Übungsmaterial

2

1

Vektoren im Raum

2.1

Das räumliche Koordinatensystem

Abbildung 1 zeigt das Koordinatensystem im

R3 , dem dreidimensionalen Raum, mit eingefügtem Qua-

der. Die Koordinaten einiger Eckpunkte sind hinzugefügt.

x3 - Achse

(0, 3, 4)

(3, 3, 4)

x2 - Achse

(3, 3, 0)

x1 - Achse Abb. 1: Das räumliche Koordinatensystem

Punkte im Raum sind durch ihre Koordinaten bestimmt:

(1/0/3) zu nden, wenn man entlang der x1 -Achse eine Längeneinheit der x3 -Achse drei Längeneinheiten nach oben geht.

So ist beispielsweise der Punkt P nach vorne und dann entlang

Punktemengen im Raum lassen sich über ihre Eigenschaften ausdrücken: So ist zum Beispiel die Menge Gerade, die parallel zur

{x2 = x3 = 0}

x3 -Achse

die

verläuft und die

Drei Ebenen sind bereits im Raum auszumachen: 1) Der Grundriss: Die

x1 , x2 -Ebene (x3 = 0)

2) Der Seitenriss : Die

x2 , x3 -Ebene (x1 = 0)

3) Der Aufriss: Die

x1 , x3 -Ebene (x2 = 0)

x1 -Achse und die Menge {x1 = 0, x2 = 1} x2 -Achse im Punkt (0, 2, 0) schneidet.

ist die

Übungsmaterial

2

Beispiele 1) Die Elemente der Menge bierenden der

x2 -

und

{x2 = x3 }

x3 -Achse

2) Die Elemente der Menge

bilden eine Ebene, die von der

x1 -Achse

bestimmt wird.

{x1 = x2 = x3 }

liegen auf einer Gerade durch den Ursprung, die von

allen drei Achsen gleich weit entfernt ist (man spricht auch von der 3) Die Elemente der Menge

−x1 -Richtung

2.2

und um 3

{x1 = −2; x3 = 3} liegen auf einer in +x3 -Richtung verschoben ist.

Raumdiagonale ).

Parallelen zur

x2 -Achse,

die um 2 in

Vektoren im Raum

Denition Unter einem

Vektor versteht man die Menge aller parallelen gleich langen Pfeile in einer Ebene oder

in einem Raum. Jeder einzelne Vektor heiÿt

−−→ Wir schreiben ~ a = P Q, −−→ Es ist −~ a = QP .

Repräsentant des Vektors.

wenn wir den Vektor meinen, der in P beginnt und in Q endet.

Ein Vektor mit Anfangspunkt 0 heiÿt Der

und den Winkelhal-

→ → − Ortsvektor. Beispiel: − 0B = b .

Gegenvektor eines Vektors ist deniert als der Vektor selber Länge, aber entgegengesetzter Rich-

tung (Spitze und Fuÿ des Vektors werden vertauscht).

Rechnen mit Vektoren •

Addition Vektoren werden addiert, indem sie aneinander gesetzt werden  der Fuÿ des einen an die Spitze des anderen Vektors. Es gilt das Kommutativgesetz, d.h.


a

~a + ~b = ~b + ~a.


b


a


b

a + b



b + a
b


a

Abb. 2: Die Addition von Vektoren

Es gilt darüber hinaus das Assoziativgesetz:

•

(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)

Subtraktion Es ist

~a − ~b = ~a + (−~b).

Vektoren werden also subtrahiert, indem der Gegenvektor des zu subtra-

Übungsmaterial

3

hierenden Vektors nach den Regeln der Addition von Vektoren an den ersten Vektor angehängt wird.


a


b


−b


−b

a − b
a

Abb. 3: Die Subtraktion von Vektoren

Es ist

•

~b − ~b = 0.

Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (Skalar) Es ist

r · ~a = ~|a + ~a{z ... + ~a}.

r-mal Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar r bedeutet also Verlängerung (|r| kürzung (|r|

•

< 1)

des Vektors.

Rechenregeln (i) (ii)

r · ~a + r · ~b = r · (~a + ~b)

(Distributivgesetz)

r · (s · ~a) = rs · ~a

(iii)

r · ~a = ~a · r

(iv)

(r + s) · ~a = r~a + s~a

(Assoziativgesetz)

Beispiel Die Vektoren


b
c
a Abb. 4: Vektordreieck

~a, ~b

und

~c lassen

durch die anderen ausdrücken:

~c = ~a + ~b ~a = ~c − ~b ~b = −~a + ~c = ~c − ~a

sich jeweils

> 1)

oder Ver-

Übungsmaterial

2.3

Die

Elementare Vektorrechnung im

Basisvektoren

Vektorraum

R3

oder

Einheitsvektoren

4

R3     1 0     e1 = 0, e2 = 1 0 0

und

  0   e3 = 0 1

spannen den

auf. Ihre Länge beträgt jeweils eine Längeneinheit, ihre Richtungen sind die der drei

Koordinatenachsen  Einheitsvektoren stehen also immer senkrecht auf einander!

A(2/ − 1/3) zu erhalten, drei in x3 -Richtung:

Um beispielsweise den Vektor zum Punkt

geht man zwei Längeneinheiten in

x1 -Richtung, eine in −x2 -Richtung und −→ OA = 2 · e1 − 1 · e2 + 3 · e3 =               1 0 0 2 0 0 2               = 2 · 0 − 1 + 3 · 0 = 0 − 1 + 0 = −1 0 0 1 0 0 3 3

Vektoren werden also addiert, indem ihre Einträge zeilenweise addiert werden. Vektoren werden mit einem Skalar multipliziert, indem alle drei Einträge mit dem Skalar multipliziert werden.

Beispiel         3 −1 −4 2         1 + 7 ·  3  =  22  = −2 −11 4 −2 −10 5

2.4

Aufgabe 1

Gegeben sei das regelmäÿige Sechseck ABCDEF mit

~a, ~b −−→ DF

Drücke mit a)

und

~c

−−→ −−→ ~a = AB , ~b = BC

und

−−→ ~c = CD.

aus: b)

−−→ DA

c)

−−→ CE

d)

−→ AF

e)

−−→ FC

Übungsmaterial

5

Lösung E

D

a)


c

b) F

C

c) d)


b

e)


a A

−−→ DF −−→ DA −−→ CE −→ AF −−→ FC

= = = = =

−~a − ~b = −(~a + ~b) −~a − ~b − ~c = −(~a + ~b + ~c) = −2~b −~c − ~a = −(~a + ~c) ~c 2~a

B

Abb. 5: Sechseck ABCDEF

2.5

Aufgabe 2

1) Vereinfache: a) d)

−−→ −−→ AB + BA −−→ −−→ −−→ UV + WU + V W

b) e)

−−→ −−→ XY − XZ −−→ −→ −→ AB − CA − AC

c) f)

−−→ −→ OB − OA −−→ −−→ AX − BY



2)

     8 3 −1       ~u =  1 , ~v =  8 , w ~ =  0 . −2 −6 −3 Berechne: a)

~u + ~v − w ~

b)

w ~ + 3~u

c)

~u + 21 ~v

Welche geometrische Bedeutung hat der errechnete Vektor aus c) ?

Lösung −−→ −−→ −−→ −−→ → − AB + BA = AB − AB = 0 (Nullvektor) −−→ −−→ −−→ b) XY − XZ = ZY −−→ −→ −−→ c) OB − OA = AB −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ → − d) U V + W U + V W = U V + V W + W U = 0

1 a)

e) lässt sich nicht vereinfachen



2 a)

       8 3 −1 12         ~u + ~v − w ~ =  1 + 8 − 0  =  9  −2 −6 −3 −5

Übungsmaterial

6



     −1 8 23       b) w ~ + 3~u =  0  + 3  1  =  3  −3 −2 −9       8 3 1, 5   1    1 c) ~ u + 2 ~v =  1  + 2  8  =  5  −2 −6 −5 d) Mit

U (8/1/ − 2) und V (3/8/ − 6) ist ~u + 21 ~v

der Ortsvektor zum Mittelpunkt der Strecke

[U V ].