Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y CC

1

Autores:

Miguel Martínez Concha Carlos Silva Cornejo Emilio Villalobos Marín

Ejercicios Resueltos

(ejemplar de prueba) Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los estudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para buscar, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de información, decodi…cando y traduciendo la información contenida en las funciones, grá…cos, series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades.

1.1

Problema 1.

i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 .Representar gra…camente y estudiar la convergencia de la serie en R: f (x) =

0 si x si 0

x

0

x

Solución: i) Calculo de los coe…cientes de Fourier. " # 0 R R R 1 1 f (x)dx + f (x)dx = a0 = 2 f (x)dx = 2 0 h 2i x 1 = 4 a0 = 2 2 0 R R an = 1 f (x) cos(nx)dx = 1 x cos(nx)dx

1 2

0

Usando hel método de integración i hpor partes sentiene: i cos(nx) 1 x cos(nx) 1 1 an = + n2 = 0 0 + ( n1) 2 n n2 0

an =

( 1)n 1 n2

=

0

2 n2

para n par para n impar

así: a2n = 0 8n a2n 1 = (2n 21)2 8 n: R R bn = 1 f (x) sin(nx)dx = 1 x sin(nx)dx 0 h i x cos(nx) sin(nx) ) 1 = + n2 = cos(n n n 0 luego el coe…ciente es: n+1 bn = ( 1)n

1

R 0

xdx

Por lo tanto, la serie de Fourier será: " 1 X 2 + 2 cos ((2n 4 n=1 (2n 1)

n+1

( 1) 1) x) + n

#

sin(nx)

En todos los puntos de continuidad la serie converge a f (x) y en los puntos de discontinuidad del tipo x = + 2n con n 2 Z, la serie converge a 2 : ii) A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie: 1 X

1

n=1

Solución.(ii) Evaluando en x = 0 se tiene 0=

2 4

de donde 4 y de aquí

=

2

1 X

n=1

1.2

(2n

1)2

1 1 1 + 2 + 2 + ::: 12 3 5 1 1 1 + 2 + 2 + ::: 2 1 3 5 2

1 (2n

1)2

=

8

Problema 2

i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 , de…nida por: f (x) = x2 ;

x

ii) A partir del resultado obtenido calcular la suma de: 1 X 1 2 n n=1

iiI) Determine la convergencia de la serie

1 X 1 4 n n=1

Solución: i) La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que tiene la forma: 1 X a0 + an cos (nx) n=1

2

a0 =

1

R

R

1

f (x)dx =

0

an =

2

R

x2 dx =

0

f (x) cos(nx)dx =

h 02 x sin(nx) n

+ 2x cos(nx) an = n2 Luego, la serie es:

2

i

R

h

1

x3 3

i

0

=

2

3

x2 cos(nx)dx

0

0

=

4 cos(n ) n2

=

4( 1)n n2

1 n X ( 1) cos (nx) n2 n=1

2

+4

3

Como la función es continua en R ,entonces:

1 n X ( 1) cos (nx) ; todo x real. n2 n=1

2

x2 =

3

+4

Solución (ii) La serie numérica se puede obtener haciendo x = 2

2

=

de donde

1 12

4

3

1 22

1 X 1 1 = 2 n 4 n=1

1 32

2

;

:::

2

3

y f( ) =

2

=

6

iii) Como la función f es seccionalmente suave para x y f( f ( ) se cumplen las condiciones de su…ciencia de la identidad de Parseval entonces 1

Z

x2

2

2

dx =

2

=

2 9

1 x5 5 1 X 1 2 n n=1

1.3

3 4

+

4

=

+

1 n X 4 ( 1) n2 n=1

1 X 16 =) n4 n=1

90

Problema 3

Sea f (x) = x(sin x); si

< x < ; entonces:

i) Determine la serie de esta función. 3

2

=)

)=

ii) Pruebe la convergencia de la serie: 1 n X ( 1) 1 = 2 n 1 4 n=1

Solución: i) La función f (x) es par, es decir f (x) = f ( x) 8 x 2 ( ; ); entonces: bn = 0 R R R a0 = 1 f (x)dx = 1 x sin xdx = 1 [x ( cos x)]0 + cos xdx = 1 0

an =

2

R

0

R

2

f (x) cos(nx)dx =

0

0

x sin x cos(nx)dx

0

Para n 6= 1 R an = 1 x [sin ((n + 1) x)

sin ((n

1) x)] dx =

0

Para n = 1 R a1 = 2 x sin x cos xdx = 0

Por lo tanto, la serie es: x sin x = 1

1

R

x sin(2x)dx =

0

2( 1)n+1 n2 1

1 2

1 n+1 X ( 1) 1 cos x + 2 cos (nx) 2 n2 1 n=2

ii) En x = 0 hay un punto de continuidad de la función, entonces la serie converge a f (0) f (0) = 0 = 1 Finalmente

1 n+1 X 1 ( 1) cos 0 + 2 cos (0) 2 n2 1 n=2

1 n+1 X ( 1) 1 = 2 n 1 4 n=2

1.4

Problema 4

i) Para f (x) = e [x] , 0 x 2 obtener su serie de Fourier en cosenos, periódica de período 4. ii) Del resultado determinar la convergencia de: 1 n 1 X ( 1) 2n 1 n=1

Solución: Evaluando la función parte entera tenemos 4

8
1 en (1) bn = bn =

3 2n 3 2n

sin(n+1)x n+1

sin2 x R

sin(n+1)x n+1

0

+

+

sin(n 1)x n 1

sin(n 1)x n 1

j0

R 0

sin(n+1)x n+1

R

sin(n 1)x n 1

sin 2xdx

sin 2xdx

Usando la identidad trigonometrica R 3 1 1 bn = 2n (cos(n + 1)x cos(n + 3)x) dx n+1 2 3 1 1 2n n 1 2

+

0

(cos(n

3)x

cos(n + 1)x)dx = 0;

0

8 n 6= 3

Para n = 3 el cálculo directo, produce: b3 = 2 33 2 2 2 = 14 Por lo tanto, la serie de Fourier resultante es: 3 sin(x) 4

1 sin(3x) 4

Luego, por el teorema de la convergencia dada la continuidad de f se tiene lo requerido.

1.6

Problema 6

Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (t) = e at si t > 0 considerando una extensión par de f (t) y estudie la convergencia en R: Solución: e at si t > 0 Sea fp (t) = ;así de…nida es una función par, luego: eat si t < 0

6

A(w)

=

2

Z1

f (u) cos(wu)du = 2

0

=

2 lim

b!1

Z1

e

au

cos(wu)du

0

Zb

e

au

e

au

cos(wu)du

0

=

2 lim

b!1

a2 + w2

2 lim

=

2a a2 + w2

a2

0

ab

e

=

b!1

b

( a cos(wu) + w sin(wu))

+

w2

( a cos(wb) + w sin(wb)) +

a2

a + w2

Entonces la integral de Fourier de f (t) es: 1

Z1

2a 2a cos(wx)dw = a2 + w2

0

Z1

cos(wx) dw a2 + w2

0

Como la funcion es continua en R;aplicando el criterio de la convergencia, la integral converge a f (t): Z1

cos(wx) dw = e a2 + w2 2a

ax

0

1.7

Problema 7

Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (x) = xe x 2 ( 1; 1) y estudie su convergencia en R:

jxj

si

Solución: Se tiene que f (x) es una función impar. Examinemos, si se cumplen las condiciones de existencia de integral de Fourier. En primer lugar Z1

xe

jxj

dx =

1

2

Z1

xe

x

dx

0

= =

2

2 4 xe

2 1=2 7

x 1 j0

+

Z1 0

e

x

3

dx5

Además, f es continua y diferenciable 8x. Los coe…cientes de Fourier de f son: A(w)

=

B(w)

=

0 ya que f es una función impar Z1 4w ue juj sin(wu)du = 2 (1 + w2 ) 1

Entonces, para todo x la integral de Fourier converje a: xe

x

=

4

Z1 0

1.8

w 2

(1 + w2 )

sin(wx)dw

Problema 8

Sea f la función pulso rectangular unitario de período 2 de…nida 1 si 0 la extensión par

fp (x)

=

fp (x)

xe x si x > 0 =) xex si x < 0 Z1 Z1 1 A (w) cos wxdw con A (w) = 2 xe 0

x

cos wx dx

x

senwx dx

0

Ahora, consideremos la extensión impar de f

fi (x) fi (x)

=

xe x si x > 0 =) xex si x < 0 Z1 Z1 1 B (w) senwxdw con B (w) = 2 xe 0

0

Podemos calcular los coe…cientes A (w) y B (w) integrando por partes:

9

A (w)

=

2

Z1

x

xe

cos wx dx =)

0

A (w)

=

2

"

xe

x

( cos wx + wsenwx) (1 + w2 )

e

x

( 1

w2 cos wx

2wsenwx) 2

(1 + w2 )

#1 0

2

A(w)

B (w)

=

=

1 w (1 + w2 )2

2

2

Z1

x

xe

senwx dx =)

0

B (w) B(w)

"

xe

x

( senwx w cos wx) (1 + w2 )

=

2

=

2w 2 (1 + w2 )2

e

x

( 1

w2 senwx + 2w cos wx) 2

(1 + w2 )

Construyendo las respectivas integrales de Fourier y aplicando el teorema de la convergencia , puesto que f es una función seccionalmente 8x > 0 ,se tiene que :

xe

x

=

2

Z1

1 w2 cos wxdw (1 + w2 )2

Z1

2w senwxdw (1 + w2 )2

0

xe

x

=

2

0

Por lo tanto, las extensiones son iguales: Z1

1 w2 cos wx dw = (1 + w2 )2

0

Z1

2w senwx dw (1 + w2 )2

0

b) En x = 0 se tiene un punto en que estas extensiones son continuas, luego ambas integrales convergen a f (0) = 0 Z1 0

1 w2 dw = 0 =) (1 + w2 )2

Z1

1 dw = (1 + w2 )2

0

Z1 0

10

w2 dw (1 + w2 )2

#1 0

1.10

Problema 10.

Si f (x)es una función par ,con integral de Fourier f (x) =

a) xf (x) =

demuestre que:

b) x2 f (x) =

Z1

1

1

Z1

1

Z1

A (w) cos(wx)dw,

0

A (w) cos(wx)dw; donde A (w) =

dA(w) dw

0

d2 A(w) dw2

A (w) cos(wx)dw; donde A (w) =

0

Solución a) Se tiene que xf (x) =

entonces A (w) = 2

Como f (x) =

1

Z1

Z1

1

Z1

A (w) sen(wx)dw; es una función impar,

0

v f (v) sen(wv)dv (1):

0

A (w) cos(wx)dw con

A (w) = 2

0

Z1

f (v) cos(wv)dv:

0

Entonces, derivando el coe…ciente queda

dA(w) dw

=

2

Z1

vf (v) sen(wv)dv (2)

0

A (w) Por lo tanto, comparando (1) y (2) se tiene dA(w) dw = Z1 b) Como x2 f (x) = 1 A (w) cos(wx)dw; es una función par, 0

entonces A (w) =

Como, f (x) =

1

Z1

2

Z1

v 2 f (v) cos(wv)dv (1)

0

A (w) cos(wx)dw con

0

Por consiguiente 2

d A(w) dw2

=

2

Z1

dA(w) dw

=

2

Z1

A (w) = 2

Z1

f (v) cos(wv)dv:

0

vf (v) sen(wv)dv =)

0

v 2 f (v) cos(wv)dv (2)

0

2

A(w) Por lo tanto, comparando (1) y (2)se tiene d dw = 2

11

A (w) :