´ CUADERNILLO DE PRACTICAS DE ESTAD´ISTICA 1o GRADO DE FARMACIA 2011 - 2012

ESTAD´ISTICA

GRADO EN FARMACIA

Curso 2011/2012

´ PRACTICA 1. ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA. 1.- Se est´a estudiando la efectividad de dos tipos de antit´ermicos, A y B, en la reducci´on de la temperatura corporal. La tabla siguiente recoge el tipo de antit´ermico que se le suministr´o a cada uno de treinta ni˜ nos y la reducci´on de temperatura que se consigui´o: 1,4 2,3 1,0 1,8 1,7 1,2

A A B A B B

1,4 1,6 2,1 1,6 1,7 1,6

B B A A B B

1,5 1,4 1,9 1,8 1,1 1,5

B A A A B B

1,1 1,7 1,6 2,1 1,3 1,2

A B A A B B

1,8 1,5 1,6 1,7 1,6 1,5

A B B B B A

a) Cree, con los datos anteriores, un fichero que contenga la variables temperatura y tipo. b) Guarde el fichero con el nombre seminario1. c) La conversi´on de grados cent´ıgrados (Celsius) a grados Fahrenheit se hace con la f´ormula T (0F ) = 1, 8 T (0C) + 32 Cree una nueva variable con el nombre temperaturaF, que contenga las reducciones de temperatura de los treinta ni˜ nos, en grados Fahrenheit, con una sola cifra decimal.

d) Para la variable temperatura:

d1 ) Utilizando el sumario estad´ıstico, halle los valores de los par´ametros estad´ısticos siguientes: Primer cuartil:

Mediana:

Moda:

Tercer cuartil:

Asimetr´ıa:

Curtosis:

Asimetr´ıa tipificada:

Coef. de variaci´on:

Media:

d2 ) Calcule los percentiles de orden 40 y 72. Interprete estos valores. Percentil 40:

Percentil 72:

Interpretaci´on:

d3 ) Divida el conjunto de datos en 5 intervalos de clase, entre 0,8 y 2,5. Obtenga el histograma y decida a partir de ´el si la distribuci´on es sim´etrica.

Intervalo 1

Intervalo 2

Intervalo 3

Intervalo 4

Intervalo 5

........ - ........

........ - ........

........ - ........

........ - ........

........ - ........

Boceto del histograma obtenido →

¿Es sim´etrica la distribuci´on?

d4 ) Indique el valor de la marca de clase correspondiente al tercer intervalo de clase. ¿Cu´al es el porcentaje de datos que pertenecen a dicho intervalo? Marca de clase:

Porcentaje:

d5 ) Construya un diagrama de cajas para los datos. Boceto del diagrama de cajas obtenido →

d6 ) ¿Existen datos puntuales que puedan calificarse como at´ıpicos? d7 ) Exclusivamente para las reducciones de temperatura debidas al antit´ermico A, halle los valores de los par´ametros estad´ısticos siguientes: Media:

Mediana:

Moda:

e) Para la variable tipo: e1) Obtenga la tabla de frecuencias e indique qu´e porcentaje de ni˜ nos han tomado el analg´esico A.

e2) Construya el diagrama de sectores.

2.- Los datos siguientes corresponden a la presi´on arterial, en mm de Hg, de 20 participantes en un ensayo cl´ınico. 90

106

117

102

109

120

115

113

113

101

99

95

126

108

107

109

100

107

106

112

a) Cree con ellos la variable presion. b) ¿Qu´e valor m´aximo de la presi´on arterial es superado por el 30% de las presiones?

c) ¿Qu´e valor m´ınimo de la presi´on arterial no es superado por el 15% de las presiones?

d) Obtenga el diagrama de tallo y hojas.

| | | | | | | |

e) ¿Sugiere la forma del diagrama simetr´ıa en los datos?

f) Obtenga el histograma correspondiente a una agrupaci´on de los datos en seis intervalos de clase, con l´ımite inferior 90 y l´ımite superior 128.

Boceto del histograma obtenido →

g) Traslade el diagrama de tallo y hojas y el histograma a la StatGallery. Comp´arelos. h) Cree un informe de este an´alisis con el StatReporter.

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Curso 2011/2012

´ ´ Y CORRELACION ´ PRACTICA 2. REGRESION 1.- Los pesos y estaturas de una muestra de 10 estudiantes universitarios son: Peso X (kg)

82

75

70

68

44

63

80

70

54

54

Estatura Y (cm)

185

185

180

178

159

170

190

172

162

165

a) Visualice la nube de puntos. Indique si el modelo lineal de ajuste le parece adecuado.

b) Obtenga las rectas de regresi´ on de Y /X y de X/Y. Y /X : X/Y :

c) Determine el valor del coeficiente de correlaci´ on de las dos variables. Interpr´etelo. Coeficiente de correlaci´ on: Interpretaci´ on:

d) Halle el valor del coeficiente de determinaci´ on e interpr´etelo. Coeficiente de determinaci´ on: Interpretaci´ on:

e) ¿Cu´ al es la estatura esperada para un estudiante que pesa 63 kg? ¿Y el peso estimado para uno que tiene una estatura de 175 cm. X = 63 kg → Y =

Y = 175 cm → X =

f) ¿Cu´ anto vale el residuo de la estimaci´ on correspondiente a X = 63 kg? Justifique su obtenci´ on. Residuo: Justificaci´ on:

2.- Se realiza un estudio para establecer una ecuaci´ on mediante la cual se pueda utilizar la concentraci´ on de estrona en saliva, X, para predecir la concentraci´ on del esteroide en plasma libre, Y . Se extrajeron, en pg/ml, los siguientes datos de 14 varones sanos:

X

7, 4

7, 5

8, 5

9, 0

9, 0

11, 0

13, 0

14, 0

14, 5

16, 0

17, 0

18, 0

20, 0

23, 0

Y

30, 0

25, 0

31, 5

27, 5

39, 5

38, 0

43, 0

49, 0

55, 0

48, 5

51, 0

64, 5

63, 0

68, 0

a) Obtenga el modelo lineal que relaciona la concentraci´ on del esteroide en plasma libre con la concentraci´ on de estrona en saliva. Expresi´ on matem´ atica de la relaci´ on lineal:

b) Haga un comentario sobre la adecuaci´ on del modelo a los datos, a partir del coeficiente de correlaci´ on. Coeficiente de correlaci´ on: Comentario:

c) ¿Cu´ al ser´ıa la estimaci´ on de la concentraci´ on del esteroide en plasma libre que corresponder´ıa a una concentraci´ on de estrona en saliva de 17,7 pg/ml?

¿Cu´ al ser´ıa la estimaci´ on de la concentraci´ on del esteroide en plasma libre que corresponder´ıa a una concentraci´ on de estrona en saliva de 26,3 pg/ml?

¿Cabr´ıa hacer alguna objeci´ on a estas estimaciones? En caso afirmativo, exp´ ongala:

d) Obtenga mediante una variable calculada (Generar Datos) los valores estimados por el modelo para las concentraciones del esteroide en plasma libre y los residuos correspondientes.

e) Obtenga ahora directamente los valores estimados y los residuos utilizando la opci´ on del programa Guardar resultados.

3.- Se han tomado cinco muestras de la misma cantidad de gluc´ ogeno y se les ha aplicado una cantidad de glucogenasa, X, (en milimoles/litro) anotando en cada caso la velocidad de reacci´ on, Y , (en micromoles/minuto). Se han obtenido los siguientes datos: X

0, 2

0, 5

1

2

3

Y

8

10

18

35

60

a) ¿Se puede deducir a partir de estos datos que la velocidad de reacci´ on aumenta linealmente con la concentraci´ on de glucogenasa? En caso afirmativo, d´e la expresi´ on matem´ atica del modelo de ajuste.

b) Si a una de las muestras le hubi´esemos aplicado una concentraci´ on de 2,5 milimoles/litro de glucogenasa, ¿Cual habr´ a sido la velocidad de reacci´ on? ¿Es fiable esta predicci´ on?

4.- Se sabe, por experiencia, que el aumento de peso de los embriones de pollo al transcurrir el tiempo sigue una ley de tipo exponencial. En un experimento se obtuvieron los pesos, en gramos, de un embri´ on desde el sexto d´ıa de su nacimiento hasta el decimosexto que aparecen a continuaci´ on: D´ıas

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Peso

0,029

0,052

0,079

0,125

0,181

0,261

0,425

0,738

1,130

1,882

2,812

a) Con los datos anteriores, cree el fichero con las variables d´ıas y peso. b) Ajuste estos valores con el modelo exponencial.

Expresi´ on matem´ atica del modelo exponencial:

c) Calcule el coeficiente de correlaci´ on y R-cuadrado. Interprete sus valores.

d) Obtenga estimaciones del peso para embriones de ocho d´ıas y cuarto, catorce d´ıas y medio y 20 d´ıas. Haga un comentario sobre estas estimaciones.

e) Compruebe si el modelo exponencial es realmente el mejor modelo de ajuste para estos datos.

5.- Una compa˜ n´ıa de electricidad quiere predecir el consumo mensual de energ´ıa el´ectrica de un hogar en funci´ on del tama˜ no de la casa Tama˜ no de la casa (m2 )

120

125

135

150

160

170

185

205

225

275

Consumo mensual (kw/h)

1182

1172

1264

1493

1571

1711

1804

1840

1956

1954

a) Ajuste los datos por una curva de la forma Y = a X b.

b) Calcule los valores del coeficiente de correlaci´ on y R-cuadrado. Interpr´etelos.

c) Estime el consumo mensual de energ´ıa el´ectrica de un hogar de 250 m2 .

e) Visualice los residuos.

6.- Ajuste por el m´etodo de m´ınimos cuadrados una par´ abola a la serie de datos: X

1

3

6

8

11

Y

11,9

13,1

15,2

18,5

29,1

Estime el valor de Y para X = 5,6.

7.- Los datos de la tabla siguiente son el resultado de un estudio del efecto de la temperatura de cristalizaci´ on primaria de una soluci´ on (medida en grados cent´ıgrados) sobre el contenido en f´ osforo (medido en gramos por litro): X (temperatura)

−6

−3

0

3

6

9

12

15

20

25

Y (f´ osforo)

2, 0

2, 8

3, 9

4, 2

5, 8

6, 2

7, 5

8, 2

9, 3

10, 9

a) Visualice la nube de puntos. b) Ajuste estos datos por una funci´ on lineal del tipo y = a + bx; por una funci´ on exponencial del tipo y = aebx ; y por una funci´ on parab´ olica del tipo y = a + bx + cx2 . Indique las expresiones matem´ aticas de los distintos modelos de ajuste.

c) ¿Qu´e modelo de ajuste es el m´ as adecuado para representar la relaci´ on entre las dos variables?

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´ PRACTICA 3. DISTRIBUCIONES DISCRETAS 1.- Represente gr´ aficamente las siguientes variables aleatorias binomiales: B(30; 0, 1)

B(30; 0, 2)

B(30; 0, 5)

B(30; 0, 85)

B(30; 0, 9)

Comente la influencia que tienen en la gr´ afica de la funci´ on de probabilidad los cambios en el par´ ametro p de la distribuci´ on.

2.- Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on binomial de par´ ametros n = 10 y p = 0, 4. Calcule las probabilidades siguientes: a) P (X < 4) =

b) P (X = 4) =

c) P (X ≤ 4) =

d) P (X > 6) =

e) P (X ≥ 8) =

f) P (3 ≤ X ≤ 6) =

g) P (2 ≤ X < 7) =

h) P (4 < X ≤ 9) =

3.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0,4. Si se sabe que 100 personas contrajeron esa enfermedad, calcule la probabilidad de que sobrevivan: a) 30 pacientes o menos b) Exactamente 45 pacientes c) Entre 35 y 40, ambos inclusive d) ¿Cu´ antos pacientes de los 100 se espera que sobrevivan a la enfermedad?

4.- La probabilidad de que el pr´ oximo nacimiento en un hospital sea de un ni˜ no es 0,52. En los pr´ oximos mil nacimientos que se produzcan en dicho hospital, calcule la probabilidad de que haya: a) M´ as de 480 ni˜ nos c) M´ as ni˜ nos que ni˜ nas

b) Exactamente 510 ni˜ nas

5.- Represente gr´ aficamente las variables aleatorias de Poisson con par´ ametros 2, 8, 20 y 40. Comente la influencia que tienen en la gr´ afica de la funci´ on de probabilidad los cambios en el par´ ametro λ de la distribuci´ on.

6.- La variable aleatoria X tiene una distribuci´ on de Poisson de par´ ametro 9. a) Halle la media de X. b) Calcule: P (X ≤ 3) =

P (X ≥ 6) =

P (4 ≤ X ≤ 12) =

7.- Se sospecha que muchas muestras de agua, todas del mismo tama˜ no y tomadas de un r´ıo, han sido contaminadas por operarios irresponsables de una planta de tratamiento de aguas. Se cont´ o el n´ umero de organismos coliformes en cada muestra. El n´ umero medio de organismos por muestra fue de 15. Suponiendo que el n´ umero de organismos se distribuye seg´ un una distribuci´ on de Poisson, calcule la probabilidad de que: a) Las dos pr´ oximas muestras contengan al menos 17 organismos. b) Las diez pr´ oximas muestras contengan al menos 100 organismos.

8.- En cierto cultivo, el n´ umero medio de c´elulas de Rickettsia typhi (c´elulas que causan el tifus) es de cinco por 20 µm2 a) ¿Cu´ antas c´elulas de ese tipo se esperan encontrar en un cultivo de l6 µm2 ? b) ¿Qu´e probabilidad hay de que no se encuentre ninguna en un cultivo de l6 µm2 ? c) ¿Y de que haya al menos nueve c´elulas en un cultivo de este tama˜ no?

Aproximaci´ on de una distribuci´ on binomial por una distribuci´ on de Poisson. 8.- Se pretende comprobar que en las condiciones estudiadas en clase, la distribuci´ on de Poisson es una buena aproximaci´ on de la distribuci´ on binomial. Para ello: • Represente gr´ aficamente la variable binomial de par´ ametros n = 50 y p = 0, 1. Traslade la gr´ afica obtenida a la StatGallery. • Represente gr´ aficamente la variable de Poisson de par´ ametro λ = 50 · 0, 1 = 5.En Opciones Gr´ aficas indique que los valores de X var´ıen entre 0 y 50, de 10 en 10, y que los valores de Y var´ıen entre 0 y 0,2, de 0,04 en 0,04. Traslade la gr´ afica obtenida a la StatGallery. Compare ambas gr´ aficas y haga un comentario:

Ejercicios. 9.- Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporci´ on de 3 de cada 100 pacientes. Si se eligen 5 pacientes al azar a los que se les aplica la droga, calcula la probabilidad de que: a) Ning´ un paciente tenga efectos secundarios. b) Al menos dos tengan efectos secundarios. c) ¿Cu´ al es el n´ umero medio de pacientes que espera el laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

10.- Algunas especies de paramecios producen y segregan part´ıculas ”letales” que causar´ıan la muerte de un individuo susceptible, si ´este se pusiere en contacto con ellas. Todos los paramecios que no son capaces de producir part´ıculas letales son susceptibles a ellas. El n´ umero medio de part´ıculas letales emitidas por un paramecio de tales especies es de uno cada cinco horas. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que uno de estos paramecios no emita tales part´ıculas en un periodo de dos horas y media? b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que emita al menos una part´ıcula letal?

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´ PRACTICA 4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS 1.- Represente gr´ aficamente de manera conjunta las siguientes distribuciones normales: N (0, 1) N (0, 2) N (0, 3) De la observaci´ on de las gr´ aficas, ¿qu´e se puede decir acerca de la influencia que tienen en ellas los cambios de valores de la desviaci´ on t´ıpica?

2.- Represente gr´ aficamente de manera conjunta las siguientes distribuciones normales: N (0, 1) N (1, 1) N (2, 1) De la observaci´ on de las gr´ aficas, ¿qu´e se puede decir acerca de la influencia que tienen en ellas los cambios de valores de la media?

3.- Calcule las siguientes probabilidades para una distribuci´ on N(0,1). P (Z < −1, 5) =

P (Z > 2) =

P (−0, 5 < Z < 1, 8) =

4.- Calcule las siguientes probabilidades para una distribuci´ on X ∼ N (15; 2, 5). P (X < 14) =

P (13 < X < 17) =

P (X > 18, 5) =

5.- Se admite que el peso de una poblaci´ on se distribuye seg´ un una N (67, 8). Si se toma una persona al azar, cu´ al es la probabilidad de que pese: a) Menos de 65

b) M´ as de 70

d) ¿Cu´ al es el peso que es superado solamente por el 10% de la poblaci´ on?

e) ¿Cu´ al es el peso m´ınimo que no supera el 25% de la poblaci´ on?

6.- El di´ ametro m´ aximo de los hemat´ıes de una persona con malaria por Plasmodium vivax presenta las siguientes caracter´ısticas: Si la c´elula esta infectada dicha variable se distribuye de forma normal con media 7,6 micras y desviaci´ on t´ıpica 0,9 micras, y si la c´elula no est´ a infectada dicha variable se distribuye de forma normal con media 9,6 micras y desviaci´ on t´ıpica 1,0 micras. Calcule la proporci´ on de: a) C´elulas no infectadas con un di´ ametro m´ aximo mayor que 9,4 micras. b) C´elulas no infectadas con un di´ ametro m´ aximo inferior a 7 micras. b) C´elulas infectadas con un di´ ametro m´ aximo inferior a 9,4 micras.

7.- Siete mil corredores participan en una carrera local en la que se pueden clasificar para correr la marat´ on de la ciudad de New York si completan los 42 km en un tiempo inferior a 3 horas y 10 minutos. Solamente 6350 corredores han terminado la carrera. Si los tiempos empleados en completar los 42 km se distribuyen normalmente con una media de 3 horas 40 minutos y una desviaci´ on t´ıpica de 28 minutos, se pide: a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que un corredor elegido al azar haya empleado menos de 3 horas en completar la carrera? b) ¿Cu´ antos corredores se han clasificado para la marat´ on de Nueva York?

c) Si se clasifican m´ as de 800 corredores, la organizaci´ on aplicar´ a como criterio de selecci´ on para acudir a la marat´ on de Nueva York haber conseguido un tiempo que est´e incluido dentro del 5% de los mejores tiempos. ¿Qu´e tiempo m´ aximo se debe emplear en la carrera local para ser seleccionado para la marat´ on de Nueva York con este criterio?

8.- Se considera que el nivel plomo en sangre, en los ni˜ nos, no es admisible para su salud si supera los 10 µg/dl. Se supone que la variable X: cantidad de plomo presente en la sangre de un ni˜ no de una poblaci´ on tiene una distribuci´ on N (7, 2). a) Si se elige un ni˜ no al azar, ¿cu´ al es la probabilidad de que su nivel de plomo en sangre no sea admisible?

b) Si se seleccionan al azar veinte ni˜ nos, ¿cu´ al es la probabilidad de que haya entre 1 y 4 (ambos inclusive) con un nivel de plomo en sangre inadmisible?

9.- Unos laboratorios farmac´euticos almacenan en una nave cierto tipo de comprimidos que producen en dos plantas de fabricaci´ on. El 65% procede de la planta A y el 35% de la planta B. El peso, en miligramos, de los comprimidos procedentes de A sigue una distribuci´ on N (746, 15) y el peso de los comprimidos de B N (754, 22). a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que un comprimido de la planta A, elegido al azar, pese entre 751 y 760 mg. b) Si un comprimido elegido al azar en la nave de almacenamiento tiene un peso superior a 745 mg, ¿cu´ al es la probabilidad de que haya sido fabricado en la planta A?

10.- Aproximaci´ on de una distribuci´ on binomial y una distribuci´ on de Poisson por una distribuci´ on normal. 10.1 • Represente gr´ aficamente la variable binomial de par´ ametros n = 100 y p = 0, 3. Traslade la gr´ afica obtenida a la StatGallery. √ • Represente gr´ aficamente la variable N (100 · 0, 3; 100 · 0, 3 · 0, 7) = N (30; 4, 58).Traslade la gr´ afica obtenida a la StatGallery. Compare ambas gr´ aficas y haga un comentario:

10.2 • Represente gr´ aficamente la variable de Poisson de par´ ametros λ = 64. Traslade la gr´ afica obtenida a la StatGallery. √ • Represente gr´ aficamente la variable N (64; 64) = N (64, 8).Traslade la gr´ afica obtenida a la StatGallery. Compare ambas gr´ aficas y haga un comentario:

11.- Calcule las siguientes probabilidades: P (t24 < 0, 5) =

P (−0, 3 < t13 < 1) =

Calcule las siguientes probabilidades: P (χ235 > 12) =

P (10 < χ211 < 30) =

12.- Calcule las siguientes probabilidades: P (F12,17 < 1, 6) =

P (0, 3 < F20,18 < 1, 8) =

13.- Generaci´ on de una muestra aleatoria de una poblaci´ on normal. An´ alisis descriptivo. • Genere una muestra aleatoria de tama˜ no 100 de una distribuci´ on N (170, 4)y gu´ ardela con el nombre de muestrap4. • Obtenga el histograma y el gr´ afico de densidad suavizada y compruebe que estos sugieron normalidad en los datos. • Confirme la normalidad con los valores de la asimetr´ıa y curtosis tipificadas. Hacemos ahora el proceso contrario: partimos de que tenemos una muestra de datos (muestrap4) y queremos saber de qu´e poblaci´ on normal proceden. Para ello: • En la opci´ on Descripci´ on → Distribuciones → Ajuste de Distribuciones (Datos no censurados) seleccione la variable muestrap4. En Opciones Gr´ aficas active Histograma de Frecuencias. Esta opci´ on permite representar en un mismo gr´ afico el histograma de un conjunto de datos de una variable aleatoria junto con el modelo de distribuci´ on de probabilidad que los ha generado. • En el Resumen del An´ alisis aparecen los valores de los par´ ametros de la distribuci´ on normal de la que procede la muestra

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´ PRACTICA 5. INTERVALOS DE CONFIANZA 1.- El nivel de creatina s´erica en la sangre se considera un buen indicador de la presencia o ausencia de enfermedades de ri˜ non. Las personas sanas tienen generalmente bajas concentraciones de creatina s´erica (aproximadamente un valor de µ = 1), mientras que las personas enfermas la tienen alta. Se desea conocer la relaci´ on entre el abuso de analg´esicos y las enfermedades de ri˜ no ´n. Para ello, se estudia a 11 personas que trabajan en una f´ abrica y que se sabe que abusan de los analg´esicos. Sus niveles de creatina han sido: 0,9

0,7

1,0

1,1

1,4

2,0

1,5

2,2

0,8

0,8

1,4

¿ Calcule un intervalo de confianza del 95% para el nivel medio de creatina en personas que abusan de los analg´esicos? ¿Es razonable pensar con ese nivel de confianza que el consumo de analg´esicos aumenta el nivel de creatina en la sangre? Justif´ıquelo.

2.- Los datos siguientes han sido obtenidos de una muestra aleatoria simple de tama˜ no 30, de la distribuci´ on X: “porcentaje de aumento del contenido de alcohol en la sangre de una persona, despu´es de ingerir cuatro cervezas”. X = 41, 2

s = 2, 1

a) Calcule un intervalo de confianza del 90% para el porcentaje medio de aumento de alcohol en la sangre de una persona, despu´es de tomar cuatro cervezas.

b) ¿Hay que hacer alguna suposici´ on previa sobre la distribuci´ on de la variable X? En caso afirmativo, ind´ıquela.

3.- En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de quince a˜ nos de una determinada poblaci´ on, result´ o que el 17,6% eran hipertensas. Determine un intervalo de confianza del 90% para la proporci´ on de mujeres hipertensas en dicha poblaci´ on.

¿Se podr´ıa afirmar a ese nivel de confianza que el porcentaje de mujeres hipertensas de esa poblaci´ on es del 21%?

4.- La variable aleatoria que representa la capacidad de las probetas producidas en una determinada empresa del vidrio tiene una distribuci´ on aproximadamente normal. Una muestra aleatoria de 7 de ellas dio como resultado una cuasivarianza de 62 mililitros2. D´e una estimaci´ on, mediante un intervalo de confianza del 95%, de la varianza de la capacidad de las probetas que fabrica dicha empresa.

5.- Se tiene la sospecha de que en las aguas de un embalse las concentraciones de nitritos superan el umbral establecido para la existencia de vida pisc´ıcola de tipo ciprin´ıcolas, que es de 0, 03 mg NO 2 /l o menos. Para tratar de verificar esta sospecha, se midieron los niveles de nitritos en diez puntos aleatorios del embalse y se obtuvieron los siguientes valores: 0,02

0,05

0,03

0,05

0,04

0,06

0,07

0,03

0,04

0,03

¿Se puede afirmar al nivel de confianza del 90% que las concentraciones de nitritos superan el umbral establecido para que sea factible la existencia de vida pisc´ıcola en el embalse? Justif´ıquelo.

6.- Se ha aplicado un f´ armaco a una muestra de 200 enfermos y se ha observado una respuesta positiva en 140 de ellos. Est´ımese mediante un intervalo de confianza del 99%, la proporci´ on de enfermos que responder´ıan positivamente si este medicamento se aplicase a la poblaci´ on de la que se ha extra´ıdo la muestra.

7.- Se desea comparar los f´ armacos amlodipino y enalapril para el tratamiento de la hipertensi´ on arterial. De dos poblaciones independientes se extraen dos muestras aleatorias simples de nueve y diez pacientes, respectivamente. A los primeros se les trata con amlodipino y a los segundos con enalapril. Posteriormente, se les mide el grado de disminuci´ on de la tensi´ on arterial (en mg de mercurio), con los resultados siguientes: Amlodipino Enalapril

6 8

5 10

8 9

3 7

6 6

6 8

5 9

7 8

2 6

4

a) Calcule un intervalo de confianza para la diferencia de las disminuciones medias de la presi´ on arterial, del 90% de confianza. Se suponen distribuciones normales independientes para las variables.

b) ¿Se puede afirmar que el enalapril es m´ as efectivo que el amlodipino en la disminuci´ on de la tensi´ on arterial? Justifique la respuesta.

8.- Se est´ a realizando un estudio para considerar el efecto que tiene sobre el feto el hecho de que la madre fume. Para el estudio se tom´ o una muestra de 121 madres fumadoras y otra de 121 madres no fumadoras. La variable de inter´es es el peso en gramos del ni˜ no al nacer y se supone que esta variable se distribuye normalmente. Los datos obtenidos de las muestras son: Media muestral

Cuasidesv.tip. muestral

Tama˜ no muestra

Madres no fumadoras

X 1 = 3 480, 1 g

s1 = 8, 68 g

n1 = 121

Madres fumadoras

X 2 = 3 256, 5 g

s2 = 11, 02 g

n2 = 121

a) Construya un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de los pesos medios de los ni˜ nos al nacer.

b) ¿Qu´e puede concluirse acerca de la influencia que pueda tener en el peso del ni˜ no el que la madre sea fumadora?

9.- Un laboratorio farmac´eutico produce un mismo f´ armaco en dos plantas A y B. Pretende estudiar si la proporci´ on de unidades fabricadas que mantienen su eficacia despues de su fecha de caducidad es similar en ambas plantas. Para ello, se tom´ o una muestra aleatoria de 36 unidades de la planta A y se observ´ o que 12 de ellas mantuvieron sus propiedades despu´es de su fecha de caducidad. Otro tanto ocurri´ o con 16 unidades de otra muestra aleatoria de 36 unidades de la planta B. a) Calcule un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones de f´ armacos caducados que mantienen sus propiedades.

b) Justifique si la diferencia es o no significativa.

10.- Ocho personas seropositivas tomaron parte en un ensayo cl´ınico con el objeto de determinar la efectividad de una droga para retardar la aparici´ on del SIDA. Un indicador de esta aparici´ on son las c´elulas CD4 del sistema inmunitario. Para cada paciente se cont´ o el n´ umero de c´elulas CD4 antes y despu´es del tratamiento con los siguientes resultados: Antes Despu´es

415 474

356 329

339 555

188 282

256 423

296 323

249 256

303 431

¿Se puede afirmar al nivel de confianza del 99% que el tratamiento retarda la aparici´ on del SIDA? Justif´ıquelo.

11.- Para estudiar la eficacia de un f´ armaco antidoloroso se eligieron aleatoriamente 29 mujeres que sufr´ıan calambres uterinos despu´es del parto. De ellas, 16 fueron tratadas con el medicamento y las 13 restantes con un placebo. La mejor´ıa experimentada se midi´ o en una escala entre 0 (ninguna mejor´ıa) y 56 (mejor´ıa completa durante 8 horas). Los resultados obtenidos fueron: F´ armaco Placebo

n1 = 16 n2 = 13

X 1 = 31, 96 X 2 = 25, 32

s1 = 12, 05 s2 = 13, 38

a) Construya un intervalo de confianza del 98% para la diferencia de las mejor´ıas medias entre las mujeres tratadas con el f´ armaco y las tratadas con placebo. (Se supone normalidad en los datos)

b) ¿Se puede considerar que el f´ armaco es eficaz en la mejora del dolor producido por los calambres postparto? Justif´ıquelo.

12.- Se desea estudiar si un aumento de calcio en la dieta reduce la presi´ on sangu´ınea. Para ello, se realiz´ o un experimento con 20 personas. Diez de ellas (grupo 1) tomaron un suplemento de calcio durante doce semanas mientras que las diez restantes (grupo 2) tomaron un placebo. Tras las 12 semanas, se midi´ o la disminuci´ on de la presi´ on sist´ olica de la sangre de las 20 personas, con los siguientes resultados Grupo 1 Grupo 2

7 −1

−4 12

18 −1

17 −3

−3 3

−5 −5

1 5

10 2

11 −11

−2 −3

a) Calcule un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre la disminuci´ on media la presi´ on sangu´ınea de las personas que toman calcio y la de las personas que no toman calcio.

b) ¿Es cierto que un aumento de calcio en la dieta reduce la presi´ on sangu´ınea? Justif´ıquelo.

13.- Para comprobar si un tratamiento con a ´cidos grasos es eficaz en pacientes con eczema at´ıpico, se tomaron 10 pacientes con eczema y se les someti´ o durante tres semanas a un tratamiento ficticio (placebo) y durante las tres siguientes a un tratamiento con a ´cidos grasos. Tras cada periodo, un m´edico ajeno al proyecto evalu´ o la importancia del eczema en una escala de 0 (no eczema) a 10 (tama˜ no m´ aximo de eczema). Placebo Tratamiento

6 5

8 6

4 4

8 5

5 3

6 6

5 6

6 2

4 2

5 6

a) Calcule un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre la importancia media del eczema at´ıpico despu´es del tratamiento ficticio (placebo) y despu´es del tratamiento con a ´cidos grasos.

b) ¿Es cierto que el tratamiento del eczema at´ıpico con a ´cidos grasos es eficaz? Justif´ıquelo.

14.- Cierta industria fabricante de lentes para gafas ha realizado un experimento para comparar dos tipos (1 y 2) de recubrimientos antirreflectantes y elegir aquel que sufra un menor desgaste. Ha seleccionado 12 personas al azar que requer´ıan este tipo de lentes; ha preparado para las primeras 6 personas sendas gafas con un recubrimiento de tipo 1, y para las otras 6, sendas gafas con recubrimiento de tipo 2. Despu´es de seis meses de uso se ha medido el desgaste sufrido en los cristales, con el resultado siguiente para cada una de las 12 personas. Desgaste lente Tipo de recubrimiento

4,1

4,4

4,8

4,5

4,3

5,2

5,0

5,5

4,0

4,6

5,9

7,0

1

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

a) Calcule un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de desgastes medios en las lentes con los dos tipos de recubrimiento.

b) ¿Se podr´ıa afirmar que con el de tipo 2 se obtiene un menor desgaste que con el de tipo 1? Justif´ıquelo.

15.- La siguiente tabla representa las presiones sangu´ıneas sist´ olicas de 10 individuos alcoh´ olicos rehabilitados, antes y despu´es de haber dejado la bebida. Individuo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Antes

140

165

160

160

175

190

170

175

155

160

Despu´es

145

150

150

160

170

175

160

165

145

170

Estime mediante un intervalo de confianza del 95% el cambio de la presi´ on sist´ olica que produce el abandono del alcohol.

16.- En un sondeo de opini´ on llevado a cabo en el a˜ no 2002 con 1000 individuos de una ciudad se encontr´ o que el 55% de ellos eran favorables a la construcci´ on de un nuevo aeropuerto. Dicho sondeo se repiti´ o en el a˜ no 2003 tras una intensa campa˜ na publicitaria, encontr´ andose esta vez un 60% de individuos favorables a esta opci´ on, entre 1500 encuestados. a) Construya un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de los porcentajes de individuos favorables al nuevo aeropuerto en los a˜ nos 2003 y 2002.

b) ¿Podr´ıa afirmarse al nivel de confianza del 99% que la campa˜ na publicitaria en favor de la construcci´ on del nuevo aeropuerto ha podido tener efecto?

ESTAD´ISTICA

GRADO EN FARMACIA

Curso 2011/2012

´ ´ PRACTICA 6. CONTRASTES DE HIPOTESIS 1.- A dieciocho esquiadores de fondo que han realizado un determinado recorrido se les mide la CPK en sangre (la cantidad de enzima CPK en sangre es una medida de estr´es muscular). Los datos son los siguientes: 520, 300, 480, 1040, 360, 580, 440, 180, 490, 520, 380, 640, 1360, 240, 420, 280, 400, 260 a) ¿Se puede afirmar al nivel de significaci´ on del 5% que la cantidad media de CPK en sangre de esquiadores de fondo que realicen ese mismo recorrido es 660?

b) ¿Qu´e suposici´ on debe hacerse acerca de la distribuci´ on de la variable aleatoria: “cantidad de CPK en la sangre de los esquiadores de fondo despu´es del recorrido”?

2.- Un investigador afirma que en la prueba de esfuerzo para la pr´ actica de un determinado deporte, tras un entrenamiento espec´ıfico, el tiempo transcurrido hasta que se alcanza la frecuencia card´ıaca l´ımite, X, es mayor de 30 minutos. Extrae una muestra aleatoria de 9 atletas y obtiene los resultados siguientes: X = 35

s = 5, 42

Suponiendo que la variable X se distribuye de forma normal, compruebe tal hip´ otesis mediante un contraste, con un nivel de significaci´ on del 1%.

3.- En el ejercicio anterior, ¿podr´ıa afirmarse, al nivel de significaci´ on del 5%, que la varianza de los tiempos transcurridos hasta que se alcanza la frecuencia card´ıaca l´ımite es mayor de 5?

4.- En una ciudad, una muestra de 150 motoristas ha dado como resultado que 17 de ellos circulaban sin el casco reglamentario. Las autoridades locales consideran que debe iniciarse una campa˜ na de concienciaci´ on sobre su uso cuando m´ as del 10% de los motoristas no lo utilice. Se quiere determinar si hay evidencia suficiente, al nivel de significaci´ on α = 0, 05, para poner en marcha la campa˜ na.

5.- Se dispone de dos procedimientos A y B para la detecci´ on de glucosa en la sangre. Para ver cu´ al de ellos es m´ as preciso, se han efectuado 10 mediciones con A y 11 con B, de la misma muestra de sangre, obteni´endose los resultados siguientes: s2A = 3, 333

s2B = 3, 818

¿Se puede afirmar que ambos m´etodos no son igualmente precisos, al nivel de significaci´ on de 5%?

6.- Para comprobar si la tolerancia a la glucosa en sujetos sanos tiende a decrecer con la edad se realiz´ o un test oral de glucosa a dos muestras de pacientes sanos, unos j´ ovenes y otros adultos. El test consisti´ o en medir el nivel de glucosa en sangre en el momento de la ingesti´ on (nivel basal) de 100 g. de glucosa y a los 60 minutos de la toma. Los resultados fueron los siguientes: J´ ovenes:

Adultos:

Basal

81

89

80

75

74

97

76

89

83

77

60 minutos

136

150

149

141

138

154

141

155

145

147

Basal

98

94

93

88

79

90

86

89

81

90

60 minutos

196

190

191

189

159

185

182

190

170

197

Al nivel de significaci´ on del 2%, conteste a las siguientes cuestiones: a) ¿Es mayor la concentraci´ on de glucosa en sangre a los 60 minutos, en adultos que en j´ ovenes?

b) El contenido basal de glucosa en sangre, ¿es menor en j´ ovenes que en adultos?

7.- Se ha realizado una prueba cl´ınica con el propanolol para el tratamiento de infarto al miocardio. Se seleccionaron aleatoriamente dos grupos de pacientes afectados por esta enfermedad. De un grupo de 45 pacientes tratados con propanolol, 38 de ellos sobrevivieron los primeros 28 d´ıas a partir de su admisi´ on en el hospital. Del segundo grupo, utilizado como grupo control, de 46 pacientes tratados con un placebo, 29 de ellos sobrevivieron a los 28 d´ıas. ¿Puede considerarse, al nivel de significaci´ on del 5%, que estos resultados constituyen una prueba suficiente de que el propanolol aumenta el ´ındice de supervivencia a los 28 d´ıas?

8.- A nueve jugadores de f´ utbol sala elegidos aleatoriamente se les ha medido la frecuencia card´ıaca al final del primer tiempo y del segundo tiempo de un partido. Los datos obtenidos son: Primer tiempo Segundo tiempo

177 160

164 171

168 173

173 172

163 161

171 160

170 169

168 170

160 173

¿Es factible creer que el esfuerzo f´ısico continuado aumenta la frecuencia card´ıaca, con α = 0, 01?

9.- De un estudio sobre la incidencia de la hipertensi´ on en una provincia espa˜ nola, se sabe que en la zona rural el porcentaje de hipertensos es del 27,7%. Tras una encuesta a 400 personas de una zona urbana, se obtuvo un 24% de hipertensos. ¿Se puede afirmar al nivel de significaci´ on del 5% que el porcentaje de hipertensos en la zona urbana es menor que en la zona rural?

10.- Muchos autores afirman que los pacientes con depresi´ on tienen una funci´ on cortical por debajo de lo normal debido a un riego sangu´ıneo cerebral por debajo de lo normal. A dos muestras de individuos, unos con depresi´ on y otros normales, se les midi´ o un ´ındice que indica el flujo sangu´ıneo en la materia gris, dado en mg/(100g/min), obteni´endose: Depresivos Normales

n1 = 19 n2 = 22

X 1 = 47 X 2 = 53, 8

s1 = 7, 8 s2 = 6, 1

¿Hay evidencia significativa a favor de la afirmaci´ on de los autores, con α = 0, 01?

11.- De seis muestras de bilis hep´ atica se ha obtenido por fistulizaci´ on el pH, con los siguientes resultados: 7,83 8,52 7,32 7,79 7,57 6,58 Se desea saber, al nivel de significaci´ on del 0,05, si la bilis hep´ atica puede considerarse neutra

12.- La prueba de la d-xilosa permite la diferenciaci´ on entre una esteatorrea originada por una mala absorci´ on intestinal y la debida a una insuficiencia pancre´ atica, de modo que cifras inferiores a 4 g de d-xilosa, indican una mala absorci´ on intestinal. Se realiza dicha prueba a 10 individuos, obteni´endose una media de 3,5 g y una cuasidesviaci´ on t´ıpica de 0,5 g ¿Se puede decir que esos pacientes padecen una mala absorci´ on intestinal, al nivel de significaci´ on del 5%?

13.- A los pacientes internados en un hospital traumatol´ ogico se les aplica un m´etodo de fisioterapia con el que el 70% de ellos requiere posteriormente alg´ un tipo de intervenci´ on quir´ urgica. Para determinar si un nuevo m´etodo de fisioterapia reduce el porcentaje de intervenciones posteriores, se aplica ´este a 30 pacientes de los cuales 17 necesitaron alguna intervenci´ on quir´ urgica despu´es. Compruebe que no hay razones suficientes para afirmar la eficacia del m´etodo con un nivel de significaci´ on del 5%

14.- Para estudiar si los problemas cardiovasculares son hereditarios se mide el nivel de colesterol en un grupo de 100 ni˜ nos entre 2 y 14 a˜ nos, hijos de hombres que sufren de colesterol alto, obteni´endose los valores siguientes: X 1 = 207,3 mg/dL, s1 = 2 mg/dL. Un grupo de control de 74 ni˜ nos elegidos de familias sin historial de problemas del coraz´ on, dio como valores: X 2 = 193,4 mg/dL, s2 = 17,3 mg/dL. ¿Se puede considerar, con un nivel de significaci´ on del 5%, que los hijos de padres con nivel colesterol alto tienen mayor nivel de colesterol que el resto de la poblaci´ on?.

15.- La tabla siguiente muestra los efectos de un placebo y de la hidroclorotiacida sobre la presi´ on sangu´ınea sist´ olica de 11 pacientes. Placebo

211

210

210

203

196

190

191

177

173

170

163

H-cloro

181

172

196

191

167

161

178

160

149

119

156

¿Se puede afirmar, al nivel del 5%, que existe diferencia en la presi´ on sist´ olica media durante la utilizaci´ on de estos dos f´ armacos?