1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) u v. u = v (u, u ) = (v, v )

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TEMA 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS 1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Concepto de vector

Componentes de un vector Cualquier vector

Un vector es un segmento con un origen y un extremo.

 v

tiene dos componentes (v , v ) 1 2 Ejemplos:

Y

Y

3 v = (4,3) 3

4 v = (3,-4)

4 X

Módulo de un vector

Vectores equipolentes Dos vectores son equipolentes o iguales cuando tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido.

=

El módulo de un vector nos indica lo que mide dicho vector, es decir, la distancia del origen al extremo Ejemplo: Si

 |v | =

25

=

=5.

 v



y

 v = (v1 , v2)

(u , u ) = (v , v ) 1 2 1 2

 ↔  

=

=

2

 u

 u = (u1 , u2)

v1 v

Si

u1 u2

 Dado un vector v = (v , v ) , el módulo del 1 2 vector se representa por | v | y, aplicando el teorema de Pitágoras, podemos deducir que  |v | = v12 + v22

 v = (3,-4) 32 + (-4)2

X

Los vectores dibujados son equipolentes, pues tienen el mismo módulo, dirección y sentido

El vector mide 5 unidades Y

3 5 v = (3,-4)

4

| v | = 5 unidades

X

Los vectores que miden 1 se llaman unitarios

Vector nulo

 Es el vector 0 = (0 , 0). El vector nulo tiene

Vector opuesto Dado un vector

módulo 0 y el origen coincide con el extremo.

 u = (u1 , u2) , su vector opuesto es

 - u = (- u , - u )

Ejemplo: El opuesto de (3,-5) es (-3,5) Interpretación geométrica del opuesto

Por tanto, el vector nulo está formado por un solo punto

-1-

1

2

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Operaciones con vectores Suma de vectores Dados dos vectores

 u+v Ejemplo:

 u = (u1 , u2)

Resta de vectores

 v = (v1 , v2)

,

 u = (u1 , u2)

Dados dos vectores

 u -v

= (u + v , u + v ) 1 1 2 2

(2,7) + (3,4) = (2+3 , 7+4) = (5,11)

Ejemplo:

,

 v = (v1 , v2)

= (u - v , u - v ) 1 1 2 2

(3,8) - (7,2) = (3 - 7 , 8 - 2) = (-4,6)

Cálculo gráfico de la suma de vectores Fíjate que se puede hacer de dos formas Cálculo gráfico de la resta de vectores

Método del paralelogramo

Producto de un escalar por un vector Si k ∈ R

 v = (v1 , v2)

y

Ejemplos:

 k.v

3.(2,5) = (6,15)

= (k. v

1

, k. v ) 2

-2.(1,-7) = (-2,14)

Interpretación geométrica:

 k.v

//

 v

con el mismo sentido que

 v

(si k > 0) y con sentido contrario (si k < 0)

Vectores paralelos Si

Es decir,



 u

 u

//

=k

 v

 v

 , con k ∈ R ↔  

=

=



2

 v

son vectores no nulos v1 v k k

//

 v = (v1 , v2)

,

u1 u2

 u

 u = (u1 , u2)

u1 u = 2 . v1 v2

cuando sus componentes son proporcionales

-2-

1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Base de vectores en el plano



=A . x



+A . y

v

u

 w= x

 A



j

 A = (Ax , Ay) = Ax.(1,0) + Ay.(0,1)

Cualquier vector del plano, w , se puede expresar en función de los vectores de la base de la forma:

i



j

i

Cualquier vector se puede expresar en función de los   vectores , de la forma:

v

u

Una base de vectores en el plano es un conjunto formado   por dos vectores no nulos y no paralelos. B = { , }





+ y

.

 En este caso, w = (x,y) en la base B  (x,y) son las componentes del vector w en la base B. v

u 



y

Si los vectores

son perpendiculares, se dice que

la base B es ortogonal. Si además son unitarios la base B se llama base ortonormal.

j

i 



i

j

,

j

 v = (0 , -5) = 0.

i

base ortonormal del plano.



+ 7.





+ (-5).

j

Ejemplos:   u = (3 , 7) = 3.

j

= (0,1) son vectores   perpendiculares y unitarios, luego B = { , } es una

i

= (1,0) ,

Los vectores



= -5

Esta es la base canónica del plano.

Vector de posición de un punto Cualquier punto del plano A(x,y) lleva asociado el vector

Observa que

 a

=

 OA

 a

=

 OA , llamado vector de posición del punto A .

= (x,y) .Es decir, las componentes del vector de posición coinciden con las coordenadas del punto A

Vector determinado por dos puntos Fórmula para el vector

 AB

Demostración

Dados dos puntos A(a , a ) , B(b , b ) , entonces 1 2 1 2

 AB

= (b - a , b - a ) 1 1 2 2

 OA

Ejemplo: Si A(3,4)

+

 AB

=

 OB

   AB = OB - OA = (b1 , b2) – (a1 , a2) = (b1 - a1  Observa que la distancia entre los puntos A y B es igual al módulo del vector AB   2 2 , B(-1,7) , entonces AB = (-1-3 , 7-4) = (-4,3); d(A,B) = | AB | = (-4) + 3 =

Ejercicios del libro: Pág 183 : 11, 12 y 16

-3-

Pág. 189: 2

Pág.209: 51

, b - a ) 2 2

25

=5

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2.- ECUACIONES DE LA RECTA.

 d = (d ,d ) cualquier vector no nulo paralelo a la recta. 1 2 1 2   El vector d se llama vector director de la recta. La recta que pasa por el punto A y tiene vector de dirección d se suele  representar por: r (A , d )

Sea r una recta en el plano, A(a ,a ) un punto de la recta conocido y

Podemos obtener las siguientes ecuaciones de la recta:

Tipos de ecuaciones

Demostración Si P(x,y) es un punto (variable) de la recta, entonces

 AP

Ecuación vectorial: (x,y) = (a ,a ) + λ(d ,d ) 1

2

Luego +λ

 d

 AP

 d



 p



d1 d



 d



(x,y) = (a ,a ) + λ(d ,d )



1

2

1

2

= =

2 1d d

1 2 a a

x y

2

  

+ λ + λ

2

2 a 2 - d y = 1 a 1 - d x

a



 a

-

Igualando componentes en la ecuación anterior se obtiene:

d2

=

2



y

a1 1 d

x − Ecuación continua:



2

Ecuaciones paramétricas:

a1 a

x y

 =   =

1

 d   p =a //

Despejando λ

e igualando obtenemos:

Quitando denominadores nos queda: d (x – a ) = d (y – a ) 2



Ecuación implícita o general: ax + by + c = 0 Un vector director de la recta es

 d = (-b,a)

2

1

1 2

2 1

1

1 2

+



+

=1

1

d2d

1

1

y – a = m(x – a ) 2

1

d2d

 d = (d1,d2) // (1,

1

) = (1,m)

Si en la ecuación anterior efectuamos el paréntesis y despejamos la y: y = mx – ma + a

d2 d

1

Llamamos n = -ma + a

1

es la pendiente de la recta

1

 d = (d1,d2) // (1,

-4-

2

) = (1,m)

1

 d = (1,m)

2

; y = mx + n

d2d

Un vector director es

=1

≠ 0, podemos

(x – a ) ; llamamos m =

Nos queda la ecuación

 d = (1,m)

Ecuación explícita: y = mx + n m=

2

1

d2 d

es la pendiente de la recta

y–a =

d2d

despejar

1

1

+

yq

Llamamos p = -c/a , q = -c/b , nos queda: Si en la ecuación continua de la recta d

Ecuación punto-pendiente: y – a = m(x – a )

Un vector director es

;

=1 →



xp



y cb

x ca

p, q corresponden a los puntos de corte de la recta con los ejes X e Y, respectivamente

m=

2 1

y c b

ax + by = -c →

x c a

transformarla:

=1 −

2

2

ax + by + c = 0 Si a, b, c son no nulos, la ecuación anterior podemos

yq

xp

+

1

Le llamamos a = d , b = -d , c = d a – d a 2

Ecuación canónica o segmentaria:

1

dx–dy+d a –d a =0

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Punto medio de un segmento Fórmula para el punto medio

Demostración

 AB 2

+

2

+

2

2

,

b

a

+

2

Luego M(

b1

)

a1

,



2

2

2

+

2

b

1

a

2

2

1

b1

a1

A(a ,a ) , B(b ,b ) → M(

       AM → b - a = 2( m - a ) = 2 m - 2 a          a+ b 2 m = b - a + 2a = a + b → m = =2

)

Observa que B es el simétrico de A respecto de M

Ejercicios del libro: Pág. 190: 4 a) b)

Pág 193 : 1a), 2

Pág. 206: 7b) y 14

Pág. 209: 52

3.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS. Sean r y s dos rectas del plano:

r (A ;

 dr )

,

s(B ;

 ds )

Rectas secantes

Se cumple: 1)

 dr

#

 ds

2) mr

r : ax + by + c = 0 3) Si s : a´x + b´y + c´ = 0 

≠ ms

a b ≠ a´ b´

En este caso, el sistema formado por las ecuaciones de las rectas es compatible determinado (tiene solución única). El punto de corte de las rectas se calcula resolviendo el sistema

Rectas paralelas Se cumple: 1)

 dr

//

 ds

r : ax + by + c = 0 2) Si  s : a´x + b´y + c´ = 0



# AB

a b c = ≠ a´ b´ c´

En este caso, el sistema formado por las ecuaciones de las rectas es incompatible (no tiene solución)

Rectas coincidentes Se cumple: 1)

 dr

//

 ds

//

 AB

r : ax + by + c = 0 2) Si s : a´x + b´y + c´ = 0 

a b c = = a´ b´ c´

En este caso, el sistema formado por las ecuaciones de las rectas es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones)

Ejercicios del libro: Pág 199 : 1

-5-

Pág. 207: 26, 27 y 28

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4.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

  Definición: Dados dos vectores u , v , se define su producto escalar de la siguiente forma:            u . v = | u | . | v | . cos  u , v  , donde  u , v  el ángulo que va de u 







a

 v

Propiedades más importantes del producto escalar: 1)

  u. v

2) (a

3)

 v

.

 u

(Propiedad conmutativa)

    u ). (b v ) = (ab) ( u . v ) , donde a, b ∈ R

     u .( v + w ) = u . v

4) Si

5)

=

 u = (u1 , u2)

 | u |= +

,

  u.u =

+

  u .w

(Propiedad distributiva)

 v = (v1 , v2)

,

  u. v

=u .v + u .v 1 1 2 2

u12 + u22 Ejercicios del libro: Pág 176 : 1, 2 y 3

Pág. 178: 4 a) b)

5.- ÁNGULOS EN EL PLANO   |u . v | Ángulo entre dos vectores: α = arccos (   ) | u |.| v |

( α es el ángulo cuyo coseno es

Si N es un número, para calcular arccos N con la calculadora pulsamos SHIT cos

  |u . v |   ). | u |.| v |

N

Ángulo entre dos rectas: Es el menor de los ángulos que forman sus vectores directores.

Se calcula con la fórmula:

Si r // s

ó

  | dr . ds |   ) . r , s = arccos (  | dr | . | ds |

( )

r y s son coincidentes, entonces el ángulo es 0º

Si se conocen las pendientes de las rectas r y s , m y m , el ángulo que forman r y s también se puede calcular por la fórmula: r s

(r, s) = arctg ( | 1m+ m− m.m r

s

r

|)

s

Ejercicios del libro: Pág 208 : 30, 31 y 32

-6-

Pág. 209: 65

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6.- PERPENDICULARIDAD DE VECTORES Y RECTAS Vectores perpendiculares: Dados dos vectores Observa que un vector perpendicular a

  u, v

 u = (u1 , u2)

no nulos:

es

 u



 v



 u´ = (- u2 , u1), pues

Rectas perpendiculares: Dadas dos rectas del plano, r y s:

r⊥s

  u. v =0   u . u´ = - u1u2

  dr . d s



=0

Ecuación normal de la recta



+u u =0 1 2

m . m = -1 r s

Demostración

Si P(x,y) es un punto (variable) de la recta, entonces:

 n

A(a , a ) un punto de la recta 1 2

 n = (a ,b)

 AP



, luego

 n

.

 AP

=0

vector normal de la recta. (a , b) . (x – a , y – a ) = 0 1 2

Ecuación normal de r:

a(x – a ) + b(y – a ) = 0 1

2

a(x – a ) + b(y – a ) = 0 1 2

Observa que si nos dan la recta r en forma implícita r: ax + by + c = 0, entonces recta y, por tanto,

 d = (-b,a) es un vector director de la

 n = (a ,b)

es un vector normal de la recta.

Simétrico de un punto respecto de una recta Para calcular el punto simétrico P´: 1º) Hallamos la ecuación de la recta s (s es la recta perpendicular a r que pasa por el punto P) 2º) Calculamos el punto de corte, M, de las rectas r y s (resolviendo el sistema con las ecuaciones de r y s) 3º) Usando que M es el punto medio de P y P´, podemos hallar P´ El punto simétrico de P respecto de r es el punto P´ que cumple

 PM

=

 MP´

(M es el punto medio de PP´)

Ejercicios del libro: Pág 193 : 3

Pág. 197: 3 y 4

Pág. 207: 19 y 20

Pág. 209: 48

Pág. 210: 71 y 74

7.- DISTANCIAS EN EL PLANO Distancia de un punto a una recta Fórmula para la distancia de un punto a una recta d(P , r) = d(P, Q) = |

 PQ

|

Si P(x , y ) , r: ax + by + c = 0 → d(P , r) = 0

| ax0 + by0 + c |

0

a2 + b2

Observación: Si P ∈ r , entonces d(P,r) = 0

Distancia entre dos rectas - Si r y s son secantes o coincidentes, entonces la distancia es 0 - Si son paralelas, se toma un punto de una de las rectas y se calcula su distancia a la otra recta

Ejercicios del libro: Pág 208 : 35 a) , 37, 38, 39, 42, 43 y 44

-7-

Pág. 209: 55 y 57

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