1. (diciembre 2013-2014, 2.5 puntos) Estudiar la continuidad y la derivabilidad en ๐ฅ๐ฅ = 0 de la funciรณn ๐๐(๐ฅ๐ฅ) para los diferentes valores de ๐๐ โ โ y del parรกmetro real ๐ด๐ด > 0. ๐๐(๐ฅ๐ฅ) =
๐ฅ๐ฅ 2
4
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐ด๐ด๐ด๐ด si ๐ฅ๐ฅ โค 0.
๏ฟฝโซ0 ๐๐ ๐ก๐ก ๏ฟฝ cos (sin (2๐ฅ๐ฅ โ1))(3 sin (๐ฅ๐ฅ)โsinh (๐ฅ๐ฅ)โ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ +1)2 ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ (2โcos (๐ฅ๐ฅ))
si ๐ฅ๐ฅ > 0
Soluciรณn: a) Estudiamos la continuidad. Es claro que ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 ๐ด๐ด๐ด๐ด = 0 por lo que es necesario que
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0
๐ฅ๐ฅ 2
4
๏ฟฝโซ0 ๐๐ ๐ก๐ก ๏ฟฝ cos (sin (2๐ฅ๐ฅ โ1))(3 sin (๐ฅ๐ฅ)โsinh (๐ฅ๐ฅ)โ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ +1)2 ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ (2โcos (๐ฅ๐ฅ))
el origen.
valga cero para que ๐๐(๐ฅ๐ฅ)sea continua en
Denominador: Aplicando infinitรฉsimos equivalentes resulta: ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ(2 โ cos(๐ฅ๐ฅ)) โ 1 โ cosโก (๐ฅ๐ฅ) โ
Por lo que el denominador equivale a
๐ฅ๐ฅ 2+๐๐ . 2
๐ฅ๐ฅ 2 2
Numerador: (lo dividimos en tres "bloques") ๐ฅ๐ฅ 2
Bloque 1: โซ0 ๐๐ ๐ก๐ก
4
- Primera forma: sea
๐ฅ๐ฅ 2
๐น๐น(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ ๐๐ ๐ก๐ก 0
4
Calculamos el polinomio de Taylor de ๐น๐น(๐ฅ๐ฅ) centrado en el origen: ๐น๐น(๐ฅ๐ฅ) โ ๐น๐น(0) + ๐ฅ๐ฅ๐น๐น โฒ (0) +
๐ฅ๐ฅ 2 โฒโฒ ๐น๐น (0) 2
Tenemos que obtener el primer coeficiente no nulo de dicho polinomio. El primer coeficiente vale: 0
El segundo coeficiente vale:
4
๐น๐น(0) = ๏ฟฝ ๐๐ ๐ก๐ก = 0 0
8
El tercer coeficiente vale: Pedro_CC
๐น๐น โฒ (0) = 2๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐ฅ๐ฅ = 0 1
8
8
๐น๐น โฒโฒ (0) = 2๐๐ ๐ฅ๐ฅ + 16๐ฅ๐ฅ 8 ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 2
Por tanto, tomamos el polinomio de Taylor de orden dos y resulta: ๐ฅ๐ฅ 2
๏ฟฝ ๐๐ 0
๐ก๐ก 4
โ ๐น๐น(0) + ๐ฅ๐ฅ๐น๐น ๐ฅ๐ฅ 2
โฒ (0) 4
๐ฅ๐ฅ 2 โฒโฒ ๐ฅ๐ฅ 2 (0) + ๐น๐น = 2 = ๐ฅ๐ฅ 2 2 2
- Segunda forma: queremos sustituir โซ0 ๐๐ ๐ก๐ก por una expresiรณn que sea equivalente en el ๐ฅ๐ฅ 2
4
origen y que sea de la forma ๐ต๐ต๐ฅ๐ฅ ๐๐ con ๐ต๐ต โ 0, ๐ต๐ต โ โ (es decir, que se cumpla โซ0 ๐๐ ๐ก๐ก โ ๐ต๐ต๐ฅ๐ฅ ๐๐ ). No sabemos cuรกnto valen ๐ต๐ต y ๐๐, pero se tiene que cumplir que: ๐ฅ๐ฅ 2
4
โซ ๐๐ ๐ก๐ก ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 0 ๐๐ = ๐ต๐ต ๐ฅ๐ฅ
y como ๐ต๐ต โ 0, ๐ต๐ต โ โ la รบnica posibilidad es que la expresiรณn anterior sea una 0 0
indeterminaciรณn de tipo por lo que podemos aplicar la regla de L'Hรดpital y tenemos: ๐ฅ๐ฅ 2
4
8
โซ ๐๐ ๐ก๐ก 2๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐ฅ๐ฅ 2๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 0 ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 ๐๐โ1 = ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 ๐๐โ1 ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ 8
(en la รบltima igualdad hemos hecho ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 1). Como el numerador sigue tendiendo a cero y es necesario que ๐ต๐ต โ 0, ๐ต๐ต โ โ la expresiรณn anterior tiene que seguir siendo una 0 0
indeterminaciรณn de tipo . Aplicamos de nuevo la regla de L'Hรดpital y resulta: ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0
2๐ฅ๐ฅ 2 = ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 ๐๐โ1 ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐(๐๐ โ 1)๐ฅ๐ฅ ๐๐โ2
Como ahora el numerador no se anula, el denominador tiene que ser un nรบmero distinto de cero y de infinito para que ๐ต๐ต โ 0, ๐ต๐ต โ โ. Esto implica ๐๐ โ 2 = 0 luego ๐๐ = 2. Sustituyendo este valor en la รบltima expresiรณn resulta:
๐ฅ๐ฅ 2
๐ต๐ต = ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0
4
por tanto โซ0 ๐๐ ๐ก๐ก โ ๐ฅ๐ฅ 2 .
2 =1 2๐ฅ๐ฅ 0
- Observaciรณn: aunque conceptualmente es mรกs fรกcil entender por quรฉ funciona calcular el ๐ฅ๐ฅ 2
4
polinomio de Taylor de โซ0 ๐๐ ๐ก๐ก este segundo mรฉtodo simplifica los cรกlculos (aquรญ hemos 8
podido hacer ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 ๐๐ ๐ฅ๐ฅ = 1 en un paso intermedio y para calcular el polinomio de Taylor no podrรญamos haber hecho esta simplificaciรณn para calcular ๐น๐น โฒโฒ (0)). Mirad el ejercicio 2 del examen final de diciembre del curso 2012-2013 y verรฉis que a veces no es sencillo calcular el polinomio de Taylor de una funciรณn cuya variable estรก en el lรญmite superior de una integral. ๐ฅ๐ฅ 2
4
- Tercera forma: no parece fรกcil resolver la integral โซ0 ๐๐ ๐ก๐ก y obtener una funciรณn ๐๐(๐ฅ๐ฅ) que ๐ฅ๐ฅ 2
4
pueda expresarse como combinaciรณn de funciones usuales y que verifique ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = โซ0 ๐๐ ๐ก๐ก (de Pedro_CC
2
hecho se puede demostrar que dicha funciรณn no existe). Sin embargo, podemos calcular el 4
polinomio de Taylor de la funciรณn ๐๐ ๐ก๐ก centrado en el origen y resulta: 4
๐๐ ๐ก๐ก โ 1 + ๐ก๐ก 4 +
๐ก๐ก 8 +โฏ 2 ๐ฅ๐ฅ 2
4
asรญ que parece razonable que el polinomio de Taylor de โซ0 ๐๐ ๐ก๐ก sea equivalente a: ๐ฅ๐ฅ 2
๏ฟฝ ๏ฟฝ1 + ๐ก๐ก 4 + 0
๐ก๐ก 8 ๐ฅ๐ฅ 10 ๐ฅ๐ฅ 18 + โฏ ๏ฟฝ = (๐ฅ๐ฅ 2 + + + โฏ) 2 5 18
๐ฅ๐ฅ 2
4
Nos quedamos con el tรฉrmino de menor orden no nulo y se obtiene que โซ0 ๐๐ ๐ก๐ก โ ๐ฅ๐ฅ 2 .
- Observaciรณn: esta tercera forma simplifica considerablemente los cรกlculos, pero NO siempre funciona asรญ que os aconsejo que utilicรฉis la segunda forma y sรณlo hagรกis uso de esto en caso de emergencia. Para estudiar los casos en los que es vรกlido hacer primero Taylor y luego integrar se suelen utilizar unos teoremas llamados teorema de la convergencia monรณtona y teorema de la convergencia dominada (y que no vais a ver en toda la carrera de ingenierรญa). En este caso concreto, el teorema de la convergencia monรณtona permite hacer primero Taylor e integrar despuรฉs. En el ejercicio 2 del examen final de diciembre del curso 2012-2013 tambiรฉn se puede aplicar el teorema de la convergencia monรณtona y hacer esto. Bloque 2: cos(sin(2๐ฅ๐ฅ โ 1))
Tenemos:
cos(sin(2๐ฅ๐ฅ โ 1)) = cos(sin(0)) = cos(0) = 1
Por lo que podemos sustituir este bloque por 1.
Bloque 3: 3 sin(๐ฅ๐ฅ) โ sinh(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ + 1
Como tenemos sumas no podemos aplicar infinitรฉsimos y hay que desarrollar todos los polinomios de Taylor hasta el mismo orden. El proceso es siempre el mismo: desarrollamos todos los Taylors hasta orden 0 y si la suma vale cero desarrollamos todos los Taylors hasta orden 1. Si la suma se vuelve a anular pasamos a orden 2 y asรญ sucesivamente. Orden 0: 3 sin(๐ฅ๐ฅ) โ 0
โ sinh(๐ฅ๐ฅ) โ 0 โ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ โ โ1 1โ1
la suma vale 0 + 0 โ 1 + 1 = 0 por lo que desarrollamos los polinomios hasta orden 1: 3 sin(๐ฅ๐ฅ) โ 3๐ฅ๐ฅ
Pedro_CC
3
โ sinh(๐ฅ๐ฅ) โ โ๐ฅ๐ฅ
โ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ โ โ1 โ 2๐ฅ๐ฅ 1โ1
la suma vale 3๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ โ 1 โ 2๐ฅ๐ฅ + 1 = 0 por lo que desarrollamos los polinomios hasta orden 2: 3 sin(๐ฅ๐ฅ) โ 3๐ฅ๐ฅ
โ sinh(๐ฅ๐ฅ) โ โ๐ฅ๐ฅ
โ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ โ โ1 โ 2๐ฅ๐ฅ โ 2๐ฅ๐ฅ 2 1โ1
la suma vale 3๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ โ 1 โ 2๐ฅ๐ฅ โ 2๐ฅ๐ฅ 2 + 1 = โ2๐ฅ๐ฅ 2 por lo que sustituimos todo este bloque por โ2๐ฅ๐ฅ 2 , y como aparece al cuadrado en la expresiรณn del enunciado lo elevamos al cuadrado y tenemos (3 sin(๐ฅ๐ฅ) โ sinh(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ + 1)2 โ 4๐ฅ๐ฅ 4 Sustituyendo todo esto en el enunciado resulta: ๐ฅ๐ฅ 2
4
๏ฟฝโซ0 ๐๐ ๐ก๐ก ๏ฟฝ cos(sin(2๐ฅ๐ฅ โ 1)) (3 sin(๐ฅ๐ฅ) โ sinh(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ + 1)2 ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ(2 โ cos(๐ฅ๐ฅ))
โ
๐ฅ๐ฅ 2 4๐ฅ๐ฅ 4 = 8๐ฅ๐ฅ 4โ๐๐ ๐ฅ๐ฅ 2+๐๐ 2
y como ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 ๐ด๐ด๐ด๐ด = 0 tambiรฉn tiene que ser ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0 8๐ฅ๐ฅ 4โ๐๐ = 0 por lo que necesariamente tiene que ser ๐๐ โ {1,2,3} (puesto que si ๐๐ = 4 se tiene que 8๐ฅ๐ฅ 4โ๐๐ vale 8 y si ๐๐ > 4 se tiene que 8๐ฅ๐ฅ 4โ๐๐ tiende a โ al tender ๐ฅ๐ฅ a 0) y ๐ด๐ด puede tomar cualquier valor. Obviamente, en el caso de que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) sea continua se tiene que ๐๐(0) = 0.
b) Estudiamos la derivabilidad:
Para que f(x) sea derivable necesariamente tiene que ser continua por lo que ๐๐(0) = 0. Por definiciรณn tenemos que ๐๐ โฒ (๐ฅ๐ฅ0 ) = ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ๐ฅ๐ฅ 0 expresiones de ๐๐(๐ฅ๐ฅ) del enunciado resulta: ๐๐ โฒ (0โ ) = ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0โ
๐๐ โฒ (0+) = ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0+
๐๐(๐ฅ๐ฅ)โ๐๐(๐ฅ๐ฅ 0 ) ๐ฅ๐ฅโ๐ฅ๐ฅ 0
por lo que tomando lรญmites en ambas
๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐(0โ ) ๐ด๐ด๐ด๐ด = ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0โ = ๐ด๐ด ๐ฅ๐ฅ โ 0 ๐ฅ๐ฅ
๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐(0+ ) 8๐ฅ๐ฅ 4โ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅโ0+ = 8๐ฅ๐ฅ 3โ๐๐ ๐ฅ๐ฅ ๐ฅ๐ฅ โ 0
para que sea derivable es necesario que ambos lรญmites coincidan por lo que la รบnica posibilidad es ๐ด๐ด = 8 y ๐๐ = 3. - Observaciรณn: serรญa un error derivar ๐ด๐ด๐ด๐ด y
๐ฅ๐ฅ 2
4
๏ฟฝโซ0 ๐๐ ๐ก๐ก ๏ฟฝ cos (sin (2๐ฅ๐ฅ โ1))(3 sin (๐ฅ๐ฅ)โsinh (๐ฅ๐ฅ)โ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ +1)2 ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ (2โcos (๐ฅ๐ฅ))
e
imponer que ambas derivadas valgan lo mismo para calcular los valores de ๐ด๐ด y ๐๐ que hacen Pedro_CC
4
que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) sea derivable. Ademรกs, no parece sencillo hacer las cuentas que se obtienen al tratar de derivar
๐ฅ๐ฅ 2
4
๏ฟฝโซ0 ๐๐ ๐ก๐ก ๏ฟฝ cos (sin (2๐ฅ๐ฅ โ1))(3 sin (๐ฅ๐ฅ)โsinh (๐ฅ๐ฅ)โ๐๐ 2๐ฅ๐ฅ +1)2 ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ (2โcos (๐ฅ๐ฅ))
.
- Observaciรณn 2: notad que los valores de ๐ด๐ด y ๐๐ que hacen que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) sea derivable son un subconjunto de los valores de ๐ด๐ด y ๐๐ que hacen que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) sea continua. Es decir, si en la parte de derivabilidad hubiรฉsemos obtenido ๐๐ = 5 deberรญamos repasar el ejercicio porque para dicho valor de ๐๐ habรญamos obtenido que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) no es continua. Despuรฉs de haber visto este ejercicio, es aconsejable que mirรฉis el ejercicio 1 del examen extraordinario de junio del curso 2013-2014, que es muy parecido.
Pedro_CC
5
3. (julio 2011-2012, 1 punto). Se quiere construir una carretera cuyo trazado viene dado por la curva ๐ฆ๐ฆ = โ๐ฅ๐ฅ 3 + 1 con ๐ฅ๐ฅ โ [โ10,10]. Hay un rรญo cuyo cauce viene dado por la expresiรณn ๐ฆ๐ฆ = lnโก(๐ฅ๐ฅ + โ1 + ๐ฅ๐ฅ 2 ) con ๐ฅ๐ฅ โ [โ10,10]. Hallar razonadamente cuรกntos puentes hay que hacer sobre el rรญo para que la carretera pueda ser construida.
Soluciรณn: El enunciado equivale a calcular el nรบmero de puntos de corte entre las funciones ๐๐(๐ฅ๐ฅ) =
โ๐ฅ๐ฅ 3 + 1 y ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = lnโก(๐ฅ๐ฅ + โ1 + ๐ฅ๐ฅ 2 ) en el intervalo [-10,10]. Veamos que hay al menos un punto de corte:
Sea โ(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ). Tenemos que โ(๐ฅ๐ฅ) es continua y derivable en todo โ por serlo ๐๐(๐ฅ๐ฅ) y ๐๐(๐ฅ๐ฅ). Tenemos: โ(0) = ๐๐(0) โ ๐๐(0) = 1 โ 0 = 1 > 0
โ(1) = ๐๐(1) โ ๐๐(1) = 0 โ ln๏ฟฝ1 + โ2๏ฟฝ < 0
por lo que el teorema de Bolzano nos garantiza que โ(๐ฅ๐ฅ) tiene al menos una raรญz en el intervalo [0,1], por lo que โ(๐ฅ๐ฅ) tiene al menos una raiz [โ10,10]. Veamos que hay como mucho un punto de corte:
Tenemos ๐๐ โฒ (๐ฅ๐ฅ) = โ3๐ฅ๐ฅ 2 < 0 โ๐ฅ๐ฅ โ โ por lo que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) es estrictamente decreciente. Tambiรฉn tenemos ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ) =
1
๐ฅ๐ฅ+๏ฟฝ1+๐ฅ๐ฅ 2
โ ๏ฟฝ1 +
2๐ฅ๐ฅ
๏ฟฝ=
2๏ฟฝ(1+๐ฅ๐ฅ 2 )
por lo que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) es estrictamente creciente.
1
๐ฅ๐ฅ+๏ฟฝ1+๐ฅ๐ฅ 2
๐ฅ๐ฅ+๏ฟฝ(1+๐ฅ๐ฅ 2 )
โ๏ฟฝ
๏ฟฝ(1+๐ฅ๐ฅ 2 )
๏ฟฝ=
1
๏ฟฝ(1+๐ฅ๐ฅ 2 )
> 0 โ๐ฅ๐ฅ โ โ
Esto implica que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) y ๐๐(๐ฅ๐ฅ) se cortan como mucho una vez en todo โ y, por tanto, se cortan como mucho una vez en el intervalo [โ10,10]. Por tanto, hay que construir un puente exactamente.
- Observaciรณn: para ver que las funciones del enunciado tienen a lo sumo un punto de corte podrรญamos haber aplicado Rolle ya que โโฒ (๐ฅ๐ฅ) = ๐๐ โฒ (๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ) = โ3๐ฅ๐ฅ 2 โ
1
๏ฟฝ(1+๐ฅ๐ฅ 2 )
< 0 lo que
implica que โ(๐ฅ๐ฅ) tiene a lo sumo una raรญz porque si tuviese mรกs โโฒ (๐ฅ๐ฅ) tendrรญa que anularse.
Pedro_CC
6
3. (julio 2010-2011, 1.5 puntos) Un explorador estรก situado en el punto (0,1) y debe llegar al punto (1,1) debiendo aprovisionarse de agua en un rรญo que tiene forma de segmento rectilรญneo y que se encuentra entre los puntos (0,0) y (1,1) tal y como se observa en la figura de abajo. Sabiendo que los tramos recorridos desde los puntos (0,1) y (1,1) al rรญo son segmentos rectilรญneos, hallar la mรกxima y la mรญnima distancia que puede recorrer el explorador.
Soluciรณn: Consideremos un punto (x,0) situado sobre el rรญo. Aplicando el teorema de Pitรกgoras se tiene que la funciรณn que tenemos que optimizar es ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = โ๐ฅ๐ฅ 2 + 1 + ๏ฟฝ(1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 + 1 tal y como se muestra en la siguiente figura:
derivando e igualando a cero resulta ๐๐ โฒ (๐ฅ๐ฅ) =
2๐ฅ๐ฅ
2โ๐ฅ๐ฅ 2
+1
operando la expresiรณn anterior se tiene que
elevando al cuadrado resulta
โ
2(1 โ ๐ฅ๐ฅ)
2๏ฟฝ(1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 + 1
=0
๐ฅ๐ฅ โ๐ฅ๐ฅ 2 + 1 = 1 โ ๐ฅ๐ฅ ๏ฟฝ(1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 + 1 ๐ฅ๐ฅ 2 ๐ฅ๐ฅ 2 + 1 = (1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 (1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 + 1
despejamos con un poco de vista y queda
(1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 + 1 ๐ฅ๐ฅ 2 + 1 = (1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 ๐ฅ๐ฅ 2
simplificando las fracciones obtenemos
Pedro_CC
1+
1 1 =1+ 2 2 ๐ฅ๐ฅ (1 โ ๐ฅ๐ฅ)
7
y operando una vez mรกs llegamos a ๐ฅ๐ฅ 2 = (1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 = ๐ฅ๐ฅ 2 โ 2๐ฅ๐ฅ + 1 1 2
de donde se obtiene la soluciรณn ๐ฅ๐ฅ = . Para ver si es un mรญnimo o un mรกximo podrรญamos 1
calcular ๐๐ โฒโฒ (2) y ver si el signo es positivo o negativo, aunque si las cuentas para resolver la
expresiรณn ๐๐ โฒ (๐ฅ๐ฅ) = 0 ya han tenido una cierta dificultad el cรกlculo de ๐๐โฒโฒ(๐ฅ๐ฅ) tiene toda la pinta de ser absolutamente infumable, asรญ que vamos a tener que verlo de otra forma. Por lo pronto, tenemos: 1 1 2 โ5 1 5 5 5 = โ5 ๐๐( ) = ๏ฟฝ( )2 + 1 + ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๏ฟฝ + 1 = ๏ฟฝ + ๏ฟฝ = 2๏ฟฝ = 2 2 2 2 2 4 4 4
En el enunciado nos han pedido calcular mรกximos y mรญnimos. Dado que sรณlo hemos obtenido una soluciรณn vamos a necesitar mรกs extremos relativos (al menos uno mรกs para tener un mรกximo y un mรญnimo) asรญ que miramos el valor de ๐๐(๐ฅ๐ฅ) en los puntos "extremos" del rรญo y tenemos: ๐๐(0) = โ0 + 1 + โ1 + 1 = 1 + โ2 ๐๐(1) = โ1 + 1 + โ0 + 1 = 1 + โ2
Por simetrรญa es razonable que se obtenga ๐๐(0) = ๐๐(1).
1
En este momento viene bien saber que โ2 โ 1.41 y โ5 โ 2.24 y por tanto ๐๐( ) < ๐๐(0) asรญ 2 1
que ๐ฅ๐ฅ = 2 es un mรญnimo de ๐๐(๐ฅ๐ฅ). El mรกximo de ๐๐(๐ฅ๐ฅ) se obtendrรญa si hacemos tender ๐ฅ๐ฅ a
infinito o hacemos tender ๐ฅ๐ฅ a menos infinito (de hecho, en estos casos es fรกcil ver que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) tiende a infinito). Sin embargo, como estamos limitados por el enunciado a ๐ฅ๐ฅ โ [0,1] es lรณgico pensar que los mรกximos vienen dados en los extremos del rรญo. Por tanto, ๐ฅ๐ฅ = 0 y ๐ฅ๐ฅ = 1 son mรกximos de ๐๐(๐ฅ๐ฅ). - Observaciรณn: otra forma intuitiva de resolver el ejercicio sin hacer cuentas es la siguiente. 1 2
Para ver que el mรญnimo se alcanza en el punto ๐ฅ๐ฅ = podemos razonar de la siguiente manera:
dibujamos los puntos (0, โ1) y (1, โ1), que son los simรฉtricos de los puntos (1,0) y (1,1) respecto del rio:
De la simetrรญa del dibujo se deduce que la distancia entre el punto (0,1) y (1,1) pasando por el rรญo es igual a la distancia entre el punto (0,1) y el punto (1, โ1) para cualquier valor de
Pedro_CC
8
๐ฅ๐ฅ โ [0,1] por lo que minimizar la distancia que nos pide el enunciado equivale a minimizar la distancia entre los puntos (0,1) y (1, โ1). Por otra parte, es claro que la distancia mรกs corta entre los puntos (0,1) y (1, โ1) es una lรญnea recta y trazando la lรญnea que une dichos puntos se 1 2
obtiene que el punto de corte con el rio verifica ๐ฅ๐ฅ = , por lo que este valor minimiza ๐๐(๐ฅ๐ฅ).
Por otra parte, es intuitivo ver que la funciรณn ๐๐(๐ฅ๐ฅ) es continua (pequeรฑas variaciones de la
posiciรณn de ๐ฅ๐ฅ se corresponden con pequeรฑas variaciones de โ๐ฅ๐ฅ 2 + 1 + ๏ฟฝ(1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 + 1 y como el mรญnimo se alcanza en ๐ฅ๐ฅ = 1
1 2
y si ๐ฅ๐ฅ โ โโ entonces ๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ โ es razonable que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) sea 1
decreciente en (โโ, 2) y creciente en (2 , โ) por lo que los mรกximos se alcanzarรกn en los
puntos ๐ฅ๐ฅ = 0 y ๐ฅ๐ฅ = 1.
Pedro_CC
9
5. (junio 2012-2013, 1.5 puntos) Sea ๐๐ > 0. Hallar el volumen del cuerpo de revoluciรณn que se 4
obtiene al girar alrededor del eje ๐๐ la regiรณn encerrada por la curva ๐ฆ๐ฆ = ๐ฅ๐ฅ 3 โ๐๐2 โ ๐ฅ๐ฅ 2 y el eje ๐๐. Soluciรณn:
4
Sea ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐ฅ๐ฅ 3 โ๐๐2 โ ๐ฅ๐ฅ 2 la funciรณn dada en el enunciado.
Lo primero que tenemos que hacer es dibujarla de forma aproximada para calcular los lรญmites de integraciรณn. En primer lugar observamos que ๐๐(๐ฅ๐ฅ) es una funciรณn impar por lo que si sabemos cรณmo es en el intervalo (0, โ) automรกticamente sabremos tambiรฉn cรณmo es en el intervalo (โโ, 0). Por otra parte, es claro que: i) ๐๐(๐ฅ๐ฅ) se anula en ๐ฅ๐ฅ = 0, ๐ฅ๐ฅ = ๐๐, ๐ฅ๐ฅ = โ๐๐.
4
ii) Si ๐ฅ๐ฅ > ๐๐ o ๐ฅ๐ฅ < โ๐๐ la expresiรณn ๐๐2 โ ๐ฅ๐ฅ 2 es negativa por lo que โ๐๐2 โ ๐ฅ๐ฅ 2 es un nรบmero complejo por lo que la funciรณn no tiene sentido en los intervalos (โโ, โ๐๐) y (๐๐, โ). iii) Si ๐ฅ๐ฅ โ (0, ๐๐) entonces ๐๐(๐ฅ๐ฅ) > 0 y si ๐ฅ๐ฅ โ (โ๐๐, 0) entonces ๐๐(๐ฅ๐ฅ) < 0.
Teniendo en cuenta esto, un dibujo aproximado de ๐๐(๐ฅ๐ฅ) es:
Ya veis que tampoco hace falta hacer un Picasso. De aquรญ se deduce que los lรญmites de integraciรณn son ๐๐ y โ๐๐, y como ๐๐(๐ฅ๐ฅ) es una funciรณn impar basta con calcular el volumen que se obtiene al girar la curva entre 0 y ๐๐ y multiplicarlo por dos. El volumen que tenemos que calcular serรก: ๐๐
2
๐๐
๐๐
2
1
๐๐ = 2 ๏ฟฝ ๐๐๏ฟฝ๐๐(๐ฅ๐ฅ)๏ฟฝ ๐๐๐๐ = 2๐๐ ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ 6 ๏ฟฝ๐๐2 โ ๐ฅ๐ฅ 2 ๐๐๐๐ = 2๐๐ ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ 6 (๐๐2 โ ๐ฅ๐ฅ 2 )2 ๐๐๐๐ = {๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐๐; ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐} 0
0
0
๐๐ 1 1 1 1 1 1 = 2๐๐ ๏ฟฝ ๐๐6 ๐ข๐ข6 (๐๐2 โ ๐๐2 ๐ข๐ข2 )2 ๐๐๐๐๐๐ = 2๐๐๐๐8 ๏ฟฝ ๐ข๐ข6 (1 โ ๐ข๐ข2 )2 ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐ข๐ข = ๐ก๐ก 2 ; ๐๐๐๐ = ๐ก๐ก โ2 ๐๐๐๐๏ฟฝ = 2 0 0 8
1
= 2๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐ก๐ก 0
3 (1
โ
1 ๐ก๐ก)2
7 3 1 5 ฮ ๏ฟฝ2๏ฟฝ ฮ(2) 1 7 3 1 โ1/2 8 8 8 ๐ก๐ก ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐ก๐ก 2 (1 โ ๐ก๐ก)2 ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ฝ๐ฝ( , ) = ๐๐๐๐ = ฮ(5) 2 2 2 0 531 1 โ๐๐ 2 โ๐๐ 5 2 2 2 2 = ๐๐๐๐ = ๐๐8 ๐๐ 4! 128 8
vale el volumen pedido.
- Observaciรณn: si hacemos directamente el cambio ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ก๐ก1/2 la integral sale mรกs rรกpido. La 1
"idea" de la integral es llegar a una expresiรณn del tipo โซ0 ๐ข๐ข๐๐โ1 (1 โ ๐ข๐ข)๐๐โ1 ๐๐๐๐ y resolver
utilizando las propiedades de las funciones gamma y beta de Euler. Pedro_CC
10
6. (diciembre 2011-2012, 1 punto) Calcular ๐๐๐๐๐๐๐๐โโ Soluciรณn:
(
๐๐ +1
(๐๐!) โ๐๐ โ1)3๐๐ sin โก 1 2
1 ๐๐
๏ฟฝ1+ +โฏ+ ๏ฟฝ๐๐!
Denominador 1 2
1 ๐๐
Hacemos ๏ฟฝ1 + + โฏ + ๏ฟฝ โ lnโก (๐๐) y ya no podemos simplificar mรกs. El denominador equivale
a ln(๐๐) ๐๐!
Numerador ๐๐ +1
1
Aplicando infinitรฉsimos resulta ๏ฟฝ โ๐๐ โ 1๏ฟฝ โ (๐๐+1) lnโก (๐๐) y ya no podemos simplificar mรกs por 1
(๐๐) 3๐๐ sinโก (๐๐!) lo que el numerador queda (๐๐+1) lnโก Sustituyendo resulta:
1 ๐๐ +1 lnโก (๐๐) 3๐๐ sinโก (๐๐!) 3๐๐ ( โ๐๐ โ 1)3๐๐ sinโก (๐๐!) (๐๐ + 1) = ๐๐๐๐๐๐๐๐โโ = sin(๐๐!) ๐๐๐๐๐๐๐๐โโ 1 1 (๐๐ + 1)! ln(๐๐) ๐๐! ๏ฟฝ1 + 2 + โฏ + ๏ฟฝ ๐๐! ๐๐ 3๐๐
Teniendo en cuenta los รณrdenes de infinitos se tiene que ๐๐๐๐๐๐๐๐โโ (๐๐+1)! = 0 y es claro que
sin(๐๐!) estรก acotado. Por tanto, la รบltima expresiรณn es de la forma 0 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ y el lรญmite buscado vale cero.
Pedro_CC
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7. (diciembre 2011-2012, 1 punto) Sea ๐๐๐๐ una sucesiรณn acotada de nรบmeros positivos. Estudiar el carรกcter de la serie: โ
๏ฟฝ
๐๐=1
1 + ๐๐๐๐ 1 sinโก ( ) ๐ผ๐ผโ2 ๐๐ ๐๐
en funciรณn de los distintos valores del parรกmetro real ๐ผ๐ผ.
Soluciรณn:
En primer lugar podemos aplicar equivalentes y se sigue que la serie del enunciado tendrรก el mismo carรกcter que: โ
โ
๐๐=1
๐๐=1
1 + ๐๐๐๐ 1 1 + ๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐ผ๐ผโ2 ๏ฟฝ ๏ฟฝ = ๏ฟฝ ๐ผ๐ผโ1 ๐๐ ๐๐ ๐๐
Por otra parte, sabemos que ๐๐๐๐ es una sucesiรณn acotada de nรบmeros positivos por lo que se verifica que: 0 โค ๐๐๐๐ โค ๐๐ โ๐๐
siendo ๐๐ la cota superior de ๐๐๐๐ . Tenemos que: โ
๏ฟฝ
๐๐=1
1
๐๐๐ผ๐ผโ1
โ
โ
โ
๐๐=1
๐๐=1
๐๐=1
1 + ๐๐๐๐ 1 + ๐๐ 1 โค ๏ฟฝ ๐ผ๐ผโ1 โค ๏ฟฝ ๐ผ๐ผโ1 = (1 + ๐๐) ๏ฟฝ ๐ผ๐ผโ1 ๐๐ ๐๐ ๐๐
de esta expresiรณn se deduce que la serie del enunciado tiene el mismo carรกcter que โโ ๐๐=1
1 , ๐๐ ๐ผ๐ผ โ1
y sabemos que dicha serie converge si ๐ผ๐ผ โ 1 > 1 y diverge si ๐ผ๐ผ โ 1 โค 1 por lo que se deduce que la serie del enunciado converge si ๐ผ๐ผ > 2 y diverge si ๐ผ๐ผ โค 2.
Pedro_CC
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