1. (diciembre , 2.5 puntos) Estudiar la continuidad y la derivabilidad en xx = 0 de la

1. (diciembre 2013-2014, 2.5 puntos) Estudiar la continuidad y la derivabilidad en ๐‘ฅ๐‘ฅ = 0 de la funciรณn ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) para los diferentes valores de ๐‘›๐‘› โˆˆ โ„• y...
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1. (diciembre 2013-2014, 2.5 puntos) Estudiar la continuidad y la derivabilidad en ๐‘ฅ๐‘ฅ = 0 de la funciรณn ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) para los diferentes valores de ๐‘›๐‘› โˆˆ โ„• y del parรกmetro real ๐ด๐ด > 0. ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) =

๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) = ๐ด๐ด๐ด๐ด si ๐‘ฅ๐‘ฅ โ‰ค 0.

๏ฟฝโˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก ๏ฟฝ cos (sin (2๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’1))(3 sin (๐‘ฅ๐‘ฅ)โˆ’sinh (๐‘ฅ๐‘ฅ)โˆ’๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ +1)2 ๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘›๐‘› ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ (2โˆ’cos (๐‘ฅ๐‘ฅ))

si ๐‘ฅ๐‘ฅ > 0

Soluciรณn: a) Estudiamos la continuidad. Es claro que ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 ๐ด๐ด๐ด๐ด = 0 por lo que es necesario que

๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0

๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

๏ฟฝโˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก ๏ฟฝ cos (sin (2๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’1))(3 sin (๐‘ฅ๐‘ฅ)โˆ’sinh (๐‘ฅ๐‘ฅ)โˆ’๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ +1)2 ๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘›๐‘› ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ (2โˆ’cos (๐‘ฅ๐‘ฅ))

el origen.

valga cero para que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ)sea continua en

Denominador: Aplicando infinitรฉsimos equivalentes resulta: ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ(2 โˆ’ cos(๐‘ฅ๐‘ฅ)) โ‰ˆ 1 โˆ’ cosโก (๐‘ฅ๐‘ฅ) โ‰ˆ

Por lo que el denominador equivale a

๐‘ฅ๐‘ฅ 2+๐‘›๐‘› . 2

๐‘ฅ๐‘ฅ 2 2

Numerador: (lo dividimos en tres "bloques") ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

Bloque 1: โˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก

4

- Primera forma: sea

๐‘ฅ๐‘ฅ 2

๐น๐น(๐‘ฅ๐‘ฅ) = ๏ฟฝ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก 0

4

Calculamos el polinomio de Taylor de ๐น๐น(๐‘ฅ๐‘ฅ) centrado en el origen: ๐น๐น(๐‘ฅ๐‘ฅ) โ‰ˆ ๐น๐น(0) + ๐‘ฅ๐‘ฅ๐น๐น โ€ฒ (0) +

๐‘ฅ๐‘ฅ 2 โ€ฒโ€ฒ ๐น๐น (0) 2

Tenemos que obtener el primer coeficiente no nulo de dicho polinomio. El primer coeficiente vale: 0

El segundo coeficiente vale:

4

๐น๐น(0) = ๏ฟฝ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก = 0 0

8

El tercer coeficiente vale: Pedro_CC

๐น๐น โ€ฒ (0) = 2๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘ฅ๐‘ฅ = 0 1

8

8

๐น๐น โ€ฒโ€ฒ (0) = 2๐‘’๐‘’ ๐‘ฅ๐‘ฅ + 16๐‘ฅ๐‘ฅ 8 ๐‘’๐‘’ ๐‘ฅ๐‘ฅ = 2

Por tanto, tomamos el polinomio de Taylor de orden dos y resulta: ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

๏ฟฝ ๐‘’๐‘’ 0

๐‘ก๐‘ก 4

โ‰ˆ ๐น๐น(0) + ๐‘ฅ๐‘ฅ๐น๐น ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

โ€ฒ (0) 4

๐‘ฅ๐‘ฅ 2 โ€ฒโ€ฒ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 (0) + ๐น๐น = 2 = ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 2 2

- Segunda forma: queremos sustituir โˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก por una expresiรณn que sea equivalente en el ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

origen y que sea de la forma ๐ต๐ต๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘๐‘ con ๐ต๐ต โ‰  0, ๐ต๐ต โ‰  โˆž (es decir, que se cumpla โˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก โ‰ˆ ๐ต๐ต๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘๐‘ ). No sabemos cuรกnto valen ๐ต๐ต y ๐‘๐‘, pero se tiene que cumplir que: ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

โˆซ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 0 ๐‘๐‘ = ๐ต๐ต ๐‘ฅ๐‘ฅ

y como ๐ต๐ต โ‰  0, ๐ต๐ต โ‰  โˆž la รบnica posibilidad es que la expresiรณn anterior sea una 0 0

indeterminaciรณn de tipo por lo que podemos aplicar la regla de L'Hรดpital y tenemos: ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

8

โˆซ ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก 2๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 0 ๐‘๐‘ = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 ๐‘๐‘โˆ’1 = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 ๐‘๐‘โˆ’1 ๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘๐‘๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘๐‘๐‘ฅ๐‘ฅ 8

(en la รบltima igualdad hemos hecho ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ฅ๐‘ฅ = 1). Como el numerador sigue tendiendo a cero y es necesario que ๐ต๐ต โ‰  0, ๐ต๐ต โ‰  โˆž la expresiรณn anterior tiene que seguir siendo una 0 0

indeterminaciรณn de tipo . Aplicamos de nuevo la regla de L'Hรดpital y resulta: ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0

2๐‘ฅ๐‘ฅ 2 = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 ๐‘๐‘โˆ’1 ๐‘๐‘๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘๐‘(๐‘๐‘ โˆ’ 1)๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘๐‘โˆ’2

Como ahora el numerador no se anula, el denominador tiene que ser un nรบmero distinto de cero y de infinito para que ๐ต๐ต โ‰  0, ๐ต๐ต โ‰  โˆž. Esto implica ๐‘๐‘ โˆ’ 2 = 0 luego ๐‘๐‘ = 2. Sustituyendo este valor en la รบltima expresiรณn resulta:

๐‘ฅ๐‘ฅ 2

๐ต๐ต = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0

4

por tanto โˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก โ‰ˆ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 .

2 =1 2๐‘ฅ๐‘ฅ 0

- Observaciรณn: aunque conceptualmente es mรกs fรกcil entender por quรฉ funciona calcular el ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

polinomio de Taylor de โˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก este segundo mรฉtodo simplifica los cรกlculos (aquรญ hemos 8

podido hacer ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ฅ๐‘ฅ = 1 en un paso intermedio y para calcular el polinomio de Taylor no podrรญamos haber hecho esta simplificaciรณn para calcular ๐น๐น โ€ฒโ€ฒ (0)). Mirad el ejercicio 2 del examen final de diciembre del curso 2012-2013 y verรฉis que a veces no es sencillo calcular el polinomio de Taylor de una funciรณn cuya variable estรก en el lรญmite superior de una integral. ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

- Tercera forma: no parece fรกcil resolver la integral โˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก y obtener una funciรณn ๐‘”๐‘”(๐‘ฅ๐‘ฅ) que ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

pueda expresarse como combinaciรณn de funciones usuales y que verifique ๐‘”๐‘”(๐‘ฅ๐‘ฅ) = โˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก (de Pedro_CC

2

hecho se puede demostrar que dicha funciรณn no existe). Sin embargo, podemos calcular el 4

polinomio de Taylor de la funciรณn ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก centrado en el origen y resulta: 4

๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก โ‰ˆ 1 + ๐‘ก๐‘ก 4 +

๐‘ก๐‘ก 8 +โ‹ฏ 2 ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

asรญ que parece razonable que el polinomio de Taylor de โˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก sea equivalente a: ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

๏ฟฝ ๏ฟฝ1 + ๐‘ก๐‘ก 4 + 0

๐‘ก๐‘ก 8 ๐‘ฅ๐‘ฅ 10 ๐‘ฅ๐‘ฅ 18 + โ‹ฏ ๏ฟฝ = (๐‘ฅ๐‘ฅ 2 + + + โ‹ฏ) 2 5 18

๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

Nos quedamos con el tรฉrmino de menor orden no nulo y se obtiene que โˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก โ‰ˆ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 .

- Observaciรณn: esta tercera forma simplifica considerablemente los cรกlculos, pero NO siempre funciona asรญ que os aconsejo que utilicรฉis la segunda forma y sรณlo hagรกis uso de esto en caso de emergencia. Para estudiar los casos en los que es vรกlido hacer primero Taylor y luego integrar se suelen utilizar unos teoremas llamados teorema de la convergencia monรณtona y teorema de la convergencia dominada (y que no vais a ver en toda la carrera de ingenierรญa). En este caso concreto, el teorema de la convergencia monรณtona permite hacer primero Taylor e integrar despuรฉs. En el ejercicio 2 del examen final de diciembre del curso 2012-2013 tambiรฉn se puede aplicar el teorema de la convergencia monรณtona y hacer esto. Bloque 2: cos(sin(2๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ 1))

Tenemos:

cos(sin(2๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ 1)) = cos(sin(0)) = cos(0) = 1

Por lo que podemos sustituir este bloque por 1.

Bloque 3: 3 sin(๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ sinh(๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ + 1

Como tenemos sumas no podemos aplicar infinitรฉsimos y hay que desarrollar todos los polinomios de Taylor hasta el mismo orden. El proceso es siempre el mismo: desarrollamos todos los Taylors hasta orden 0 y si la suma vale cero desarrollamos todos los Taylors hasta orden 1. Si la suma se vuelve a anular pasamos a orden 2 y asรญ sucesivamente. Orden 0: 3 sin(๐‘ฅ๐‘ฅ) โ‰ˆ 0

โˆ’ sinh(๐‘ฅ๐‘ฅ) โ‰ˆ 0 โˆ’๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ โ‰ˆ โˆ’1 1โ‰ˆ1

la suma vale 0 + 0 โˆ’ 1 + 1 = 0 por lo que desarrollamos los polinomios hasta orden 1: 3 sin(๐‘ฅ๐‘ฅ) โ‰ˆ 3๐‘ฅ๐‘ฅ

Pedro_CC

3

โˆ’ sinh(๐‘ฅ๐‘ฅ) โ‰ˆ โˆ’๐‘ฅ๐‘ฅ

โˆ’๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ โ‰ˆ โˆ’1 โˆ’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ 1โ‰ˆ1

la suma vale 3๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ 1 โˆ’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ + 1 = 0 por lo que desarrollamos los polinomios hasta orden 2: 3 sin(๐‘ฅ๐‘ฅ) โ‰ˆ 3๐‘ฅ๐‘ฅ

โˆ’ sinh(๐‘ฅ๐‘ฅ) โ‰ˆ โˆ’๐‘ฅ๐‘ฅ

โˆ’๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ โ‰ˆ โˆ’1 โˆ’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ 2 1โ‰ˆ1

la suma vale 3๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ 1 โˆ’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ 2 + 1 = โˆ’2๐‘ฅ๐‘ฅ 2 por lo que sustituimos todo este bloque por โˆ’2๐‘ฅ๐‘ฅ 2 , y como aparece al cuadrado en la expresiรณn del enunciado lo elevamos al cuadrado y tenemos (3 sin(๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ sinh(๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ + 1)2 โ‰ˆ 4๐‘ฅ๐‘ฅ 4 Sustituyendo todo esto en el enunciado resulta: ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

๏ฟฝโˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก ๏ฟฝ cos(sin(2๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ 1)) (3 sin(๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ sinh(๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ + 1)2 ๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘›๐‘› ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ(2 โˆ’ cos(๐‘ฅ๐‘ฅ))

โ‰ˆ

๐‘ฅ๐‘ฅ 2 4๐‘ฅ๐‘ฅ 4 = 8๐‘ฅ๐‘ฅ 4โˆ’๐‘›๐‘› ๐‘ฅ๐‘ฅ 2+๐‘›๐‘› 2

y como ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 ๐ด๐ด๐ด๐ด = 0 tambiรฉn tiene que ser ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0 8๐‘ฅ๐‘ฅ 4โˆ’๐‘›๐‘› = 0 por lo que necesariamente tiene que ser ๐‘›๐‘› โˆˆ {1,2,3} (puesto que si ๐‘›๐‘› = 4 se tiene que 8๐‘ฅ๐‘ฅ 4โˆ’๐‘›๐‘› vale 8 y si ๐‘›๐‘› > 4 se tiene que 8๐‘ฅ๐‘ฅ 4โˆ’๐‘›๐‘› tiende a โˆž al tender ๐‘ฅ๐‘ฅ a 0) y ๐ด๐ด puede tomar cualquier valor. Obviamente, en el caso de que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) sea continua se tiene que ๐‘“๐‘“(0) = 0.

b) Estudiamos la derivabilidad:

Para que f(x) sea derivable necesariamente tiene que ser continua por lo que ๐‘“๐‘“(0) = 0. Por definiciรณn tenemos que ๐‘“๐‘“ โ€ฒ (๐‘ฅ๐‘ฅ0 ) = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’๐‘ฅ๐‘ฅ 0 expresiones de ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) del enunciado resulta: ๐‘“๐‘“ โ€ฒ (0โˆ’ ) = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0โˆ’

๐‘“๐‘“ โ€ฒ (0+) = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0+

๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ)โˆ’๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ 0 ) ๐‘ฅ๐‘ฅโˆ’๐‘ฅ๐‘ฅ 0

por lo que tomando lรญmites en ambas

๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘“๐‘“(0โˆ’ ) ๐ด๐ด๐ด๐ด = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0โˆ’ = ๐ด๐ด ๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ 0 ๐‘ฅ๐‘ฅ

๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘“๐‘“(0+ ) 8๐‘ฅ๐‘ฅ 4โˆ’๐‘›๐‘› = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘ฅ๐‘ฅโ†’0+ = 8๐‘ฅ๐‘ฅ 3โˆ’๐‘›๐‘› ๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’ 0

para que sea derivable es necesario que ambos lรญmites coincidan por lo que la รบnica posibilidad es ๐ด๐ด = 8 y ๐‘›๐‘› = 3. - Observaciรณn: serรญa un error derivar ๐ด๐ด๐ด๐ด y

๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

๏ฟฝโˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก ๏ฟฝ cos (sin (2๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’1))(3 sin (๐‘ฅ๐‘ฅ)โˆ’sinh (๐‘ฅ๐‘ฅ)โˆ’๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ +1)2 ๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘›๐‘› ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ (2โˆ’cos (๐‘ฅ๐‘ฅ))

e

imponer que ambas derivadas valgan lo mismo para calcular los valores de ๐ด๐ด y ๐‘›๐‘› que hacen Pedro_CC

4

que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) sea derivable. Ademรกs, no parece sencillo hacer las cuentas que se obtienen al tratar de derivar

๐‘ฅ๐‘ฅ 2

4

๏ฟฝโˆซ0 ๐‘’๐‘’ ๐‘ก๐‘ก ๏ฟฝ cos (sin (2๐‘ฅ๐‘ฅ โˆ’1))(3 sin (๐‘ฅ๐‘ฅ)โˆ’sinh (๐‘ฅ๐‘ฅ)โˆ’๐‘’๐‘’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ +1)2 ๐‘ฅ๐‘ฅ ๐‘›๐‘› ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ (2โˆ’cos (๐‘ฅ๐‘ฅ))

.

- Observaciรณn 2: notad que los valores de ๐ด๐ด y ๐‘›๐‘› que hacen que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) sea derivable son un subconjunto de los valores de ๐ด๐ด y ๐‘›๐‘› que hacen que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) sea continua. Es decir, si en la parte de derivabilidad hubiรฉsemos obtenido ๐‘›๐‘› = 5 deberรญamos repasar el ejercicio porque para dicho valor de ๐‘›๐‘› habรญamos obtenido que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) no es continua. Despuรฉs de haber visto este ejercicio, es aconsejable que mirรฉis el ejercicio 1 del examen extraordinario de junio del curso 2013-2014, que es muy parecido.

Pedro_CC

5

3. (julio 2011-2012, 1 punto). Se quiere construir una carretera cuyo trazado viene dado por la curva ๐‘ฆ๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ๐‘ฅ 3 + 1 con ๐‘ฅ๐‘ฅ โˆˆ [โˆ’10,10]. Hay un rรญo cuyo cauce viene dado por la expresiรณn ๐‘ฆ๐‘ฆ = lnโก(๐‘ฅ๐‘ฅ + โˆš1 + ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 ) con ๐‘ฅ๐‘ฅ โˆˆ [โˆ’10,10]. Hallar razonadamente cuรกntos puentes hay que hacer sobre el rรญo para que la carretera pueda ser construida.

Soluciรณn: El enunciado equivale a calcular el nรบmero de puntos de corte entre las funciones ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) =

โˆ’๐‘ฅ๐‘ฅ 3 + 1 y ๐‘”๐‘”(๐‘ฅ๐‘ฅ) = lnโก(๐‘ฅ๐‘ฅ + โˆš1 + ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 ) en el intervalo [-10,10]. Veamos que hay al menos un punto de corte:

Sea โ„Ž(๐‘ฅ๐‘ฅ) = ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”๐‘”(๐‘ฅ๐‘ฅ). Tenemos que โ„Ž(๐‘ฅ๐‘ฅ) es continua y derivable en todo โ„ por serlo ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) y ๐‘”๐‘”(๐‘ฅ๐‘ฅ). Tenemos: โ„Ž(0) = ๐‘“๐‘“(0) โˆ’ ๐‘”๐‘”(0) = 1 โˆ’ 0 = 1 > 0

โ„Ž(1) = ๐‘“๐‘“(1) โˆ’ ๐‘”๐‘”(1) = 0 โˆ’ ln๏ฟฝ1 + โˆš2๏ฟฝ < 0

por lo que el teorema de Bolzano nos garantiza que โ„Ž(๐‘ฅ๐‘ฅ) tiene al menos una raรญz en el intervalo [0,1], por lo que โ„Ž(๐‘ฅ๐‘ฅ) tiene al menos una raiz [โˆ’10,10]. Veamos que hay como mucho un punto de corte:

Tenemos ๐‘“๐‘“ โ€ฒ (๐‘ฅ๐‘ฅ) = โˆ’3๐‘ฅ๐‘ฅ 2 < 0 โˆ€๐‘ฅ๐‘ฅ โˆˆ โ„ por lo que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) es estrictamente decreciente. Tambiรฉn tenemos ๐‘”๐‘”โ€ฒ (๐‘ฅ๐‘ฅ) =

1

๐‘ฅ๐‘ฅ+๏ฟฝ1+๐‘ฅ๐‘ฅ 2

โˆ— ๏ฟฝ1 +

2๐‘ฅ๐‘ฅ

๏ฟฝ=

2๏ฟฝ(1+๐‘ฅ๐‘ฅ 2 )

por lo que ๐‘”๐‘”(๐‘ฅ๐‘ฅ) es estrictamente creciente.

1

๐‘ฅ๐‘ฅ+๏ฟฝ1+๐‘ฅ๐‘ฅ 2

๐‘ฅ๐‘ฅ+๏ฟฝ(1+๐‘ฅ๐‘ฅ 2 )

โˆ—๏ฟฝ

๏ฟฝ(1+๐‘ฅ๐‘ฅ 2 )

๏ฟฝ=

1

๏ฟฝ(1+๐‘ฅ๐‘ฅ 2 )

> 0 โˆ€๐‘ฅ๐‘ฅ โˆˆ โ„

Esto implica que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) y ๐‘”๐‘”(๐‘ฅ๐‘ฅ) se cortan como mucho una vez en todo โ„ y, por tanto, se cortan como mucho una vez en el intervalo [โˆ’10,10]. Por tanto, hay que construir un puente exactamente.

- Observaciรณn: para ver que las funciones del enunciado tienen a lo sumo un punto de corte podrรญamos haber aplicado Rolle ya que โ„Žโ€ฒ (๐‘ฅ๐‘ฅ) = ๐‘“๐‘“ โ€ฒ (๐‘ฅ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”๐‘”โ€ฒ (๐‘ฅ๐‘ฅ) = โˆ’3๐‘ฅ๐‘ฅ 2 โˆ’

1

๏ฟฝ(1+๐‘ฅ๐‘ฅ 2 )

< 0 lo que

implica que โ„Ž(๐‘ฅ๐‘ฅ) tiene a lo sumo una raรญz porque si tuviese mรกs โ„Žโ€ฒ (๐‘ฅ๐‘ฅ) tendrรญa que anularse.

Pedro_CC

6

3. (julio 2010-2011, 1.5 puntos) Un explorador estรก situado en el punto (0,1) y debe llegar al punto (1,1) debiendo aprovisionarse de agua en un rรญo que tiene forma de segmento rectilรญneo y que se encuentra entre los puntos (0,0) y (1,1) tal y como se observa en la figura de abajo. Sabiendo que los tramos recorridos desde los puntos (0,1) y (1,1) al rรญo son segmentos rectilรญneos, hallar la mรกxima y la mรญnima distancia que puede recorrer el explorador.

Soluciรณn: Consideremos un punto (x,0) situado sobre el rรญo. Aplicando el teorema de Pitรกgoras se tiene que la funciรณn que tenemos que optimizar es ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) = โˆš๐‘ฅ๐‘ฅ 2 + 1 + ๏ฟฝ(1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)2 + 1 tal y como se muestra en la siguiente figura:

derivando e igualando a cero resulta ๐‘“๐‘“ โ€ฒ (๐‘ฅ๐‘ฅ) =

2๐‘ฅ๐‘ฅ

2โˆš๐‘ฅ๐‘ฅ 2

+1

operando la expresiรณn anterior se tiene que

elevando al cuadrado resulta

โˆ’

2(1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)

2๏ฟฝ(1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)2 + 1

=0

๐‘ฅ๐‘ฅ โˆš๐‘ฅ๐‘ฅ 2 + 1 = 1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ ๏ฟฝ(1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)2 + 1 ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 + 1 = (1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)2 (1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)2 + 1

despejamos con un poco de vista y queda

(1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)2 + 1 ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 + 1 = (1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)2 ๐‘ฅ๐‘ฅ 2

simplificando las fracciones obtenemos

Pedro_CC

1+

1 1 =1+ 2 2 ๐‘ฅ๐‘ฅ (1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)

7

y operando una vez mรกs llegamos a ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 = (1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)2 = ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 โˆ’ 2๐‘ฅ๐‘ฅ + 1 1 2

de donde se obtiene la soluciรณn ๐‘ฅ๐‘ฅ = . Para ver si es un mรญnimo o un mรกximo podrรญamos 1

calcular ๐‘“๐‘“ โ€ฒโ€ฒ (2) y ver si el signo es positivo o negativo, aunque si las cuentas para resolver la

expresiรณn ๐‘“๐‘“ โ€ฒ (๐‘ฅ๐‘ฅ) = 0 ya han tenido una cierta dificultad el cรกlculo de ๐‘“๐‘“โ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ๐‘ฅ) tiene toda la pinta de ser absolutamente infumable, asรญ que vamos a tener que verlo de otra forma. Por lo pronto, tenemos: 1 1 2 โˆš5 1 5 5 5 = โˆš5 ๐‘“๐‘“( ) = ๏ฟฝ( )2 + 1 + ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โˆ’ ๏ฟฝ + 1 = ๏ฟฝ + ๏ฟฝ = 2๏ฟฝ = 2 2 2 2 2 4 4 4

En el enunciado nos han pedido calcular mรกximos y mรญnimos. Dado que sรณlo hemos obtenido una soluciรณn vamos a necesitar mรกs extremos relativos (al menos uno mรกs para tener un mรกximo y un mรญnimo) asรญ que miramos el valor de ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) en los puntos "extremos" del rรญo y tenemos: ๐‘“๐‘“(0) = โˆš0 + 1 + โˆš1 + 1 = 1 + โˆš2 ๐‘“๐‘“(1) = โˆš1 + 1 + โˆš0 + 1 = 1 + โˆš2

Por simetrรญa es razonable que se obtenga ๐‘“๐‘“(0) = ๐‘“๐‘“(1).

1

En este momento viene bien saber que โˆš2 โ‰ˆ 1.41 y โˆš5 โ‰ˆ 2.24 y por tanto ๐‘“๐‘“( ) < ๐‘“๐‘“(0) asรญ 2 1

que ๐‘ฅ๐‘ฅ = 2 es un mรญnimo de ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ). El mรกximo de ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) se obtendrรญa si hacemos tender ๐‘ฅ๐‘ฅ a

infinito o hacemos tender ๐‘ฅ๐‘ฅ a menos infinito (de hecho, en estos casos es fรกcil ver que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) tiende a infinito). Sin embargo, como estamos limitados por el enunciado a ๐‘ฅ๐‘ฅ โˆˆ [0,1] es lรณgico pensar que los mรกximos vienen dados en los extremos del rรญo. Por tanto, ๐‘ฅ๐‘ฅ = 0 y ๐‘ฅ๐‘ฅ = 1 son mรกximos de ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ). - Observaciรณn: otra forma intuitiva de resolver el ejercicio sin hacer cuentas es la siguiente. 1 2

Para ver que el mรญnimo se alcanza en el punto ๐‘ฅ๐‘ฅ = podemos razonar de la siguiente manera:

dibujamos los puntos (0, โˆ’1) y (1, โˆ’1), que son los simรฉtricos de los puntos (1,0) y (1,1) respecto del rio:

De la simetrรญa del dibujo se deduce que la distancia entre el punto (0,1) y (1,1) pasando por el rรญo es igual a la distancia entre el punto (0,1) y el punto (1, โˆ’1) para cualquier valor de

Pedro_CC

8

๐‘ฅ๐‘ฅ โˆˆ [0,1] por lo que minimizar la distancia que nos pide el enunciado equivale a minimizar la distancia entre los puntos (0,1) y (1, โˆ’1). Por otra parte, es claro que la distancia mรกs corta entre los puntos (0,1) y (1, โˆ’1) es una lรญnea recta y trazando la lรญnea que une dichos puntos se 1 2

obtiene que el punto de corte con el rio verifica ๐‘ฅ๐‘ฅ = , por lo que este valor minimiza ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ).

Por otra parte, es intuitivo ver que la funciรณn ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) es continua (pequeรฑas variaciones de la

posiciรณn de ๐‘ฅ๐‘ฅ se corresponden con pequeรฑas variaciones de โˆš๐‘ฅ๐‘ฅ 2 + 1 + ๏ฟฝ(1 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ)2 + 1 y como el mรญnimo se alcanza en ๐‘ฅ๐‘ฅ = 1

1 2

y si ๐‘ฅ๐‘ฅ โ†’ โˆ“โˆž entonces ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) โ†’ โˆž es razonable que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) sea 1

decreciente en (โˆ’โˆž, 2) y creciente en (2 , โˆž) por lo que los mรกximos se alcanzarรกn en los

puntos ๐‘ฅ๐‘ฅ = 0 y ๐‘ฅ๐‘ฅ = 1.

Pedro_CC

9

5. (junio 2012-2013, 1.5 puntos) Sea ๐‘Ž๐‘Ž > 0. Hallar el volumen del cuerpo de revoluciรณn que se 4

obtiene al girar alrededor del eje ๐‘‹๐‘‹ la regiรณn encerrada por la curva ๐‘ฆ๐‘ฆ = ๐‘ฅ๐‘ฅ 3 โˆš๐‘Ž๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 y el eje ๐‘‹๐‘‹. Soluciรณn:

4

Sea ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ๐‘ฅ 3 โˆš๐‘Ž๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 la funciรณn dada en el enunciado.

Lo primero que tenemos que hacer es dibujarla de forma aproximada para calcular los lรญmites de integraciรณn. En primer lugar observamos que ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) es una funciรณn impar por lo que si sabemos cรณmo es en el intervalo (0, โˆž) automรกticamente sabremos tambiรฉn cรณmo es en el intervalo (โˆ’โˆž, 0). Por otra parte, es claro que: i) ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) se anula en ๐‘ฅ๐‘ฅ = 0, ๐‘ฅ๐‘ฅ = ๐‘Ž๐‘Ž, ๐‘ฅ๐‘ฅ = โˆ’๐‘Ž๐‘Ž.

4

ii) Si ๐‘ฅ๐‘ฅ > ๐‘Ž๐‘Ž o ๐‘ฅ๐‘ฅ < โˆ’๐‘Ž๐‘Ž la expresiรณn ๐‘Ž๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 es negativa por lo que โˆš๐‘Ž๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 es un nรบmero complejo por lo que la funciรณn no tiene sentido en los intervalos (โˆ’โˆž, โˆ’๐‘Ž๐‘Ž) y (๐‘Ž๐‘Ž, โˆž). iii) Si ๐‘ฅ๐‘ฅ โˆˆ (0, ๐‘Ž๐‘Ž) entonces ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) > 0 y si ๐‘ฅ๐‘ฅ โˆˆ (โˆ’๐‘Ž๐‘Ž, 0) entonces ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) < 0.

Teniendo en cuenta esto, un dibujo aproximado de ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) es:

Ya veis que tampoco hace falta hacer un Picasso. De aquรญ se deduce que los lรญmites de integraciรณn son ๐‘Ž๐‘Ž y โˆ’๐‘Ž๐‘Ž, y como ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ) es una funciรณn impar basta con calcular el volumen que se obtiene al girar la curva entre 0 y ๐‘Ž๐‘Ž y multiplicarlo por dos. El volumen que tenemos que calcular serรก: ๐‘Ž๐‘Ž

2

๐‘Ž๐‘Ž

๐‘Ž๐‘Ž

2

1

๐‘‰๐‘‰ = 2 ๏ฟฝ ๐œ‹๐œ‹๏ฟฝ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ)๏ฟฝ ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = 2๐œ‹๐œ‹ ๏ฟฝ ๐‘ฅ๐‘ฅ 6 ๏ฟฝ๐‘Ž๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = 2๐œ‹๐œ‹ ๏ฟฝ ๐‘ฅ๐‘ฅ 6 (๐‘Ž๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฅ 2 )2 ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = {๐‘ฅ๐‘ฅ = ๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž; ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = ๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž} 0

0

0

๐‘Ž๐‘Ž 1 1 1 1 1 1 = 2๐œ‹๐œ‹ ๏ฟฝ ๐‘Ž๐‘Ž6 ๐‘ข๐‘ข6 (๐‘Ž๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘Ž๐‘Ž2 ๐‘ข๐‘ข2 )2 ๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž = 2๐œ‹๐œ‹๐œ‹๐œ‹8 ๏ฟฝ ๐‘ข๐‘ข6 (1 โˆ’ ๐‘ข๐‘ข2 )2 ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = ๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข = ๐‘ก๐‘ก 2 ; ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = ๐‘ก๐‘ก โˆ’2 ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๏ฟฝ = 2 0 0 8

1

= 2๐œ‹๐œ‹๐‘Ž๐‘Ž ๏ฟฝ ๐‘ก๐‘ก 0

3 (1

โˆ’

1 ๐‘ก๐‘ก)2

7 3 1 5 ฮ“ ๏ฟฝ2๏ฟฝ ฮ“(2) 1 7 3 1 โˆ’1/2 8 8 8 ๐‘ก๐‘ก ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = ๐œ‹๐œ‹๐œ‹๐œ‹ ๏ฟฝ ๐‘ก๐‘ก 2 (1 โˆ’ ๐‘ก๐‘ก)2 ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = ๐œ‹๐œ‹๐œ‹๐œ‹ ๐›ฝ๐›ฝ( , ) = ๐œ‹๐œ‹๐œ‹๐œ‹ = ฮ“(5) 2 2 2 0 531 1 โˆš๐œ‹๐œ‹ 2 โˆš๐œ‹๐œ‹ 5 2 2 2 2 = ๐œ‹๐œ‹๐‘Ž๐‘Ž = ๐‘Ž๐‘Ž8 ๐œ‹๐œ‹ 4! 128 8

vale el volumen pedido.

- Observaciรณn: si hacemos directamente el cambio ๐‘ฅ๐‘ฅ = ๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘ก1/2 la integral sale mรกs rรกpido. La 1

"idea" de la integral es llegar a una expresiรณn del tipo โˆซ0 ๐‘ข๐‘ข๐‘๐‘โˆ’1 (1 โˆ’ ๐‘ข๐‘ข)๐‘ž๐‘žโˆ’1 ๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ y resolver

utilizando las propiedades de las funciones gamma y beta de Euler. Pedro_CC

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6. (diciembre 2011-2012, 1 punto) Calcular ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘›๐‘›โ†’โˆž Soluciรณn:

(

๐‘›๐‘› +1

(๐‘›๐‘›!) โˆš๐‘›๐‘› โˆ’1)3๐‘›๐‘› sin โก 1 2

1 ๐‘›๐‘›

๏ฟฝ1+ +โ‹ฏ+ ๏ฟฝ๐‘›๐‘›!

Denominador 1 2

1 ๐‘›๐‘›

Hacemos ๏ฟฝ1 + + โ‹ฏ + ๏ฟฝ โ‰ˆ lnโก (๐‘›๐‘›) y ya no podemos simplificar mรกs. El denominador equivale

a ln(๐‘›๐‘›) ๐‘›๐‘›!

Numerador ๐‘›๐‘› +1

1

Aplicando infinitรฉsimos resulta ๏ฟฝ โˆš๐‘›๐‘› โˆ’ 1๏ฟฝ โ‰ˆ (๐‘›๐‘›+1) lnโก (๐‘›๐‘›) y ya no podemos simplificar mรกs por 1

(๐‘›๐‘›) 3๐‘›๐‘› sinโก (๐‘›๐‘›!) lo que el numerador queda (๐‘›๐‘›+1) lnโก Sustituyendo resulta:

1 ๐‘›๐‘› +1 lnโก (๐‘›๐‘›) 3๐‘›๐‘› sinโก (๐‘›๐‘›!) 3๐‘›๐‘› ( โˆš๐‘›๐‘› โˆ’ 1)3๐‘›๐‘› sinโก (๐‘›๐‘›!) (๐‘›๐‘› + 1) = ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘›๐‘›โ†’โˆž = sin(๐‘›๐‘›!) ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘›๐‘›โ†’โˆž 1 1 (๐‘›๐‘› + 1)! ln(๐‘›๐‘›) ๐‘›๐‘›! ๏ฟฝ1 + 2 + โ‹ฏ + ๏ฟฝ ๐‘›๐‘›! ๐‘›๐‘› 3๐‘›๐‘›

Teniendo en cuenta los รณrdenes de infinitos se tiene que ๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘™๐‘›๐‘›โ†’โˆž (๐‘›๐‘›+1)! = 0 y es claro que

sin(๐‘›๐‘›!) estรก acotado. Por tanto, la รบltima expresiรณn es de la forma 0 โˆ— ๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ž y el lรญmite buscado vale cero.

Pedro_CC

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7. (diciembre 2011-2012, 1 punto) Sea ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› una sucesiรณn acotada de nรบmeros positivos. Estudiar el carรกcter de la serie: โˆž

๏ฟฝ

๐‘›๐‘›=1

1 + ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› 1 sinโก ( ) ๐›ผ๐›ผโˆ’2 ๐‘›๐‘› ๐‘›๐‘›

en funciรณn de los distintos valores del parรกmetro real ๐›ผ๐›ผ.

Soluciรณn:

En primer lugar podemos aplicar equivalentes y se sigue que la serie del enunciado tendrรก el mismo carรกcter que: โˆž

โˆž

๐‘›๐‘›=1

๐‘›๐‘›=1

1 + ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› 1 1 + ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ๏ฟฝ ๐›ผ๐›ผโˆ’2 ๏ฟฝ ๏ฟฝ = ๏ฟฝ ๐›ผ๐›ผโˆ’1 ๐‘›๐‘› ๐‘›๐‘› ๐‘›๐‘›

Por otra parte, sabemos que ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› es una sucesiรณn acotada de nรบmeros positivos por lo que se verifica que: 0 โ‰ค ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› โ‰ค ๐‘€๐‘€ โˆ€๐‘›๐‘›

siendo ๐‘€๐‘€ la cota superior de ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› . Tenemos que: โˆž

๏ฟฝ

๐‘›๐‘›=1

1

๐‘›๐‘›๐›ผ๐›ผโˆ’1

โˆž

โˆž

โˆž

๐‘›๐‘›=1

๐‘›๐‘›=1

๐‘›๐‘›=1

1 + ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› 1 + ๐‘€๐‘€ 1 โ‰ค ๏ฟฝ ๐›ผ๐›ผโˆ’1 โ‰ค ๏ฟฝ ๐›ผ๐›ผโˆ’1 = (1 + ๐‘€๐‘€) ๏ฟฝ ๐›ผ๐›ผโˆ’1 ๐‘›๐‘› ๐‘›๐‘› ๐‘›๐‘›

de esta expresiรณn se deduce que la serie del enunciado tiene el mismo carรกcter que โˆ‘โˆž ๐‘›๐‘›=1

1 , ๐‘›๐‘› ๐›ผ๐›ผ โˆ’1

y sabemos que dicha serie converge si ๐›ผ๐›ผ โˆ’ 1 > 1 y diverge si ๐›ผ๐›ผ โˆ’ 1 โ‰ค 1 por lo que se deduce que la serie del enunciado converge si ๐›ผ๐›ผ > 2 y diverge si ๐›ผ๐›ผ โ‰ค 2.

Pedro_CC

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