UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Prof. DORIS HINESTROZA

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SISTEMA DE NUMEROS COMPLEJOS

Sea C el conjunto de parejas ordenadas (a, b) de n´ umeros reales, esto es C = {(a, b) : a, b ∈ R}. Diremos que dos complejos son iguales, esto es (a, b) = (c, d) si y s´olo si a = c y b = d. En este conjunto C definimos la suma y el producto de dos n´ umeros complejos como: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) , (a, b).(c, d) = (ac − bd, ad + bc). Podemos deducir f´ acilmente que los n´ umeros complejos satisfacen la propiedades conmutativas, asociativas y distributivas que se dna en los n´ umeros reales. Podemos identificar naturalmente los n´ umeros complejos cuya segunda componente es cero como n´ umeros reales y en este sentido los reales los podemos ver como un subconjunto de los n´ umeros complejos. As´i podemos expresar el n´ umero complejo (a, 0) por el n´ umero real a. Sobre el conjunto podemos observar lo siguiente: 1.

• si λ ∈ R entonces λ (a, b) = (λa, λb) .

• El conjunto C, s´olo con la operaci´on + es un grupo. Definiendo la multiplicaci´on por escalares reales C se convierte en el conjunto vectorial sobre R, R2 . • Claramente el n´ umero cero en C es (0, 0) y lo representaremos por 0 y el elemento uno es (1, 0) . Si (a, b) ∈ C con (a, b) 6= (0, 0) (esto es a 6= 0 o b 6= 0. Vamos a hallar el inverso de (a, b), esto es hallar el complejo (c, d) tal que (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (1, 0), o sea que ac − bd = 1 y ad + bc = 0. Este sistema lo podemos expresar matricialmente como Ã

a −b b a

!Ã

c d

!

=

=

Ã

Ã

1 0

!

. Tomando A como la matriz A =

Ã

a −b b a

!

con det(A) = a2 +b2 6= 0

tenemos que Ã

c d

!

a −b b a

!−1 Ã

1 0

!

=

1 det A

1

Ã

a b −b a

!Ã

1 0

!

⎛

⎞ a 2 ⎜ + b ⎟. = ⎝ −b ⎠ 2 2 a +b

a2

As´i el inverso de (a, b) que denotaremos por (a, b)−1 es dado por (a, b)−1 =

1 = (a, b)

µ

¶

a −b , 2 . 2 2 a + b a + b2

• Si llamamos i al complejo (0, 1) esto es i = (0, 1), tenemos que todo n´ umero complejo (a, b) lo podemos expresar como (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + ib • Observemos que i.i = −1, o sea que i es soluci´ on de la ecuaci´on z 2 +1 = 0 en C. Claramente z 2 + 1 = (z + i) (z − i) o z 2 + w2 = (z + iw)(z − iw). • Definimos la parte real e imaginaria de un n´ umero complejo z = a + ib como Re z = a, Im z = b. El n´ umero conjugado de z, que denotamos por z est´a dado por z = a − ib. Claramente tenemos que

z+z z−z y Im z = . 2 2i Tambi´en definimos, la norma del n´ umero complejo z = a + ib como Re z =

|z| = Claramente

p

a2 + b2 .

|z|2 = zz = a2 + b2 . Con todas estas definiciones tenemos que: z+w = z+w |zw| = |z| |w| z

Puesto que |z|2

y zw = zw, y

|z| = |z| ,

∈ R si y s´lo si z = z. |z|2 |z|2 (z 6= 0) o z = = zz entonces z = z z

Observando que zz siempre es un n´ umero real y mayor o igual que 0. Observemos que si w con w = (c + id) y z = (a + ib) 6= 0 tenemos que tenemos el cociente de dos complejos z wz (c + id) (a − ib) w ac + bd ad − bc = = = 2 +i 2 . z zz a2 + b2 a + b2 a + b2 Plano Complejo El n´ umero complejo (a, b)√= a+ib lo podemos representar como un punto en el plano xy de coordenadas (a, b). La norma |z| = a2 + b2 nos representaria la distancia de dicho punto desde el origen de coordenadas. Cuando utilizamos el plano xy para representar n´ umeros complejos, el plano toma el nombre de plano Argand, en honor a Jean Argand (1768-1822), matem´atico suizo que en 1806 propuso esta representaci´on para los n´ umeros complejos.

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(x,y)

y

| z |

(x,y)

y

P u n t o P = ( x ,y ) q u e R e p r e s e n t a a z = x + iy

x

x

Obsevemos que el n´ umero complejo z, geom´etricamente lo podemos ver como la reflexi´ on de z respecto al eje x

z

z

.

El proceso de sumar tiene una interpretaci´on muy simple en t´erminos vectoriales como se muestra en la figura:

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z1 + z 2 z2 z1

Con el fin de interpretar geometricamente la multiplicaci´ on compleja introduciremos la representaci´ on polar de los complejos. Representacion Polar Dado (x.y) ∈ R2 , (x.y) 6= (0, 0). Sean (r, θ) sus coordenadas polares. As´i podemos escribir z = r(cos θ + isen θ), donde r = |z| y el n´ umero θ, llamado argumento de z, tiene diferentes posibilidades para θ. Un n´ umero complejo tiene infinitos argumentos, cualquier dos de ellos difieren en m´ ultiplos de 2π. Vamos a denotar todos estos argumentos por arg z. Definimos el argumento principal de z como el u ´nico argumento que est´ a definido en el intervalo (−π, π] , y que denotaremos por Arg z; as´i −π < Arg z ≤ π. Con esta notaci´on es claro que arg z = Arg z + 2kπ, k ∈ Z. Observemos que si z1 = r1 (cos θ1 + isen θ1 ) y z2 = r2 (cos θ2 + isen θ2 ) entonces z1 z2 = z1 = r1 r2 {[cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2 ] + i [sen θ1 sen θ2 + sen θ1 sen θ2 ])} = r1 r2 [cos (θ1 + θ2 ) + i sen ( θ1 + θ2 )]

Claramente tenemos que arg(z1 z2 ) = θ1 + θ2 + 2kπ, k ∈ Z arg(z1 ) = θ1 + 2nπ,

arg(z2 ) = θ2 + 2mπ,

n∈Z

m ∈ Z.

Por otro lado As´i

θ1 + θ2 + 2kπ = θ1 + 2nπ + (θ2 + 2(k − n1 )π). arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ).

Nota 1: No siempre es cierto que Arg(z1 z2 ) = Arg(z) + Arg(z2 ). Observemos por ejemplo que si z1 = −1 y z = i, entonces Argz1 = π y Argz1 = π/2, entonces 4

Arg(z1 ) + Arg(z2 ) = 32 π. Por otro lado Arg(z1 z2 ) = Arg(−i) = −π/2. Luego Arg(z1 z2 ) 6= Arg(z1 ) + Arg(z2 ). Nota 2: Si z = r(cos θ + isen θ) entonces iz = z = r(cos(θ + π/2) + isen (θ + π/2)). Como podemos observar iz se obtiene rotando geometricamente el vector z en sentido positivo un a´ngulo π/2, sin cambiar la longitud.

iz z

π /2

θ

1 Nota 3: Si z = r(cos θ + isen θ) 6= 0, entonces z −1 = (cos(−θ) + isen (−θ)), puesto que zz −1 = 1. r As´i tenemos que r1 z1 = [cos (θ1 − θ2 ) + i sen ( θ1 − θ2 )] , z2 6= 0. z2 r2 Claramente arg(

z1 ) = arg(z1 ) − arg(z2 ). z2

Ecuaci´ on binomial Si a = r(cos θ + isen θ), a 6= 0 tenemos que an = rn (cos θ + isen θ)n = rn (cos nθ + isenn θ). Para n = 0, tenemos que a0 = 1 y puesto que 1 a−1 = (cos(−θ) + isen (−θ)), r la f´ormula de potencias es v´alida tambi´en para los enteros negativos. En particulas si n < 0, definimos an = (a−1 )−n . Claramente si r = 1, tenemos la f´ ormula de Moivre (cos θ + isen θ)n = (cos nθ + isenn θ), lo cu´al nos d´ a una f´ormula que nos permite calcular la ecuaci´ on z n = a, a 6= 0. Si escribimos z = ρ(cos ϕ + isen ϕ). Entonces, ρn (cos nϕ + isenn ϕ) = r(cos θ + isen θ).

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Lo cual implica que ρn = r, o sea ρ = r1/n , n ϕ = θ + 2kπ, k ∈ Z. Observemos que ϕk =

2kπ θ + , k ∈ Z. n n

Los u ´nicos valores que dan distintos zk tales que zkn = a. son k = 0, 1, ..., n − 1. As´i tenemos: zk = r

1/n

µ

µ

2kπ θ + cos n n

¶

µ

2kπ θ + + isen n n

¶¶

, k = 0, 1, ..., n − 1.

an dadas por En el caso que a = 1, la ecuaci´ on se convierte en z n = 1, cuyas ra´ices est´ µ

2kπ zk = cos n

¶

µ

¶

2kπ + isen , k = 0, 1, ..., n − 1. n

Si hacemos w = cos

2π 2π + isen , n n

tenemos que zo = wo = 1 z1 = w z2 = w 2 .. . zn−1 = wn−1 , √ As´i las ra´ices de la unidad son 1, w, w2 , ..., wn−1 , donde wn = 1. Esto nos nuestra que si n a es cualquier ra´iz n − sima de a, entonces √ wk n a, k = 0, 1, ..., n − 1 ³ √ ´n son todas las r´ aices, Puesto que wk n a = a. Plano Complejo extendido y proyecci´ on estereogr´ afica Cuando usamos los n´ umeros reales, empleamos el concepto de infinito y consideramos los simbolos +∞ y −∞. Por jemplo decimos que la sucesi´ on 1, 2, 3, ...,diverge a +∞ y la sucesi´ on −1, −2, −3, ...,diverge a −∞. Con n´ umeros complejos tambi´en se hace importante hablar del concepto del infinito y denotaremos el ´ simbolo ∞ en el caso complejo.Si quisieramos representar el infinito en el plano, tendr´iamos problemas para representarlo. Podr´iamos pensar el infinito cuando |z| aumenta sin l´imite, siguiendo ciertas trayectoria en el plano complejo, por ejemplo

6

y

x

Con el objetivo de hacer m´as tangible este punto del infinito usaremos lo que se conoce como proyecci´ on estereogr´ afica. Consideramos el plano z provisto de un tercer eje perpendicular al plano. Consideraremos una esfera centrada en el origen de radio 1.

x1

lo cual implica que x=

x1 x2 , y y= . 1 − x3 1 − x3

Por lo tanto el n´ umero complejo asociado al punto P = (x1 , x2 , x3 ) est´a dado por z=

x1 + ix2 . 1 − x3

Observemos que |z|2 = Despejando x3 tenemos que

x21 + x22 1 − x23 1 + x3 2 = 2 = 1−x . (1 − x3 ) (1 − x3 ) 3 x3 =

Igualmente observemos que x1 = x(1 − x3 ) =

z+z , 1 + |z|2

|z|2 − 1 1 + |z|2

x2 = y(1 − x3 ) =

z−z . i(1 + |z|2 )

|z|2 − 1 1 + |z|2 − (|z|2 − 1) 2 = = . 2 2 1 + |z| 1 + |z| 1 + |z|2 Completamos la correspondencia asignando al punto en el infinito el punto N = (0, 0, 1). As´i podemos considerar la esfera como la representaci´ on del plano complejo extendido. Observemos que el hemisferio x3 < 0, corresponde a los valores de z tales que |z| < 1 y el hemisferio x3 > 0, corresponde a los valores de z tales que |z| > 1. Esta esfera es conocida como esfera de Riemann. on es llamada proyecci´ on Los puntos (x, y, 0), (x1 , x2 , x3 ) y (0, 0, 1) est´an en l´inea recta. Esta proyecci´ estereogr´ afica que podemos denotar por la funci´ on f´acilmente deducible por cuanto 1 − x3 = 1 −

ϕ : S → C∞ dada por x1 + ix2 , 1 − x3 ϕ(0, 0, 1) = ∞

ϕ(x1 , x2 , x3 ) =

La inversa es definida por −1

ϕ

(z) =

Ã

z+z z−z |z|2 − 1 , , 1 + |z|2 i(1 + |z|2 ) 1 + |z|2

!

(∗)

ϕ−1 (∞) = (0, 0, 1)

Por la proyecci´on estereogr´ afica cada un circunferencia sobre S que pasa por el punto (0, 0, 1), se transforma geometricamente en una l´inea recta en el plano z y viceversa. M´ as generalmente podemos mostrar que cada circunferencia en la esfera se transforma en una circunferencia o en una l´inea recta en el plano z. Observemos que cada circunferencia en la esfera est´a determinada por la intersecci´on de la esfera con un plano. As´i podemos asumir que una circunferencia yace en el plano λx1 +µx2 +νx3 = p, p ≥ 0 , x21 + x22 + x23 = 1 y donde podemos suponer que λ2 + µ2 + ν 2 = 1. p debe ser menor que 1, para poderlo intersectar con la esfera.

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De acuerdo con (∗) λ

z+z |z|2 − 1 z−z + v + µ 1 + |z|2 i(1 + |z|2 ) 1 + |z|2

= p, o

λ(z + z) − µi(z − z) + ν(|z|2 − 1) = p(|z|2 + 1)

λ(z + z) − µi(z − z) + ν(|z|2 + 1 − 2) = p(|z|2 + 1)

(p − v)(|z|2 + 1) = λ(z + z) − µi(z − z) − 2v

Reorganizando los t´erminos tenemos As´i tenemos que (p − v)(x2 + y 2 + 1) = 2λx + 2µy − 2v y observemos los siguientes hechos: • Si p = v, entonces la circunferencia se transforma en la recta 2(λx+µy −v) = 0. Observemos que en este caso la ecuaci´ on del plano es dada por λx1 +µx2 +νx3 = p = v o λx1 +µx2 +ν(x3 −1) = 0, plano que pasa por el punto N (0, 0, 1). Mostrando que las circunferencias que pasan por el polo se transforman en rectas. • Si p 6= v, entonces la circunferencia se transforma en una circunferencia dada por (p − v)(x2 + y 2 + 1) − 2λx − 2µy = −2v 2µ −2v 2λ x− y = x2 + y 2 + 1 − p−v p−v p−v 2µ 2v p+v 2λ x− y = −1 − =− x2 + y 2 − p−v p−v p−v p−v Completando cuadrados tenemos que µ

λ x− p−v

¶2

µ

¶2

λ2 µ2 p+v − 2 2 = −p − v , (p − v) (p − v) µ ¶2 µ ¶2 λ2 + µ2 λ µ p+v + x− + y− = − p−v p−v p − v (p − v)2 1 − v2 p+v + = − p − v (p − v)2 1 − v2 − (p + v)(p − v) = (p − v)2 1 − p2 = (p − v)2

µ + y− p−v

−

Distancia estereogr´ afica Dados dos puntos del plano extendido definimos para z, z 0 una distancia definida de la siguiente forma |z − z 0 | q , d(z, z 0 ) = d(ϕ−1 (z), ϕ−1 (z 0 )) = 2 q 1 + |z|2 1 + |z 0 |2 2 d(z, ∞) = d(ϕ−1 (z), ϕ−1 (∞)) = q 1 + |z|2

(Probar este resultado).

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