype ‘reg’

reloj

Figura 12.11. Implementación de JK en CPLD

Índice de Figuras. Figura 11.1. Esquema máquina secuencial empleando flip-flops JK................................................................. 234 Figura 11.2. Esquema análisis tabular................................................................................................................ 235 Figura 11.3. Ejemplo de máquina secuencial empleando flip-flops JK ............................................................. 236 Figura 11.4. Matrices de Programación ............................................................................................................. 237 Figura 11.5. Matriz de transiciones ejemplo 11.3. ............................................................................................. 237 Figura 11.6. Diagrama de estados ejemplo 11.3 ................................................................................................ 238 Figura 11.7. Diagrama de estados reducido. ...................................................................................................... 238 Figura 11.8. Matriz de transiciones, empleando método analítico..................................................................... 240 Figura 11.9. Entradas y salidas de máquina secuencial. .................................................................................... 241 Figura 11.10. Tabla de transiciones ejemplo 11.4.1........................................................................................... 241 Figura 11.11. Ecuaciones de salidas. ................................................................................................................. 242 Figura 11.12. Asignación de estados ................................................................................................................. 242 Figura 11.13. Diagrama de estados de Mealy ejemplo 11.4.1. .......................................................................... 242 Figura 11.14. Definición de tiempos de propagación. ....................................................................................... 243 Figura 11.15. Ciclos del reloj............................................................................................................................. 243 Figura 12.1. Esquema general de síntesis .......................................................................................................... 244 Figura 12.2. Tablas de excitaciones para diferentes flip-flops........................................................................... 245 Figura 12.3. Detector de secuencia 110. ............................................................................................................ 245 Figura 12.4. Asignación de estados y matriz de transiciones............................................................................. 245 Figura 12.5. Programas de flip-flops D.............................................................................................................. 246 Figura 12.6. Programas de flip-flops JK ............................................................................................................ 246 Figura 12.7. Programas de flip-flops D.............................................................................................................. 247 Figura 12.8. Matriz de transiciones ejemplo 12.3.2 ........................................................................................... 248 Figura 12.9. Matriz de transiciones ejemplo 12.3.3 ........................................................................................... 249 Figura 12.10. JK basado en flip-flop D.............................................................................................................. 249 Figura 12.11. Implementación de JK en CPLD ................................................................................................. 250

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