Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas de un vector, vector de posición. 3. Operaciones con vectores: analítica y gráficamente. 3.1. Suma. 3.2. Resta. 3.3. Multiplicación por un escalar. 3.4. Producto escalar. Ángulo entre vectores. 4. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. 5. Argumento de un vector. 6. Punto medio de un segmento. 7. Vector perpendicular y paralelo a uno dado. 8. Ecuaciones de la recta. 8.1. Ecuación de la recta que pasa por un punto P y tiene como vector director v. 8.2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos A y B. 8.3. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es paralela a otra recta. 8.4. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra recta. 9. Obtención de un punto y un vector de cada ecuación de la recta. 10. Representación gráfica de rectas. 10.1. Dada la ecuación en forma explícita 10.2. Dado un punto y un vector director. 10.3. Otras (pasar a 9.1. o 9.2.) 11. Posición relativa de dos rectas.  Comparando A, B y C en la ecuación general.  Comparando pendientes y ordenadas en el origen  Comparando vectores directores y punto.  Resolviendo el sistema. Nº de soluciones.  Coordenadas en el plano.

1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes) 2. Definiciones: módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector libre, vector fijo, coordenadas de un vector, vector de posición. Un vector es un segmento de recta dirigido en el espacio. Todo vector tiene un módulo (longitud), una dirección (orientación) y un sentido (hacia qué lado va, indicado por una flecha) Dos vectores son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido:

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El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Un vector fijo (extremo).

es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B

Si las coordenadas de A y B son: A(xa, ya) y B(xb, yb), Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (XB-XA, YB-YA) Ejemplo: hallar las componentes de un vector cuyos extremos son A(2, 5) y B(-5, 3) ⃗⃗⃗⃗⃗ = (xb-xa, yb-ya)= (-5-2, 3-5)= (-7, -2) (HACER DIBUJO) 𝐴𝐵

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

3. Módulo y argumento de un vector. Distancia entre dos puntos El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Ej: Halla el módulo del vector El argumento de un vector es el ángulo que forma con el eje x (poner ejemplo) La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos. Ej: Halla la distancia entre los puntos A (2, 1) y B(-3, 2)

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4. Operaciones con vectores: analítica (con números) y gráficamente (dibujo). 4.1. Suma. Analíticamente: se se suman sus respectivas componentes.

Ejemplo:

Gráficamente:

U

v

4.2. Resta Analíticamente: se restan sus componentes

Gráficamente: le sumamos a un vector el opuesto del otro

U

v

4.3. Multiplicación por un escalar (número). Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por dicho escalar las componentes del vector.

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Ejemplo:

4.4. Producto escalar. Ángulo entre vectores.

El producto escalar es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Para calcularle se usa también la expresión:

Ejemplos de cálculo: Halla el producto escalar de u (3, 0) v(5, 5) y v si el coseno del ángulo que forman es 45º

Ángulo entre dos vectores: empleamos la expresión:

α= cos-1 (expresión anterior) Ejemplo: halla el ángulo que forman los vectores

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Alfa= cos-1 (√2/2)= 45º

5. Punto medio de un segmento. Es igual a la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

Ej: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

6. Vector perpendicular y paralelo a uno dado. Para hallar un vector perpendicular a otro dado se intercambian sus componentes cambiando a una de ellas de signo. Para hallar un vector paralelo a otro dado se multiplican sus componentes por un número cualquiera. Ej: Halla un vector perpendicular y otro paralelo a 𝑢 ⃗ = (3, 5) 𝑣 =(-5, 3) (perpendicular) 𝑤 ⃗⃗ =(6, 10) (paralelo) 7. Ecuaciones de la recta. 7. 1. Ecuación de la recta que pasa por un punto P y tiene como vector director v. A partir de un punto P y un vector director podemos determinar la ecuación de una recta. Hay 6 tipos de ecuaciones de la recta: 1ª) Ecuación vectorial:

(x,y)= (x1,y1)+*(v1,v2), siendo P(x1,y1) un punto cualquiera de la recta,  el parámetro y V(v1,v2) su vector director. Ejemplo: dado el punto (3,-2) y el vector director (-5,3) escribe su ecuación general. (x,y)= (3,-2)+  (-5,3)

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2ª) Ecuaciones paramétricas (obtenidas a partir de la ec vectorial): X= x1+ *v1, y= y1+ v2. Las ecuaciones paramétricas para el ejemplo anterior serían: x= 3 - 5, y= -2+3

3ª) Ecuación continua: Se obtienen despejando el parámetro landa de las ecuaciones paramétricas:  =(x-x1)/v1 ;  =(y-x1)/v2; las ecuación continua queda: (x-x1)/v1= (y-x1)/v2 Para el ejemplo anterior: (x-3)/-5= (y+2)/3

4ª) Ecuación punto-pendiente: La pendiente de una recta m es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX (es el ángulo de inclinación respecto a OX) y-y1= v2/v1*(x-x1) Para el ejemplo anterior: y+2= (3/-5)*(x-3) (m= v2/v1 es la pendiente de la recta, componentes del vector director)

5ª) Ecuación general o implícita. Se obtiene quitando los denominadores de la ecuación continua y pasando todos los términos a un lado de la ecuación. Su expresión general es: Ax+By+C=0 A= v2 (componente y del vector director) B= -v1 (componente x del vector director) C= v1*y1-v2*x1 En el ejemplo anterior sería: y+2= (3/-5)*(x-3);

-5(y+2)= 3(x-3), -5y-10= 3x-9, 3x+5y+1=0

6ª) Ecuación explícita: Y= mx+n, siendo m la pendiente y n la ordenada en el origen. Se obtiene despejando la y en la ecuación general. Para el ejemplo anterior: Y= (-1-3x)/5= (-1/5)-(3/5)x 6

Ej de repaso: obtén todos los tipos de ecuaciones de la recta que pasan por el punto P(1, 4) y tienen por vector director V(2, -3)

(Falta la Ec punto pendiente, que va después dela continua): Y-4= (-3/2)*(x-1)

7.2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos A y B. Dados dos puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2), la ecuación de la recta que pasa por ellos será: 

Ejemplo: Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,-3) y B(-5, 4) (x-2)/(-5-2)=(y+3)/(4+3), (x-2)/-7=(y+3)/7 7.3. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es paralela a otra recta: Para determinarla necesitamos saber su pendiente y un punto de ella. El punto es un dato conocido y la pendiente será la misma que la de la recta que nos dan, ya que son paralelas. Ej: Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-7,-4) y es paralela a la recta r: y-5= (-3/5)*(x+4) Conocemos el punto A(-7, -4) y la pendiente de la recta dada será m=-3/ 5, por tanto: 7

y-y1= m*(x-x1) -> y+4=(-3/5)*(x+7)

7.4. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra recta: Ejemplo: Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-7,-4) y es perpendicular a la recta r: y-5= (-3/5)*(x+4) A(-7,4), mr= -3/5, m(recta perpendicular a r): m= -5/-3= 5/3, por tanto: s: y-4= 5/3 * (x+7) 8. Obtención de un punto y un vector director de cada ecuación de la recta: 1ª) Ec vectorial: (x,y)= (x1,y1)+*(v1,v2). Punto cualquiera: (x1,y1), vector director v(v1, v2). Ej: Dada la recta (x,y) = (-3,5) + *(3,-4), (-3,5) es el punto y V(3,-4) su vector director 2ª) Ec Paramétricas: x= -7+5*landa, y= 5+3*landa. Punto: (-7,5), Vector director: V(5, 3)

3ª) Ecuación continua: Ej: (x+7)/-6= (y-4)/3 Punto: P(-7, 4), Vector director: V(-6,3) 4ª) Ecuación punto-pendiente: Ej: y+10= (7/-5)*(x-3) Punto: P (3,-10), Vector director V(-5,7) 5ª) Ecuación general o implícita: Ej: -8x+6y-5=0 A= -8, B= 6, C= -5 Punto cualquiera: dando valores a x. Ej: x= 0, y =5/6. Por tanto P(0, 5/6) Vector director: V(-B, A)= (-6, -8) 6ª) Ecuación explícita: Y=-7x+5, Punto: P(0,5)

Vector director: V(v1, v2)= (1, -7)

9. Representación gráfica de rectas:

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9.1. Dada la ecuación en forma explícita: Ej: representa gráficamente Y= -8x+5. (tabla, damos valores, 3 puntos mínimo o bien con su punto) 9.2. Dado un punto y un vector director: Ej: representa gráficamente la recta r dado un punto P (5, -6) y su vector director V(-5, 7) (dibujo las componentes del vector director V y hago una paralela a ese vector que pase por el punto P)

9.3. Otras

10. Posición relativa de dos rectas: 10.1. Comparando A, B y C en la ec general.

Ecuación general r ≡ Ax +By +C =0 r ≡ Ax +By +C =0

r y s secantes r y s paralelas r y s coincidentes

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10.2. Comparando pendientes y ordenadas en el origen:

Ecuación explícita r ≡ y = mx +n s ≡ y = m'x +n'

r y s secantes r y s paralelas r y s coincidentes

m ≠ m' m = m' n ≠ n' m = m' n = n'

10.3. Comparando vectores directores y punto: r y s secantes r y s paralelas r y s coincidentes

Vectores dir distintos Mismo vector director, punto distinto Coincide el punto y el vector director

10.4. Resolviendo el sistema. Nº de soluciones. Compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones. (rectas coincidentes) Un sistema de ecuaciones se denomina incompatible si no tiene solución. (rectas paralelas) Un sistema de ecuaciones se denomina compatible determinado si tiene una única solución (rectas secantes)

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