more examination papers at : www.myschoolchildren.com

SPECIMEN PAPER 956/1

STPM

FURTHER MATHEMATICS (MATEMATIK LANJUTAN) PAPER 1 (KERTAS 1) One and a half hours (Satu jam setengah)

MAJLIS PEPERIKSAAN MALAYSIA (MALAYSIAN EXAMINATIONS COUNCIL)

SIJIL TINGGI PERSEKOLAHAN MALAYSIA (MALAYSIA HIGHER SCHOOL CERTIFICATE)

Instruction to candidates: DO NOT OPEN THIS QUESTION PAPER UNTIL YOU ARE TOLD TO DO SO. Answer all questions in Section A and any one question in Section B. Answers may be written in either English or Bahasa Malaysia. All necessary working should be shown clearly. Scientific calculators may be used. Programmable and graphic display calculators are prohibited. A list of mathematical formulae is provided on page of this question paper. Arahan kepada calon: JANGAN BUKA KERTAS SOALAN INI SEHINGGA DIBERITAHU UNTUK BERBUAT DEMIKIAN. Jawab semua soalan dalam Bahagian A dan mana-mana satu soalan dalam Bahagian B. Jawapan boleh ditulis dalam bahasa Inggeris atau Bahasa Malaysia. Semua kerja yang perlu hendaklah ditunjukkan dengan jelas. Kalkulator sainstifik boleh digunakan. Kalkulator boleh atur cara dan kalkulator paparan grafik tidak dibenarkan. Senarai rumus matematik dibekalkan pada halaman kertas soalan ini. __________________________________________________________________________________ This question paper consists of printed pages and (Kertas soalan ini terdiri daripada halaman bercetak dan © Majlis Peperiksaan Malaysia STPM 956/1

-1-

blank page. halaman kosong.)

more examination papers at : www.myschoolchildren.com

Section A [45 marks] Answer all questions in this section. 1

Consider the following argument. If Abu likes to drive to work or his father’s car is old, then he will buy a new car. Abu does not buy a new car or he takes a train to work. Abu did not take a train to work. Therefore, Abu does not like to drive to work.

2

(a) Rewrite the argument using statement variables and connectives.

[2 marks]

(b) Test the argument for validity.

[5 marks]

Let set B with binary operations

(x

y

and

z ) (x

y

be a Boolean algebra. Show that, for all x, y and z in B,

z) ( x

y

z ) (x

y

z)

y.

[5 marks]

3 Find the greatest common divisor of 2501 and 2173, and express it in the form 2501m + 2173n, where m and n are integers to be determined. [6 marks] Hence, find the smallest positive integer p such that 9977 + p = 2501x + 2173y, where x and y are integers. [3 marks] 4 There are 20 balls of which 4 are yellow, 5 are red, 5 are white and 6 are black. The balls of the same colour are identical. (a) Find the number of ways in which all the balls can be arranged in a row so that all the white balls are together to form a single block and there is at least one black ball beside the white block. [3 marks] (b) Find the number of ways in which 5 balls can be arranged in a row if the balls are selected only from the red and yellow balls. [3 marks] (c) Find the number of ways in which all the balls can be distributed to 4 persons so that each one receives at least one ball of each colour. [4 marks] (d) Determine the number of balls which must be chosen in order to obtain at least 4 balls of the same colour. [2 marks] 5 Let an be the number of ways (where the order is significant) the natural number n can be written as a sum of 1’s, 2’s or both. (a) Explain why the recurrence relation for an, in terms of an 1 and an 2, is an = an 1 + an 2, n > 2. (b) Find an explicit formula for an.

[2 marks] [6 marks]

956/1

-2-

more examination papers at : www.myschoolchildren.com

Bahagian A [45 markah] Jawab semua soalan dalam bahagian ini. 1

Pertimbangkan hujah yang berikut. Jika Abu suka memandu ke tempat kerja atau kereta ayahnya lama, maka dia akan membeli kereta baharu. Abu tidak membeli kereta baharu atau dia menaiki kereta api ke tempat kerja. Abu tidak menaiki kereta api ke tempat kerja. Oleh itu, Abu tidak suka memandu ke tempat kerja. (a) Tulis semula hujah itu dengan menggunakan pembolehubah dan penghubung penyataan. [2 markah] (b) Uji kesahan hujah tersebut.

[5 markah]

dan

2 Katakan set B dengan operasi dedua semua x, y dan z dalam B,

(x

y

z ) (x

y

ialah algebra Boolean. Tunjukkan bahawa, bagi

z) ( x

y

z ) (x

y

z)

y.

[5 markah]

3 Cari pembahagi sepunya terbesar 2501 dan 2173, dan ungkapkannya dalam bentuk 2501m + 2173n, dengan m dan n integer yang perlu ditentukan. [6 markah] Dengan yang demikian, cari integer positif terkecil p yang sebegitu rupa sehinggakan 9977 + p = 2501x + 2173y, dengan x dan y integer. [3 markah] 4 Terdapat 20 bola dengan 4 berwarna kuning, 5 berwarna merah, 5 berwarna putih dan 6 berwarna hitam. Bola yang berwarna sama adalah secaman. (a) Cari bilangan cara semua bola itu boleh disusun dalam satu baris supaya semua bola putih bersama-sama membentuk satu blok tunggal dan terdapat sekurang-kurangnya satu bola hitam di sisi blok putih. [3 markah] (b) Cari bilangan cara 5 bola boleh disusun dalam satu baris jika bola itu dipilih hanya daripada bola merah dan bola kuning. [3 markah] (c) Cari bilangan cara semua bola itu boleh diagihkan kepada 4 orang supaya setiap orang menerima sekurang-kurangnya satu bola bagi setiap warna. [4 markah] (d) Tentukan bilangan bola yang mesti dipilih untuk memperoleh sekurang-kurangnya 4 bola yang berwarna sama. [2 markah] 5 Katakan an ialah bilangan cara (tertib adalah bererti) nombor asli n boleh ditulis sebagai hasil tambah 1, 2, atau kedua-duanya. (a) Jelaskan mengapa hubungan jadi semula bagi an, dalam sebutan an 1 dan an 2, ialah an = an 1 + an 2, n > 2. (b) Cari satu rumus tak tersirat bagi an.

[2 markah] [6 markah]

956/1

-3-

more examination papers at : www.myschoolchildren.com

6

A graph is given as follows: v2

e1

v1

e2

e6

e3

e5 v4

v3

e4 v5

(a) Write down an incidence matrix for the graph.

[2 marks]

(b) What can be said about the sum of the entries in any row and the sum of the entries in any column of this incidence matrix? [2 marks]

956/1

-4-

more examination papers at : www.myschoolchildren.com

6

Satu graf diberikan seperti yang berikut: v2

e1

v1

e2

e6

e3

e5 v4

v3

e4 v5

(a) Tuliskan satu matriks insidens bagi graf itu.

[2 markah]

(b) Apakah yang boleh dikatakan tentang hasil tambah kemasukan sebarang baris dan hasil tambah kemasukan sebarang lajur matriks insidens ini? [2 markah]

956/1

-5-

more examination papers at : www.myschoolchildren.com

Section B [15 marks] Answer any one question in this section. 7

Define the congruence a

b (mod m).

[1 mark]

3

3

Solve each of the congruences x 2 (mod 3) and x integers which satisfy both the congruences.

2 (mod 5). Deduce the set of positive [9 marks]

Hence, find the positive integers x and y which satisfy the equation x 3 15 xy 12 152. [5 marks] 8

Let G be a simple graph with n vertices and m edges. Show that m < 12 n(n 1).

[4 marks]

(a) If m = 10 and G has all vertices of odd degrees, find the smallest possible value of n. [4 marks] (b) If n = 11 and m = 46, show that G is connected.

956/1 -6-

[7 marks]

more examination papers at : www.myschoolchildren.com

Bahagian B [15 markah] Jawab mana-mana satu soalan dalam bahagian ini. 7

Takrifkan kekongruenan a

b (mod m).

[1 markah]

3

Selesaikan setiap kekongruenan x 2 (mod 3) dan x yang memenuhi kedua-dua kekongruenan itu.

3

2 (mod 5). Deduksikan set integer positif [9 markah]

Dengan yang demikian, cari integer positif x dan y yang memenuhi persamaan x3 15xy 12152. [5 markah] 8

Katakan G ialah satu graf ringkas dengan n bucu dan m tepi. Tunjukkan bahawa m < 12 n(n 1). [4 markah]

(a) Jika m = 10 dan G mempunyai semua bucu dengan darjah ganjil, cari nilai n terkecil yang mungkin. [4 markah] (b) Jika n = 11 dan m = 46, tunjukkan bahawa G adalah berkait.

956/1

-7-

[7 markah]

more examination papers at : www.myschoolchildren.com

MATHEMATICAL FORMULAE (RUMUS MATEMATIK)

Counting (Pembilangan) Multinomial theorem (Teorem multinomial) x1

x2

xk

n!

n

1

r1 ! r2 !. . .rk !

rk

x1r x2r . . . xk , r1 2

r2

rk

n

Principle of inclusion and exclusion (Prinsip rangkuman dan eksklusi)

n A1

A2



Am

n Ai 1< i < m

n Ai

n Ai

Aj

1< i j < m

Aj

Ak

1