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1.-El infinito actual

´n Introduccio 1 Este libro se ocupa exclusivamente del infinito actual, aunque algunas referencias al infinito potencial ser´ an inevitables. Empezaremos entonces introduciendo la distinci´on entre el infinito actual y el potencial. Una vez introducida, definiremos el infinito actual en t´erminos conjuntistas y la distinci´on entre cardinales y ordinales infinitos. Eso es todo lo que necesitamos saber para seguir los argumentos sobre la hip´ otesis de infinito actual que se exponen en el resto del libro. La mayor´ıa de esos argumentos est´ an relacionados con ω, el menor de los ordinales transfinitos; el ordinal del conjunto N de los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia: N ={1, 2, 3, . . . } (v´ease m´ as abajo). 2 ’Infinito’ es una palabra com´ un que usamos para referirnos a la calidad de ser enorme, inmenso, ilimitado etc. En este sentido, y de acuerdo con Gauss1 el infinito es una manera de hablar. Pero la palabra ’infinito’ tambi´en tiene un significado matem´ atico preciso: un conjunto es infinito si se puede poner en correspondencia uno a uno con alguno de sus subconjuntos propios. Esta es la conocida definici´on de Dedekind que, junto con los trabajos de Cantor sobre los n´ umeros transfinitos, inauguraron la moderna matem´ atica transfinita a finales del siglo XIX. Aunque la historia del infinito matem´ atico hab´ıa comenzado veintisiete siglos antes. 3 Afortunadamente existe una excelente literatura sobre la historia del infinito,2 . No dar´e ni siquiera un sumario de esa historia, aunque podr´ıamos elegir arbitrariamente tres de sus protagonistas m´ as relevantes como referencias hist´ oricas: 1) Zen´ on de Elea (490-430 A.C.), fil´ osofo presocr´ atico que utiliz´ o por primera vez el infinito matem´ atico para defender la tesis de Parm´enides sobre la imposibilidad de cambio. Sabemos del trabajo 1 C.F.

Gauss, carta al astr´ onomo H.C. Shumacher, 12 de julio de 1831 ejemplo: [219], [129], [178], [22], [170], [52], [120], [140], [143], [112], [113], [1], [141], [50], [207], [14].

2 Por

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2 —— El infinito actual

de Zen´ on (cerca de cuarenta argumentos, incluyendo sus famosas paradojas contra la posibilidad de cambio [2], [53]) a trav´es de su dox´ografos (Plat´ on, Arist´oteles, Diogenes Laertius o Simplicius [53]). El infinito en los argumentos de Zen´ on parece ser el infinito actual y contable, aunque obviamente Zen´ on no est´ a haciendo matem´ aticas infinitistas sino argumentaciones l´ogicas en las que aparecen colecciones infinitas de puntos y de instantes. Los argumentos de Zen´ on funcionan correctamente s´ olo si esas colecciones se consideran como totalidades infinitas completas (v´ease el Cap´ıtulo ?? sobre las Dicotom´ıas de Zen´ on). 2) Arist´ oteles (384-322 A.C.), uno de los pensadores m´ as influyentes en la cultura occidental. Fil´osofo y naturalista, introdujo la noci´ on de correspondencia uno a uno precisamente cuando trataba de resolver algunas de las paradojas de Zen´ on. Luego introdujo la distinci´on fundamental entre el infinito potencial y el infinito actual, una distinci´on que aqu´ı analizaremos en t´erminos conjuntistas en la siguiente secci´ on. 3) Georg Cantor (1845-1918), matem´ atico alem´ an cofundador, junto con R. Dedekind y G. Frege, de la teor´ıa de conjuntos. Su trabajo sobre los n´ umeros transfinitos (cardinales y ordinales) fundamenta las modernas matem´ aticas transfinitas. Cantor inaugur´o el llamado para´ıso del infinito actual en el que, seg´ un D. Hilbert, los infinitistas habitar´an para siempre. 4 De Zen´ on a Arist´ oteles el u ´nico infinito fue el infinito actual, aunque esa noci´ on estaba lejos de ser claramente establecida. De Arist´oteles a Cantor encontramos defensores de ambos tipos de infinitos (actual y potencial) aunque con una cierta hegemon´ıa del infinito potencial, particularmente desde el siglo XIII, una vez que Arist´oteles fue ’cristianizado’ por los escol´ asticos medievales. En esos tiempos preinfinitistas, se pod´ıan utilizar los mismos argumentos en apoyo de una o de la otra hip´ otesis (por ejemplo los argumentos basados en la correspondencia entre los puntos de una circunferencia y los puntos de uno de sus di´ ametros). Pero no hay todav´ıa una teor´ıa del infinito matem´ atico propiamente dicha. La primera teor´ıa matem´ atica del infinito propiamente dicha aparece al final del siglo XIX, siendo Dedekind, Bolzano y, especialmente, Cantor, sus creadores m´ as relevantes. Desde Cantor hasta la actualidad la hegemon´ıa del infinito actual ha sido casi absoluta y, adem´ as, libre de cr´ıticas serias.

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Infinito actual y potencial —— 3

Infinito actual y potencial 5 La distinci´on entre el infinito actual y el infinito potencial la propuso Arist´ oteles [11], [10]. La explicaremos a continuaci´ on, aunque en los t´erminos m´ as modernos de la teor´ıa de conjuntos. Huelga decir que el u ´nico infinito de las matem´ aticas transfinitas contempor´ aneas, incluyendo la definici´ on fundacional de Dedekind de los conjuntos infinitos, es el infinito actual. 6 Consid´erese la lista ordenada de los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia: 1, 2, 3, . . . De acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual esa lista existe como una totalidad completa, es decir como una totalidad que contiene en el acto a todos los n´ umeros naturales. La elipsis (. . . ) en: N = {1, 2, 3, . . . } (1) representa a todos los n´ umeros naturales. A todos. La palabra ’actual’ en ’infinito actual’ se refiere, pues, a que todos los elementos de una colecci´on infinita existen ’en el acto’, todos a la vez, como una totalidad completa. N´otese que la lista ordenada de los n´ umeros naturales existe como una totalidad completa a pesar de que no existe un u ´ltimo n´ umero que complete la lista. 7 Para subrayar ese sentido de completitud, consideremos la tarea de contar los n´ umeros naturales 1, 2, 3,. . . De acuerdo con la hip´ otesis del infinito actual es posible contar todos los n´ umeros naturales en un tiempo finito realizando la siguiente supertarea:3 Cu´entese cada uno de los sucesivos n´ umeros naturales 1, 2, 3,. . . en cada uno de los sucesivos instantes t1 , t2 , t3 ,. . . de una sucesi´on estrictamente creciente de instantes en el intervalo finito (ta , tb ), siendo tb el l´ımite de la sucesi´on. Por ejemplo la sucesi´on cl´ asica: 2n − 1 (2) tn = ta + (tb − ta ) 2n En esas condiciones, en el instante tb se habr´an contado todos los n´ umeros naturales. ¡Todos! 8 La tarea anterior de contar todos los n´ umeros naturales es un ejemplo de supertarea. Se discutir´an m´ as adelante en este libro. Mientras tanto, n´ otese que el hecho de emparejar los elementos de dos sucesiones infinitas 3 Un

resumen de la noci´ on de supertarea puede verse, por ejemplo, en [160]. V´ease tambi´en el cap´ıtulo sobre la L´ ampara de Thomson en este libro.

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4 —— El infinito actual

no prueba que ambas sucesiones existan como totalidades completas. Las sucesiones podr´ıan ser tambi´en potencialmente infinitas. 9 La alternativa a la hip´ otesis del infinito actual es la hip´ otesis del infinito potencial, que rechaza la existencia de totalidades infinitas completas y por tanto la posibilidad de contar todos los n´ umeros naturales. Desde esa perspectiva, los n´ umeros naturales resultan del proceso interminable de contar: siempre es posible contar n´ umeros mayores que cualquier otro n´ umero dado. Pero es imposible completar el proceso de contarlos todos, de modo que la lista completa de n´ umeros naturales no tiene sentido alguno. La palabra ’potencial’ en ’infinito potencial’ significa, por consiguiente, que los elementos de una colecci´ on infinita no existen todos en el acto, sino en potencia, in the making. El infinito potencial es lo ilimitado, como la lista ordenada de los n´ umeros naturales, pero solo las listas finitas existen como totalidades completas y acabadas, tan grandes como se quiera pero siempre finitas. 10 En resumen, la hip´ otesis del infinito actual establece que las totalidades infinitas son totalidades completas y acabadas, incluso sin que exista un u ´ltimo elemento que las complete, como es el caso de la lista ordenada de los n´ umeros naturales. Desde la perspectiva del infinito potencial los totalidades infinitas no existen como totalidades completas y acabadas, sino en potencia, ’in the making’. Desde la perspectiva del infinito actual, es posible completar una sucesi´on de pasos en los que no existe un u ´ltimo paso que complete la sucesi´on, o incluso sin un primer paso que la inicie, como en el caso de las sucesiones ω ∗ −ordenadas (v´ease m´ as abajo), por ejemplo la sucesi´on creciente de los enteros negativos . . . , -3, -2, -1. Desde la perspectiva del infinito potencial ambas posibilidades son carentes de sentido. Desde esta perspectiva, las u ´nicas totalidades completas son las totalidades finitas. Tan grandes como se quiera, pero siempre finitas. 11 El infinito potencial (el infinito ’impropio’ o ’no genuino’, como Cantor lo llamaba [40, p. 70]) nunca ha merecido la atenci´ on de los matem´ aticos contempor´ aneos. El infinito en la definici´on de Dedekind de los conjuntos infinitos es el infinito actual. Los infinitos elementos de un conjunto infinito existen todos a la vez, como una totalidad completa. La definici´on de Dedekind est´ a, por tanto, basada en la violaci´on del viejo axioma eucl´ıdeo del todo y la parte [73]. La teor´ıa de conjuntos se ha construido sobre esa violaci´on. 12 La hegemon´ıa del infinito actual en las matem´ aticas contempor´ aneas

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Infinito actual y potencial —— 5

es casi absoluta. Tan absoluta como la sumisi´on de la f´ısica a las matem´ aticas infinitistas. Tengo la impresi´on de que un n´ umero importante de f´ısicos creen que se ha demostrado formalmente la existencia de totalidades infinitas completas. Obviamente, si ese fuera el caso no ser´ıa necesario el Axioma del Infinito para legitimar esas totalidades (v´ease m´ as abajo). La hip´ otesis del infinito actual es s´ olo una hip´ otesis. 13 Las tres pruebas m´ as influyentes sobre la existencia de totalidades infinitas actuales (las de Bolzano, Dedekind y Cantor) son ilustrativas de lo que podr´ıa llamarse infinitismo naif. Tambi´en explican por qu´e las matem´ aticas infinitistas tuvieron finalmente que establecer la existencia de los conjuntos infinitos actuales en t´erminos axiom´aticos. 14 La prueba de Bolzano es como sigue (tomada de [141, p 112]): Una verdad es la proposici´ on: Plat´ on era griego. Ll´ amese a esta proposici´ on p1 . Pero hay otra verdad p2 , a saber, que la proposici´ on p1 es verdadera [Pero hay otra verdad p3 , a saber, que la proposici´ on p2 es verdadera]. Y as´ı ad infinitum. Por lo tanto, el conjunto de las verdades es infinito. El problema aqu´ı es que la existencia de un proceso sin fin (p1 es verdadera, por tanto p2 es verdadera, por tanto p3 es verdadera, por tanto . . . ) de ninguna manera prueba la existencia de su resultado final como una totalidad completa. 15 La prueba de Dedekind es muy parecida (tomada de [141, p 113]): Dado alg´ un pensamiento arbitrario s1 , hay un pensamiento independiente s2 , a saber que s1 puede ser objeto del pensamiento [hay un pensamiento independiente s3 , a saber, que s2 puede ser objeto del pensamiento ]. Y as´ı ad infinitum. Por tanto el conjunto de pensamientos es infinito. El comentario anterior a la prueba de Bolzano es tambi´en aplicable aqu´ı. Dedekind dio otra prueba algo m´ as detallada, aunque con el mismo defecto formal que la se acaba de citar, basada en su definici´on de conjunto infinito [61, p. 112]. 16 Y finalmente la ’prueba’ de Cantor ([96, p 25], [141, p. 117]): Cada infinito potencial presupone un infinito actual. O bien ([38, p. 404] traducci´on inglesa [171, p. 3]): ... en verdad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada [derivada], en tanto que como tal concepto de infinito potencial

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6 —— El infinito actual

siempre se˜ nala a un concepto previo y superior de infinito actual, de cuya existencia depende. Queda claro ahora por qu´e la existencia de un conjunto infinito actual tuvo que ser finalmente establecida por medio de un axioma.

El axioma del infinito 17 Nada en la naturaleza parece ser realmente infinito. Hasta ahora, todas las cosas que hemos sido capaces de observar y medir han sido finitas. Veintisiete siglos de discusiones, por otra arte, no fueron suficientes para probar, o refutar, la existencia de infinitos actuales. De modo que, finalmente, los infinitistas no tuvieron m´ as remedio que declarar su existencia en t´erminos axiom´aticos mediante el llamado Axioma del Infinito, uno de los axiomas fundacionales en todas las teor´ıas axiom´aticas de conjuntos (v´ease m´ as abajo). La teor´ıa de conjuntos es entonces la puerta de entrada del infinito en las matem´ aticas contempor´ aneas. 18 Puesto que los conjuntos estar´ an presentes en casi todos nuestros argumentos, parece conveniente hacer la siguiente consideraci´on sobre las diferentes formas en las que un elemento puede pertenecer a un conjunto. Solemos asumir que un determinado elemento pertenece o no pertenece a un conjunto determinado, aunque tambi´en podr´ıamos considerar los llamados conjuntos difusos [216], [66], cuyos elementos pueden tener diferentes grados de pertenencia. En este libro, sin embargo, trataremos exclusivamente con la pertenencia completa, i.e con conjuntos cuyos elementos les pertenecen de forma completa. 19 Dicho lo cual, recordaremos ahora el Axioma del Infinito. Lo haremos en tres etapas de abstracci´on creciente. El primer enunciado (poco formal) del Axioma del Infinito ser´ıa: Existe un conjunto infinito numerable

(3)

donde numerable significa que se puede poner en correspondencia uno a uno (biyecci´ on) con el conjunto N = {1, 2, 3 . . . } de los n´ umeros natura4 les, e infinito significa infinito actual: todos los elementos de ese conjunto existen en el acto. Una forma mas abstracta del Axioma del Infinito ser´ıa la siguiente: ∃N (0 ∈ N ∧ ∀x ∈ N (s(x) ∈ N )) (4) que se lee: existe un conjunto N [s´ımbolos: ∃N ] tal que 0 pertenece a N 4 De

dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno a uno se dice que son equipotentes.

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Cardinales y ordinales —— 7

[s´ımbolos: 0 ∈ N ] y para todo elemento x de N [s´ımbolos: ∧ ∀x ∈ N ] el sucesor de x, denotado s(x), tambi´en pertenece a N [s´ımbolos: s(x) ∈ N ]. En t´erminos aritm´eticos podr´ıamos escribir: s(0) = 1; s(1) = 2; s(2) = 3; . . .

(5)

Finalmente, la versi´ on m´ as formalizada del Axioma del Infinito establece: ∃N (∅ ∈ N ∧ ∀x ∈ N (x ∪ {x} ∈ N ))

(6)

que se lee: existe un conjunto N tal que ∅ (el conjunto vac´ıo) pertenece a N y para todo elemento x de N el elemento x ∪ {x} tambi´en pertenece a N. 20 Por innecesario que pueda parecer, debemos recordar que un axioma es solo un axioma. Es decir, un enunciado que se puede aceptar o rechazar. Aunque la elecci´ on tendr´a consecuencias significativas en la teor´ıa resultante. En el caso de la hip´ otesis del infinito actual algunos autores relevantes como Kronecker, Poincar´e, Brouwer, Wittgenstein, Kleene, entre otros, la rechazaron. Otra cosa es la cr´ıtica contra el infinito actual una vez que la teor´ıa de conjuntos qued´o axiom´aticamente establecida y formalmente desarrollada. Esa cr´ıtica ha sido b´ asicamente inexistente durante los u ´ltimos sesenta a˜ nos, y los pocos intentos que se hicieron fueron siempre ingenuos y frecuentemente basados en concepciones equivocadas de los n´ umeros transfinitos.

Cardinales y ordinales 21 Por la misma raz´ on que necesitamos axiomas y leyes fundamentales en la ciencia,5 tambi´en necesitamos conceptos primitivos en el lenguaje, es decir, conceptos que no pueden ser definidos en t´erminos de otros conceptos, sin caer en definiciones circulares (los diccionarios son finitos). La mayor´ıa de los conceptos matem´ aticos b´ asicos pertenecen a esta categor´ıa: n´ umero, punto, l´ınea, plano, conjunto, y algunos otros. Por lo tanto, decir que el cardinal de un conjunto es el n´ umero de sus elementos es no decir nada. No obstante, todo el mundo sabe lo que queremos decir cuando decimos que el conjunto {a, b, c} tiene tres elementos, o que su cardinal es tres. Incluso lo que queremos decir cuando decimos que el cardinal de un conjunto numerable, como el conjunto N de los n´ umeros naturales, es ℵo (Alef-cero). 22 Aunque en t´erminos informales, diremos que el cardinal C de un con5 La

aristot´elica regresi´ on infinita de argumentos [9].

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8 —— El infinito actual

junto X es el n´ umero de sus elementos; en s´ımbolos C = |X|. Por razones obvias, los cardinales de los conjuntos finitos se llaman finitos, y los cardinales de conjuntos infinitos se denominan infinitos. Aunque no lo haremos aqu´ı, se puede demostrar f´acilmente que el n´ umero de subconjuntos de un conjunto cuyo cardinal es C, es precisamente 2C (incluyendo el propio conjunto y el conjunto vac´ıo). 23 Cantor dio por sentada la existencia de la totalidad de los cardinales finitos (n´ umeros naturales) [39, pgs. 103-104]: El primer ejemplo de un agregado transfinito viene dado por la totalidad de los n´ umeros cardinales finitos v; llamamos a su n´ umero cardinal ’Alef-cero’ denotado por ℵo , definimos pues: ℵo = {v} donde {v} es la notaci´ on de Cantor para el cardinal del conjunto {v} de todos los cardinales finitos (|N| en notaci´ on moderna). Obviamente ℵo es un cardinal infinito. Cantor demostr´o que es el menor cardinal mayor que todos los cardinales finitos [39, § 6] (v´ease el Cap´ıtulo ??). 24 los sucesivos n´ umeros naturales 1, 2, 3,. . . se pueden definir como los cardinales de los sucesivos conjuntos finitos de la sucesi´on de conjuntos S = {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, . . . , o como los cardinales de cualquier sucesi´on de conjuntos finitos cuyos sucesivos t´erminos sean equipotentes con los sucesivos t´erminos de S (v´ease la definici´on operacional de Von Neumann de los n´ umeros naturales en el Ap´endice ??). Los n´ umeros naturales se pueden seguir usando en t´erminos informales como los n´ umeros de contar 1, 2, 3,. . . Al fin y al cabo decimos que el cardinal finito de un conjunto es n despu´es de contar sus elementos, o despu´es de emparejarlos con los elementos de un conjunto que han sido previamente contados, o sucesivamente considerados de alguna manera, o incluso aritm´eticamente calculados o procesados. 25 Todos los conjuntos numerables, por otra parte, tienen el mismo cardinal ℵo . As´ı, como ya se ha indicado, el cardinal del conjunto N de los n´ umeros naturales es ℵo . El cardinal del conjunto potencia P (N), el conjunto de todos los subconjuntos de N (incluyendo N y el conjunto vac´ıo), umeno es ℵo sino 2ℵo , que es tambi´en el cardinal del conjunto R de los n´ ros reales. El cardinal del conjunto P (P (N)) de todos los subconjuntos de ℵo P (N) no es 2ℵo sino 22 . Lo mismo vale para el conjunto P (P (P (N))) de todos los subconjuntos de P (P (N)) y as´ı sucesivamente. Tenemos entonces

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Cardinales y ordinales —— 9

una sucesi´on creciente de cardinales infinitos: ℵo

ℵo < 2ℵo < 22

2ℵo

< 22

(7)

< ...

En este libro trataremos exclusivamente con ℵo , excepto en un peque˜ no n´ umero de argumentos en el que aparecer´a el cardinal 2ℵo, llamado potencia del continuo. 26 Los n´ umeros ordinales son algo m´ as sutiles. Un ordinal es el tipo de orden de un conjunto bien ordenado.6 Todos los conjuntos finitos con el mismo n´ umero de elementos tienen el mismo ordinal, por ejemplo, el ordinal del conjunto {a, b, c} es el mismo que el ordinal del conjunto {2, 3, 1} debido a que sus elementos s´ olo pueden ordenarse como primero, segundo y tercero (independientemente de qu´e elemento es el primero, el segundo y el tercero). Y lo mismo se aplica a cualquier conjunto finito de n elementos. Los cardinales y ordinales de los sucesivos conjuntos finitos est´ an representados por los siguientes numerales (s´ımbolos): {} : Cardinal 0. Ordinal 0

(8)

{0} : Cardinal 1. Ordinal 1

(9)

{0, 1} : Cardinal 2. Ordinal 2

(10)

{0, 1, 2} : Cardinal 3. Ordinal 3 .. .. .. . . .

(11)

Esta es una caracter´ıstica importante de los conjuntos finitos: tienen un s´ olo cardinal y un solo ordinal, y usamos el mismo s´ımbolo (numeral) para ambos. De acuerdo con la terminolog´ıa de Cantor los ordinales finitos son llamados ordinales de la primera clase. 27 Las cosas son muy diferentes con los conjuntos infinitos. Todos los conjuntos numerables, por ejemplo, tienen el mismo cardinal ℵo , pero pueden ser bien-ordenados de infinitas maneras diferentes: {1, 2, 3, . . . } {2, 3, 4, . . . 1} {3, 4, 5, . . . 1, 2} {1, 3, 5, . . . 2, 4, 6, . . . } {1, 4, 7, . . . , 2, 5, 8, . . . 3, 6, 9 . . . } .. .

Ordinal Ordinal Ordinal Ordinal Ordinal .. .

ω ω+1 ω+2 ω2 ω3

6 Un

conjunto con una relaci´ on de orden total entre sus elementos y de tal manera que todos sus subconjuntos tiene un primer elemento.

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siendo ω < ω + 1 < ω + 2 < . . . < ω2 < ω2 + 1 < . . . < ω3 < . . . 28 Los n´ umeros ordinales de los conjuntos numerables se denominan ordinales de la segunda clase. Hay dos tipos de n´ umeros ordinales de la segunda clase: 1) Ordinales de la primera especie: ordinales α que tienen un predecesor inmediato α′ tal que α = α′ +1, donde ’1’ es el primer ordinal finito. Todos los ordinales de la primera especie pueden escribirse, por tanto, en la forma α + n, siendo α infinito y n finito. 2) Ordinales de la segunda especie: estos ordinales son l´ımites de sucesiones infinitas de ordinales finitos o de ordinales infinitos de la primera especie. Por ejemplo: ω = l´ım(n); n = 1, 2, 3, . . .

(12)

ω2 = l´ım(ω + n); n = 1, 2, 3, . . .

(13)

ω7 = l´ım(ω6 + n); n = 1, 2, 3, . . .

(14)

n

n

n

Casi todos los argumentos de este libro ser´ an argumentos sobre ω, el primer ordinal de la segunda clase, segunda especie; el m´ as peque˜ no de los n´ umeros ordinales transfinitos. 29 Por claridad y sencillez, en el resto del libro, diremos que un conjunto, o una sucesi´on, es α-ordenada para expresar que se trata de un conjunto (o sucesi´on) bien ordenado, cuyo ordinal es α, siendo α alg´ un ordinal transfinito, que casi siempre ser´ a ω. 30 Los ordinales de la segunda clase definen un conjunto nuevo: el conjunto de todos los ordinales de la segunda clase (o conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵo ), cuyo cardinal es ℵ1 [39, Teorema 16-F]. A su vez, el conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ1 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ2 . El conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ2 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ3 . Y as´ı sucesivamente. De acuerdo con Cantor, existen entonces dos sucesiones crecientes de cardinales infinitos: ℵo

ℵo < 2ℵo < 22

2ℵo

< 22

ℵo < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < . . .

< . . . (Sucesi´on de las potencias) (Sucesi´on de los alefs)

La famosa (y a´ un no resuelta) hip´ otesis del continuum afirma: ℵ1 = 2ℵo . La versi´ on generalizada afirma que, para todo i, el i-´esimo t´ermino de la primera sucesi´on es igual al i-´esimo t´ermino de la segunda. Afortunadamente no tendremos que abordar esa cuesti´ on en este libro, excepto una

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Cardinales y ordinales —— 11

breve revisi´ on de la hip´ otesis del continuum en el Cap´ıtulo ??. 31 Obviamente esto no es m´ as que una breve y esquem´ atica introducci´ on a la teor´ıa de Cantor de los n´ umeros transfinitos [39]. Pero es todo lo que necesitamos saber para seguir los argumentos que desarrollaremos aqu´ı. Como se se˜ nal´ o anteriormente, nuestra atenci´ on se centrar´ a de forma casi exclusiva en los objetos ω−ordenados (conjuntos y sucesiones), es decir en objetos cuyos elementos se ordenan de la misma manera que los n´ umeros naturales en su orden natural de precedencia. Objetos como, por ejemplo, la sucesi´on a1 a2 a3 , . . . Este tipo de orden (ω−orden de ahora en adelante) se caracteriza por: 1) Existe un primer elemento a1 . 2) Cada elemento an tiene un predecesor inmediato an−1 , excepto el primero a1 . 3) Cada elemento an tiene un sucesor inmediato an+1 (ω-sucesividad). 4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an , an+1 no existe ning´ un otro elemento (ω-separaci´on). 5) No existe u ´ltimo elemento, a pesar de lo cual los objetos ω−ordenados se consideran totalidades completas. 32 Ocasionalmente, tambi´en trataremos con objetos ω ∗ −ordenados, objetos cuyos elementos se ordenan de la misma forma que la sucesi´on creciente de los n´ umeros enteros negativos: . . . , -3, -2, -1. Este tipo de orden usaremos la notaci´ on an∗ para referirnos al n-´esimo elemento por la cola. El ∗ ω −orden se caracteriza por: 1) Existe un u ´ltimo elemento a1∗ . 2) Cada elemento an∗ tiene un sucesor inmediato a(n−1)∗ , excepto el u ´ltimo a1∗ . 3) Cada elemento an∗ tiene un predecesor inmediato a(n+1)∗ (ω-sucesividad). 4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an∗ , a(n+1)∗ no existe ning´ un otro elemento (ω-separaci´on). 5) No existe primer elemento, a pesar de lo cual los objetos ω ∗ −ordenados se consideran totalidades completas. 33 Como ya se ha indicado, todos los n´ umeros transfinitos (cardinales y ordinales) se basan en la suposici´ on de que existe un conjunto numerable ω−ordenado. Por eso, casi todos los argumentos que siguen se ocupar´an u ´nicamente de objetos ω−ordenados. Si se demostrara que esa hip´ otesis

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12 —— El infinito actual

infinitista es inconsistente, todo el edificio de las matem´ aticas transfinitas se vendr´ıa abajo como un castillo de naipes.

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Bibliograf´ıa

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