INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y ALGUNAS APLICACIONES

Grimaldo Oleas L. Profesor U.de A.

Medellín, abril de 2008

1.

Un problema introductorio Hace muchísimo tiempo, en cierto país eran comunes los problemas con el intercambio de dinero

en las diferentes transacciones comerciales: los taxistas no entregaban a los pasajeros el vuelto (o la vuelta), al recibir el pago por una carrera; en diversos sitios del comercio se observaban aglomeraciones, cuando los clientes no pagaban con la suma exacta y debía devolvérseles dinero. El Presidente decidió resolver definitivamente el problema con la expedición de un decreto que, entre otros, contenía los siguientes artículos:

1. En el país sólo circularán monedas, y con dos únicas denominaciones: $3 y $5. 2. Para cualquier trato comercial, cada persona debe aprovisionarse de monedas en cantidades suficientes, de manera que pueda pagar el valor exacto, sin quedar debiendo y sin requerir vuelto. 3. No puede haber operaciones por valor inferior a $8.

El decreto causó el natural revuelo, pues los ciudadanos dudaban del éxito de la medida; se temía que ciertas sumas no pudieran pagarse con sólo monedas de$3 y de $5. Algunos ministros, antes de la expedición del decreto, creyeron descubrir ejemplos de tales cantidades y se las dieron a conocer al Presidente. Uno de ellos preguntó a éste cómo haría para pagar $122; el Presidente le respondió: con 14 monedas de $3 y 16 de $5. Otro propuso la suma de $1,871; el Presidente le dijo que esa cantidad podría pagarla con 267 monedas de $3 y 214 de $5. Un tercer ministro estaba convencido de que la teoría del Presidente fallaba definitivamente con la cantidad de $5,668; el Presidente lo desilusionó al manifestarle que en tal caso podría pagarse con 581 monedas de $3 y 785 de $5; o con 571 monedas de $3 y 791 de $5; o con..., y le dio veinte soluciones adicionales. De este modo, el Presidente fue

1

resolviendo, uno a uno, los diferentes problemas que le eran planteados aun después de la expedición del decreto. No obstante, persistía la incredulidad.

...

Se sugiere al lector que suspenda aquí, momentáneamente, la lectura y haga su propia conjetura e intente probarla: ¿Tenía razón el Presidente? Es decir, ¿Puede pagarse cualquier cantidad de dinero, superior a $7, usando sólo monedas de $3 y de $5? ¿Existe alguna suma para la cual ello no es posible? ¿Cuál?

...

Para lograr la confianza de los ciudadanos, el Presidente recurrió al matemático de más prestigio, quien en una intervención por radio y televisión hizo el siguiente análisis: La cantidad mínima a pagar, $8, no presenta obstáculo alguno, pues es evidente que puede pagarse con una moneda de $3 y una de $5. Supóngase ahora que cierta cantidad $N (N ≥ 8) puede pagarse con sólo monedas de $3 y de $5. Hay dos posibilidades: no se usan monedas de $5, o se usa al menos una. Si no se usan monedas de $5, es porque N es múltiplo de 3, en cuyo caso el pago de $N se hace con al menos tres monedas de $3 ($9, $12, $15, etc.). Si se desea ahora pagar una cantidad superior a $N en $1, es decir, $(N + 1), basta sustituir 3 de las monedas de $3 por 2 de $5; de este modo la cantidad que se paga es N − 9 + 10; esto es, $(N + 1). Agregó el matemático: Si en el pago de$N se usa al menos una moneda de $5, puede reemplazarse una de estas por 2 de $3; así se pagará N − 5 + 6; o sea, $(N + 1). Añadió el Matemático: Puede concluirse que: si una cantidad $N puede pagarse con sólo monedas de $3 y de $5, entonces la suma siguiente, $(N + 1), también puede pagarse del modo requerido. Para mayor claridad, el matemático ilustraba profusamente sus aseveraciones. Por ejemplo, dijo en algún momento de su charla, si usted va a pagar $5,668 con 571 monedas de $3 y 791 de $5, puede formar dos montoncitos de monedas (y efectivamente él los mostraba). A continuación agregó: si usted desea pagar $5,669 ($1 más), tiene la siguiente alternativa: o retira 3 monedas de $3 y las sustituye por dos de $5, o aparta una de$5 y la reemplaza con 2 de $3. Para finalizar su intervención, el matemático dijo: Como se sabe que la cantidad mínima,$8, puede pagarse bajo las condiciones impuestas por el Presidente, entonces podrá hacerse lo propio con$9, y, por tanto, con$10, con $11, con $12, etc. En consecuencia, el Señor Presidente tiene razón: cualquier cantidad de dinero, no inferior a$8, puede pagarse usando sólo monedas de $3 y de 2

$5, sin quedar debiendo y sin requerir vuelto. Con la explicación dada por el Matemático, los habitantes del país se mostraron satisfechos. A pesar de ello, al poco tiempo el gobierno se vio forzado a derogar el decreto, pues si bien ya no había problemas con los vueltos, empezaron a presentarse inconvenientes de otra índole: por una parte, no había en el mercado recipientes adecuados para cargar el dinero, y por otra la gente en su mayoría carecía de la habilidad del Presidente para decidir rápidamente cuántas monedas de cada denominación debía usar en cada pago. Esta circunstancia incrementó las aglomeraciones en los almacenes, y la exasperación de los taxistas. ... Pero, ¿qué hay en el razonamiento del matemático? En realidad, él hizo uso del método de demostración conocido como PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA (quinto de los axiomas propuestos por Peano para la construcción del sistema de los números Naturales), una de cuyas formas de expresarlo es: Sea P (n) un enunciado abierto en el cual n es un número natural. Si se cumple:

1. P (no ) es válido, y 2. Para todo k natural, igual o mayor que no la validez de P (k) implica la validez de P (k + 1), entonces el enunciado es válido para todo número natural n, con n ≥ no .

Para el caso que se viene analizando, los Matemáticos enunciarían el siguiente teorema: Todo número entero superior a 7 es combinación lineal de los enteros 3 y 5. De otro modo: Para todo número natural N superior a 7, existen enteros no negativos m y n, para los cuales N = 3m + 5n. Prueba del teorema:

1. El enunciado es válido para 8; en efecto: 8 = 3(1) + 5(1). 2. Hipótesis de inducción: Supóngase que para un natural K(K8), existen enteros no negativos m y n tales que K = 3m + 5n. Hay dos posibilidades: n = 0, ó n ≥ 1. a) n = 0. En este caso, K = 3 m, con m ≥ 3. Por tanto, K = 3(m − 3) + 3(3); esto es, K = 3(m − 3) + 9. Así, K + 1 = 3(m − 3) + 10; o sea, K + 1 = 3(m − 3) + 5(2). En consecuencia, existen enteros no negativos m1 y n1 tales que K + 1 = 3 m1 + 5n1 .

3

b) n ≥ 1. Bajo esta condición, K = 3m + 5(n − 1) + 5. Por tanto, K + 1 = 3m + 5(n − 1) + 6. Es decir, K + 1 = 3(m + 2) + 5(n − 1). Luego, existen enteros no negativos m1 y n1 para los cuales K + 1 = 3m1 + 5n1 . Se ha probado así que la validez del enunciado para el número natural K, implica la validez para el natural K + 1. Queda, entonces, demostrado el teorema.

2.

PRESENTACIÓN DEL MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA El principio de inducción matemática aparece en el proceso de construcción de los números reales.

Existen por lo menos dos caminos: Uno consiste en partir de los axiomas de campo y otro se basa en los axiomas de Peano.

2.1.

MEDIANTE LOS AXIOMAS DE CAMPO

Se define el SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES como un conjunto R dotado de dos operaciones llamadas ADICIÓN (denotada +) y MULTIPLICACIÓN (simbolizada con ·). Al conjunto R se le denomina Conjunto de los Números Reales. La adición y la multiplicación son operaciones binarias en R (también llamadas leyes de composición interna): + : R × R −→ R · : R × R −→ R Cada una de las dos operaciones satisface un conjunto de axiomas, así: 1. Axiomas de la adición a) Asociatividad. Para reales cualesquiera a y b: a + (b + c) = (a + b) + c. b) Modulatividad. Existe un número real, llamado cero, y denotado 0, tal que para cualquier real a: a + 0 = 0 + a = a. Al real 0 se le denomina elemento neutro o módulo para la adición. 4

c) Invertividad. Para cualquier real a, existe un real denotado −a, tal que: a + (−a) = 0. Al real −a se le conoce como inverso aditivo de a. d) Conmutatividad. Para reales cualesquiera a y b: a + b = b + a. 2. Axiomas de la multiplicación a) Asociatividad. Para reales cualesquiera a y b: a · (b · c) = (a · b) · c b) Modulatividad. Existe un número real llamado uno, distinto de cero y denotado 1, tal que para cualquier real a: a(1) = (1)a = a. Al real 1 se le llama módulo o elemento neutro para la multiplicación. c) Invertividad. Para cualquier real a, diferente de cero, existe un real a−1 , tal que: a · a−1 = 1. Al real a−1 se le denomina inverso multiplicativo de a. d) Conmutatividad. Para reales cualesquiera a y b: a · b = b · a. 3. Axioma mixto. a) Distributividad. Para reales cualesquiera a, b y c: a · (b + c) = a · b + a · c. Los nueve (9) axiomas anteriores se resumen diciendo que la estructura hR, +, ·i es un CAMPO: El campo de los números reales. Cuando no haya lugar a confusión, en la multiplicación de dos números reales suele omitirse el punto que simboliza la operación ·. Así, se escribe ab, en lugar de a · b. PROPIEDADES DE CAMPO. A partir de los axiomas de campo, se obtienen las propiedades básicas del sistema de los números reales. Algunas de ellas son: 5

C1. El módulo para la adición (0) es único. C2. Para cada real a, su inverso aditivo (−a) es único. C3. El módulo para la multiplicación (1) es único. C4. Para cada real a no nulo, su inverso multiplicativo (a−1 ) es único. El real a−1 también es denotado a1 . C5. Para reales cualesquiera a y b, la ecuación x + a = b, tiene solución única. C6. Para reales cualesquiera a y b, con a 6= 0, la ecuación xa = b tiene solución única. C7. Para todo real a, a · 0 = 0. C8. ab = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0. C9. Para todo real a, −a = (−1)a. C10. Para todo real a, −(−a) = a. C11. Para todo real a distinto de cero, (a−1 )−1 = a. C12. Para reales cualesquiera a y b, −(a + b) = −a + (−b). C13. Para reales cualesquiera a y b distintos de cero, (ab)−1 = a−1 b−1 . En el campo de los números reales se introduce, de manera axiomática, un orden, así: 4. Postulado de orden Existe un subconjunto no vacío de R, denotado R+ , que satisface los siguientes axiomas: a) R+ es cerrado bajo la adición. Para cualesquiera reales a y b pertenecientes a R+ : (a + b) ∈ R+ . b) R+ es cerrado bajo la multiplicación. Para cualesquiera reales a y b de R+ , (a · b) ∈ R + . c) 4.3 Para cualquier real a, se cumple una y sólo una de las siguientes posibilidades: 1) a ∈ R+ 2) a = 0 3) −a ∈ R+ .

6

A los elementos de R+ se les llama reales positivos. A los números reales a tales que −a es un real positivo se les denomina reales negativos. El conjunto de los reales negativos se denota R− . De este modo, el conjunto R de los números reales es la unión de tres conjuntos disjuntos: R+ , R− y {0}. A partir del postulado de orden, se introducen las desigualdades: mayor que y menor que. Cualesquiera sean los reales a y b:

a < b significa: (b − a) ∈ R+ . a > b significa: b < a. a 6= b significa: a < b ó a = b. a ≥ b significa: a > b ó a = b. Es fácil deducir que: a ∈ R+ si y sólo si a > 0. a ∈ R− si y sólo si a < 0. PROPIEDADES DE ORDEN A partir de los axiomas de orden, se obtienen las propiedades básicas del sistema ordenado de los números reales. Algunas de ellas son:

O1. (Tricotomía). Si a, b son reales cualesquiera, se cumple una y sólo una de las siguientes propiedades: 1. a < b 2. a = b 3. a > b. O2. (Transitividad). Cualesquiera sean a, b, c reales, si a < b y b < c, entonces a < c. O3. Cualesquiera sean a, b, c y d reales, si a < b y a 6= b, entonces a + c < b + d. O4. (Reglas de signos). Cualesquiera sean a y b: a, b ∈ R+ ⇒ (a + b) ∈ R+ . 7

a, b ∈ R+ ⇒ (ab) ∈ R+ . a, b ∈ R− ⇒ (a + b) ∈ R− . a, b ∈ R− ⇒ (ab) ∈ R+ . a ∈ R+ y b ∈ R− ⇒ (ab) ∈ R− . O5. Para cualquier real a, a2 ≥ 0. Además, a2 = 0 si y sólo si a = 0. 06. Para cualquier real a, a > 0 si y sólo si 1/a > 0. 07. Cualesquiera sean a y b reales, a > b > 0 ⇒ 1/a < 1/b.

CONJUNTO INDUCTIVO Definición 2.1. Sea S un subconjunto de R, S es INDUCTIVO si cumple: 1. 1 ∈ S 2. Para cualquier real x, si x ∈ S, entonces (x + 1) ∈ S Según la definición, R y R+ son conjuntos inductivos. Consideremos ahora la colección de todos los subconjuntos inductivos de R: C = {S ⊂ R : S es inductivo}. Definición 2.2. Se llama CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES, denotado N, a la intersección de todos los conjuntos pertenecientes a la colección C. Notas: El conjunto N también se denota Z+ , y se denomina CONJUNTO DE LOS ENTEROS POSITIVOS. El conjunto N es el conjunto inductivo de menor tamaño; lo cual significa que si S es inductivo, entonces N ⊂ S. Del hecho anterior se deduce el PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA, el cual se enuncia así: i. 1 ∈ S ii. k ∈ S ⇒ (k + 1) ∈ S, entonces S = N. 8

2.2.

A PARTIR DE LOS AXIOMAS DE PEANO

Se postula la existencia de un conjunto llamado CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES, denotado N, y que satisface los siguientes axiomas: N1. 1 es un número natural (equivalentemente: 1 ∈ N ). N2. Para cada número natural n existe un único número natural, llamado sucesor de n y denotado S(n). De otro modo: S:N→N n 7→ S(n). N3. Para todo número natural n, S(n) 6= 1. Esto significa que el natural 1 no es sucesor de ningún natural; lo cual a su vez implica que la función S no es sobre. N4. Para naturales cualesquiera m y n, S(m) = S(n) ⇒ m = n. En otras palabras, la función S es uno a uno. N5. Axioma de inducción. Sea M un subconjunto de N. Si M satisface: i. 1 ∈ M ii. Si k ∈ M , entonces S(k) ∈ M , entonces M = N. A partir de estos axiomas pueden hacerse las primeras demostraciones de teoremas, en el camino a la construcción axiomática del sistema de los números reales. Teorema 2.3. Para cualesquiera números naturales m y n, m 6= n ⇒ S(m) 6= S(n). Se trata del recíproco del axioma N4. Teorema 2.4. Para todo número natural n, S(n) 6= n. Significa que ningún número natural es sucesor de sí mismo.

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Prueba: Sea M = {n ∈ N : S(n) 6= n}. i. 1 ∈ M . En efecto, por N1, 1 ∈ N , y por N3, S(1) 6= 1. ii. Supongamos que k ∈ M . Significa que S(k) 6= k. Por tanto, S(S(k)) 6= S(k). Debe tenerse en cuenta el Teorema 1. Se obtiene así que S(k) ∈ M . Por el axioma de inducción, M = N . Teorema 2.5. Para todo número natural n distinto de 1, existe un único natural u tal que S(u) = n. Este teorema significa que todo número natural distinto de 1 es sucesor de algún natural. De otro modo: 1 es el único natural que no es sucesor de otro. Ambas expresiones equivalen a que la función S tiene como rango al conjunto N − {1}. Prueba: Sea M = {1} ∪ {n ∈ N : ∃(u)(u ∈ N y S(u) = n)}. i. 1 ∈ M. En efecto, por N1, 1 ∈ N, y por N3, S(1) 6= 1. ii. Supongamos que k ∈ M . Significa que ∃(u)(u ∈ N y S(u) = k). Por el carácter de función de S : S(S(u)) = S(k). Por tanto, S(k) ∈ M . Por el axioma de inducción, M = N .

3.

SOLUCIÓN DEL ALGUNOS EJERCICIOS EJERCICIO No.1(Geometría) ¿Cuál es el número de diagonales de un polígono convexo de n

lados? Demuéstrelo. Solución: El número de vértices es n. El número Sn de segmentos que se pueden trazar uniendo dos vértices es: Sn =

n(n − 1) . 2 10

Figura 1: Polígono de n vertices

Este número es la suma del número n de lados del polígono y el número Dn de diagonales del mismo. Así se obtiene que:Dn =

n(n−1) 2

−n=

n(n−3) , 2

para todo natural n mayor o igual a 3.

i. n = 3. Se trata del triángulo, el cual carece de diagonales. La expresión de la derecha es:

3(3−3) 2

= 0.

ii. ii. Supongamos que el número de diagonales de un polígono de k lados es: Dk =

k(k − 3) . 2

partir de este polígono podemos obtener otro de (k + 1) lados, agregando un vértice: El nuevo vértice, el número (k + 1), incrementa el número de lados en uno (1); y el de diagonales en (k − 2) + 1. Esto significa que el número de diagonales de un polígono convexo de (k + 1) lados es:

Dk+1 = Dk+1

k(k − 3) − (k − 1) 2 (k + 1)(k − 2) = 2

El enunciado es, pues, válido para todo natural superior a dos (2). EJERCICIO No.2(En la Aritmética: Serie Geométrica) Calcule la suma: Sn = 1 + 2 + 22 + ... + 2( n − 1). 11

Figura 2: Polígono de n + 1 vertices

Multipliquemos por 2 los términos de la igualdad anterior: 2Sn = (2 + 22 + ... + 2n−1 ) + 2( n). Si restamos la expresión original a la segunda, obtenemos: Sn = 2n − 1. Usemos inducción para probar que la igualdad así obtenida es válida para todo natural n. i. n = 1 S1 = 1 Además, S1 = 21 − 1. La igualdad es válida para el natural 1. ii. Supongamos ahora que para algún natural k, Sk = 2k − 1. Sk+1 = Sk + 2k Sk+1 = 2k − 1 + 2k Sk+1 = 2(2k ) − 1 Sk+1 = 2k+1 − 1. La igualdad es válida entonces para todo n natural.

EJERCICIO No. 3 (Divisibilidad) Sea Sn = 11n+2 + 122n+1 . Pruebe que para todo entero n no negativo, el número Sn es divisible por 133. Consideremos el caso n = 0: S0 = 112 + 12 = 133. Evidentemente S0 es divisible por 133. Supongamos ahora que el enunciado es válido para el entero no negativo k. Por la hipótesis de inducción, Sk es múltiplo de 133. Sk = 11k+2 + 122k+1 .

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Sk+1 = 11k+3 + 122k+3 . Sk+1 = 11(11k+2 ) + 144(122k+1 ). Sk+1 = 11(11k+2 ) + 11(122k+1 ) + 133(122k+1 ). Sk+1 = [11(11k+2 ) + 11(122k+1 )] + 133(122k+1 ). Sk+1 = [11(11k+2 ) + 11(122k+1 )] + 133(122k+1 ). Sk+1 = 11[(11k+2 ) + (122k+1 ] + 133(122k+1 ). Sk+1 = 11Sk + 133(122k+1 ). Así, Sk+1 es la suma de dos números naturales múltiplos de 133. Luego el enunciado es válido para el natural k + 1. En consecuencia, el enunciado es válido para todo entero no negativo. EJERCICIO No. 4 (Trigonometría) Pruebe la identidad: Cos(α)Cos(2α)Cos(22 α)...Cos(2n α) =

Sen(2n+1 α) 2n+1 Sen(α)

Consideremos el caso n = 0: La expresión de la izquierda se convierte en: Cos(α) . La de la derecha se transforma en:

Sen(2α) 2Sen(α) Es decir, en:

2Sen(α)Cos(α) . 2Sen(α) Esto es, en Cos(α). Definamos Pk así: Pk = Cos(α)Cos(2α)Cos(4α)...Cos(2k α). Supongamos ahora que el enunciado es válido para el entero no negativo k. Significa que:

Pk =

Sen(2k+1 α) 2k+1 Sen(α)

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Pk+1 = Pk Cos(2k+1 α) Pk+1 =

Sen(2k+1 α) Cos(2k+1 α) 2k+1 Sen(α)

Pk+1 =

k+1 α)] 1 [Sen(2·2 2 2k+1 Sen(α)

Pk+1 =

[Sen(2k+2 α)] 2k+2 Sen(α)

Luego el enunciado es válido para todo n natural. EJERCICIO No. 5 (Complejos) Pruebe que para todo n natural, (1 + i)n =

√

2n [Cos(n π4 ) + iSen(n π4 )]

Prueba:

i. Consideremos el caso n = 1: √ √ √ √ 21 [Cos(1 π4 ) + iSen(1 π4 )] = 2( 22 + i 22 ) = 1 + i. Luego la igualdad es válida para el natural 1. ii. Hipótesis de inducción: √ (1 + i)k = 2k [Cos(k π4 ) + iSen(k π4 )] √ √ (1 + i)k+1 = 2k [Cos(k π4 ) + iSen(k π4 )] 2[Cos( π4 ) + iSen( π4 )] = √   2k+1 Cos(k π4 )Cos( π4 ) − Sen(k π4 )Sen( π4 ) + i[Sen(k π4 )Cos( π4 ) + Cos(k π4 )Sen( π4 )] = √ 2k+1 [Cos((k + 1) π4 ) + iSen((k + 1) π4 )] Así, (1 + i)k =

√

2k [Cos(k π4 ) + iSen(k π4 )]

El enunciado es, pues, válido para todo natural. EJERCICIO No. 6 (Desigualdad) ¿Para cuales números naturales n se cumple la desigualdad: 2n > n2 ? Prueba: Consideremos el caso n = 1 2n = 2 n2 = 1 La desigualdad es válida para n = 1

14

Consideremos el caso n = 2

2n = 4 n2 = 4 No es válida. Consideremos el caso n = 3

2n = 8 n2 = 9 La desigualdad no es válida. Consideremos el caso n = 4 2n = 16 n2 = 16 La desigualdad no es válida. Consideremos el caso n = 5

2n = 32 n2 = 25 La desigualdad es válida. Consideremos el caso n = 6

2n = 64 n2 = 36 La desigualdad también es válida. La desigualdad es válida aparentemente para todo natural n ≥ 5. Supongamos ahora que la desigualdad es válida para un natural k ≥ 5 Significa que 2k > k 2 15

Ahora

2 · 2k > 2k 2

2k+1 > 2k 2 Debemos probar que

2k 2 > (k + 1)2 Es decir, que

2k 2 > k 2 + 2k + 1 Esto es, que k 2 − 2k > 1 O sea, que k(k − 2) > 1 Pero, el ser k ≥ 5, k(k − 2) > 1 Luego, 2k+1 > (k + 1)2 Así, la desigualdad es valida para todo natural no inferior a 5.

EJERCICIO No. 7 (En la Aritmética) Una desigualdad interesante: La media geométrica de un número finito de números reales positivos es menor o igual que la media aritmética de los √ n . mismos. De otro modo: Para cualesquiera reales positivos a1 , a2 , ..., an , n a1 a2 · ... · an ≤ a1 +a2 +...+a n Prueba debida a Cauchy: La desigualdad es válida para el natural 1. En efecto: Consideremos el natural 2. √ √ ( a1 − a2 )2 ≥ 0. √ a1 + a2 − 2 a1 a2 ≥ 0. 16

√

a1 ≤

a1 1

√

a1 a2 ≥

a1 +a2 . 2

Así, la desigualdad es válida también para el natural 2. Supongamos ahora que la desigualdad es válida para algún natural k ≥ 2. Probemos ahora que el enunciado es válido para: a. 2k b. k − 1. √ k

a1 a2 · ... · a2k =

p √ k k

a1 a2 · ... · ak

√ k

ak+1 ak+2 · ... · a2k

Por el hecho de que la desigualdad es válida para el natural 2: p √ k k

a1 a2 · ... · ak

√ k

ak+1 ak+2 · ... · a2k ≤

√ k

a1 a2 ·...·ak +

√ k

ak+1 ak+2 ·...·a2k 2

Por la hipótesis de inducción: √ k

a1 a2 · ... · ak ≤

a1 +a2 +...+ak k

y

√

k+1

a1 a2 · ... · ak+1 ≤

a1 +a2 +...+ak+1 . k+1

Por tanto:

q√ k

k

a1 a2 · ... · ak

√ k

ak+1 ak+2 · ... · a2k ≤

a1 +a2 +...+ak k

+

a1 +a2 +...+ak+1 k+1

2

Se ha probado así que la desigualdad es válida para el natural 2k. Probemos ahora lo propio para el natural k − 1. Sea β un real positivo arbitrario. Por la hipótesis de inducción,

p k

a1 a2 · ... · ak−1 β ≤

a1 + a2 + ... + ak−1 + β k

. Escojamos β de modo que

a1 +...+ak−1 +β k

=

β= Se obtiene así:

r k

a1 +...+ak−1 ; k−1

es decir:

a1 + ... + ak−1 k−1

a1 a2 · ... · ak−1 (a1 · ... · ak−1 ) a1 + a2 + ... + ak−1 ≤ k−1 k−1 17

. De aquí que:

a1+ ... + ak−1 a1 + ... + ak−1 ≤ k−1 k−1 De lo probado en a, se deduce que la desigualdad es válida para todos los naturales pares. De lo demostrado en b, se obtiene que la desigualdad es válida para todos los naturales impares. En consecuencia la desigualdad tiene validez para todo natural n. BIBLIOGRAFIA

1. Landau, Edmund; Foundations of analysis; Chelsea publishing company; New York, 1966; 136 p. 2. Sominski, I. S.; El método de la inducción matemática; Limusa-Wiley, S.A. México, 1972, 63 p.

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