Einf¨ uhrung In diesem kleinen Buch werden ausgew¨ahlte Kapitel aus dem riesigen Schatz des mathematischen Wissens dargeboten. Wir k¨onnen uns den Inhalt dieses Buchs als eine Wanderung durch verschiedene mathematische Landschaften vorstellen, auf schmalem Pfad, durch Ebenen, aber auch u ¨ber hohe Gipfel. So ist auch der Titel dieses Buches zu verstehen. M athe T ourXS ist ein Synonym f¨ ur ”Mathematik Tour cross section”. Die mathematischen Zusammenh¨ ange werden in einem Reportagestil geboten, der wenig R¨ ucksicht auf ”mathematische Strenge” nimmt. Auf exakte Beweise wird verzichtet, dagegen arbeiten wir viel mit Zahlenbeispielen und mit Abbildungen, um die Zusammenh¨ ange plausibel zu machen. Wir betrachten Mathematik als Werkzeug, um technische und naturwissenschaftliche Sachverhalte zu verstehen und zu berechnen. Deshalb sind auch viele Anwendungsbeispiele eingef¨ ugt. Nun gibt es eine kaum zu u ¨berschauende mathematische Lehrbuch-Literatur. F¨ ur wen k¨ onnte dann dieses Buch interessant und n¨ utzlich sein? Der Verfasser denkt da an folgende Lesergruppen: Absolventen, die vor Jahren oder Jahrzehnten eine Ausbildung an Universit¨ aten, technischen Hochschulen oder Berufsfachschulen genossen haben und sich hin und wieder gen¨otigt sehen, alte mathematische Sch¨atze wieder ins Ged¨achtnis zu rufen (⇒ M emo, Repetition). Studenten der genannten Institutionen als erste Orientierungshilfe(⇒ Introduktion, M emo). Oberstufensch¨ uler zur Vorbereitung auf ein Studium (⇒ Introduktion). Betreiber von Freizeitbesch¨ aftigungen, die mathematische Hilfen benutzen: Astronomen, Meteorologen, Bootsfahrer, 1

Flieger, ... (⇒ M emo, Repetition). Vorkenntnisse: Etwa Stand der Oberstufe oder einer Berufsfachschule. Systematik: Die einzelnen Abschnitte sind so verfasst, dass sie aufeinander aufbauen. Die mathematischen Formeln sind nicht numeriert. Querverweise auf Formeln in anderen Abschnitten erfolgen durch das Symbol (x.y.z) auf den Abschnitt, in dem die Formel zu finden ist. Ebenso haben auch die Abbildungen keine Bildnummer und in aller Regel auch keine Bildunterschrift. Zur schnelleren Orientierung sind die Bilder der einzelnen Kapitel mit verschiedenen Farben unterlegt. In der Version zum Lesen mit einem PC oder ebook reader sind die Kapitel oder Eintr¨ age der Verzeichnisse durch mit dunkelblauer Farbe gekennzeichnete Hyper References verkn¨ upft. Als Dezimalzeichen verwenden wir - wie international u ¨blich - den Punkt (z.B. 3.33), und nicht die kaufm¨annische Form des Kommas des deutschen Sprachraums (z.B. 3,33). Das Komma ben¨ otigen wir zur Trennung von verschiedenen Zahlen in Vektoren (1.7). Das Buch erhebt nicht den Anspruch ein Lehrbuch zu sein, auch nicht den einer mathematischen Formelsammlung. Es ¨ soll einen raschen Uberblick u ¨ber wichtige mathematische Teilgebiete geben. Wenn man jedoch Inhalt aufgenommen und verstanden hat, wird man eine gute Grundlage f¨ ur viele mathematische Anwendungen haben. Die in den Literaturzitaten [1], [2], [3] und [4] genannten Lehr- und Tabellenb¨ ucher sind empfehlenswert f¨ ur ein vertieftes Studium. Um mehr u ¨ber die in diesem B¨ uchlein genannten großen Mathematiker und die geschichtliche Enwicklung zu erfahren, sollte das Buch von Ian Steward [10] lesen.

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3

Inhaltsverzeichnis Einf¨ uhrung

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Inhaltsverzeichnis

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1 Zahlen, Reihen, Vektoren 1.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . 1.2 Zahlensysteme . . . . . . . . 1.3 Computerzahlen . . . . . . . 1.4 Etwas Arithmetik . . . . . . . 1.5 Zahlenfolgen und Grenzwerte 1.6 Reihen . . . . . . . . . . . . . 1.7 Vektoren . . . . . . . . . . . .

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2 Lineare Gleichungen 2.1 Lineare Gleichungen . . . . . . . . 2.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Determinanten . . . . . . . . . . . 2.4 Rechenregeln f¨ ur Determinanten ... 2.5 Systeme mit h¨ oherem Rang . . . . 2.6 Polynome durch gegebene Punkte . 2.7 Drehung von Koordinatensystemen

4

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9 9 11 12 13 14 15 16

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19 19 21 22 23 25 28 31

3 Funktionen 3.1 Elementare Funktionen . . . . . . . 3.1.1 Funktionsgraphen . . . . . 3.2 Trigonometrische Funktionen . . . 3.2.1 Sinus, Kosinus und Tangens 3.2.2 Umkehrfunktionen . . . . . 3.3 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . 3.3.1 Rechnen mit Potenzen . . . 3.3.2 Potenzfunktionen . . . . . . 3.4 Exponentialfunktion . . . . . . . . 3.5 Logarithmus . . . . . . . . . . . . .

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4 Geometrie 4.1 Ebene Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Rechtwinkliges Dreieck . . . . . . . 4.1.2 Allgemeines Dreieck . . . . . . . . . 4.2 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Kreis und Gerade . . . . . . . . . . . 4.2.3 Sehnenviereck . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Sph¨ arische Trigonometrie . . . . . . . . . . 4.5.1 Geographisches Koordinatensystem . 4.5.2 Entfernungen und Kurse . . . . . . . 5 Differentialrechnung 5.1 Analyse von Funktionen . . . . . . . . . . . 5.2 Ableitung von Funktionen . . . . . . . . . . 5.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Ableitung von wichtigen Funktionen 5.3.2 Allgemeine Ableitungsregeln . . . . 5.3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Mittelwertsatz und Potenzreihen . . . . . . 5

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34 34 35 36 36 42 43 43 43 45 46

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50 50 50 51 53 53 53 55 57 59 61 64 65

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67 67 69 72 72 73 74 76

5.5 5.6

Die Eulersche Identit¨ at . . . . . . . . . . . . . Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . .

81 83

6 Integralrechnung 6.1 Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Stammfunktion, ... . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . 6.4 Integrale der Grundfunktionen . . . . . . . . 6.5 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Hyperbelfl¨ ache . . . . . . . . . . . . . 6.7 Mehrfach-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Kreisfl¨ ache - Polarkoordinaten . . . . 6.7.2 Zylindervolumen - Zylinderkoordinaten 6.7.3 Kegelvolumen . . . . . . . . . . . . . .

86 86 88 90 90 91 92 100 102 102 103 104

7 Differentialgleichungen 7.1 Differentialgleichungen . . . . . . 7.2 Exponentialfunktionen . . . . . . 7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand . . 7.4 Schwingungen . . . . . . . . . . . 7.4.1 Harmonische Schwingung 7.4.2 Ged¨ ampfte Schwingung .

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106 106 107 108 110 110 112

8 Fehlerrechnung 8.1 Methode der kleinsten Quadrate . . 8.1.1 Einzelne Messgr¨ oße . . . . . . 8.1.2 Gerade durch eine Punktreihe 8.1.3 Anpassung von Polynomen . 8.2 Eine Fourier-Reihe . . . . . . . . . .

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114 114 114 117 119 121

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9 Komplexe Variable ... 125 9.1 Komplexe Zahlen und Variable . . . . . . . . 125 9.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6

9.3

9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

Komplexe Funktionen . . . . . 9.3.1 Graphische Darstellung 9.3.2 Funktion f (z) = z . . . 9.3.3 Funktion f (z) = z2 . . . 9.3.4 Konforme Abbildung . . Reliefdarstellung . . . . . . . . Joukowski-Funktion . . . . . . Ausgew¨ ahlte Funktionen . . . . Differenziale . . . . . . . . . . . Integrale . . . . . . . . . . . . . Kausalketten . . . . . . . . . .

10 Beispiele und L¨ osungen 10.1 Lineare Gleichungen . . . . . . 10.2 Dekadische Logarithmen . . . . 10.3 Vermessungsaufgabe . . . . . . 10.4 Flugnavigation . . . . . . . . . 10.5 Auf- und Untergang der Sonne 10.6 Standardatmosph¨ are . . . . . .

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128 128 129 133 134 136 137 140 143 145 148

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150 150 153 157 159 161 167

11 PC-Programme I 174 11.1 Determinanten berechnen mit C++ . . . . . 175 11.2 Determinanten mit EULER . . . . . . . . . . 177 11.3 Zeichnen mit GNUPLOT . . . . . . . . . . . 178 12 PC-Programme II 12.1 Funktionenplotter . . . . . . . . 12.2 Polynom durch gegebene Punkte 12.3 Großkreisnavigation . . . . . . . 12.4 Berechnung Sonnenlauf . . . . . 12.5 Standardatmosph¨ are . . . . . . . 12.6 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . 12.6.1 Fehler GPS-Position . . . 12.6.2 Lineare Ausdehnung . . . 7

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180 180 181 183 184 185 186 186 187

12.6.3 Anpassung einer Parabel . . . . . . . 188 12.6.4 Str¨ omung um einen Zylinder . . . . . 190 Literaturverzeichnis

192

Index

192

8

Kapitel 1

Zahlen, Reihen, Vektoren 1.1

Zahlen

Es gibt folgende Zahlenarten: (1) nat¨ urliche Zahlen

1, 2, 3, ...

(2) Ganze Zahlen (Integer) Positive und negative ganze Zahlen einschließlich der Zahl 0 (3) Rationale Zahlen

Zahlen, die aus ganzen Zahlen durch Anwendung der Grundrechenarten Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren gebildet werden. Beispiel 2/3 = 0.66666 ...

(4) Irrationale Zahlen

Zahlen, die nicht wie unter (3) entstehen. Beispiele: π = 3.14159 ... , e = 2.71828 ... √ oder 2 = 1.41421 ...

9

(5) Reelle Zahlen

Zusammenfassung der rationalen und irrationalen Zahlen.

(6) Komplexe Zahlen

z = x + i · y√mit imagin¨arer Einheit i = −1 (s.u.) x und y sind reelle Zahlen

Die reellen Zahlen belegen die Zahlengerade von −∞ bis +∞ ohne L¨ ucken. Es gibt keinen Punkt auf der Zahlengerade, der nicht eine rationale oder irrationale Zahl w¨are. Der Vollst¨andigkeit halber sei erw¨ ahnt, daß man die Zahlen der Zahlengerade auch in sog. algebraische und transzendente Zahlen einteilen kann. Viele irrationale Zahlen wie z.B. π, e oder ln(2) sind auch transzendente Zahlen, so dass bei der Bezeichnung solcher Zahlen sowohl der eine als auch der andere Begriff auftauchen kann. Nun gibt es keine reelle Zahl, die L¨ osung der Gleichung 2 x + 1 = 0 ist, also die Eigenschaft x · x = −1 besitzt. Das f¨ uhrt uns in die Klasse der komplexen Zahlen. Komplexe Zahlen z = x + i · y bestehen aus einem Realteil x und dem Imagin¨ arteil i·y. Dabei ist i die √ imagin¨aren Einheit mit der Eigenschaft i · i = −1 oder i = −1. Auf das Rechnen mit komplexen Zahlen kommen wir sp¨ater in Kapitel 9 zur¨ uck.

10

1.2

Zahlensysteme

Im Dezimalsystem haben wir zehn Zahlzeichen oder Ziffern:

zi = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Jede Zahl kann dargestellt werden als die Summe der Produkte einer Ziffer mit 10n = B n . B = 10 ist die Basis, n gibt die Stellung der Ziffer an. Ein Beispiel: 547.2 = 5 · 102 + 4 · 101 + 7 · 100 + 2 · 10−1 In gleicher Weise k¨ onnen wir andere Zahlensysteme aufstellen, wobei die Anzahl der Ziffern zi gleich der Basiszahl B ist. Besondere Bedeutung haben das Bin¨ arsystem (oder Dualsystem), das Oktalsystem und das Hexagesimalsystem (kurz genannt Hex-System) in der Computertechnik: Bin¨ arsystem Oktalsystem Hex-System

B B B zi

= 2 zi = {0, 1} = 8 zi = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = 16 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }

Im Hex-System reichen die uns gewohnten Ziffern nicht aus, man nimmt die Buchstaben A bis F dazu. Beispiel: Die Dezimalzahl 28 ist in bin¨ arer und hexagesimaler Darstellung: Bin¨ ar: 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 ⇒ 11100 Hexagesimal: 1 · 161 + C · 160 ⇒ 1C

Im folgenden sind die dezimalen Zahlen 0 bis 29 in bin¨arer und hexagesimaler Schreibweise angegeben. Wir sehen, dass in Zahlensystemen mit großer Basis große Zahlenwerte mit wenig Stellen, jedoch entsprechend vielen Zahlsymbolen geschrieben werden k¨ onnen. Beispiele: Bin¨arzahlen 11

dez 0 1 2

0 0000 1010 10100

1 0001 1011 10101

2 0010 1100 10110

3 0011 1101 10111

2 02 0C 16

3 03 0D 17

4 0100 1110 11000

5 0101 1111 11001

6 0110 10000 11010

7 0111 10001 11011

8 1000 10010 11100

9 1001 10011 11101

4 04 0E 18

5 05 0F 19

6 06 10 1A

7 07 11 1B

8 08 12 1C

9 09 13 1D

Hex-Zahlen dez 0 1 2

1.3

0 00 0A 14

1 01 0B 15

Computerzahlen

Schließlich erw¨ ahnen wir noch die sog. Computerzahlen in der Datenverarbeitung. Sie sind an die Technik der Datenspeicherung angepasst. Eine Speicherstelle (ein bit) kann zwei Zust¨ande haben, n¨ amlich 0 und 1. Acht bit werden zu einem byte zusammengefasst. Daraus werden dann Datentypen wie integer, long integer, float oder double gebildet. Allen ist gemeinsam, dass sie eine begrenzte Reichweite haben. So gibt es die 2 byte großen Ganzzahlen integer von 0 bis 65535 (= 216 − 1) und die 4 byte großen Fließkommazahlen float von ±8.43 · 10−37 bis ±3.37 · 1033 , wobei sechs Dezimalziffern vor den Zehnerpotenzen gespeichert werden k¨onnen. Diese Zahlentypen sind im Unterschied zu den mathematischen Zahlenarten abz¨ ahlbar endlich. Sie haben nur eine begrenzte Genauigkeit, die jedoch zur Berechnung der meisten technischen und naturwissenschaftlichen Probleme ausreichend ist. Wenn h¨ ohere Genauigkeiten gefordert werden, muss man mehr Speicherplatz vorsehen, z.B. bei den double floats mit 8 byte.

12

1.4

Etwas Arithmetik

Arithmetik ist Rechenkunst mit Zahlen und Ver¨anderlichen (Variable). Letztere haben keinen bestimmten Zahlenwert, sondern werden durch Buchstaben als Stellvertreter ausgedr¨ uckt. Fast alle mathematischen Formeln werden mit Variablen geschrieben. Kommen bestimmte Zahlen wie die Kreiszahl π in Formeln vor, sprechen wir von Konstanten. Einige ausgew¨ahlte arithmetische Beziehungen sind: (1) Multiplikationen (a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)(a − b) = (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2 a a·n (2) Br¨ uche Erweitern: = b b·n a c ad + bc (3) Br¨ uche addieren + = b d Hauptnenner b d bd a (4) Divisionsrest r = a mod b b (Modulus) Beispiel: 5 mod 3 = 2 (5) Fakult¨ at

n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 1) · n 0! = 1 (Definition)

(6) lineare Gleichung a x + b = 0

(a 6= 0)

L¨osung x = −

b a

(7) quadratische Gleichung c1 x2 + c2 x + c3 = 0 L¨ osungen

c1 , c2 , c3 Konstante p −c2 + c22 − 4 c1 c3 x1 = 2 c1 p −c2 − c22 − 4 c1 c3 x2 = 2 c1

D = c22 − 4 c1 c3 Diskriminante. Bei D > 0 zwei, bei D = 0 eine reelle L¨ osung. Bei D < 0 imagin¨are L¨osungen

13

1.5

Zahlenfolgen und Grenzwerte

Zahlenfolgen sind Zahlen xk , die nach einer bestimmten Vorschrift gebildet und angeordnet sind. Ein erstes Beispiel ist: 1 xk = 2 (k = 1, 2, 3, ...) k k= 1 2 3 ... k ... xk = 1/1 1/4 1/9 ... 1/k 2 ... Die Elemente dieser Zahlenfolge kommen dem Wert 0 beliebig nahe, wenn k immer gr¨ oßer wird. Sie hat einen Grenzwert 1 g = lim 2 = 0 k→∞ k In diesem Fall kann der Grenzwert exakt angegeben werden, n¨amlich Null. Ein zweites Beispiel ist die Folge 1 xk = (1 + )k (k = 1, 2, 3, ...) k k= 1 2 3 ... 100 ... 1000 ... xk = 2.000 2.250 2.370 ... 2.705 ... 2.717 ... Der Grenzwert dieser Folge ist 1 e = lim (1 + )k = 2.71828.. k→∞ k Das ist die Eulersche Zahl e, eine der fundamentalen Konstanten in der Mathematik. Man kann diesen Grenzwert zwar mit beliebig vielen Dezimalstellen genau nach der angegebenen Vorschrift berechnen, wenn man nur den Index k gen¨ ugend groß macht. Es bleibt aber immer noch eine sehr kleine Differenz zum exakten Grenzwert. Dieses Schicksal teilt die Euler sche Zahl e mit der Kreiszahl π , die man ebenfalls durch eine Grenzwertbetrachtung bestimmen muss.

14

1.6

Reihen

Durch die Summierung der Elemente einer Folge entsteht eine Reihe. n X xk = x1 + x2 + x3 + ... + xk k=1

Die Summe der ersten n nat¨ urlichen Zahlen ist eine endliche Reihe. n X

k = 1 + 2 + 3 + ... + n =

k=1

n(n + 1) 2

Das Ergebnis dieser Reihe verifiziert man, indem man zuerst das erste und das letzte Glied addiert (= n + 1), darauf das zweite und das vorletzte (= 2 + (n − 1) = n + 1), usw., bis man in der Mitte der Reihe angelangt ist. So erh¨alt man dann n/2 Teilsummen n + 1. Ohne Beweis sei noch folgende endliche Reihe genannt n X k=1

1 k 2 = 1 + 4 + 9 + ... + k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6

Wenn der obere Summenindex n u ¨ber alle Grenzen w¨achst (n → ∞) , spricht man von einer unendlichen Reihe. Unendliche Reihen k¨ onnen einen endlichen Wert haben, wenn die Folge der Teilsummen sn =

n X

xk = x1 + x2 + x3 + ... + xk

k=1

konvergiert, also einen Grenzwert hat. Das trifft z.B. f¨ ur folgende Reihe zu, s.o.

15

∞ X 1 π2 2 = 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/k + ... = k2 6 k=1

Wir erhalten hier in u ¨berraschendern Weise durch eine Reihe aus rationalen Zahlen eine Anweisung zur Berechnung der irrationalen Kreizahl π. Ein anderes ber¨ uhmtes Beispiel f¨ ur eine konvergente unendliche Reihe ist ∞ X 1 = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/k! + ... = 2.718282... k! k=1

Diese Reihe der reziproken Werte der Fakult¨at k! liefert uns ebenfalls die Euler sche Konstante e. Sie konvergiert wesentlich schneller als die oben aufgef¨ uhrte Folge. Der Beweis f¨ ur diese Identit¨ aten ergibt sich zwanglos aus der Theorie der Taylor schen Reihen (Kapitel 5.4). Dort finden wir noch weitere Beispiele f¨ ur unendliche Reihen.

1.7

Vektoren

In der physikalischen Beschreibung unserer Welt unterscheidet man zwischen skalaren und vektoriellen Gr¨oßen. Skalare sind durch eine Zahl (Maßzahl) und eine Maßeinheit vollst¨andig bestimmt. Beispiele sind Zeit, Temperatur, Energie, Masse und viele andere. Dagegen muß man Gr¨oßen wie Geschwindigkeiten, Kr¨ afte, Str¨ omungslinien oder magnetische Feldst¨arken durch mindestens zwei Zahlen beschreiben, einer Intensit¨ atsgr¨ oße (wie schnell, wie stark) und einer oder mehreren Zahlen zur Beschreibung der Richtung. Solche Vektoren stellt man in einem Koordinatensystem durch Pfeile dar, deren L¨ ange die Intensit¨ at und deren Orientierung die wirkende Richtung veranschaulicht. Das Rechnen mit Vektoren wird in der Vektoranalysis be-

16

handelt. Einige Grundbegriffe ersehen wir aus der folgenden Abbildung.

(1) Der Vektor a hat den Betrag a (L¨ange von a). Die Richtung ist angedeutet durch die Pfeilspitze, s. Abb. (2) Zwei Vektoren a und b sind dann nur und nur dann gleich, wenn die Betr¨ age a = b und die Richtungen gleich sind. (3) Summe c und Differenz d von a und b (s. Abb): Nach Parallelverschiebung spannen a und b ein Parallelogramm auf. Erste Diagonale: Summe c = a + b Zweite Diagonale: Differenz d = b − a (da b = a + d) (4) Skalarprodukt: a · b = a · b · cos(α) α Winkel zwischen a und b. Ergebnis ist eine Zahl. (5) Vektorprodukt: a × b = c Ergebnis ist ein Vektor c, der senkrecht auf der durch die Vektoren a und b aufgespannten Ebene steht. Der Betrag von c ist c = a · b · sin(α) Zahlenvektoren In der Mathematik bezeichnet man auch in bestimmter Reihenfolge angeordnete Gr¨ oßen als Vektoren. Um z.B. das Relief eines Gebirges zu beschreiben, kann man folgende Vektoren angeben: x = (x1 , x2 , x3 , ..., xn ) h = (h1 , h2 , h3 , ..., hn ) Die xn -Werte geben die horizontalen Positionen der Schnitt17

ebene an. Dabei m¨ ussen die x-Werte nicht ¨aquidistant sein. hn sind die zugeh¨ origen H¨ ohen. Vektoren dieser Art k¨onnen Rechnungen mit großen Datenmengen sehr vereinfachen.

18

Kapitel 2

Lineare Gleichungen 2.1

Lineare Gleichungen

In diesem Kapitel behandeln wir die L¨osung von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe von Matrizen und Determinanten. Zum leichteren Verst¨ andnis verfolge man auch die in Kapitel 10.1 gegebenen Zahlenbeispiele. Die einfachste Form einer linearen Gleichung ist a11 · x1 + a12 · x2 = b1 x1 und x2 sind Variable und a11 , a12 und b1 Konstante. Diese Gleichung ist eine andere Form der linearen Funktion y = a · x + b, man ersetze nur x1 durch x und x2 durch y und l¨ose nach y auf: −a11 b1 y= ·x+ a12 a12 Es gibt unendliche viele Zahlenpaare , die diese Gleichungen erf¨ ullen, n¨amlich alle Punkte auf der Geraden (vgl. Abbildung). Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem, wenn wir

19

eine zweite Gleichung hinzunehmen: a11 · x1 + a12 · x2 = b1 a21 · x1 + a22 · x2 = b2 Nun wird verst¨ andlich, weshalb wir die Koeffizienten aij mit doppelten Indizes versehen haben: i bezeichnet die Zeile und j die Spalte des Gleichungssystems. Die zweite Gleichung beschreibt ebenfalls eine Gerade, die, wenn sie nicht gerade parallel zur ersten ist, einen Schnittpunkt mit letzterer hat, s.Abb.

Das bedeutet, es gibt ein und nur ein Zahlenpaar (x|y), das beide Gleichungen gleichzeitig erf¨ ullt. Dieses Zahlenpaar ist die L¨osung des Gleichungssystems. F¨ ur zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ist es, wir wir gleich sehen werden, nicht schwierig, die L¨ osung zu finden. Das ¨andert sich jedoch, wenn die Anzahl der Gleichungen und Unbekannten steigt. So ist bereits ein erheblicher Rechenaufwand zur L¨osung eines Systems mit drei Gleichungen und Unbekannten erforderlich. a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 = b1 a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 = b2 a31 · x1 + a32 · x2 + a33 · x3 = b3 Gleichungssysteme mit drei oder mehr Unbekannten kommen in Wissenschaft und Technik h¨ aufig vor, wie wir im 20

folgenden noch erfahren werden. Durch Personal Computer (PC) sind wir in der Lage, solche Systeme ohne große M¨ uhe zu l¨osen, siehe das Beispiel im folgenden Abschnitt 2.6 mit der L¨osung in 12.2. Um den L¨osungsweg zu verstehen, wenden wir uns zun¨achst wieder dem System mit zwei Gleichungen und Unbekannten zu. Die Aufl¨ osung der beiden Gleichungen nach x2 und gleichsetzen ergibt −a11 b1 −a21 b2 · x1 + = · x1 + a12 a12 a a    22  22 a21 a11 b1 b2 x1 · − − = a22 a12 a22 a12 a21 a11 − a11 a22 a12 b2 − a22 b1 x1 · = a12 a21 a12 a21 a22 b1 − a12 b2 x1 = a11 a22 − a12 a21

x2 =

In gleicher Weise eliminieren wir x1 und erhalten f¨ ur x2 : x2 =

2.2

a11 b2 − a21 b1 a11 a22 − a12 a21

Matrizen

Die beschriebene Methode zur L¨ osung der linearen Gleichungen ist etwas m¨ uhsam. Aber es gibt einen besseren L¨osungsweg, der zudem auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten angewendet werden kann. Dazu ordnet man alle Gr¨ oßen des Gleichungssystems nach folgendem Schema an:      a11 a12 x1 b1 = a21 a22 x2 b2

21

Links haben wir die Matrix A und den Vektor X , rechts den Vektor B :       a11 a12 x1 b1 A= X= B= a21 a22 x2 b2 Das Ganze ist eine Vorschrift: Man addiere die Produkte a11 · x1 und a12 · x2 und setze die Summe gleich b1 (Zeile mal Spalte, s. Fettdruck: a11 · x1 + a12 · x2 = b1 ). Ebenso verfahre man mit der zweiten Zeile: a21 · x1 + a22 · x2 = b2 . Das Schema ist also eine andere Schreibweise f¨ ur das Gleichungssystem und kann m¨ uhelos auf Gleichungssysteme mit drei oder mehr Gleichungen und Unbekannten u ¨bertragen werden. Wir betrachten hier nur Systeme, bei denen die Zahl der Gleichungen gleich der Zahl der Unbekannten ist, so dass die Koeffizientenmatrix ein quadratisches Schema ist. F¨ ur das Gleichungssystem kann man noch k¨ urzer schreiben: A·X=B

2.3

Determinanten

Der Matrix A ist eine Rechengr¨ oße zugeordnet, die man Determinante nennt (die ,,Bestimmende”) und die nach folgendem Schema berechnet wird: a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 = D det A = a21 a22 Man multipliziert die Elemente l¨ angs der Diagonalen von links oben nach rechts unten. Dieses Produkt erh¨alt ein positives, das der anderen Diagonale (von rechts oben nach links unten) ein negatives Vorzeichen. Vor uns liegt eine Determinante mit zwei Zeilen, oder, wie man auch sagt, vom Rang 2. Wie man Determinanten mit drei oder mehr Zeilen 22

berechnet, erfahren wir weiter unten. Durch Vergleichen des Determinantenwerts D mit den oben errechneten L¨ osungen des Gleichungssystems erkennt man, dass x1 =

b1 a22 − a12 b2 D

und

x2 =

a11 b2 − b1 a21 D

Damit wir eine L¨ osung bekommen, muss D 6= 0 sein. Die Z¨ahler dieser Ausdr¨ ucke k¨ onnen wir ebenfalls als Determinanten schreiben: b1 a12 = b1 a22 − a12 b2 D1 = b2 a22 und a11 b1 = a11 b2 − b1 a21 D2 = a21 b2 Die Unterdeterminanten D1 und D2 erh¨alt man, wenn man den Vektor B in die erste bzw. zweite Spalte der Koeffizientenmatrix A einsetzt. Wir haben nun die L¨osungen x1 =

D1 D

und

x2 =

D2 D

Damit wird die Berechnung des linearen Gleichungssystems sehr vereinfacht: Man ordne die Koeffizienten und Unbekannten als Matrix und Vektoren an, berechne die Determinanten D, D1 und D2 und erh¨ alt damit sofort die L¨osung.

2.4

Rechenregeln f¨ ur Determinanten und Matrizen

Bevor wir nun Systeme von h¨ oherer Ordnung untersuchen, wollen wir die wichtigsten Regeln f¨ ur das Rechnen mit Determinanten angeben. Siehe auch Zahlenbeispiele in 10.1. 23

• Man kann die Zeilen mit den Spalten vertauschen, ohne dass die Determinante ihren Wert ¨andert. a a det A = 11 12 a21 a22

a11 a21 = a12 a22



• Ein gemeinsamer Faktor der Elemente einer Zeile oder Spalte kann vor die Determinante gezogen werden. • Die Multiplikation der Elemente einer Zeile oder Spalte mit einem gemeinsamen Faktor ¨andert den Wert um den Faktor. • Wenn die Elemente einer Zeile mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden und zu einer anderen Zeile addiert werden, ¨ andert sich der Wert der Determinante nicht. Gleiches gilt f¨ ur Spalten. • Zwei Matrizen (Determinanten) gleicher Gr¨oße A und B multipliziert man nach folgender Vorschrift C=A·B

cij =

m X

ail blj

l=1

• Bildung der inversen Matrix A−1 mit der Eigenschaft

A∗A

−1

 =E

.

E=

1 0 0 1



E ist die Einheitsmatrix. Die inverse Matrix wird wie folgt gebildet:  −1 −1  D∗ a11 a12 −1 i+j ij A = mit a−1 = (−1) −1 −1 ij a21 a22 D 24

∗ die zum Element a der Matrix A geh¨ Dabei ist Dij orenij de Unterdeterminante und D die Determinante von A. Man beachte genau die Reihenfolge der Indizes. Bei Matrizen vom Rang 2 ist a−1 ij einfach das dem Element aij diagonal gegen¨ uberliegende Element.

• Die Multiplikation einer Matrix mit der Einheitsmatrix ¨andert den Wert der Determinante nicht: E∗A=A • Die L¨ osung einer linearen Gleichung vereinfacht sich erheblich, indem man beide Seiten von links mit der inversen Matrix multipliziert: A∗X=B

A−1 ∗ A ∗ X = E ∗ X = A−1 ∗ B

X = A−1 ∗ B Alle Regeln gelten auch f¨ ur Matrizen und Determinanten mit h¨oheren R¨ angen als 2

2.5

Systeme mit h¨ oherem Rang

F¨ ur die L¨osung von linearen Gleichungssystemen mit Rang 2 haben wir nun alle notwendigen Werkzeuge zusammengetragen. Die Erweiterung auf Systeme mit Rang 3 oder h¨oher ist nicht sehr schwierig. Eigentlich m¨ ussen wir nur noch wissen, 25

wie man deren Determinanten und ihre Inversen berechnet. Wir betrachten zun¨ achst eine eine dreizeilige Matrix und deren Determinante vom Rang 3.   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 Den Wert der Determinante bekommt man durch zeilenweise (oder spaltenweise) Entwicklung nach den Unterdeterminanten der Elemente der ersten Zeile (bzw. der ersten Spalte): a22 a23 a21 a23 a21 a22 − a12 · D3 = a11 · a31 a33 + a13 · a31 a32 a32 a33 Die Vorzeichen der f¨ uhrenden Elemente a1j sind positiv, wenn die Summe der Indizes 1 + j eine gerade Zahl ist. Sie sind negativ zu nehmen, wenn 1 + j negativ ist. Die Unterdeterminante von a1j erh¨ alt man aus den Elementen der Determinante, die nicht in der Zeile 1 und der Spalte j stehen. Die zweizeiligen Determinanten berechnen wir wie beschrieben. In zusammengefasster Schreibweise ist der Wert der Determinante (Entwicklung nach der ersten Zeile): 3 X D3 = (−1)1+j a1j D1j j=1

a1j und D1j sind die Elemente und die zugeh¨origen Unterdeterminanten der ersten Zeile. n ist der Rang der Determinante. Im vorliegenden Fall ist n = 3. Die Gleichung gilt aber auch f¨ ur Determinanten, deren Rang n gr¨oßer als drei ist. Wenn z.B. n = 4 ist, hat man zun¨achst 4 dreizeilige Unterdeterminanten zu berechnen und mit den Elementen (−1)1+j a1j zu multiplizieren. a1j steht in der Spalte, die nicht in der Unterdeterminante vorkommt. Wir erkennen, dass der Zeitaufwand zur Berechnung von Determinanten

26

sehr rasch mit dem Rang n zunimmt. Hier k¨onnen uns nun die u ¨berragenden F¨ ahigkeiten unserer modernen Computer helfen, s. Kapitel 11. Doch zun¨achst wollen wir die Determinanten Rang 3 weiter besprechen. Wenn die Elemente a21 und a31 Null sind, bleibt nur noch der erste Term erhalten, und wenn auch noch das Element a32 Null ist, wird der Wert der Determinante gleich dem Produkt der Diagonalglieder: a11 a12 a13 D3 = 0 a22 a23 = a11 · a22 · a33 0 0 a33 Auf dieser Eigenschaft fußt eine Strategie zur Berechnung von mehrzeiligen Determinanten. Mit Hilfe der oben genannten Regeln formt man die Determinante so um, dass im ersten Schritt alle Elemente der ersten Spalte außer dem ersten Null werden. Ein Beispiel findet man in Abschnitt 10.1. Das Prinzip sei kurz am Beispiel einer dreizeiligen Determinante erl¨autert: a11 a12 a13 D3 = a21 a22 a23 a31 a32 a33 (1) Jedes Element der zweiten Zeile mit a11 multiplizieren. Damit wird D3 → a11 · D3 und die zweite Zeile ist nun |a11 a21 a11 a22 a11 a23 |. (2) Von den Elementen der zweiten Zeile werden die mit a21 multiplizierten Elemente der ersten Zeile abgezogen. Dadurch ¨andert sich der Wert der Determinante nicht. In der zweite Zeile steht jetzt: |a11 a21 − a11 a21 a11 a22 − a12 a21 a11 a23 − a13 a21 | Das erste Element ist somit Null. (3) Dividieren der zweiten Zeile durch a11 : | 0 a22 − a12 a21 /a11 a23 − a13 a21 /a11 | 27

Wegen der Division durch a11 bekommt die Determinante nun wieder den urspr¨ unglichen Wert: D3 /a11 → D3 . (4) Mit der dritten Zeile wird genauso wie mit der zweiten verfahren. Schließlich ist die gesamte Determinante umgeformt in a11 a12 a13 D3 = 0 a22 − a12 a21 /a11 a23 − a13 a21 /a11 0 a32 − a12 a31 /a11 a33 − a13 a31 /a11 (5) Die zweizeilige Unterdeterminante kann man nun in gleicher Weise so umformen, dass das an der Position 32 stehende Element ebenfalls Null wird. (6) Um den Determinantenwert zu erhalten, sind nun noch die Diagonalglieder miteinander multiplizieren. Determinanten mit noch h¨ oherer Ordnung l¨ost man in analoger Weise. Diese Methode kann mit wenigen Statements als Softwarecode formuliert werden (s. 11.1 und 11.2).

2.6

Polynome durch gegebene Punkte

Ein erstes Beispiel f¨ ur eine Anwendung der Matrizenrechnung ist die Bestimmung der Gleichungen von Polynomfunktionen, die durch gegebene Punkte (St¨ utzstellen) der xy-Ebene gehen sollen. Ein algebraisches Polynom hat die allgemeine Form y = c0 + c1 x + c2 x2 + . . . + cn xn Wir betrachten zun¨ achst den Fall n = 2. Das ist die Gleichung einer Parabel. Die Koeffizienten c0 , c1 , c2 der Parabelgleichung y = c0 + c1 x + c2 x2 sollen so zu bestimmt werden, dass die Parabel durch die 28

drei Punkte (x1 |y1 ), so gelten

(x2 |y2 ),

(x3 |y3 ) verl¨auft. Es muß al-

c0 + c1 x1 + c2 x21 = y1 c0 + c1 x2 + c2 x22 = y2 c0 + c1 x3 + c2 x23 = y3 Wir suchen die Koeffizienten c0 , c1 und c2 . In Matrixschreibweise lautet dieses Gleichungssystem      1 x1 x21 c0 y1  1 x2 x22   c1  =  y2  1 x3 x23 c2 y3 Wir bezeichnen die Determinante mit X, die Spaltenvektoren mit C und Y und l¨ osen das Gleichungssystem X ∗ C = Y wie in 2.4 angegeben: die inverse Determinante X−1 berechnen und damit von links multiplizeren (E Einheitsmatrix): A−1 ∗ A ∗ C = E ∗ C = A−1 ∗ Y C = A−1 ∗ Y Ein konkretes Beispiel: Gegeben sind die Koordinaten von drei Punkten durch die Vektoren X = (x1 , x2 , x3 ) = (0, 2, 3) Y = (y1 , y2 , y3 ) = (−2, 0, 4) In der folgenden Abbildung sind diese Punkte markiert. Die Rechnung ergibt (12.2) den Vektor der Koeffizienten C = (c0 , c1 , c2 ) = (−2, −1, 1)

29

Damit lautet die gesuchte Parabel: y = x2 − x − 2 Deren Kurvenzug ist ebenfalls in der Abbildung eingezeichnet. In gleicher Weise k¨ onnen wir den Kurvenverlauf eines kubischen Polynoms zu berechnen: y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 Die Funktionskurve wird nun durch vier Punkte festgelegt. Wir bekommen daher ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen c0 + c1 x1 + c2 x21 + c3 x31 = y1 c0 + c1 x2 + c2 x22 + c3 x32 = y2 c0 + c1 x3 + c2 x23 + c3 x33 = y3 c0 + c1 x4 + c2 x24 + c3 x34 = y4 Matrix-Schreibweise und L¨ osungsweg sind analog zum Fall der Parabel. Zur Ausf¨ uhrung wurden folgende Punktkoordinaten gew¨ahlt: X = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (0, 2, −2, −3)

30

Y = (y1 , y2 , y3 , y4 ) = (4, 2/3, 10/3, −7/2) Der L¨osungsvektor ist (12.2) C = (c0 , c1 , c2 , c3 ) = (4, −2, −1/2, 1/3) Damit erhalten wir schließlich folgende kubische Gleichung 1 1 y = x3 − x2 − 2 x + 4 3 2 Der Kurvenverlauf ist ebenfalls in der Abbildung dargestellt. Dieses spezielle Beispiel wird uns sp¨ ater noch einmal in einem anderen Zusammenhang in Abschnitt 5.1 begegnen.

2.7

Drehung von Koordinatensystemen

In dieser Anwendung von linearen Gleichungen und Matrizen berechnen wir die Drehung von karthesischen Koordinatensystemen (rechtwinklig, orthognal) um einen gemeinsamen Ursprung. Die L¨ angeneinheiten der Achsen sollen unver¨andert bleiben. Hierf¨ ur ben¨ otigen wir die Winkelfunktionen sin(x) und cos(x) vor, deren Eigenschaften erst in einem folgenden Kapitel ausf¨ uhrlich behandelt werden (3.2). Die Abbildung zeigt die Drehung des x,y-Systems um den Winkel α. Die neuen Achsen bezeichnen wir mit x’ und y’. Der Punkt P hat im x,y-System die Koordinaten (x, y). Nach der Drehung hat derselbe Punkt im x0 , y 0 -System die Koordinaten (x0 , y 0 ).

31

Das Bild zeigt, wie (x, y) und (x0 , y 0 ) aus der Figur entnommen werden k¨ onnen. Es ist x0 = a + b und y 0 = d − c, mit den St¨ ucken a = x · cos(α), b = y · sin(α), d = y · cos(α) und c = x · sin(α). Damit erhalten wir die linearen Gleichungen x0 = x · cos(α) + y · sin(α) y 0 = −x · sin(α) + y · cos(α) Es sei noch angemerkt, dass sich die Lage des Punktes P im ”Raum” durch die Drehung des Koordinatensystems nicht ¨andert. Gleiches gilt, wenn das Koordinatensystem zus¨atzlich noch verschoben wird. Das gilt f¨ ur alle Punkte gleichermaßen. Ein Vektor, bestimmt durch einen Anfangs- und einen Endpunkt, ver¨ andert seine Lage im ”Raum” ebenfalls nicht. Zur Beschreibung von physikalischen Vorg¨angen mit Gr¨oßen von vektorieller Natur (Kr¨ afte, Geschwindigkeiten u.a.) ist es oft vorteilhaft und m¨ oglich, die Koordinatenachsen so zu bestimmen, dass sie mit der ”Richtung” oder der Symmetrieachse des Vorgangs u ¨bereinstimmen. Wir schreiben nun die linearen Gleichungen als Matrizengleichung 

cos(α) sin(α) − sin(α) cos(α)



x y



32

 =

x0 y0



Mit den Spaltenvektoren mit X = (x1 , x2 ) und X0 = (x01 , x02 ) ist die L¨osung des Systems X0 = T−1 ∗ X Die Determinante der Tansformationsmatrix T ist cos2 (α)− (− sin2 (α)) = 1 (Kreisgleichung, s.Seite 4.1). Deshalb erhalten wir die inverse Matrix T−1 durch Spiegelung von T an der Diagonalen   cos(α) − sin(α) −1 T = sin(α) cos(α) Ein Zahlenbeispiel (etwa wie im Bild): Drehwinkel α = 20◦ Matrix: −1

T

 =

0.9397 −0.3420 0.3420 0.9397



Angewandt auf einen Punkt P (x, y) = P (1.9, 3.5) errechnet sich die Lage von P (x0 , y 0 ) = P 0 (2.982, 2.639) im gedrehten Koordinatensystem. Zur Kontrolle berechnen wir die Entfernung des Punktes pvom Ursprung. p Sie muss in beiden Systemen gleich sein: x02 + y 02 = x2 + y 2 = 3.982.

33

Kapitel 3

Funktionen 3.1

Elementare Funktionen

In einer mathematischen Funktion wird durch eine Rechenvorschrift (oder durch andere Vereinbarungen) ein Funktionswert y definiert: y = f (x) Wir beschr¨anken uns zun¨ achst auf Funktionen, die nur von einer unabh¨ angigen Variable x abh¨ angen. Funktionen sind in einem Wertebereich a ≤ x ≤ b definiert, der den gesamten Zahlenbereich −∞ ≤ x ≤ ∞ umfassen kann. Einige einfache Funktionen wie lineare Gleichungen oder Polynome haben wir schon kennen gelernt. Neben den Polynomen gibt es einige elementare Grundfunktionen, die sehr h¨ aufig ben¨ otigt werden und das Fundament ¨ vieler Gesetze und Formeln sind. In der folgenden Ubersicht sind die wichtigsten Grundfunktionen aufgef¨ uhrt:

34

Name Trigoniometrische Funktionen (Winkelfunkt.)

Funktion y = sin(x) y = cos(x) y = tan(x)

Umkehrung y = arcsin(x) y = arccos(x) y = arctan(x)

Potenzfunktionen

y = xn

y=

Exponentialfunkt. und Logarithmus

y = ax y = 10x y = ex

y = loga (x) y = lg(x) y = ln(x)

√ n

x

Konstante

n reell a > 0, reell a = 10 e = 2.71283

Die Umkehrfunktionen oder inverse Funktionen geben uns aus bekannten Funktionswerten y die Variablen x. Wir erhalten sie durch Vertauschung von y und x, beispielsweise √ y = xn ⇔ x= ny Grafisch erh¨ alt man den Verlauf einer Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Diagonalen y = x des Koordinatensystems (3.2.2). Da dabei eine neue, eigenst¨andige Funktion entsteht, vertauscht man√Bezeichnung der Variablen noch√ mals, und schreibt y = n x anstelle von x = n y. Bei den anderen aufgef¨ uhrten Funktionen wurde genau so verfahren. In den folgenden Abschnitten beschreiben wir die wichtigsten Eigenschaften der Grundfunktionen und ihren Umkehrungen.

3.1.1

Funktionsgraphen

Die graphische Veranschaulichung von Funktionen in Koordinatensystemen erleichtert das Verst¨andnis. Es gibt verschieden Typen von zweidimensionalen Funktionsgrafen. Zwei sehr h¨aufig angewendete sind das kartesische xy-System (links im Bild) und das System mit Polarkoordinaten.

35

Man bezeichnet die senkrechte y-Achse als Ordinate, den waagerechten Abstand davon als Abszisse. Ein Punkt P hat die Koordinate (x, y). Die vier durch die Achsen gebildeten Sektoren heißen Quadranten, im Gegenuhrzeigersinn durch I bis VI markiert. Neben linearen Teilungen haben x-Achse und/oder y-Achse h¨ aufig auch logarithmische Teilungen. Im polaren System sind die Koordinaten (r, ϕ). Der Winkel ϕ wird von der waagerechten p Achse - ebenfalls im Gegenuhrzeigersinn gez¨ ahlt. r = x2 + y 2 ist der Abstand vom Ursprung. In der sph¨arischen Geometrie (4.5) haben wir zwei Winkelkoordinaten und den Kugelradius. Eine weitere Darstellungsform von Funktionen sind Funktionstafeln, unentbehrlich f¨ ur praktische Berechnungen.

3.2 3.2.1

Trigonometrische Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens

Die trigonometrischen Funktionen oder Winkelfunktionen geh¨oren zu den wichtigsten Funktionen in Mathematik und Technik. Sie werden durch die Abszissen und Ordinaten der Kreislinie des Einheitskreises (Radius r = 1) defininiert:

36

(1) Definition von sin(α), cos(α) und tan(α) Rechtwinkliges Dreieck a-b-r mit Winkel α a2 + b2 = r2 = 1, s. Bild. Hypothenuse r = 1, Gegenkathede a und Ankathede b. Sinus Kosinus

sin(α) = a/r = a cos(α) = b/r = b sin(α) tan(α) = a/b = cos(α)

Tangens

(2) Winkelmessung Der Winkel α wird im Gegenuhrzeigersinn von der horizontalen Achse gez¨ ahlt, entweder im Gradmaß 0◦ − 360◦ , oder im Bogenmaß x =arc(α) (arcus lat. Bogen). Bogenmaß = Bogenl¨ ange/Radius, Bezeichn. Radiant [rad]. 1 rad =

360◦ 2π = 57.296◦ 1◦ = = 0.01745 rad 2π 360◦ Gradmaß α Bogenmaß rad

rechter Winkel α = 90◦ Vollkreis α = 360◦ Umrechnung (3)

x = π/2 = 1.5708 x = 2π = 3.14159

α = 57.296 · x

x = 2πα/360 = 0.01745 · α

Graphische Darstellung

Das folgende Bild zeigt die Funktionen sin(α), cos(α) und tan(α). Die unabh¨ angige Variable x ist im Bogenmaß ange37

geben.

R¨omische Ziffern I bis IV bezeichnen die Quadranten (4)

Periodizit¨ at

Hauptperiode: 2π ⇒ sin(x + 2πn) = sin(x) (n Ganzzahl) 360◦ ⇒ sin(α + n · 360◦ ) = sin(α) Die Kosinusfunktion hat die gleiche Periodizit¨at. Dagegen hat die Tangensfunktion nur eine Periode von π bzw. von 180◦ . (5)

Phasenverschiebung von sin(x) und cos(x)

Der Darstellung kann man entnehmen, dass die Kurvenz¨ uge von sin(x) und cos(x) um π/2 gegeneinander verschoben: cos(x) = sin(π/2 − x). (6)

Symmetrie

Die Kurve von cos(x) ist symmetrisch zur y-Achse. In gleichen Abst¨anden von jeweils x und −x von der y-Achse finden wir gleiche Funktionswerte: cos(−x) = cos(x). Dagegen ist 38

die Sinuskurve symmetrisch zur vertikalen Geraden durch den Punkt x = π/2. Es gilt sin(x) = sin(π − x). Bez¨ uglich der y-Achse ist sin(x) schiefsymmetrisch: sin(−x) = − sin(x). (7)

Tangensfunktion

Die Tangensfunktion strebt an den Stellen π/2 und ganzzahligen Vielfachen davon gegen +∞ oder −∞. Den Kehrwert des Tangens 1/ tan(x) = cos(x)/ sin(x) bezeichnet man als Kotangens cot(x). (8)

Ausgezeichnete Werte der Sinus-Funktion

Neben den Schnittpunkten mit den Achsen erh¨alt man eine Reihe von elementar berechenbaren Funktionswerten, wenn man ein aus sechs gleichschenkeligen Dreiecken zusammengesetztes Sechseck in den Einheitskreis legt, s. Bild. ohe der q Die H¨ √ 1 2 ]Dreiecke ist h = 1 − ( 2 ) = 12 3. Weitere Werte folgen angen √ aus dem einbeschriebenen Quadrat mit den Seitenl¨ ◦ 2. Man erh¨ alt so f¨ ur den ersten Quadranten 0 - 90 oder 0 − π/2 folgende Funktionswerte: α[◦ ] x[rad] sin(α) = sin(x)

α[◦ ] x[rad] sin(α) = sin(x)

0◦ 30◦ 45◦

60◦ 90◦

(9)

0 π/6 π/4

0.0000 0.5000 0.7071

π/3 π/2

0.8660 1.0000

Berechnung der Sinus-Funktion - beliebige Werte

Beim Betrachten der Funktionsgraphen erkennen wir, dass es gen¨ ugt, f¨ ur eine Sinustabelle die Funktionswerte im Intervall 0 ≤ x ≤ π/2 bzw. 0 ≤ α ≤ 90◦ zu berechnen

39

(Quadrant I). Die Werte im restlichen Teil der Sinusperiode π/2 ≤ x ≤ 2π erhalten wir aus Periodizit¨at und Symmetrieeigenschaften (6). Die Berechnung kann mit der schnell konvergierenden Taylorreihe . x3 x5 x7 sin(x) = x − + − + .. 3! 5! 7! erfolgen (5.4). Die Genauigkeit h¨ angt von x ab. F¨ ur kleine x ist sie am gr¨ oßten, f¨ ur x = π/4 ben¨otigt man 5 Glieder der Reihe f¨ ur eine sechsstellige Genauigkeit. Im Intervall π/4 ≤ x ≤ π/2 verwendet man vorteilhafter die KosinusReihe (5.4) und bekommt damit mit wenig Rechenaufwand wegen sin(π/2 − x) = cos(x) auch die Sinuswerte zwischen π/4 und π/2. (10)

Einfache Funktionstafel von Sinus und Kosinus

Skala f¨ ur Sinus ist links und oben, f¨ ur Kosinus rechts und unten. sin 0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0000 1736 3420 5000 6428 7660 8660 9397 9848 10

Beispiele:

(11)

1 0175 1908 3584 5150 6561 7771 8746 9455 9877 9

2 0349 2079 3746 5299 6691 7880 8829 9511 9903 8

3 0523 2250 3907 5446 6820 7986 8910 9563 9925 7

4 0698 2419 4067 5592 6947 8090 8988 9613 9945 6

5 0872 2588 4226 5736 7071 8192 9063 9659 9962 5

6 1045 2756 4384 5878 7193 8290 9135 9703 9976 4

7 1219 2924 4540 6018 7314 8387 9205 9744 9986 3

8 1392 3090 4695 6157 7431 8480 9272 9781 9994 2

9 1564 3256 4848 6293 7547 8572 9336 9816 9998 1

10 1736 3420 5000 6428 7660 8660 9397 9848 1.00 0

sin(32◦ ) = 0.5299 cos(32◦ ) = 0.8480 ◦ tan(32 ) = 0.5299/0.8480 = 0.6249 arcsin(0.6820) = 43◦ arccos(0.4384) = 64◦

Additionstheoreme

sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)

40

80 70 60 50 40 30 20 10 0 cos

Zur Ableitung dieser Formel betrachte man nebenstehendes Bild. Die Strecken der Figur im Einheitskreis sind: OE = 1 → sin(α + β) = AE = AD + DE OC = cos(β) → AD = BC = = sin(α) · OC = sin(α) cos(β) CE = sin(β) → DE = cos(α) · CE = cos(α) sin(β) F¨ ur negative β folgt wegen sin(−β) = − sin(β) und cos(−β) = sin(β) : sin(α − β) = sin(α) cos(β) − cos(α) sin(β) In ¨ahnlicher Weise erh¨ alt man die Additionstheoreme f¨ ur die Kosinusfunktion: cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β) (12)

Funktionen des doppelten Winkels

Mit α = β folgt aus den Additionstheoremen sin(2α) = 2 sin(α) · cos(α) cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α) cos(2α) = 2 cos2 (α) − 1 = 1 − 2 sin2 (α) (wegen sin2 (α) + cos2 (α) = 1) (13)

Funktionen des halben Winkels

Ersetzte in der letzten Formel α durch α/2: q cos(α) = 2 cos2 (α/2)−1 ⇒ cos(α/2) = 12 (1 + cos(α)) q cos(α) = 1−2 sin2 (α/2) ⇒ sin(α/2) = 12 (1 − cos(α))

41

3.2.2

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen von sin(x), cos(x) und tan(x) bezeichnet man auch als inverse trigoniometrische Funktionen oder zyklometrische Funktionen (zyklos gr. Kreis). Die Umkehrfunktion sin(x) ist

von

y = arcsin(x) Bei gegebenem Funktionswert, z.B. sin(x) = 0.5, erhalten wir mit arcsin(0.5) die Bogenl¨ange des Sinus, in diesem Fall π/6 bzw. 30◦ . Die Arcus-Funktion ist vieldeutig, d.h. zu jedem x des Wertebereichs −1 ≤ x ≤ 1 gibt es unendlich viele y-Werte, die im Abstand von 2π l¨ angs der y-Achse liegen. y = arcsin(x) entsteht durch Spiegelung von y = sin(x) an der Geraden y = x. Den im Bild mit dicker Linie dargestellten Bereich nennt man Hauptzweig oder Hauptwert der Funktion. Nur in diesem Teil der Kurve (−π ≤ y ≤ π/2) ist die Umkehrung eindeutig zum entsprechenden Teil der Sinusfunktion. Entsprechendes gilt f¨ ur die Kosinus- und Tangensfunktion. Ihre Umkehrungen sind: y = arccos(x)

Hauptzweig

y = arctan(x)

Hauptzweig

0≤ x ≤1 −∞≤ x ≤∞

In den Kapiteln u ¨ber ebene und sph¨ arische Geometrie findet man viele Beispiele f¨ ur die Anwendung der trigoniometerischen Funktionen und Formeln.

42

3.3 3.3.1

Potenzfunktionen Rechnen mit Potenzen

Zun¨achst sind in diesem Abschnitt die Regeln zum Rechnen mit Potenzen zusammengestellt. Zur Illustration ist bei jeder Regel ein einfaches Zahlenbeispiel angef¨ ugt. In der Aufstellung wurden die Buchstaben a und b f¨ ur die Basis, m und n f¨ ur den Exponenten der Potenzgr¨ oßen verwendet. Die Regeln gelten f¨ ur reelle Exponenten, z.T. mit Einschr¨ankungen. √ So ist a1/2 = a mit reellem a nur f¨ ur positive a definiert. Wenn a imagin¨ ar ist, gilt diese Einschr¨ ankung nicht (9.1). Regel

Zahlenbeispiel

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

an = a · a · a · · · a am · an = am+n am /an = am−n am /am = a0 = 1 (am )n = am·n a0 /am = a0−m = a−m √ √ a1/2 · a1/2 = a · a = a √ am/n = n am (a · b)n = an · bn (a/b)n = an / b√n √ √ pa · b = √ a ·√ b a/b = a/ b

28 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 22 · 26 = 22+6 = 256 26 /22 = 26−2 = 16

3.3.2

Potenzfunktionen

(24 )2 = 2(4·2) = 256 3 2−3 = 1/2 √ = 1/8 1/2 2 = √2 3 7/3 2 = 27 = 5.03968 (2 · 3)2 = 22 · 32 = 36 2 2 (8/2) =√ 82 /2√ = 16 √ 9 · 4 = 9 · 4=6 p √ √ 36/9 = 36/ 9 = 2

Der Exponent n einer Potenzfunktion y = xn kann eine beliebige reelle Zahl sein. In der Regel haben wir es

43

mit ganzen oder gebrochenen Zahlen zu tun. Der Wertebereich der Variablen x h¨ angt vom Exponenten ab. W¨ahrend f¨ ur ganzzahlige Exponenten −∞ < n < +∞ die Funktion f¨ ur alle −∞ < x < +∞ definiert ist, geht der Wertebereich bei gebrochenen Zahlen mit geradem Nenner nur von 0 < n < +∞, wie bei der Funktion √ 1 y = x2 = ± x Letztere Funktion ist die Umkehrfunktion zu y = x2 . Da y nur f¨ ur positive x definiert ist, muss man ein ± vor die ¨ Wurzel setzen, wenn man beide Aste der Parabel erhalten will. Zeichnerisch erh¨ alt man auch hier die Umkehrfunktionen durch Spiegelung der urspr¨ unglichen Funktion an der Geraden y = x oder durch Vertauschen der x- und y-Achsen. In der Abbildung sind links einige Potenzfunktionen mit positivem Exponenten dargestellt.

Allgemein lauten die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten √ m y = x n = ± n xm Bei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten 1 y = x−n = n x erhalten wir andere Kurven, s. rechtes Bild. In solchen F¨allen 44

streben die Funktionen bei x → 0 gegen Unendlich, wir bekommen y → −∞ oder y → +∞.

3.4

Exponentialfunktion

Im Unterschied zur Potenzfunktion steht bei einer Exponentialfunktion die unabh¨ angige Variable x im Exponent. y = ax , a>0 Jede Exponentialfunktion hat bei x = 0 den Wert Eins. Negative Werte der Basis a ergeben keinen Sinn, da −ax sowohl reelle als auch imagin¨ are Werte annehmen kann. Beispiels2 weise ist (−1) = 1 reell, w¨ ahrend ein dicht daneben liegender Exponent einen imagin¨ aren Wert ergibt: (−1)2.0011 = 0.999994 + i · 0.003455. Besondere Bedeutung haben die Exponentialfunktionen mit den Basis-Werten a = e und a = 10 (e Eulersche Zahl). Die Funktion y = ex , e = 2.712828.. bezeichnet man als Exponentialfunktion schlechthin. Exponentialfunktionen mit Basiswerten a > 1 sind f¨ ur alle xWerte positiv und monoton ansteigend. Im Bereich 0 < a < 1 sind sie bei allen x-Werte ebenfalls positiv, jedoch monoton abnehmend. y = ex und y = 10x und die zugeh¨orenden Logarithmusfunktionen y =ln(x) und y =lg(x) sind im folgenden Bild dargestellt.

45

3.5

Logarithmus

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion bezeichnet man als Logarithmus. y = ax

⇐⇒

x = loga (y)

Auf der rechten Seite ist jetzt y die unabh¨angige Variable. ¨ Ublicherweise vertauscht man daher x und y und schreibt y = loga (x). Der Logarithmus ist der Exponent, mit dem die Basis potenziert werden muß, um eine gegebene Zahl (Numerus) zu erhalten: aloga (x) = x Beispiel: Gegeben sei die Zahl 6.4. Einer Logarithmentafel (10.2) entnehmen wir log10 (6.4) = 0.8062. Also ist 100.8062 = 6.4. Die Umkehrfunktion von ex ist der nat¨ urliche Logarithmus y = ex Somit ist

⇐⇒ ey

=

eln(x)

y = loge (x) = ln(x) = x. In der Graphik bekommt man 46

y =ln(x) durch Spiegelung von y = ex an der Diagonale y = x. Große praktische Bedeutung hat der dekadische oder Brigg’sche Logarithmus zur Basis a = 10: y = 10x

⇐⇒

y = log10 (x) = lg(x)

Alle Logarithmus-Funktionen haben bei x = 1 den Wert Null. Von besonderer Bedeutung sind die folgenden Funktionalgleichungen: (1)

loga (c · d) = loga (c) + loga (d)

Der Logarithmus eines Produkts (Quotienten) ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. Analog gilt f¨ ur Quotienten (2)

loga (c/d) = loga (c) − loga (d)

Weiterhin ist loga (c · c) = loga (c2 ) = 2 · loga (c) und allgemeiner (3)

loga (cp ) = p · loga (c)

Wir pr¨ ufen Gleichung (1) nach, und zwar mit dekadischen Logarithmen zur Basis a = 10: Funktionalgleichung Potenzieren

lg(c·d)

10

lg(c · d) = lg(c) + lg(d) = 10(lg(c)+lg(d)) = 10lg(c) · 10lg(d)

Im letzten Schritt haben wir die Regel am+n = am · an (3.3.1) benutzt. Da 10lg(x) = x ist, erhalten wir schließlich c d = c · d Die Logarithmen der Zahlen oder in Umkehrung die der Zahlen aus den Logarithmen entnimmt man den dekadischen Logarithmentafeln, die zwischen 1588 und 1617 von B¨ urgi, Napier und Briggs erarbeitet und herausgegeben wurden. Mit solchen Tafeln war es von diesem Zeitpunkt ab in der Seefahrt m¨oglich, in kurzer Zeit Positionen aus astronomi47

schen Beobachtungen zu berechnen. Daf¨ ur tabellierte man auch die Logarithmen der trigonometrischen Funktionen. Im Zeitalter der elektronischen Rechenhilfsmittel hat die Rechenkunst mit Logarithmentafeln die Bedeutung verloren, die sie fr¨ uher in allen Bereichen von Wissenschaft und Technik hatte. Nun noch einige wichtige Beziehungen der logarithmischen Funktionen. Wenn man die Logarithmen zu einer bestimmten Basis a kennt, kann man die Logarithmen zu jeder anderen Basis b berechnen. Es gilt logb (c) =

loga (c) loga (b)

Rechts stehen Logarithmen mit der bekannten Basis a. Die Gr¨oße loga (b) ist eine Konstante und c > 0 eine positive Zahl. Im folgenden nehmen wir an, dass die nat¨ urlichen Logarithmen ln(c) zur Basis a = e bekannt sind und der dekadische Logarithmus lg(c) zur Basis a = 10 berechnet werden soll. Dann k¨ onnen wir diese Beziehung wie folgt ableiten: (1) (2) (3) (4) (5)

Es gilt eln(a) = a mit a = 10 Potenzieren mit x ex ln(a) = ax x ln(a) trennen, mit c bezeichnen c = e ax = c ln(c) links, lg(c) rechts ln(c) = x ln(a) x = lg(a) Zusammenfassung ln(c) = lg(c) ln(a)

(6)

Da ln(a) = ln(10) = 2.3026,

(7)

ln(c) = 2.3026 · lg(c)

oder

erhalten wir lg(c) = 0.4343 · ln(c)

Die Zahlenwerte nennt man Module f¨ ur die Wandlung der Logarithmen. In gleicher Weise kann man die Logarithmen zu anderen Basiswerten berechnen, wenn die Logarithmen zu einem Basiswert bekannt sind. Die Berechnung der nat¨ urlichen Logarithmen ln(x) kann durch verschiedene unendliche Reihen dargestellt werden, 48

unter anderen durch folgende:   X3 X5 X7 ln(x) = 2 · X + + + + ... 3 5 7 x−1 und x > 0 wobei X = x+1 Mit dieser rasch konvergierenden Reihe k¨onnen wir eine Tafel der nat¨ urlichen Logarithmen aufstellen. Es ist ausreichend, das Interval 1 < x ≤ e = 2.718 zu w¨ahlen, da wie bei dekadischen Logarithmen jede Zahl x dargestellt werden kann als x = p ez mit ln(x) = z + ln(p). Einige Zahlen als Beispiel, mit p = 2 : z 0 1 2 2

x 0 2e = 2 2 e1 = 5.4366 2 e2 = 14.7781 10.0000

ln(x) 0.6931 1.6931 2.6931 2.3026

lg(x) = 0.4343 ln(x) 0.3010 0.7353 1.1696 1.0000

10lg(x) 2.0000 5.5363 14.778 10.000

F¨ ur eine Tabelle der dekadischen Logarithmen gen¨ ugt es, die nat¨ urlichen Logarithmen mit der angegebenen Reihe im Intervall 1 ≤ y ≤ 2.30259 zu berechnen. Das Rechnen mit dekadischen Logarithmen ist in 10.2 genauer beschrieben. ¨ Dort finden wir auch f¨ ur Ubungszwecke eine Tafel mit vierstelligen Mantissen, berechnet mit der hier angegebenen Potenzreihe.

49

Kapitel 4

Geometrie 4.1

Ebene Dreiecke

Trigoniometrie (Winkelmessung) und Geometrie (Erdmessung) gab es bereits im Altertum zur L¨osung von astronomischen und bautechnischen Problemen. Erste trigoniometrische Tabellen, also Funktionstafeln, entstanden im griechischr¨omischen Kulturkreis etwa ab 160 v.Chr (Hipparchos). Die ebenen Dreiecke sind gleichermaßen Ursprung und Anwendung der trigoniometrischen Funktionen.

4.1.1

Rechtwinkliges Dreieck

(1) Bezeichnungen: Eckpunkte A, B, C Seiten a, b, c Winkel α, β, γ = 90◦ (2) Winkelsumme α + β + γ = 180◦ (3) Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2

50

(4) Winkelbeziehungen sin(α) = cos(β) = a/c tan(α) = cot(β) = a/b

cos(α) = sin(β) = b/c cot(α) = tan(β) = b/a

sin2 (α) + cos2 (β) = 1

4.1.2

(Kreisgleichung)

Allgemeines Dreieck

(5) Bezeichnungen wie oben. Winkel α, β, γ liegen den Seiten a, b, c gegen¨ uber. Von den drei H¨ ohen (Lot vom Eckpunkt auf die gegen¨ uberliegende Seite) ist nur hc gezeichnet. Der Lotpunkt teilt die Seite c in die Abschnitte q und c − q . Ebenfalls gilt α + β + γ = 180◦ (6) H¨ohen hc = a sin(β) = b sin(α) ha = b sin(γ) = c sin(β) hb = c sin(α) = a sin(γ)

⇒ ⇒ ⇒

a/ sin(α) = b/ sin(β) b/ sin(β) = c/ sin(γ) c/ sin(γ) = a/ sin(α)

Die erste Gleichung f¨ ur hc wurde dem Bild entnommen, die beiden folgenden wurden durch zyklische Vertauschung von a, b, c → b, c, a → c, a, b und α, β, γ → β, γ, α → γ, α, β erhalten. Die rechts stehenden Ausdr¨ ucke fasst man zusammen zum (7) Sinussatz

a/ sin(α) = b/ sin(β) = c/ sin(γ)

(8) Kosinussatz Es gilt

a2 = h2c + (c − q)2 und b2 = hc 2 + q 2

51

= h2c + c2 − 2 c q + q 2 = b2 + c2 − 2 c q. Da q = b cos(α), folgen die Kosinuss¨atze a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(α) b2 = c2 + a2 − 2 c a cos(β) c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(γ) Die beiden letzten Gleichungen wurden wiederum durch zyklische Vertauschung erhalten. Durch die Kosinuss¨atze wird aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnet. (9) Berechnung von α, β, γ aus den Seitenl¨angen. Aus dem Kosinussatz folgt b2 + c2 − c2 2bc Entsprechende Ausdr¨ ucke gelten f¨ ur die β und γ. Der dritte Winkel folgt auch aus α + β + γ = 180◦ (Test auf Rechengenauigkeit). Die Umkehrung α = arccos(α) ist f¨ ur alle Winkel ◦ ◦ zwischen 0 und 180 eindeutig (3.2.2). cos(α) =

(10) Anwendung des Sinussatzes Berechnung der Seite a aus b, α und β: sin(α) a/ sin(α) = b/ sin(β) ⇒ a = b sin(β) Das Ergebnis ist g¨ ultig f¨ ur alle Winkel zwischen 0◦ und 180◦ . Berechnung des Winkel β aus a, b und α : b sin(β) = sin(α) ⇒ α = arcsin(α) a Bei Dreiecken mit einem stumpfen Winkel (> 90◦ ) erhalten wir hier ein doppeldeutiges Ergebnis, weil sin(α) = sin(180◦ − α) ist und die Anwendung von arcsin() f¨ ur beide F¨ alle einen Winkel zwischen 0◦ und 90◦ liefert.

52

Wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat, ist Vorsicht geboten.

4.2

Kreis

4.2.1

Kreis

(1) Umfang

U =2πa π = 3.14159265...

(2) Fl¨ache

A = π a2

(3) Kreisgleichung

x2 + y 2 = a2 √ ± y = ± a2 − x2

Aufgel¨ost nach y:

a Radius Kreiszahl

Wertebereich von x und y: −a ≤ x ≤ a. Die Kombinationen ++, +−, −− und −+ der Vorzeichen von der Wurzel und von y erzeugen je ein Viertel der Kreiskurve. (4) Parameterdarstellung des Kreises x = a · cos(ϕ)

y = a · sin(ϕ)

Vorteil: Keine Fallunterscheidung n¨ otig. Die unabh¨angige Variable ϕ l¨ auft von 0 bis 2 π, bzw. von 0◦ bis 360◦ im Gradmaß. Bei ¨aquidistanter Winkelteilung sind die berechneten Punkte (x, y) auf der Kreiskurve ebenfalls ¨aquidistant.

4.2.2

Kreis und Gerade

(1) Linkes Bild: s Sehne, α und β Peripheriewinkel, M Mittelpunkt, r Radius, µ Mittelpunktswinkel.

53

(2) Alle Peripheriewinkel α am Kreisbogen u ¨ber der Sehne s sind gleich. Das Gleiche gilt f¨ ur die Peripheriewinkel β unterhalb der Sehne. Außerdem ist α + β = 180◦ . (3) Der Mittelpunktswinkel ist µ = 2 · α (4) Wenn s = 2 r (Durchmesser), dann ist α = 90◦ (Satz von Thales). (5) Sehnensatz (s. rechtes Bild) Bei zwei kreuzenden Sehnen A1 A2 und B1 B2 gilt f¨ ur die Abschnitte a1 = SA1 und a2 = SA2 sowie f¨ ur b1 = SB1 und b2 = SB2 die folgende Gesetzm¨ aßigkeit: a1 · a2 = b1 · b2 Mit r Kreisradius und rs Radiusvektor zum Schnittpunkt S erh¨alt man zwei Dreiecke mit den Seiten a1 , r, rs und a2 , r, rs . Der Winkel bei S ist ϕ bzw. 180◦ − ϕ. Dann sind p a1 = (r2 − (rs sin(ϕ))2 − rs cos(ϕ) p a2 = (r2 − (rs sin(ϕ))2 + rs cos(ϕ) und das Produkt a1 a2 = r2 − rs2 sin(ϕ)2 − rs2 cos(ϕ)2 = r2 − rs2 Gleiches gilt - mit einem anderen Winkel ϕ - f¨ ur das Pro54

dukt bb b2 , so dass a1 · a2 = b1 · b2 = r2 − rs2 (6) Sekantensatz Sekante ist ein anderes Wort f¨ ur Sehne. Wenn zwei Sekanten sich nicht im Kreis schneiden und auch nicht parallel sind, liegt der Schnittpunkt auf den verl¨ angerten Schnittgeraden S außerhalb des Kreises. Auf der ersten Gerade ist die Strecke bis zum ersten Kreispunkt a1 = SA1 , bis zum zweiten a2 = SA2 . Das Gleiche gilt f¨ ur die zweite Gerade durch die Punkte B1 und B2 . Dann lautet der Sekantensatz ebenso wie der Sehnensatz; a1 · a2 = b1 · b2

4.2.3

Sehnenviereck

Ein Sehnenviereck wird von vier Punkten aufgespannt, die auf einem Kreis angeordnet sind (Bild rechts). Es hat einige bemerkenswerte Eigenschaften. Bezeichnungen: Punkte A, B, C

und D. L¨ange der Sehnen a, b, c und d. L¨ange der Diagona-

55

len m und n. Winkel α, β, γ und δ. (1) Winkelsumme α + β + γ + δ = 360◦ (wie in jedem Viereck) (2) gegen¨ uberliegende Winkel (3) Satz des Ptolem¨ aus

α + γ = 180◦

β + δ = 360◦

a·c+b·d=m·n

Mit dem Diagonalsatz f¨ ur Sehnenvierecke und dem Satz von Thales konnte Ptolom¨ aus genaue Tafeln f¨ ur Winkelfunktionen aufzustellen [11]. Das Prinzip wird im Folgenden beschrieben. Im rechten Teil der Abbildung ist ein Viereck ABCD in einem Kreis mit dem Durchmesser 2 r = 1 dargestellt. Die Dreiecke ABC und ABD u ¨ber der Seite AB sind Thales-Dreiecke mit der Hypotenuse a = 1. Wir k¨onnen daher die Seiten und Diagonalen des Vierecks durch Sinus- und Kosinusfunktionen ausdr¨ ucken: AB = a = 1

BC = b = sin(β) AD = d = cos(α)

AC = m = cos(β) BD = n = sin(α) CD = c = sin(α − β)

Zur Bestimmung der Seite c wurden Hilfslinien durch den Mittelpunkt von C zum Punkt C 0 und auch von D nach C 0 gezogen. Der spitze Winkel am Punkt C 0 ist α − β. Eingesetzt dieser Gr¨ oßen in die Formel von Ptolom¨aus erhalten wir a·c+b·d=m·n sin(α − β) = sin(α) · cos(β) − cos(α) · sin(β) Mit negativem Winkel β folgt wegen cos(−β) = cos(β) und sin(−β) = − sin(β) die Form des Additionstheorems mit zwei positiven Winkeln: sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β) Damit haben wir eine zweite Variante zur Ableitung der Additionstheoreme gefunden. (3.1.1). Eine weitere Methode werden wir in Abschnitt 5.5 kennenlernen.

56

Ptolom¨aus (85-165 n.C.) kannte auch schon die aus den Additionstheoremen folgende Formel des halben Winkels q sin( α2 ) = 12 (1 − cos(α)) Wenn wir diese Formel als Vorschrift zur Bildung einer Folge nehmen, bekommen wir eine Sinustafel. Startpunkt ist q

cos(90◦ ) = 0. Dann ist sin(45◦ ) = 12 ) = 0.7071. Nach drei weiteren Schritten ist man bei sin(2.8125◦ ) = 0.0491. Andere durch einfache Geometrie bekannte Startpunkte sind 60◦ und 30◦ . Ptolom¨ aus konnte so genaue Tafeln der Winkelverh¨altnisse in Kreisen aufstellen und damit genaue astronomische und vermessungstechnische Berechnungen durchf¨ uhren.

4.3

Ellipse

(1) 2 a große Halbachse, 2 b kleine Halbachse

(2) Definition: Eine Ellipse ist der Ort aller Punkte, bei denen die Summe der Abst¨ ande r1 + r2 = 2 a von zwei festen Punkten F1 , F2 (Brennpunkte) konstant ist. √ (3) Numerische Exzentrizit¨ at e = c/a mit c = a2 − b2 . e ist der Abstand der Brennpunkte vom Ursprung.

57

(4) Hauptachsengleichung Umformung:

x2 y 2 + 2 =1 a2 b

b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2

a2 y 2 = b2 (a2 − x2 ) bp 2 (a − x2 ) y= a Die letzte Gleichung gilt f¨ ur den ersten Quadranten. Wie bei der Kreisgleichung m¨ ussen wir auch hier die Vorzeichenkombinationen ++, +−, −− und −+ f¨ ur den Wurzelausdruck und y anwenden, um den geschlossenen Kurvenzug der Ellipse zu erhalten. Die √ y-Werte der Ellipse erh¨ alt man aus der Kreisgleichung 2 2 y = a − x durch ”‘stauchen”’ um den Faktor b/a. (5) Parameterdarstellung x = a · cos(ϕ)

y = b · sin(ϕ)

0 ≤ ϕ ≤ 2π

Durch die Einf¨ uhrung des Parameters ϕ anstelle von x und y vermeidet man die Fallunterscheidungen bei der Berechnung der Koordinaten der Ellipsenlinie. (6) Drehung der Ellipse um den Winkel α x = a · cos(α + ϕ)

y = b · sin(α + ϕ)

0 ≤ ϕ ≤ 2π

Ableitung dieser Formel siehe 9.3.2 (7) Fl¨ache der Ellipse: Man multipliziere π a2 (Kreisfl¨ache) b mit b/a: A = π a2 · = π a b a (8) Die Berechnung des Umfangs einer Ellipse ist nicht auf einfache Weise m¨ oglich. Sie f¨ uhrt auf ein ”‘elliptisches Integral”’.

58

4.4

Hyperbel

(1) Definition: Eine Hyperbel ist der Ort aller Punkte, bei denen die Differenz der Abst¨ ande r2 − r1 = 2 a von zwei festen Punkten F1 , F2 (Brennpunkte) konstant ist. 2 a ist auch der Abstand√der Scheitelpunkte. Der Abstand der Brenn√ punkte ist 2 2 a2 = 2 a 2.

(2) Hauptachsengleichungen Wir beschr¨anken uns auf eine gleichseitige Hyperbel. In diesem Fall bilden die Asymptoten der beiden Hyperbel¨aste einen rechten Winkel s. Bild. p x2 − y 2 = a2 ⇔ y = ± x2 − a2 Die L¨ange zu den Scheitelpunkten ist r2 = √ der Brennstrahlen √ a (2 + 2) und r1 = a 2, die Differenz also r2 − r1 = 2 a. Das gilt f¨ ur alle Hyperbelpunkte, wie man leicht nachrechnen kann. (3) Konjugierte Hyperbel Eine konjugierte Hyperbel entsteht durch die Vertauschung der beiden Variablen, p y 2 − x2 = a2 ⇔ y = ± x2 + a2

59

Das Resultat ist eine Drehung der Hyperbel um 90 ◦ , so dass ¨ ihre Aste nun symmetrisch zur y-Achse sind (gestrichelt im Bild). Das Gleiche bewirkt die Vertauschung des Vorzeichens der Konstanten a2 in der ersten Gleichung: x2 − y 2 = −a2 ⇒ y 2 − x2 = a2 (5) Drehung von x2 − y 2 = a2 um 45◦ Die Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel sind nun die neuen Koordinatenachsen. Wir erinnern uns an die Gleichungen zur Drehung von Koordinatensystemen (2.7). F¨ ur √ ◦ α = 45 ist sin(α) = cos(α) = 2/2. Die Koordinaten (x, y) im gedrehten System und (x0 , y 0 ) h¨ angen wie folgt zusammen: √ √ 2 0 2 0 0 x= (x − y ) y= (x + y 0 ) 2 2 Durch Multiplikation von x und y erhalten wir 2 x y = x02 − y 02 ≡ a2 Die Gleichung der gedrehten Hyperbel ist a2 1 a2 1 y=− 2 x 2 x Dieser Fall ist, zusammen mit der konjugierten Hyperbel, im rechten Bildteil dargestellt. Weiteres u ¨ber gleichseitige Hyperbeln erfahren wir im Kapitel u ¨ber komplexe Funktionen n¨ utzlich sein. (9.3.3). y=

(6) Die Hyperbelfunktionen sinh(x), cosh(x) und tanh(x) werden in 5.6 behandelt.

60

4.5

Sph¨ arische Trigonometrie

(1) Die sph¨arische Trigonometrie befasst sich mit geometrischen Figuren auf der Oberfl¨ ache einer Kugel. (2) Jeder Schnitt einer Ebene mit einer Kugel erzeugt einen Kreis auf der Kugeloberfl¨ ache. Ebenen durch den Mittelpunkt M der Kugel schneiden die Kugeloberfl¨ache in einem Großkreis mit dem Kugelradius R. Alle anderen Schnittkreise heißen Kleinkreise. (3) Die k¨ urzeste Entfernung zwischen zwei Punkten A und B auf der Kugeloberfl¨ ache liegt auf einem Grosskreis. (4) Die Großkreise durch drei Punkte A, B und C, die nicht gemeinsam auf einem Großkreis liegen, bilden sph¨ arische Dreiecke. Die St¨ ucke des sph¨ arisches Dreiecks bezeichnen wir wie beim ebenen Dreieck Eckpunkte A, B, C Seiten a, b, c Winkel α, β, γ Neben dem betrachteten sph¨ arischen Dreieck erzeugen die drei Großkreise auf der Kugeloberfl¨ ache noch 7 weitere sph¨arische Dreiecke. (5) Die Winkelsumme α + β + γ ist im sph¨arischen Dreieck gr¨oßer als 180◦ . Man denke z.B an ein Dreieck aus zwei ¨ L¨angenkreisen und dem Aquator des geographischen Koor¨ dinatensystems (s. unten) vor. Am Aquator sind die beiden Winkel mit den L¨ angenkreisen jeweils 90◦ , zusammen also 180◦ groß. Dazu kommt dann noch der Winkel zwischen den beiden L¨angenkreisen am Nordpol.

61

(6) Sinussatz der sph¨ arischen Trigonometrie Die wichtigsten Beziehungen in sph¨ arischen Dreiecken kann man mit Hilfe des Dreikants ableiten, das aus den drei Ecken A, B und C und dem Kugelmittelpunkt M geschnitten ist, s. Bild. Bei den folgenden Ableitungen wird der Kugelradius als R=1 angenommen. Man sieht sofort, dass die Bogenst¨ ucke (bgn) a, b, und c gleich den Eckwinkeln 6 am Mittelpunkt M sind: 6

BMC = bgn a, 6 AMC = bgn b, 6 AMB = bgn c Zwischen den Seiten des Dreiecks a, b und c haben wir die Winkel 6 CAB = α, 6 ABC =β, 6 ACB = γ Hilfskonstruktion: Lot von Punkt C auf Fl¨ache AMB ergibt Punkt F. Von F die Senkrechte DF auf die Gerade (Radius) MA. Im rechtwinkligen Dreieck CDF ist Winkel 6 FDC = α. Analog ist im rechtwinkligen Dreieck ECF der Winkel 6 EFC = β. Damit erhalten wir folgende Beziehungen: M D = cos(b) → CD = sin(b) M E = cos(a) → CE = sin(a) sin(α) = CF/CD → CF = sin(α) sin(b) sin(β) = CF/CE → CF = sin(β) sin(a) Gleichsetzen und Umformen ergibt den Sinussatz der sph¨arischen Geometrie: sin(α)/ sin(a) = sin(β)/ sin(b) = sin(γ)/ sin(c) Das letzte Glied wurde ohne Ableitung hinzugef¨ ugt. Um es zu erhalten m¨ ussen wir das Dreikant auf die Fl¨ache AMC stellen und das Lot vom Punkt B f¨ allen. Alles weitere wie ¨ beschrieben (Empfehlung zur Ubung). (7) Kosinussatz der sph¨ arischen Trigonometrie

62

Mit dem Kosinussatz kann man die Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Kugel berechnen. Zur Ableitung entnehmen wir dem Dreieck CDF des Dreikants cos(α) = DF/CD = DF/ sin(b) → DF = cos(α) sin(b) Wir zeichnen noch einmal die Basisfl¨ache AMB des Dreikants und erg¨ anzen darin die Parallele DG zu EF mit dem Punkt H. Es ist cos(a) = M E = M G + GE cos(c) = M G/M D = M G/ cos(b) → M G = cos(b) cos(c) sin(c) = HF/DF = GE/DF = GE/ cos(α) sin(b) → GE = cos(α) sin(b) sin(c) Damit haben wir alle St¨ ucke zur Formulierung des Kosinussatz: cos(a) = cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c) cos(α) Durch zyklische Vertauschung folgt cos(b) = cos(c) cos(a) + sin(c) sin(a) cos(β) cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(γ) Diese Gleichungen heißen genauer die Seitenkosinuss¨atze der sph¨arischen Geometrie. Wie der Name vermuten l¨aßt, gibt es auch Winkelkosinuss¨ atze. Dar¨ uber hinaus gibt es eine große Anzahl von weiteren sph¨ aro-trigonometrischen Beziehungen. (8) Kosinussatz mit Sinusgliedern Die Formeln der Seitenkosinuss¨ atze sind mathematisch exakt. Jedoch werden bei sehr kleinen Winkeln oder Seiten hohe Anforderungen an die Rechengenauigkeit gestellt, da bei kleinen Winkeln x die Steigung der Kosinusfunktion cos(x) sehr klein ist. Es ist daher w¨ unschenswert eine Formel zu haben, in der die kritischen Kosinusterme durch Sinusglieder ersetzt sind. Dazu formen wir den Seitenkosinussatz schrittweise um, mit Hilfe der Beziehungen cos(x) = (1 − 2 sin2 (x/2))

und

63

cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) = cos(a − b) (1) Kosinussatz cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(γ) (2) es sind cos(c) = 1 − 2 sin2 (c/2) und cos(γ) = 1 − 2 sin2 (γ/2)) → in (1): (3) 1 − 2 sin2 (c/2) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) (1 − 2 sin2 (γ/2)) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) − 2 sin(a) sin(b) sin2 (γ/2) = cos(a − b) − 2 sin(a) sin(b) sin2 (γ/2) (4) 1−2 sin2 (c/2) = 1−2 sin2 ((a−b)/2)−2 sin(a) sin(b)) sin2 (γ/2) (5) sin2 (c/2) = sin2 ((a − b)/2) + sin(a) sin(b) sin2 (γ/2) Die letzte Formel enth¨ alt nur noch Sinusglieder und liefert auch mit elektronischen Rechenmaschienen, deren Rechengenauigkeit auf eine bestimmte Stellenzahl begrenzt ist, genaue Resultate f¨ ur kleine Winkel. Anwendung: Entfernung zwischen nahe beieinander liegenden Punkten, deren geographische Koordinaten mit einem GPS-Empf¨ anger bestimmt wurden.

4.5.1

Geographisches Koordinatensystem

In erster N¨ aherung k¨ onnen wir die Erdfigur (Geoid) als Kugel mit einem mittleren Radius von R = 6371 km ansehen. Genauer wird die Erde durch ein Ellipsoid mit einer großen Halbachse von 6378.888 km und der kleinen Halbachse von 6356.912 km beschrieben, bezogen auf Meeresh¨ ohe. In der Satellitennavigation sind jedoch noch weitere großr¨ aumige Abweichungen von dieser Idealgestalt zu ber¨ ucksichtigen, die −105 m bis +85 m betragen k¨ onnen. Zur Vereinfachung der Berechnungen gehen wir im Folgenden von der Kugelgestalt der Erde aus, mit einem sph¨ arischen Koordinatensystem. Die Grundelemente sind ¨ Aquator (Großkreis), L¨ angenkreise (Großkreise durch Nord-

64

¨ und S¨ udpol) und Breitenkreise (Kleinkreise, Ausnahme Aquator). ¨ Die Breitenkreise werden vom Aquator aus in n¨ordlicher und s¨ udlicher Richtung von ϕ = 0◦ bis 90◦ gez¨ ahlt(s. Bild). Die L¨angenkreise sind in westlicher und in ¨ ostlicher Richtung von λ = 0◦ bis 180◦ eingeteilt, beginnend am Meridian von Greenwich. Wir vereinbaren, dass westliche L¨ angen und s¨ udliche Breiten ein negatives Vorzeichen und ¨ ostliche L¨ angen und n¨ ordliche Breiten ein positives Vorzeichen erhalten. Bei den L¨ angen ist oft auch die umgekehrte Z¨ ahlweise (¨ ostliche L¨ angen negativ) in Gebrauch. Zur eindeutigen Bezeichnung nimmt man anstelle des Vorzeichens besser einen der Buchstaben W, N, E oder S.

4.5.2

Entfernungen und Kurse

Mit der sph¨ arischen Trigonometrie kann man Entfernungen und Kurswinkel f¨ ur die großr¨ aumige Navigation (Seefahrt, Luftfahrt) auf der Erdkugel berechnen. Als Erstes interessiert die k¨ urzeste Entfernung zwischen den Punkten A und B, s. Bild. Sie ist gegeben durch das Teilst¨ uck c auf dem Großkreis durch diese Punkte. A und B haben die Koordinaten: Punkt A Breite ϕ1 L¨ ange λ1 Punkt B Breite ϕ2 L¨ ange λ2 Das sph¨ arische Dreieck ABN mit dem Nordpol N hat folgende bekannte St¨ ucke: Winkel γ = λ2 − λ1 Bogen b = 90◦ − ϕ1 → cos(b) = cos(90◦ − ϕ1 ) = sin(ϕ1 ) Bogen a = 90◦ − ϕ2 → cos(a) = cos(90◦ − ϕ2 ) = sin(ϕ2 ) Wir wenden den Seitenkosinussatz an (4.5): cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(γ) oder cos(c) = sin(ϕ2 ) sin(ϕ1 ) + cos(ϕ2 ) cos(ϕ1 ) cos(λ2 − λ1 )

65

Die Entfernung E zwischen den Punkten A und B ist dann E = R arccos(c). R = 6371 km mittlerer Erdradius. Die Kurswinkel k1 = α und k2 = 180◦ − β bei den Punkten A und B k¨ onnen wir nun mit dem Seitenkosinussatz oder auch dem Sinussatz berechnen. Wir wollen hier letzteren anwenden. Es sind sin(α)/ sin(a) = sin(γ)/ sin(c) sin(β)/ sin(b) = sin(α)/ sin(a) Wir dr¨ ucken wieder die Seiten und Winkel durch die Breiten und L¨ angen aus - z.B. p sin(a) = sin(90−ϕ2 ) = cos(ϕ)2 ) - und beachten, dass sin(c) = 1 − cos2 (c) durch die Streckenberechnung bekannt ist. Dann sind die Kurswinkel p sin(k1 ) = cos(ϕ2 ) sin(λ2 − λ1 )/ 1 − cos2 (c) sin(k2 ) = cos(ϕ1 ) sin(k1 )/cos(ϕ2 ) Als konkretes Beispiel berechnen wir die Entfernung zwischen Madrid und D¨ usseldorf und erhalten folgendes Resultat: Ortsname Breite L¨ ange Entfernung Kurs Madrid 40.40 −3.68 − k1 = 30.1◦ D¨ usseldorf 51.28 6.76 1452.1 km k2 = 37.6◦ Die k¨ urzeste Strecke zwischen Madrid und D¨ usseldorf betr¨agt 1452.1 km. Der einzuhaltende Kurs ¨ andert sich stetig von anfangs 30.1◦ auf 37.6◦ am Ziel. Details der Rechnung sind der Programmsammlung zu entnehmen (12.3).

66

Kapitel 5

Differentialrechnung 5.1

Analyse von Funktionen

Jede mathematische Funktion hat allgemeine und besondere Eigenschaften und Charakteristiken, die man aus ihren Gleichungen bestimmen und oft auch durch Funktionsgraphen erkennen kann. Als ein Beispiel betrachten wir zun¨ achst das Polynom 1 3 1 2 y = f (x) = 3 x − 2 x − 2x + 4 Die im ersten Bild dargestellte Funktionskurve hat folgende Charakteristiken: • Schnittpunkte mit den Achsen Die dargestellte kubische Gleichung hat je einen Schnittpunkt der Kurve mit der x-Achse (y = 0) und der y-Achse. Letzterer l¨ asst sich direkt aus der Gleichung ablesen, n¨ amlich y = 4 bei x = 0. Den Schnittpunkt mit der x-Achse nennt man L¨ osung oder Wurzel der Gleichung. Eine kubische

67

Gleichung hat mindestens eine und h¨ ochstens drei L¨osungen. • Steigung F¨ ur jeden Punkt der Kurve kann man einen Steigungswert bestimmen. Dieser Wert ist durch die in diesem Punkt an die Kurve gelegte Tangente definiert und gleich dem Tangens ∆y/∆x des aus den Strecken ∆y und ∆x gebildeten Dreiecks, s. Bild. • Extremwerte - Maxima und Minima In der N¨ ahe von x = −1 haben wir ein relatives Maximum und bei x = 2 ein relatives Minimum im Kurvenverlauf. Vor und hinter diesen Extremwerten sind die Funktionswerte jeweils gr¨oßer bzw. kleiner, jedoch nur in einem begrenzten Bereich der Variablen x. • Verhalten im Unendlichen Wenn die x-Werte im Positiven oder Negativen unendlich große Werte annehmen, streben die Funktionswerte bei der vorliegenden Funktion gleichermaßen ins Unendliche. • Wendepunkt Wir verfolgen die Kurve von negativen zu positiven x-Werten, beginnend im dritten Quadranten. Die Richtung des Kurvenverlaufs ver¨ andert sich st¨ andig nach rechts, bis zu einem Punkt in der N¨ahe von x = 12 . Danach ver¨ andert sich die Kurvenrichtung nun st¨andig ¨ nach links. Die genaue Lage des Punktes, bei dem die Anderung des Richtungssinnes (nach rechts oder nach links) eintritt, nennt man einen Wendepunkt. • Stetigkeit Die Funktion ist in ihrem gesamten Verlauf stetig. Bei jedem beliebigen x geht die Differenz |f (x + ∆x) − f (x)| → 0, wenn sich ∆x → 0 ebenfalls an Null ann¨ ahert. Bei anderen Funktionen gibt es auch Merkmale, die in unserem Beispiel nicht vorkommen. So hat die Tangensfunktion f (x) = π tan(x) an den Stellen x = und ganzzahligen Vielfachen davon 2 Unendlichkeitsstellen. In diesem Fall kommt es darauf an, aus welcher Richtung man sich dieser genau definierten Stelle n¨ahert. Von

68

links kommend geht f (x) = tan(x) → +∞, von rechts aus gegen −∞. Man spricht in solchen F¨ allen auch von Polen.

5.2

Die Ableitung oder Differenzierung einer Funktion

Wir bestimmen nun die Lagen der Maxima und Minima genauer. Ihre Positionen sind offenbar dort, wo eine zur x-Achse parallele Gerade (Tangente) die Scheitelpunkte ber¨ uhrt. Dort ist die Steigung der Geraden Null. Daher ist eine Funktion gesucht, die jedem Punkt von y = f (x) den Steigungswert zuordnet. Diese neue Funktion nennt man die Ableitung y 0 = f 0 (x) von f (x). Das nebenstehende Bild erkl¨ art die Methode. An dem Punkt P ist die Steigung von f (x) gleich der Steigung seiner Tangente T, deren Lage und Steigung in der x,y-Ebene durch zwei Punkte definiert ist. Zur Festlegung

der Tangente nehmen wir einen zweiten Punkt P1 auf der Kurve in der N¨ ahe von P , dessen x-Wert um einen kleinen Betrag ∆x von x entfernt ist. Die Steigung der Sekante G durch die Punkte
P und P1 bzw. f (x) und f (x + ∆x) ist ∆y f (x + ∆x) − f (x) = ∆x (x + ∆x) − x Diese Gr¨ oße heißt Differenzenquotient. Um die Steigung genau am Punkt x zu bekommen, lassen wir das ∆x immer kleiner werden, den zweiten Punkt P1 also zum ersten Punkt wandern. Dabei dreht sich die Gerade G um den Punkt P, bis sie in die Tangente Tu ¨bergeht. Mathematisch beschreiben wir das durch den Grenzwertprozess   f (x + ∆x) − f (x) ∆y dy 0 f (x) = lim = lim = ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x dx

69

Wenn die Sekante P1 P zur Tangente von P geworden ist, erhalten dy wir die Ableitung y 0 = f 0 (x) oder den Differentialquotienten . dx Wir m¨ ussen jedoch noch pr¨ ufen, ob dieser Grenzwert existiert und wie groß er ist, denn bei immer kleiner werdenden ∆x erhalten wir 0 die unbestimmte Form . Das m¨ ussen wir f¨ ur jeden Funktionstyp 0 getrennt untersuchen. Dazu folgende Beispiele: (1) Quadratische Funktion y = f (x) = x2 Der Grenzwert ist  2  x + 2x∆x + ∆x2 − x2 0 0 y = f (x) = lim ∆x→0 ∆x = lim (2x + ∆x) ∆x→0

0

0

y = f (x) = 2x Das ist die erste Ableitung von y = f (x) = x2 . In diesem Fall gibt es auch noch eine zweite Ableitung y 00 = 2 und die dritte y 000 = 0, s. weiter unten. Die Anzahl der hochgestellten Striche entspricht der Zahl der aufeinander folgenden Ableitungen, oder man schreibt ganz allgemein y (n) . (2) Logarithmusfunktion y = f (x) = ln(x)   (ln(x + ∆x) − ln(x) 0 0 y = f (x) = lim ∆x→0 ∆x a 1 Wegen ln(a) − ln(b) = ln( ) und Erweiterung mit b x  ln(1 + ∆x )  ln( x+∆x )  x x = lim · = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x

1 x 1 x



∆x x ln(1 + h) 1 y 0 = f 0 (x) = · lim x h→0 h

Vereinfachung durch die neue Variable h =

Hier haben wir wieder eine unbestimmte Form 00 . Mit kleiner wer-

70

dendem h n¨ ahern sich Nenner ln(1)+h und Z¨ahler h an Null. Man kann zeigen, dass der Grenzwert dieses Quotienten gleich Eins ist. Somit ist die Ableitung des nat¨ urlichen Logarithmus dy 1 y = ln(x) y0 = = dx x Am Nulldurchgang von y = ln(x) bei x = 1 ist y 0 = 1, die Steigung der Tangente also 45◦ und damit genau so groß wie jene der Funktion y = x. (3) Aus der Ableitungsregel von y = ln(x) folgt auch die Ableitung der Exponentialfunktion ex : y = ex

x = ln(y) dx 1 1 = = x dy y e

y = ex

⇒

dy = ex dx

y 0 = ex

Die e-Funktion ist die einzige Funktion, deren Ableitung mit der Originalfunktion u ¨bereinstimmt. Zusammenfassung: Eine Funktion f (x) ist an der Stelle x differenzierbar, wenn dort der Differentialquotient existiert. Sie ist dann dort auch stetig. Das Umgekehrte gilt nicht. Beispielsweise ist der Absolutbetrag der Sinusfunktion f (x) = |sin(x)| an den Stellen x = 0 und x = π stetig, aber nicht differenzierbar (wegen der spitzen Ecke). Der Differentialquotient hat dort linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte. Zwischen diesen Werten ist |sin(x)| jedoch differenzierbar.

71

5.3

Ableitungsregeln

Regeln f¨ ur die Differenzierung der wichtigsten Funktionen und allgemeine Ableitungsregeln.

5.3.1

Ableitung von wichtigen Funktionen

(1) Potenzfunktionen y 0 = n · xn−1

y = xn

Diese Beziehung gilt alle positiven und negativen Ganzzahlen son wie rationalen Zahlen . Sie gilt auch f¨ ur irrationale Zahlen. m y = x0

y0 = 0

y = x1

y0 = 1

y = x2

y0 = 2 x

1 x 1 y= n x √ 1 y = x = x2 y=

(2) Exponentialfunktionen y = ax y = ex

y 0 = ax · ln a y 0 = ex

(Basis a) (Basis e)

(3) Logarithmusfunktionen y = loga x y = ln x

1 loga e x 1 y0 = x y0 =

(Basis a) (Basis e)

72

−1 x2 −n y 0 = n+1 x 1 y0 = √ 2 x y0 =

(4) trigoniometrische Funktionen y = sin(x)

y 0 = cos(x)

y = sin(x)

y 0 = − sin(x)

y = tan(x)

y0 =

(x 6= 2 π n)

y = cot(x)

y0

(x 6= π ± 2 π n)

y = arcsin(x)

y0

y = arccos(x)

y0

y = arctan(x)

y0

1 cos2 x 1 =− 2 sin x 1 =√ 1 − x2 1 = −√ 1 − x2 1 = 1 + x2

(−1 < x < 1) (−1 < x < 1)

(5) Hyperbelfunktionen y = sinh(x) y = cosh(x) y = tanh(x) y = a sinh(x) y = a cosh(x) y = a tanh(x)

5.3.2

y 0 = cosh(x) y 0 = sinh(x) 1 y0 = cosh2 (x) 1 y0 = √ 2 x +1 1 0 y =√ 2 x −1 1 y0 = √ x2 + 1

(x > 1) (|x| < 1)

Allgemeine Ableitungsregeln

(1) Konstante Funktion

y = a = const

y0 = 0

(2) Konstanter Faktor a y = af (x)

y 0 = af 0 (x)

(3) Summe zweier Funktionen y = f (x) + g(x)

y 0 = f 0 (x) + g 0 (x)

(4) Gilt auch f¨ ur die Summe von beliebig vielen Funktionen

73

(5) Produkt zweier Funktionen y 0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)

y = f (x) · g(x)

(6) Quotient zweier Funktionen y=

f (x) g(x)

y0 =

f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) g 2 (x)

(7) Geschachtelte Funktion (Kettenregel) df dg y = f (g(x)) y0 = · dg dx

5.3.3

Beispiele

Polynom (1) Kubische Gleichung, siehe 2.6 1 3 1 2 x − x − 2x + 1 3 2 (2) Erste Ableitung durch gliedweises Differenzieren y=

y 0 = x2 − x − 2 (3) Extremwerte mit y 0 = 0 y 0 = x2 − x − 2 = 0 Die L¨ osungen dieser quadratischen Gleichung sind (1.4) x1 = −1 und x2 = 2. An diesen Punkten ist die Steigung der kubischen Gleichung Null, hier liegen die Extremwerte. (4) Zweite Ableitung, Art der Extremwerte y 00 = 2 x − 1 Bei y 00 < 0 ist das Extremum ein Maximum, bei y 00 > 0 ein Minimum. Im vorliegenden Fall ist 2 x1 − 1 = −3 ein Maximum und 2 x2 − 1 = +3 ein Minimum.

(5) Position des Wendepunktes

74

y 00 = 2 x − 1 = 0 An der Stelle x3 = 1/2 ¨ andert sich der Richtungssinn der Kurvenkr¨ ummung von rechts- nach linksdrehend.

(6) Diese Feststellungen kann man auch dem nebenstehenden Bild entnehmen. Man erkennt, dass die Nullstellen von f 0 (x) mit den Extremwerten und die Nullstelle von f 00 (x) mit dem Wendepunkt u ¨bereinstimmen. Allerdings kann eine grafische Darstellung - wenn vorhanden keine exakten Werte liefern.

Glockenkurve 2

Funktionen vom Typ y = C1 · e−C2 ·x spielen in der Fehlertheorie eine große Rolle (Gauß’sche Normalverteilung). Sie hat eine glockenf¨ ormige Kontur (s. Bild):

75

Die Gr¨ oßen C1 und C2 bestimmen H¨ ohe und Breite der Kurve. Wir differenzieren den einfachen Fall mit C1 = 1 und C2 = 1 nach der Kettenregel: (1) y = e−x

2

¨ Außere Funktion y = f (g) = eg(x) , innere g(x) = −x2 y0 =

2 df dg df (eg(x) ) d(−x2 ) · = · = e−x · (−2x) dg dx dg dx

(2) y 0 = −2 x · e−x

2

Extremwert: y 0 = 0 bei x = 0 2

(3) y 00 = −2 · e−x + 4 x2 · e−x

2

Ableitung von y 0 mit Produkt- und Kettenregel. Wendepunkte: y 00 = 0 ⇒

⇒

−2 + 4x2 = 0

2

2

−2 · e−x + 4 x2 · e−x = 0 ⇒

xw = ± √12

Oft interessiert die Halbwertsbreite HWB der Glockenkurve. Wir erhalten sie durch folgende Rechenschritte p 2 1 e−x = ⇒ x2 = ln(2) ⇒ xh = ± ln(2) 2 p HWB= 2 ln(2) = 2 · 0.8326

5.4

Mittelwertsatz und Potenzreihen

Mittelwertsatz Mit Hilfe des Mittelwertsatzes kann man einen unbekannten Funktionswert eingrenzen, der sich in der N¨ ahe eines

76

bekannten Wertes befindet. Bekannt sei der Funktionswert f (x0 ) an der Stelle x = x0 . Der Funktionswert f (x0 + h) ist um ein kleines St¨ uckchen h von x = x0 entfernt. Der Mittelwertsatz lautet

f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 + ah) 0≤a≤1 Es wird vorausgesetzt, das f (x) in betrachteten Funktionsbereich stetig und differenzierbar ist. Er besagt, daß es in den Grenzen von x = x0 bis x = x0 + h eine Stelle x = x0 + ah gibt, bei der die Steigung der Tangente f 0 (x0 + ah) genau so groß wie die Steigung der Verbindungslinie (Sekante) zwischen den Punkten bei x0 und x0 + h ist. Einfacher gesagt: Es gibt eine Stelle, wo die Sekante parallel zur Tangente ist. Den genauen Ort dieser Stelle kennen wir nicht, wir wissen nur, dass der Parameter a zwischen Null und Eins liegt. Welchen praktischen Nutzen hat dann der Mittelwert? Wie bereits gesagt, kann man Funktionswerte eingrenzen, wenn sie zwischen zwei bekannten Funktionswerten liegen. Viel wichtiger ist der Mittelwertsatz jedoch bei der Herleitung einer neuen mathematischen Kategorie, n¨ amlich der Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen. Das soll uns im n¨achsten Abschnitt besch¨ aftigen.

Potenzreihen, Taylor-Reihe Eine Potenzreihe hat die Form R(x) = c0 + c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + . . . + cn xn + . . . Die Koeffizienten cn sind unabh¨ angig von der Variablen x. Exponent und Index n laufen von Null bis ∞. Mit Potenzreihen kann man Funktionen f (x), die sich nicht in elementarer Weise berechnen lassen, in einem bestimmten Bereich (Konvergenzradius) durch endliche Polynome nachbilden. Wir untersuchen Funktionen, von denen auch h¨ ohere Ableitungen existieren, wie z.B. f (x) = sin(x) oder f (x) = ex . Beide Funktionen kann man be-

77

liebig oft hintereinander differenzieren. In solchen F¨allen k¨onnen wir den Mittelwertsatz wiederholt anwenden: (1) f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 + a1 h) f 0 (x0 + a1 h) = f 0 (x0 ) + a1 hf 00 (x0 + a2 h) (2) f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 ) + a1 h2 f 00 (x0 + a2 h) f 00 (x0 + a2 h) = f 00 (x0 ) + a2 hf 000 (x0 + a3 h) (3) f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 ) + a1 h2 f 00 (x0 )+ +a1 a2 h3 f 000 (x0 + a3 h)+... + Rn ················································ (n) f (x0 + h) = f (x0 ) + · · · · · · · · · · · · Diese Entwicklung kann bis zu beliebig großen n fortgesetzt werden. Rn ist das Restglied. Nach Taylor (1685-1731) k¨onnen die un1 1 1 1 bestimmten Koeffizienten a1 , a2 , a3 , ..., an durch die Folge , , , ..., 2 3 4 n ersetzt werden: h h2 f (x0 + h) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) + f 00 (x0 )+ 1! 2! h3 000 + f (x0 ) + ... + Rn 3! Das ist die Taylor’sche Reihe. Unbestimmt bleibt zum Schluss der Parameter a im Restglied hn (n) f (x0 + ah) Rn = 0≤a≤1 n! Um das Verhalten des Restglieds zu erkennen, betrachten wir zun¨ achst den Faktor hn un = n! Wenn h ≤ 1 ist, geht un gegen Null, da n! im Nenner sehr rasch groß wird. Im Fall h > 0 hat hn am Anfang der Z¨ahler die Oberhand, denn bei kleinen n wird un zun¨ achst gr¨oßer. Es gilt aber h
un = un−1 . Ab n > h wird un wieder kleiner und kommt bei n großen n beliebig nahe an Null. Damit geht auch Rn gegen Null, es sei denn, man h¨ atte eine Funktion, deren nte Ableitungen noch schneller zunehmen als n! im Nenner von un . Das hat man jeweils im Einzelfall zu pr¨ ufen. Ein Spezialfall der Taylor’schen Reihe entsteht, wenn wir x0 = 0

78

w¨ ahlen k¨ onnen und h in x umbenennen: f (x) = f (0) + xf 0 (0) +

x2 00 x3 f (0) + f 000 (0) + ... + Rn 2! 3!

Diese Reihenentwicklung vom Nullpunkt aus ist die Reihe von MacLaurin.

Sinus- und Kosinusreihe Wir entwickeln nun die Sinusfunktion an der Stelle x = 0 in eine Potenzreihe und benutzen daf¨ ur die MacLaurin’sche Reihe. Zun¨ achst stellen wir eine Tabelle mit den ersten Ableitungen und den Funktionswerten bei x = 0 auf: n f (n) (x) f (n) (0)

0 sin x 0

1 2 3 4 cos x − sin x − cos x sin x 1 0 −1 0

Die Zahlen in der ersten Zeile sind die Ordnungen der Ableitungen. In der letzten Zeile stehen die Funktionswerte bei x = 0. Diese Werte werden in die Potenzreihe eingesetzt. Die Glieder mit f (n) (0) = 0 lassen wir gleich fort. So entsteht die Sinusreihe sin x =

x x3 x5 x7 − + − + ... 1! 3! 5! 7!

Das Restglied wird f¨ ur n → ∞ wegen der weiter oben gef¨ uhrten Argumentation Null. Im folgenden Bild sind die ersten f¨ unf Approximationsstufen der Sinusreihe dargestellt. Die Teilsummen der Reihe sind durch S1 bis S9 bezeichnet. S7(x) mit den ersten vier Glieder der Reihe ist S7(x) =

x x3 x5 x7 − + − 1! 3! 5! 7!

Dieses Polynom zeichnet bereits ein erstaunlich gutes Bild der Sinusfunktion im Intervall 0 ≤ x ≤ π.

79

Die n¨achsten Zeilen zeigen f¨ ur einige ausgew¨ahlte x-Werte die Differenz zwischen S7 und dem genauen Wert von sin(x): x π/3 sin(x) − S7(x) < 0.00001

π/2 0.00016

π 0.07522

Wegen der guten Konvergenz eignet sich die Sinusreihe gut zu Berechnung der Funktionwerte von sin(x). Dabei ist es wegen der Periodizit¨ at der Sinusfunktion ausreichend, die Werte im Intervall 0 ≤ a ≤ π/2 zu berechnen. In gleicher Weise k¨ onnen wir nun die Potenzreihe f¨ ur die Kosinusfunktion bilden. Die Tabelle mit den Ableitungen und Funktionswerten lautet nun n f (n) (x) f (n) (0)

0 1 2 cos x − sin x − cos x 0 1 0

3 4 sin x cos x −1 0

und damit die Kosinusreihe x2 x4 x6 x8 + − + − ... 2! 4! 6! 8! Im Unterschied zur Sinusreihe hat die Kosinusreihe nur geradzahlige Exponenten und Fakult¨ aten. Noch einfacher kann man die Kosinusreihe durch die gliedweise Differenzierung der Sinusreihe erhalten, den es gilt f¨ ur jedes Glied: cos x = 1 −

d xn n · xn−1 xn−1 ( )= = dx n! n! (n − 1)!

80

Reihe der Exponentialfunktion Bei der Exponentialfunktion f (x) = ex ist die erste Ableitung identisch mit der Originalfunktion und damit auch alle h¨oheren Ableitungen. Weil e0 = 1 ist, bestehen der bei Entwicklung in eine Potenzreihe an der Stelle x = 0 die Reixn henglieder nur noch aus den Termen n! ex = 1 +

x x2 x3 x4 x5 x6 + + + + + + ... 1! 2! 3! 4! 5! 6!

Auch hier ist geht f¨ ur n → ∞ das Restglied gegen Null. Wenn man bei den drei abgeleiteten Potenzreihen unendlich viele Glieder nimmt, ist die Identit¨at vollkommen. Man nennt diese Reihen auch absolut konvergent, weil sie die Funktionen im gesamten Kurvenverlauf richtig wiedergeben. F¨ ur x = 1 erh¨ alt man die bereits in 1.5 angegebene Reihe zur Berechnung der Zahl e = 2, 7182818284....

5.5

Die Eulersche Identit¨ at

Die bisher dargestellten Zusammenh¨ ange gelten f¨ ur reelle Zahlen. Wir ersetzen jetzt den reellen Exponenten in der Exponentialfunktion durch die imagin¨are Zahl ix. Die ersten Potenzen der imagin¨ aren Einheit sind: i1 = i,

i2 = −1,

i3 = −i,

i4 = +1,

i5 = i,

i6 = −1,

i7 = −i,

........

in

Die Werte von wiederholen sich, wenn die Potenz n um 4 erh¨oht wird. Somit wird die Potenzreihe der Exponentialfunktion des Arguments i x ix x2 ix3 x4 ix5 x6 ix7 − − + + − − + ... 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! und geordnet nach reellen und imagin¨ aren Gliedern eix = 1 +

81

x2 x4 x6 x x3 x5 x7 + − + . . .) + i ( − + − + . . .) 2! 4! 6! 1! 3! 5! 7! Die in den Klammern stehende Reihen stimmen mit der Kosinusreihe und der Sinusreihe u ¨berein, so dass wir schreiben k¨onnen = (1 −

eix = cos x + i sin x e−ix = cos x − i sin x Die Gleichung gilt auch f¨ ur das Argument −i x (zweite Gleichung), wie man leicht nachpr¨ ufen kann. Diese Identit¨aten wurden von Leonhard Euler (1707-1783) gefunden und sind nach ihm benannt. Sie haben eine Schl¨ usselrolle in der Mathematik und er¨ offneten neue Wege. Ein Beispiel sind die Additionstheoreme der Sinus- und Kosinusfunktionen, die ¨ wir in (3.2.1) m¨ uhsam durch geometrische Uberlegungen aufgestellt haben. Nach den Rechenregeln f¨ ur Potenzen (3.3.2) ist ei(α+β)

=

eiα · eiβ

cos(α + β) + i sin(α + β) = (cos(α) + i (sin(α)) · (cos(β) + i (sin(β)) = cos α · cos β − sin α · sin β + i · (sin α · cos β + sin β · cos β)

Da Real- und Imagin¨ arteile auf beiden Seiten gleich sein m¨ ussen, ist cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β sin(α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α Wir erhalten so in einem Zuge die Additionstheoreme f¨ ur die Sinus- und Kosinusfunktion, die auch f¨ ur Argumente (α −β) gelten, wenn man Plus mit Minus sinngem¨aß vertauscht. In gleicher Weise kann man auch die Beziehungen der Winkelfunktionen des halben, des doppelten und des dreifachen Winkels herleiten.

82

5.6

Hyperbelfunktionen

Durch die Euler’sche Identit¨ at haben wir die Winkelfunktionen sin(x) und cos(x) mit der Exponentialfunktion verkn¨ upft: ei x = cos(x) + i sin(x) e

−i x

und

= cos(x) − i sin(x)

Die Addition bzw. Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt 1 1 ix cos(x) = (ei x + e−i x ) und sin(x) = (e − e−i x ) 2 2i Wie bereits erw¨ ahnt (4.1) und wie man auch mit diesen Exponentialausdr¨ ucken nachpr¨ ufen kann, ist cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Mit u = cos(x) und v = sin(x) sowie −1 ≤ x ≤ 1 ist u2 + v 2 = 1 die Gleichung des Einheitskreis. In ¨ahnlicher Weise sind die hyperbolischen Funktionen definiert, jedoch mit reellem Argument der Exponentalfunktion: 1 1 cosh(x) = (ex + e−x ) und sinh(x) = (ex − e−x ) 2 2 Ebenso erh¨alt man die Tangensfunktion: y = tanh(x) =

sinh(x) (ex − e−x ) = x cosh(x) (e + e−x )

F¨ ur den Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus gilt: cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 Durch u = cosh(x) und v = sinh(x) erhalten wir die Gleichung einer Hyperbel: u2 − v 2 = 1.

83

Der Wertevorrat der unabh¨ angigen Variable x ist −∞ < x < +∞. Die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen werden wie die Kreisfunktionen durch ein vorangestelltes ’a’ bezeichnet, nur dass dieser Buchstabe nicht f¨ ur arcus, sondern f¨ ur area steht (6.6.1). y = sinh(x)

⇔

x =asinh(y)

Umkehrfunktion von sinh(x): (1) Aus der Definitionsgleichung von sinh(x) folgt: 2 y = ex − e−x

⇒

ex − 2 y − e−x = 0

(2) Multiplikation mit ex , quadratische Gleichung p e2x − 2 y ex − 1 = 0 ⇒ ex = y ± y 2 + 1 (3) Logarithmieren und Vertauschen von x und y √ y = asinh(x) = ln(x + x2 + 1) In gleicher Weise erhalten wir y = cosh(x)

y = acosh(x) = ln(x ±

y = tanh(x)

y = atanh(x) = ln

√

x2 − 1) |x| ≥ 1

1 + x 1−x

|x| < 1

Diese Funktionen sind in den folgenden Bildern dargestellt:

84

Wie bei den Kreisfunktionen gibt es auch unter den Hyperbelfunktionen zahlreiche Beziehungen wie Additionstheoreme, Funktionen des halben Arguments u.a. sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + sinh(y) cosh(x) sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x) cosh(2x) = cosh2 (x) + sinh2 (x)
1 cosh(2x) − 1 2 Die Parameterdarstellung der Hyperbel k¨onnen wir aus der Abbildung ersehen: sinh2 (x) =

x2 − y 2 = 1 x = cosh(t)

y = sinh(t)

1≤t≤∞

Anwendungen der Hyperbelfunktionen findet man auf den Seiten 100 und 108.

85

Kapitel 6

Integralrechnung 6.1

Prinzip

Die Integralrechung ist das Gegenst¨ uck zur Differentialrechnung. Beide werden unter dem Oberbegriff Infinitesimalrechnung zusammengefasst. Um das Prinzip zu verstehen, betrachten wir die Fl¨ achen zwischen drei einfachen Funktionen f (x) und der x-Achse. In ersten Bild sind die Funktionen f (x) = 1, f (x) = x und f (x) = x2 schematisch dargestellt.

In den beiden ersten F¨ allen erhalten wir durch einfache Geometrie die Fl¨ achen F (x) im Intervall von x = 0 bis x = x: f (x) = 1

F (x) = 1 · x = x

f (x) = x

F (x) =

1 2

x2

Wie bestimmt man aber Fl¨ achen unter Kurven, die geome-

86

trisch nicht so einfach sind, wie im Falle der dritten Funktion f (x) = x2 ? Nun, wir zerlegen die Fl¨ ache in schmale rechteckige Streifen, deren H¨ ohe gleich dem Funktionswert der jeweiligen Position ist. Betrachten wir noch einmal den Fall f (x) = x und berechnen die Fl¨ ache F (x) nach dieser Methode, die zun¨achst viel aufwendiger erscheint, jedoch auf die meisten mathematischen Funktionen angewendet werden kann. Wir teilen die Fl¨ache unter x der Kurve in viele schmale Rechtecke mit der Breite b = n x x und den H¨ohen f (i ) = i = i · b, s. zweite Abbildung. Der n n Z¨ahler i l¨auft von 1 bis n. Damit erhalten wir zun¨achst eine Fl¨ache A, die offensichtlich etwas gr¨ oßer als F (x) ist: A = b · b + b · 2b + b · 3b + ... + b · nb n(n + 1) x2 n(n + 1) = b2 · (1 + 2 + 3 + ... + n) = b2 = 2 2 n 2   1 1 = x2 1 + 2 n n(n + 1) Die Summe der endlichen Reihe (1+2+3+...+n) = 2 haben wir schon in (1.6) kennen gelernt. Je schmaler nun die Streifen sind, oder anders gesagt, je gr¨oßer das n gew¨ahlt 1 wird, umso weniger unterscheidet sich der Faktor (1+ ) von n 1. Schließlich ist:   1 2 1 1 F (x) = lim x · 1+ = x2 n→∞ 2 n 2

87

Das ist das gleiche Resultat wie oben. Wir haben durch den Grenz¨ ubergang n → ∞ ein Integral gebildet: Z x 1 x dx = x2 2 0 Das Integral ist eine Summe mit unendlich vielen Gliedern. R Daran soll auch des Integralzeichen , ein geschwungenes S, erinnern. Nun k¨onnen wir uns in gleicher Weise die Funktion f (x) = x2 vornehmen, deren Fl¨ ache zwischen Funktionskurve und x-Achse nicht durch elementare geometrische Methoden berechnet werden kann. Es ist A = b · b2 + b · (2b)2 + b · (3b)2 + ... + b · (nb)2 x3 n(n + 1)(2n + 1) = b3 (12 + 22 + 32 + ... + n2 ) = 3 n 6   x3 3 1 2+ + 2 = 6 n n Die Summe der endlichen Reihe der Quadratzahlen von 1 bis n wurde ebenfalls in (1.6) angegeben. Durch den Grenz¨ ubergang n → ∞ erhalten wir das Integral  3   Z x x 2 1 1 F (x) = lim · 2+ + 2 = x2 dx = x3 n→∞ 6 n n 3 0

6.2

Stammfunktion, unbestimmtes Integral

Wir fassen die bisher gefunden Ergebnisse zusammen:

88

k

f (x)

0

1

1

x

2

x2

F (x) =

R

f (x) dx

x x2 2 x3 3

F 0 (x) 1 x x2

k bezeichnet die Potenz von f (x). Zusammengefaßt k¨onnen wir schreiben xk+1 f (x) = xk F (x) = F 0 (x) = xk k = 0, 1, 2 k+1 Man kann zeigen, dass diese Aussagen f¨ ur alle ganzen Zahlen mit Ausnahme von k = −1 gelten. Wenn k < −1 ist, muß x 6= 0 sein, da bei x = 0 die Funktionen f (x) → ∞ laufen, man vergleiche die Darstellung von Potenzfunktionen in (3.3.2). Wir k¨ onnen der Tabelle noch eine weitere Besonderheit entnehmen. In der letzten Spalte sind die Ableitungen der Funktion F (x) aufgef¨ uhrt. In allen F¨allen gilt: F 0 (x) = f (x) Wir haben also durch das Integrieren eine Funktion F (x) gefunden, deren Ableitung F 0 (x) gleich der Funktion f (x) ist, die integriert wurde. Die Funktion F (x) nennt man Stammfunktion von f (x). Jedoch ist auch F (x) + C, wobei C eine beliebige Konstante ist, eine Stammfunktion von f (x), da die Ableitung von C Null ist: Z f (x) dx = F (x) + C Diese Gleichung ist in zweifacher Hinsicht unbestimmt. Erstens ist die Konstante C nicht festgelegt und zweitens sind die Grenzen nicht bestimmt, in denen das Integral berechnet werden soll. Man spricht daher von dem unbestimmten Integral der Funktion f (x). Im Einzelnen bezeichnet man f (x) als Integrand, x als Integrationsvariable und C als Integrati89

onskonstante.

6.3

Das bestimmte Integral

Um mit einem Integral etwas praktisches anzufangen, muß man Grenzen angegeben, in dem das Integral berechnet werden soll. Damit erhalten wir ein bestimmtes Integral. Z x=b f (x) dx = F (b) − F (a) x=a

Sehr gebr¨auchlich ist auch die Schreibweise Z x=b x=b f (x) dx = |F (x)|x=a = |F (x)|ba x=a

In die Stammfunktion werden nacheinander die oberen und unteren Grenzen eingesetzt und die Funktionswerte subtrahiert. Beispielsweise ist 2 4 Z 4 x 42 22 x dx = = − =6 2 2 2 2

2

Die anfangs gegebenen Beispiele sind ebenfalls bestimmte Integrale mit den Grenzen von x = 0 bis x = x. In den drei F¨allen ist F (a) = 0.

6.4

Integrale der Grundfunktionen

Welche Funktionen kann man integrieren? Antwort: Wenn die Funktion f (x) im Intervall (a, b) stetig ist, existiert eine Stammfunktion F (x). Allerdings ist es oftmals schwierig, zu einer gegebenen Funktion die Stammfunktion zu finden. Relativ einfach ist es noch bei den elementaren Potenz-, Exponential- und Kreisfunktionen. Die Integration komplizierterer Funktionen ist eine Wissenschaft f¨ ur sich. In Tabellenwerken [4] findet man die Stammfunktionen von hun-

90

derten Integranden. Im Folgenden sind die Integrationsformeln der einfachen elementaren Funktionen zusammengestellt. Wir erhalten sie durch Umkehrumg der in 5.3 aufgef¨ uhrten Differentationsregeln. Z dx = x + C Z xn+1 xn dx = +C (n 6= −1) n+1 Z 1 dx = ln(x) + C (x 6= 0) x Z √ 2√ 3 x dx = x +C (x ≥ 0) 3 Z ex dx = ex + C Z ax +C (a > 0, a 6= −1) ax dx = ln a Z sin(x) dx = − cos(x) + C Z cos(x) dx = sin(x) + C Z dx = arctan(x) + C 1 + x2

6.5

Integrationsregeln

• Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden Z Z c · f (x) dx = c · f (x) dx • Summe von Funktionen

91

Z

Z (f (x) + g(x)) dx =

Z f (x) dx +

g(x) dx

(gilt f¨ ur beliebig viele Funktionen) • Integration durch Substitution Z Wenn f (x) dx = F (x) + C bekannt und x = ϕ(t) ist, Z Z gilt f (x) dx = f [ϕ(t)] · ϕ0 (t) dt • Partielle Integration (Umkehrung der Produktregel u · v 0 = u0 · v + u · v 0 ) Z Z u0 (x) · v(x) dx = u(x) · v(x) − u(x) · v 0 (x) dx)

6.6 Z

Einige Beispiele

1 dx ax + b

durch Substitution 1 a

erweitern:

Z

Substitution: eingesetzen:

1 a

Z Z

1 a dx ax + b

ϕ(x) = a x + b = X, a dx = dX Z 1 1 1 1 a dx = dX = ln |X| + C ax + b a X a 1 1 dx = ln |a x + b| + C ax + b a

Allgemein gilt f¨ ur lineare Substitutionen ϕ(x) = a x+b = X: Z wenn f (X) dX = F (X) + C, so ist Z 1 f (a x + b) dx = F (a x + b) + C, wobei a 6= 0 a 92

R

cos2 (x) dx durch partielle Integration Z Z 2 cos (x) dx = cos(x) · cos(x) dx

Mit

ist Z Da folgt und

u(x) = sin(x)

u0 (x) = cos(x)

v(x) = cos(x)

v 0 (x) = − sin(x)

Z cos(x)·cos(x) dx = sin(x)·cos(x)− sin(x)·(− sin(x)) dx sin2 (x) + cos2 (x) = 1
R R cos2 (x) dx = sin(x)·cos(x)+ 1−cos2 (x) dx R R cos2 (x) dx = sin(x)·cos(x)+x− cos2 (x) dx

Das gesuchte Integral ist: Z
1 cos2 (x) dx = x + sin(x) · cos(x) 2 In Tabellenb¨ ucher findet man h¨ aufig auch die Darstellung Z 1 1 cos2 (x) dx = x + sin(2 x) 2 4 Mit dem Additionstheorem des doppelten Winkels sin(2 x) = 2 sin(x) cos(x) u ¨berzeugt man sich leicht, dass beide Formen identisch sind (3.1.1). Wegen sin2 (x) = 1 − cos2 (x) = 1 ist das entsprechende Integral f¨ ur den Sinus Z

sin2 (x) dx =

Z

Z

sin2 (x) dx =

Z dx −

cos2 (x) dx = x −


1 x − sin(x) · cos(x) 2

93

x 1 − sin(x) · cos(x) 2 2

Z p r2 − x2 dx

durch Substitution

Der Integrant folgt aus der Kreisgleichung √ x2 + y 2 = r2 ⇒ y = f (x) = r2 − x2 . Wir substituieren die Variable x durch x = r · sin(ϕ) und dx = r · cos(ϕ) · dϕ. Der Integrant ist dann p p √ r2 − x2 = r2 − r2 sin2 (ϕ) = r · 1 − sin2 (ϕ) und wegen sin2 (ϕ) = 1 − cos2 (ϕ) gleich r · cos(ϕ). Damit ist R√ R R r2 − x2 dx = r·cos(ϕ)·r cos(ϕ) dϕ = r2 cos2 (ϕ) dϕ Wie oben gezeigt ist Z
r2 ϕ + sin(ϕ) · cos(ϕ) r2 cos2 (ϕ) dϕ = 2 Substition r¨ uckg¨ angig machen: (1) x = r sin(ϕ)

⇒

ϕ = arcsin(x/r)

(2) sin(ϕ) = x/r q p 1p 2 (3) cos(ϕ) = 1 − sin2 (x/a) = 1 − (x/r)2 = r − x2 r p
1
r2 x (4) ϕ+sin(ϕ)·cos(ϕ) = r2 arcsin( )+x r2 − x2 2 2 r Damit ist das Ergebnis Z p p
1 x r2 − x2 dx = r2 arcsin( ) + x r2 − x2 + C 2 r Wir berechnen noch das Integral zwischen x = 0 und x = r. Das zweite Glied der Stammfunktion ist bei beiden Werten gleich Null. Des weiteren sind arcsin(0) = 0 und arcsin(1) = π/2. Somit ist 94

Z 0

r

p π r2 − x2 dx = r2 4

Das ist genau ein Viertel der Fl¨ ache eines Kreises mit dem Radius r. Kreisfl¨ ache Sehr viel einfacher erhalten wir die Kreisfl¨ache F durch fol¨ gende Uberlegung. Die Fl¨ ache eines schmalen Kreisrings mit dem Radius r ist 2 π r · dr. Somit hat ein Kreis mit dem Radius R die Fl¨ ache 2 R Z R r F = 2π r dr = 2 π = π R2 2 0

Z

1 dx 1 − x2

0

durch Substitution

Wir bestimmen das Integral im Intervall

−1 < x < 1

(1) Umformung des Integranden Nenner: 1 − x2 = (1 + x)(1 − x). Z¨ ahler 2 = (1 + x) + (1 − x).   2 1 1+x 1−x 1 = + 2 (1 − x2 ) 2 (1 − x)(1 + x) (1 + x)(1 − x)   1 1 1 1 = + 1 − x2 2 1−x 1+x Diesen Schritt nennt man auch eine Partialbruchzerlegung. (2) Damit ist das zu l¨ osende Integral in zwei Teile zerlegt   Z Z Z dx 1 dx dx = + 1 − x2 2 1+x 1−x (3) Durch Substituieren folgt

95

Z

dx ⇒ X=1+x dX=dx ⇒ 1+x Z dX = ln(X) = ln(1 + x) ⇒ X

In gleicher Weise ergibt sich mit X=1-x Z dX = − ln(X) = − ln(1 − x) X

dX=-dx

(4) Beide Terme zusammengefasst: Z
1 1 + x 1 dx = ln(1 + x) − ln(1 − x) = ln 1 − x2 2 2 1−x (4) Die rechts stehende Funktion ist identisch mit der Umkehrfunktion des hyperbolischen Tangens (5.6). Durch die Umkehrung von y=atanh(x) erhalten wir   1 1+x 1+x y = ln ⇒ e2 y = ⇒ 2 1−x 1−x e2 y − 1 ey − e−y = e2 y + 1 ey + e−y Nach Vertauschung von x und y bekommen wir die hyperbolische Tangensfunktion ⇒ x=

tanh(x) =

ex − e−x ex + e−x

96

Diese Funktion ist im nebenstehenden Bild dargestellt. Außerdem sind gezeichnet die Umkehrfunktion 1 1 + x artanh(x)= ln 2 1−x und die Funktion, aus der diese Funktionen durch Integration hervorgegangen sind: 1 f (x) = 1 − x2 Z

2

x · e−x dx

durch Substitution

(1) Erweitern des Integrals mit (-2) Z Z 1 2 −x2 x·e dx = − e−x · (−2x) dx 2   d −x2 e = −2x, und das Integral hat die Form (2) Nun ist x Z

f ϕ(x) · ϕ0 (x) dx = F ϕ(x) + C (3) Ergebnis Z 1 2 2 x · e−x dx = − e−x + C 2 (3) Bestimmtes Integral von x = 0 bis x = ∞ Z ∞ 1 1
1 2 2 ∞ = x · e−x dx = − e−x = 0 − − 2 2 2 0 0 2

Der Kurvenverlauf der integrierten Funktion x · e−x wurde

97

in (5.3.3) abgebildet. Z Numerische Integration

2

e−x dx 2

Das Integral der Glockenkurve e−x hat keine elementare Stammfunktion. Durch fortgeschrittene Methoden (Funktionentheorie) erh¨ alt man folgendes Ergebnis: Z ∞ √ 2 e−x dx = π = 1.772453850 −∞

Bei einer unbekannten Stammfunktion kann man auch eine numerische Integration vornehmen. Zur Erkl¨arung der Methode bietet sich dieses Beispiel an, da das exakte

¨ Ergebnis bekannt ist. Ahnlich wie im ersten Abschnitt dieses Kapitel unterteilen wir den zu integrierenden Bereich in Streifen, die diesmal jedoch trapezf¨ ormig gew¨ahlt sind und sich so besser an den Kurvenverlauf angepasst sind. Wir berechnen die rechts der y-Achse liegende Fl¨ache, s. Bild. Bezeichnungen b Breite eines Streifens xi = i · b, i Index von 0 bis n n = (xo − xu )/b Zahl der Streifen 98

xu , xo untere und obere Integrationsgrenze 2 f (xi ) = e−xi Funktionswerte Berechnung der Fl¨ ache (1) Zahlenvektor x = {0, b, 2b, 3b, . . . , n · b} (2) Vektor der Funktionswerte 2 2 2 f = {1, e−b , e−2b , . . . , e−nb } (3) Fl¨ache n X
F = b · fi

fi = (f (xi ) + f (xi + b))/2

i=0

Die Grenzen des eingangs angegebenen Integrals der Glockenkurve sind −∞ bis +∞. Der Funktionswert des Integranten geht aber sehr rasch mit gr¨ oßer werdenden x-Werten 2 gegen Null. Bereits bei x > 4.1 ist e−x < 10−7. Wir beschr¨anken uns daher auf die Grenzen xu = 0 und xo = 4. Der skizzierte Rechenweg ist in folgenden kurzem EULERProgramm (11.2) ausgef¨ uhrt: function IntX xo=4 ..obere Grenze xu=0 ..untere Grenze b = 0.1 ..Steifenbreite x=xu:b:xo; ..Vektor x f=(exp(-(x)^2)+exp(-(x+b)^2))/2; ..Vektor f(x) F=b*sum(f) ..numerisches Integral return ""; endfunction

Die Genauigkeit einer numerischen Integration h¨angt von der Unterteilung der Fl¨ ache ab. Bei xo = 4 und b = 0.1 liefert unser Programm X
F = b · fi = 0.886226919 Der exakte Wert ist

99

1 · 2

Z

∞

−∞

2

e−x dx =

1 √ · π = 0.886226925 2

Unterschiede treten erst nach der siebten Dezimalstelle auf. Bei praktischen Anwendungen f¨ uhrt eine numerische Integration oft schneller zum Ziel.

6.6.1

Hyperbelfl¨ ache

In dem Abschnitt 5.6 u ¨ber Hyperbelfunktionen wurde erw¨ahnt, dass das vorangestellte a bei der Bezeichnung der Umkehrfunktionen f¨ ur area steht. Damit ist die im folgenden Bild gezeigte Fl¨ ache zwischen dem Ursprung O und zwei gegen¨ uber

liegenden Punkten P (x, y) und P 0 (x, −y) auf der Hyperbel gemeint. Diese Fl¨ ache a , die von den Geraden OP und OP 0 begrenzt wird, soll nun als weiteres Beispiel einer Integrationstechnik berechnet werden. Die Hyperbelfunktion lautet p (1) x2 − y 2 = 1 ⇒ y = ± x2 − 1 Die Hyperbel hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse bei

100

x = 1, die auch eine Symmetrieachse der markierten Fl¨ache a ist. Es gen¨ ugt, das oberhalb der x-Achse liegende Teilst¨ uck zu berechnen, und zwar als Differenz des Dreiecks O P x und des durch die Hyperbel begrenzten St¨ ucks 1 P 0 x. Z x 1 F2 = y dx (2) Fl¨achen: F1 = x y 2 1 a = F1 − F2 2 1 xp 2 (3) F1 = x y = x −1 2Z 2 xp (4) F2 = x2 − 1 dx 1

(5)

Das Integral wird durch folgende Substitution gel¨ost: x = cosh(t), 2

dx = sinh(t) dt 2

x − 1 = cosh (t) − 1 = sinh2 (t) Z p Z q Z 2 2 x − 1 dx = sinh (t) sinh(t) dt = sinh2 (t) dt Wegen (5.6)
1 sinh2 (t) = cosh(2t) − 1 ist das Integral 2 Z Z  11  1 F2 = cosh(2t) dt − dt = sinh(2t) − t 2 2 2   1 F2 = sinh(t) cosh(t) − t 2 (6) Substitution r¨ uckg¨ angig machen: √ x = cosh(t) und sinh(t) = x2 − 1, √ t = acosh(x) = ln(x + x2 − 1) (|x| ≥ 1) Z p   p 1 p 2 (7) F2 = x2 − 1 dx = x x − 1−ln(x+ x2 − 1) 2 101

a = F1 − F2 2 Z xp a xp 2 = x −1− x2 − 1 dx 2 2 1  1 p a 1 ln(x + x2 − 1) ≡ acosh(x) = 2 2 2 Die gesamte Fl¨ ache des dargestellten Sektors ist

(8) Fl¨ache

a = acosh(x) Damit ist die Herkunft der Vorsilbe area bei den Umkehrungen der Hyperbelfunktionen gekl¨ art.

6.7

Mehrfach-Integrale

Geometrische Fl¨ achen und K¨ orper k¨ onnen, wenn sich deren Konturen durch mathematische Funktionen darstellen lassen, durch mehrere nacheinander ausgef¨ uhrte Integrationen berechnen. Daf¨ ur ist es zweckm¨ aßig, neben den kartesischen Koordinaten x, y, z den Problemen angepasste Koordianatensysteme einzuf¨ uhren. Wir sehen uns im folgenden einige Beispiele mit Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten an.

6.7.1

Kreisfl¨ ache - Polarkoordinaten

In einem ebenen Polarkoordinatensystem wird ein Punkt P (x, y) durch den Radiusvektor r und Polarwinkel ϕ bestimmt, s. Bild.

102

Beide Systeme sind verkn¨ upft durch p y r = x2 + y 2 und ϕ = arctan( ) x ϕ wird entlang des Einheitskreis als Bogenl¨ange von 0 bis 2 π gemessen. Ein infinitesimales Fl¨ achenelement ist dF = r dr dϕ Durch das Doppelintegral erhalten wir die Kreisfl¨ache mit dem Radius R Z ϕ=2π Z r=R Z ϕ=2π 2 R 2 r dϕ = 2 π · R F = r dr dϕ = 2 2 ϕ=0 r=0 ϕ=0 0 Es wird zun¨ achst das innere, danach das ¨außere Integral berechnet.

6.7.2

Zylindervolumen - Zylinderkoordinaten

Wir erg¨anzen die Polarkoordinaten durch eine z-Komponente und bekommen so das Volumenelement dV = r dr dϕ dz Das Volumen eines Zylinder ist nun ein Dreifach-Integral: Z z=H Z ϕ=2π Z r=R V = r dr dϕ dz z=0

ϕ=0

r=0

Beginn der Berechnung wieder mit dem inneren Integral:

103

Z

z=H

Z

ϕ=2π

V = z=0

ϕ=0

R2 dϕ dz = π R2 2

Z

z=H

dz = π R2 H

z=0

In diesem Fall kommt man auch durch getrennte Integrationen der drei Komponenten zum richtigen Ergebnis: Z ϕ=2π Z z=H Z r=R R2 V = dϕ · dz · r dr = 2π · H · 2 ϕ=0 z=0 r=0 Die getrennte Berechnung ist dann erlaubt, wenn die Variablen des Integranten nicht von einander abh¨angen.

6.7.3

Kegelvolumen

Wir betrachten einen auf die Spitze gestellten Kegel mit der H¨ohe H und dem Radius R, s. Bild.

Die Koordinaten der Mantellinie r und z verhalten sich zu R H¨ohe und Radius wie z : r = H : R oder r = · z = a · z. H Zur Volumenberechnung w¨ ahlen wir wieder Zylinderkoordinaten, es ist Z ϕ=2π Z z=H Z r=a·z V = r dr dz dϕ ϕ=0

z=0

r=0

In diesem Fall h¨ angt r von z ab. Die Variable ϕ ist unabh¨angig von den beiden anderen Variablen, das Kreisintegral (= 2 π) kann vorweg berechnet werden. Die obere Gren-

104

ze der Integration u ¨ber r reits ausgef¨ uhrt): Z ϕ=2π Z z=H V = dϕ· ϕ=0

z=0

ist a · z (in der folgenden Zeile be 2 r=a·z Z z=H r a2 · z 2 dz dz = 2π · 2 2 z=0 r=0

Mit a = R/H bekommen wir schließlich das Kegelvolumen a2 H 3 π · = · R2 · H 2 3 3 Bemerkung: Da ein Volumen berechnet wird, muss in allen Schritten die Dimension [L¨ ange]3 sein. Die Gr¨oßen r, dr und dz sind L¨ angen. dϕ dagegen hat die Dimension Eins, weil Winkelangaben auf den Umfang den Kreisumfang bezogen sind. Die Dimension des Resultats ist also [L¨ ange]3 . Bei praktischen Anwendungen einer Formel sollte man stets eine Dimensionskontrolle vornehmen. V = 2π ·

105

Kapitel 7

Differentialgleichungen 7.1

Differentialgleichungen

Viele Erscheinungen in der Natur wie Energie, Kr¨afte, Schwingungen, W¨armestr¨ omungen oder elektromagnetische Felder sind dynamische Vorg¨ ange. Es interessieren die Ver¨anderungen der charakteristischen Gr¨ oßen, die sich in vielen F¨allen durch Differentialgleichungen beschreiben lassen. Differentialgleichungen sind Gleichungen, die außer unbekannten Funktionen und ihren Variablen auch deren Ableitungen oder Differentiale enthalten: Φ = (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n) ) = 0 Wenn Φ nur von einer unabh¨ angigen Variable x abh¨angt, spricht man von einer gew¨ ohnlichen Differentialgleichung. Die h¨ochste vorkommende Ableitung (n) ist die Ordnung dieser Gleichung. Treten Funktionen und Ableitungen von mehreren Ver¨ anderlichen auf, spricht man dagegen von partiellen Differentialgleichungen. Wir beschr¨anken uns hier auf einige einfache Beispiele von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen.

106

7.2

Exponentialfunktionen

Zur L¨osungen von algebraischen Gleichungen suchten wir einzelne Zahlenwerte, die die Gleichungen erf¨ ullen, z.B. die Nullstellen einer quadratischen Gleichung. Bei Differentialgleichungen dagegen sind die L¨ osungen Funktionen oder Gleichungen. Eine sehr einfache Differentialgleichung ist dy −y =0 dx Die L¨osungen sind Funktionen, die gleich ihrer Ableitung sind. Eine davon kennen wir schon, n¨ amlich die Exponentialfunktion (5.2). Durch Erweiterung mit dem Parameter a erhalten wir als allgemeine L¨ osung die Kurvenschar y = a · ex = e(x+ln(a))

−∞ 0 ∞. Auf der y-Achse ist e1/z exakt gleich Eins f¨ und y < 0. Nur die Stelle y = 0 m¨ ussen wir ausnehmen, denn dort ist die Funktion entweder beliebig klein oder beliebig groß. Das dargestellte Relief gibt ¨ uns einen guten Uberblick, jedoch sind Details nur schwer zu erkennen. Daher wurden im zweiten Bild sind senkrechte Schnitte durch das Relief gelegt:

(a) L¨angs der x-Achse bei y = 0 (durchgezogene, rote Kurve). (b) parallel zur y-Achse (gestrichelte, blaue Kurven) bei x = 2 (nach oben gew¨ olbte Kurve), bei x = 0 (gerade Linie |ez | = 1) und bei x = −0.1 (nach unten gew¨olbte Kurve). Reliefdarstellungen von vielen komplexen Funktionen findet man in dem bekannten Werk Tables of Functions von E. Jahnke u. F. Emde [6].

9.5

Joukowski-Funktion

Ein interessantes Beispiel f¨ ur eine konforme Abbildung ist das Bild der Str¨ omung um einen Zylinder. Wir verwenden daf¨ ur die Joukowski-Funktion, die in der einfachste Form 137

lautet: 1 z In exponentieller und trigoniometrischer Schreibweise ist dieser Ausdruck 1 z = r · ei·ϕ + · e−i·ϕ r 1 z = r · (cos ϕ + i · sin ϕ) + · (cos ϕ − i · sin ϕ) r 1 1 z = (r + ) cos(ϕ) + i · (r − ) sin(ϕ) r r Der Imagin¨arteil 1 v = (r − ) sin(ϕ) = const r bildet die gesuchten Stromlinien ab, wenn r ≥ 1 ist. Der Fall v = 0 ist gegeben, wenn ϕ = 0 (oder Vielfache von π) ist. Das ist bei allen Punkten der der horizontalen Achse der Fall. v wird gleichfalls Null, wenn r = 1 ist, also f¨ ur alle Punkte des Kreises um den Nullpunkt. Wir interessieren uns nun f¨ ur die Kurvenschar außerhalb des Einheitskreis und berechnen die Stromlinien mit v > 0 im ersten Quadranten. Auf der y-Achse (sin ϕ = 1) ist 1 v = (r − ) ⇒ r2 − v · r − 1 = 0 r p ry = v/2 + v 2 /4 + 1 J(z) = z +

ry ist der k¨ urzeste Abstand vom Ursprung zu einem Punkt der Stromlinie bei gegebenen v. Die y-Achse bildet die Ausgangsbasis f¨ ur die Berechnung der Stromlinie, s. Bild.

138

Im einzelnen gehen wir wie folgt vor (1. Quadrant): (1) Vorgabe von v, (2) Berechnung ry , (3) Wertebereich (Vektor) von ry bis rmax vorgeben und (4) sin(ϕ) = v · r/(r2 − 1) berechnen. (5) Die Punkte der Stromlinie sind dann x = r cos(ϕ) und y = r sin(ϕ). Das ist im ersten Bild f¨ ur v = 1.2 gezeigt. Die Linien der der anderen Quadranten erhalten wir durch entsprechende Kombinationen der Vorzeichen der Koordinatenpaare (±x | ± y) Das Ergebnis einer vollst¨ andigen Berechnung (12.6.4) der Umstr¨omung eines Zylinder sehen wir im n¨achsten Bild.

Die Abst¨ande der Stromlinien wurden hier mit ∆v = 0.6

139

gew¨ahlt, der Radius der Zylinderkontur ist r = 1. Die vertikal verlaufenden Kurven bezeichnet man als Potentiallinien. Sie werden aus dem Realteil der JoukowskiFunktion berechnet: 1 u = (r + ) cos(ϕ) = const r Die Schritte der Rechnung gleichen denen zur Stromlinienberechnung. Die Potentiallinien kreuzen die Stromlinien jeweils im rechten Winkel. Man kann den Abstand zweier benachbarten Potentiallinien mit der Geschwindigkeit eines gedachten Teilchens auf einer Stromlinie in Verbindung bringen. Ein kleiner Abstand (großes Potentialgef¨alle) bedeutet eine große, ein großer Abstand eine kleine Geschwindigkeit.

9.6

Ausgew¨ ahlte Funktionen

Die im Kapitel 3 besprochenen reellen Funktionen gelten auch f¨ ur komplexe Variable. Bereits in Kapitel 5 haben wir im Zusammenhang mit der Eulerschen Identit¨at (5.5) komplexe Argumente benutzt. Generell bezeichnen wir die komplexen Funktionen mit f (z) = w = u+i·v und die Variablen mit z = x + i · y Wir werfen nun einen kurzen Blick auf die elementaren komplexen Funktionen ez , ln(z) und sin(z). Funktion

w = ez

In der algebraischen Form von z = x + i · y ist Funktion w = ez = ex+i·y = ex · ei·y = ex · (cos(y) + i · sin(y)) p und in der Exponentialform, mit r = x2 + y 2 und dem y Argument ϕ = arctan x

140

w = ez = r · ei·ϕ Die Basis e = 2.712828 . . . ist auch in der Welt der komplexen Zahlen eine reelle Zahl. Die Exponentialfunktion kann man als ”Generalschl¨ ussel” zu vielen mathematischen Zusammenh¨angen bezeichnen. Funktion

w = ln(z)

Wie bei den reellen Zahlen ist w = ln(z) die Umkehrfunktion von z = ew . Die Variable z = r · ei·ϕ = r · ei·(ϕ+2 k π)

k = 0, ±1, ±2, . . .

ist vieldeutig. Nach jeder Drehung des Winkels ϕ um 2 k π erreichen wir wieder den gleichen Punkt in der Zahlenebene. w = ln(z) = ln(r · ei·(ϕ+2 k π) ) = ln(r) + i · (ϕ + 2 k π) ln(z) ist ebenfalls mehrdeutig. w = ln(z) = ln(r) + i · (ϕ + 2 k π)

Funktion

w = sin(z)

Die komplexe Sinusfunktion bekommt man durch Verallgemeinerung des im Abschnitt 5.6 angegebenen Ausdrucks: ei z − e−i z 2i Wir betrachten die Reliefdarstellung im n¨achsten Bild: w = sin(z) =

141

Es wurde der Absolutbetrag |sin(z)| u ¨ber dem durch −π ≤ x ≤ π und −1.5 ≤ y ≤ 0 begrenzten Abschnitts der komplexen Ebene darstellt. Das Relief des nicht gezeichneten Bereichs mit positiven y-Werten ist spiegelbildlich zur x-w¨ Ebene. Uber der reellen x-Achse erkennen wir die Betr¨age der beiden Halbschwingungen der Sinuskurve. In diesem Bild sind noch drei weitere Funktionen versteckt. Die Funktion w = cos(z) erhalten wir wie im Reellen durch die Verschiebung des Ursprungs und der komplexen y-Achse um x = π/2 nach links oder rechts. Wenn wir nun die Kurve l¨angs der y-Achse berechnen, also f¨ ur z = 0 + i y, bekommen wir: sin(i y) =

ei (i y) − e−i (i y) 1 e−y − ey = = i sinh(y) 2i i 2

Hier haben wir die reelle Funktion sinh(y) erhalten. Die rote Kurve des Reliefs ist der Betrag von |i sinh(y)|. Das gilt f¨ ur alle in y-Richtung verlaufende Konturen, die bei z = 0±i k π mit k = 0, 1, 2, 3, . . . beginnen, s. Bild. Im Fall z = π/2 + i y ist sin(π/2 + i y) =

ei π/2 ei y − e−i π/2 e−i y ei (π/2+i y) − e−i (π/2+i y) = 2i 2i

142

ei π/2 = i

Da

e−i π/2 = −i

und

sin(π/2 + i y) =

folgt

i ei y − (−i e−i y ) ey + e−y = = coth(y) 2i 2

Die blauen Konturen von | coth(y)| beginnen nun 2k + 1 bei z = 0 ± i , wie oben mit k = 0, 1, 2, 3, . . . . 2

9.7

Differenziale

Eine komplexe Funktion mit der Variablen z = x + i y ist im Punkte P (z) differenzierbar, wenn von der Funktion w = f (z) = f (x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) der Grenzwert f (z + ∆z) − f (z) w0 = lim ∆z→0 ∆z existiert. ∆z = ∆x+i ∆y ist ein kleines Gebiet um P (z), z.B. ein Kreis ∆(r ei ϕ ) , mit 0 ≤ ϕ ≤ 2 π. Der Grenz¨ ubergang r → 0 muss auf allen Wegen zum Punkt P (z) zum gleichen Funktionswert f 0 (z) f¨ uhren, insbesondere bei ∆x → 0 und ∆y → 0. (1) ∆x → 0 w0 = lim

∆x→0

∆y = 0  u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x

+i

v(x + ∆x, y) − v(x, y)
 ∆x

+i

v(x, y + ∆y) − v(x, y)
 i ∆y

Nach dem Grenz¨ ubergang: du dv w0 = +i dx dx (2) ∆x = 0 ∆y → 0 w0 = lim

∆y→0

w0 =

 u(x, y + ∆y) − u(x, y) i ∆y

1 du dv du dv + = −i + i dy dy dy dy 143

Gleichsetzung der Real- und Imagin¨ arteile von (1) und (2) liefert die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen: du dv dv du = , =− dx dy dx dy Funktionen, die diesen Bedingungen gen¨ ugen, bezeichnet man als analytisch oder regul¨ ar . Sie sind stetig und differenzierbar. Ein einfaches Beispiel ist die Exponentialfunktion:
w = ez = ex+i y = ex ei y = ex cos(y) + i sin(y) = u + i v u = ex cos(y) du = ex cos(y) dx du = −ex sin(y) dy

v = ex sin(y) dv = ex sin(y) dx dv = ex cos(y) dy

Die Funktion w = ez ist analytisch. Aus diesen Gleichungen folgt die Ableitung von ez : d z w0 = e = ez dz Denn es ist w0 =

dv du dv du +i = −i + = ex cos(y) + i ex sin(y) = ez dx dx dy dy

So wie in diesem Fall stimmen auch die Ableitungen der anderen komplexen Funktionen mit ihren reellen Entsprechungen (5.3.1) in der Form u ¨berein. Das sollte auch so sein, denn die reelle Zahlenachse geh¨ ort mit zur komplexen Zahlenebene. Wir notieren hier noch einige Ableitungen von komplexen Funktionen: d c=0 c = const dz d n z = n z n−1 dz d z e = ez dz

144

d dz d dz d dz d dz d dz

9.8

ln(z) =

1 z

sin(z) = cos(z) cos(z) = − sin(z) arcsin(z) = √

1 1 − z2

sinh(z) = cosh(z)

Integrale

Integral und Stammfunktion einer komplexen Funktion f (z) sehen formal genau so aus das Integral einer reellen Funktionen f (x): Z f (z) dz = F (z) + C Die Rolle von x wird nun von der komplexen Variable z = x+iy u ¨bernommen und dx wird zu dz = dx + i dy. Die Integrationskonstante (C) ist ebenfalls ein komplexe Gr¨oße. Zur Bestimmung des Integrals m¨ ussen wir einen Pfad mit den Anfangs- und Endpunkten z1 und z2 in der komplexen Ebene festlegen (Pfadintegral). Z z2 f (z) dz = F (z2 ) + F (z1 ) z1

Wenn f (z) = f (x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) zerlegbar ist, k¨onnen wir auch schreiben Z

Z f (z) dz =

(u(x, y) + i v(x, y)) (dx + i dy) =

Z =

Z

Z u(x, y) dx −

v(x, y) dy + i



Z v(x, y) dx +

u(x, y) dy

Die vier reellen Integrale k¨ onnen wir wie gewohnt berech145

nen. Zum besseren Verst¨ andnis betrachten wir als einfaches Beispiel die Funktion f (z) = z = x + i y = reiϕ und berechnen das Integral zwischen den Punkten z1 = 0 und z2 = 1 + i in verschiedener Weise: (1) Der formale Weg Z z2 z dz = F (z) = +C 2 2 z2 =1+i Z z2 z (1 + i)(1 + i) = Ergebnis: z dz = =i 2 z1 =0 2 z1 Hier haben wir uns nicht um der Integrationspfad gek¨ ummert, sondern in die bekannte Stammfunktion F (z) die Integrationsgrenzen eingesetzt. Im benachbarten Bild ist die komplexen Ebene dargestellt. z1 ist der Ursprung O und z2 der Punkt √ A. Letzterer liegt auf einem Kreis mit dem Radius ρ = 2. (2) Integrationsweg O - B - A Das erste Teilst¨ uck f¨ uhrt l¨ angs der x-Achse vom Ursprung O zum Punkt B bei z1 = 1 + i 0. Von den vier Teilintegralen tragen wegen dy = 0 nur zwei zum Ergebnis bei, n¨amlich Z B Z B Z B f (z) dz = u(x, y) dx + i v(x, y) dx O

O

O

In unserer einfachen Funktion ist u(x, y) = x und v(x, y) = y. Somit sind 146

2 x2 =1 x 1 u(x, y) dx = = 2 x1 =0 2 O Z B Z 1 x2 =1 i v(x, y) dx = iy =0 dx = i y x B

Z

O

weil

y=0

x1 =0

0

Im Teilst¨ uck B − A ist dx = 0. Die Pfadintegrale sind A

2 y2 =1 1 y =− y dx = − 2 y1 =0 2 B Z A Z 1 y2 =1 +i u(x, y) dy = +ix dy = +i x y =i·1 Z

−

B

A

Z Ergebnis:

Z

B

= O

weil

x=1

y1 =0

0

Z

A

+

=

O

B

1 1 − +i=i 2 2

(3) Integrationsweg O - C - A Z A Z C Z A z dz = z(x) dx + z(ϕ) dϕ O

O ρ

Z O-C 0

mit Exponentialform z = r ei ϕ und

C-A ϕ2

Z

C

2 ρ=√2 x x dx = =1 2 0

0

e2 i ϕ dϕ =

0

π Da ϕ2 = , 4 und ρ =

ϕ2

Z

r ei ϕ i r ei ϕ dϕ = i r2

√ 2

i ρ2

⇒

e2 i ϕ2 = ei

⇒

ϕ1 = 0

ϕ2

Z 0

Z

A

Ergebnis:

Z

C

= O

Z

i r2 2 i ϕ e 2i

= i,

e2 i ϕ1 = 1

2 π ρ 4 e2 i ϕ dϕ = e2 i ϕ = i − 1 2 0

A

=1+i−1=i

+ O

π 2

dz = i r ei ϕ dϕ

C

Unser einfaches Beispiel zeigte, dass alle gew¨ahlten Integrationswege zum gleichen Ergebnis f¨ uhrten. Es gilt allgemein: Das Integral von analytischen Funktionen (s. oben) ist unabh¨angig vom Integrationsweg, wenn keine singul¨aren Stel-

147

len auf dem Weg liegen. Das f¨ uhrt uns direkt zu einem Satz von Cauchy: Wenn der Integrationsweg geschlossen ist und das Gebiet innerhalb des Wegs analytisch ist, gilt: I f (z) dz = 0 C

Das besondere Integralzeichen soll den geschlossenen Weg C andeuten. Wir k¨ onnen dieses Gesetz unmittelbar nachpr¨ ufen mit dem Kreisintegral aus dem letzten Beispiel: i ρ2

Z

2πi

0

9.9

2 2 π i ρ e2 i ϕ dϕ = e2 i ϕ =1−1=0 2 0

(ρ =

√

2)

Kausalketten

Am Ende unserer Extra-Tour durch mathematische Welten wollen wir uns noch ein kleines Nebenergebnis aus Kapitel 9.2 ansehen. Aus der Euler’schen Formel folgt mit dem Argument i · π die Beziehung ei·π = −1

oder ei·π + 1 = 0

Hier sind f¨ unf der wichtigsten Zahlen der Mathematik, n¨amlich die reellen Zahlen 0 und 1, die imagin¨are Zahl i, die Kreiszahl π und die Basis e der Exponentialfunktion in einem Ausdruck vereinigt. Wir wollen die Entstehung dieser bemerkenswerten Formel durch folgende Kausalkette nachvollziehen: (1) Kreisfunktionen sin(x), cos(x)

(3.2.1)

(2) Differentialrechnung

(5.2)

(3) Mittelwertsatz, Potenzreihen (4) Taylor-Reihen f¨ ur sin(x), cos(x) und ex (5) komplexes Argument i x in der ex -Reihe

(5.4) (5.4)

148

(6) Euler’sche Identit¨ at eix = cos(x) + i sin(x) (5.5) (7) mit x = π folgt ei·π = −1

(9.9)

Diese Beziehung wurde einmal zum ”sch¨onsten mathematischen Satz” erkoren. Hat sie auch einen praktischen Nutzen? Wir k¨onnen damit z.B. testen, wie genau Taschenrechner oder mathematische Programme sind - wenn sie u ¨berhaupt mit komplexen Zahlen rechnen k¨ onnen, s.10.2. Eine derartige Auflistung der zum Ergebnis f¨ uhrenden Schritte hilft uns sehr beim Verstehen von mathematischen Gesetzen. Allerdings ist das noch keine mathematisch strenge Beweisf¨ uhrung. Dort muss jeder logischen Schritt sorgf¨altig u ¨berpr¨ uft werden. Diese Arbeit wurde von den großen Mathematikern geleistet und nach ihnen von ungez¨ahlten Wissenschaftlern u ¨berpr¨ uft. Unsere Probleme bestehen mehr im Verstehen und der richtigen Anwendung der mathematischen Gesetze und Regeln.

149

Kapitel 10

Beispiele und L¨ osungen 10.1

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichung Rang 2 Zahlenbeispiele zu den in 2.1 bis 2.5 aufgef¨ uhrten Formeln. Es wurden folgende Konstanten gew¨ ahlt: a11 = 1 a21 = −2

a12 = 2 a22 = 2

b1 = 4 b2 = 1

Damit lautet das Gleichungssystem: x1 + 2 x2 = 4 −2 x1 + 2 x2 = 1 Das sind die Gleichungen der in 2.1 dargestellten Geraden. Die L¨osung gibt uns den Schnittpunkt der Geraden: 2·4−2·1 x1 = =1 1 · 2 − (−2) · 2

150

x2 =

2 · 1 − (−2) · 4 3 = 1 · 2 − (−2) · 2 2

Gleichungssystem in Matrix-Schreibweise      x1 1 2 4 = −2 2 x2 1 Determinanten 1 2 = 1 · 2 − 2 · (−2) = 6 D = −2 2 4 2 =4·2−2·1=6 D1 = 1 2 1 4 = 1 · 1 − 4 · (−2) = 9 D2 = −2 1 L¨osung: x1 =

D1 6 = =1 D 6

und x2 =

D2 9 3 = = D 6 2

Rechenregeln f¨ ur Determinanten Zeile und Spalte 1 2 D = −2 2

vertauschen 1 −2 = 2 2

=6

Gemeinsamer Faktor einer Zeile oder Spalte 1 2 1 1 = 2 D = −2 1 = 2 · 3 = 6 −2 2 Zeile oder Spalte mit Faktor multiplizieren 3·1 3·2 1 2 =3· D = −2 2 = 3 · 6 = 18 −2 2 Zeile oder Spalte mit Faktor multiplizieren, zu einer anderen

151

addieren 1 2 =6 D = −2 2 1 2 D = −2 + 2 2 + 4

(obere mal 2, plus zur unteren) 1 2 = 0 6 =6

Produkt von Matrizen und Determinanten m X C=A·B cij = ail blj l=1

 A=  C=

1 −2

2 2



 =6

1·2+2·1 −2 · 2 + 2 · 1

B=

1·3+2·1 −2 · 3 + 2 · 1

a−1 ij

Inverse Matrix, Elemente  A=

A−1

1 −2

2 2



3 1 

E·A=

·

4 −2

=

i+j

= (−1)



2 2

 =

1 0

0 1

Multiplikation mit   der Einheitsmatrix   0 1

= −1 5 −4

1 −2

2 2

=

1 −2



∗ D12 = −2 ∗ D22 =1 −1/3 1 = 1/6 6

 =E

2 2

 =A

Gleichungssystem mit inverser Matrix l¨osen A−1 · A · X = E · X ⇒ X = A−1 · B       x1 1/3 −1/3 4 = · x2 1/3 1/6 1 x1 = 4/3 − 1/3 = 1

und

x2 = 4/3 + 1/6 = 3/2

152

= −6

∗ Dji D

∗ D21 = −2 (−1)1+2 2/6 1/3 = (−1)2+2 1/6 1/3

Produkt A−1 · A    1/3 −1/3 1 · 1/3 1/6 −2 1 0



∗ D11 =2

D=6

(−1)1+1 2/6 = (−1)2+1 2/6

2 1 

Systeme mit Rang ≥ 3 Berechnung einer Determinante mit Rang 3 durch Entwicklung nach der ersten Zeile (2.5). 3 X D3 = (−1)1+j a1j D1j j=1

2 2 3 D = −2 2 4 −3 1 3 −2 2 4 − 2 · D =2· −3 1 3

−2 4 + 3 · −3 3

2 1

D =2·2−2·6+3·4=4

L¨osung durch schrittweises Umformen 1. Schritt: 1. Zeile wird zur 2. addiert 2. Schritt: 1. Zeile multiplizieren mit 3/2, dann addieren zur 3. Zeile 3. Schritt: 2. Zeile wird von der 3. subtrahiert 2 D = 0 −3

2 3 4 7 1 3

2 = 0 0

2 4 4

3 7 7 12

2 = 0 0

2 4 0

3 7 1 2



4. Schritt: Multiplikation der Diagonalglieder D =2·4·

10.2

1 2

=4

Dekadische Logarithmen

Zusammenfassung der Regeln f¨ ur das Rechnen mit dekadischen Logarithmen lg(x), vgl. 3.5: 153

(1) Die zu logarithmierende Zahl x heißt Numerus. x = p · 10z

0 < x ≤ 10

z Ganzzahl

(2) Kennzahl z und Mantisse m lg(x) = lg(p) + lg(10z ) = lg(p) + z lg(x) = z + lg(p) = z + m m = lg(p) ist die Mantisse von lg(x). Sie sind in Logarithmentafeln tabelliert, und zwar ohne f¨ uhrende Dezimalstellen und ohne Dezimalzeichen. Die Mantisse ist die Ziffernfolge hinter dem Dezimalzeichen bei den Logarithmen. So ist lg(3) = 0.4771 und lg(300) = 2.4771, beide haben die gleiche Mantisse m = 4771, aber unterschiedlich Kennzahlen. (3) Vierstellige Mantissen m der Zahlen von 1.0 bis 9.9, berechnet mit der in 3.5 angegebenen Reihe. x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

0000 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542

0414 3222 4914 6128 7076 7853 8513 9085 9590

0792 3424 5051 6232 7160 7924 8573 9138 9638

1139 3617 5185 6335 7243 7993 8633 9191 9685

1461 3802 5315 6435 7324 8062 8692 9243 9731

1761 3979 5441 6532 7404 8129 8751 9294 9777

2041 4150 5563 6628 7482 8195 8808 9345 9823

2304 4314 5682 6721 7559 8261 8865 9395 9868

2553 4472 5798 6812 7634 8325 8921 9445 9912

2788 4624 5911 6902 7709 8388 8976 9494 9956

(4) Arbeiten mit der Logarithmentafel Unsere Logarithmentafel ist im Numerus x nur grob abgestuft: 1.0 - 1.1 - 1.3 - ... Um die Mantissen der dazwischen liegenden Zahlen zu bekommen, m¨ ussen wir interpolieren. Ein Beispiel: gesucht sei die Mantisse m1 von x = 3.33. Wir entnehmen der Tafel:

154

3.3 ··· 3.33 = 3.3 + d ··· 3.4

5185 ··· 5185 + D ··· 5315 = 5185 + 230

Wir erkennen folgendes Verh¨ altnis, mit d = 0.03 d D 0.03 = → D = 230 = 69 → m1 = 5254 0.10 230 0.10 In diesem Fall sind wir ”in die Tafel hineingegangen”. Im anderen Fall ”hinausgehen” suchen wir zum Logarithmus den Numerus. Nehmen wir z.B. lg(x) = 4.4557, s.(7). In der Tafel liegt die Mantisse zwischen 4472 und 4624. Die Kennziffer ist z = 4. 4472 ··· 4557 = 4472 + 85 ··· 4624 = 4472 + 152

2.8 ··· 2.8 + d ··· 2.9 = 2.8 + 0.1

Wir haben nun 85 d 85 = → d = 0.1 = 0.0559 152 0.1 152 d = 2.8 + 0.0559 = 2.8559 Diese Zahl m¨ ussen wir noch mit der Zehnerpotenz der Kennziffer multiplizieren, um das Ergebnis zu erhalten: x = 2.8559 · 104 = 28559 (5) Multiplikation: Addieren der Logarithmen lg(c · d) = lg(c) + lg(d) wegen

c = 10u

↔

v

d = 10

c · d = 10u+v

u = lg(c)

↔

v = lg(d) ↔

155

u + v = lg(c · d)

(6) Division durch Subtrahieren der Logarithmen lg(c · d) = lg(c) − lg(d) (7) Beispiele Multiplizieren und Dividieren Multiplizieren 42 · 680

Dividieren 3700/820

lg(42) = 1.6232 +lg(680) = 2.8325 4.4557 interpoliert zw. 4472 und 4624 → Numerus c · d = 2.8559 104 = 28559 exakte Rechnung 28560

lg(3700) = 3.5682 -lg(820) = 2.9138 0.6544 · · · 6532 u. 6628 → Numerus c/d = 4.513 100 = 4.513 · · · 4.5122

In beiden F¨ allen sind die aus der Tafel interpolierten Werte etwas kleiner als die exakt berechneten. Das hat seinen Grund in der linearen Interpolation zwischen den Mantissen bzw. den Numeri, die Logarithmuskurve dagegen nach oben gew¨olbt ist. Außerdem sind fast alle Logarihmen oder deren Mantissen der Tafel gerundete Werte, weil die Logarithmen transzendente Zahlen sind und beliebig viele Ziffern nach dem Komma (bzw. Punkt) haben. So ist lg(2) nicht 0.3010 wie in der Tafel, sondern 0.301029996... oder noch l¨ anger. Dennoch bekommt man bereits mit einer vierstelligen Tafel erstaunlich genaue Ergebnisse, wie die Beispiele zeigen. (5) Potenzieren mit Logarithmen lg(cd ) = d · lg(c) (6) Radizieren mit Logarithmen √ lg( d c) = 1/d · lg(c) (7) Beispiele Potenzieren und Radizieren

156

Potenzieren 1.82.4 lg(1.82.4 ) = 2.4 · 0.4472 = 0.6127 1.82.4 = 100.6127 = 4.1

√ Radizieren 2.4 4.1 √ 2.4 4.1 = lg(4.1)/2.4 = 0.6128/2.4 = 0.2553 100.2553 = 1.8

(8) Und noch eine Aufgabe: Wie groß ist der Durchmesser der Eisenkugel der Kugelstosser? Das Gewicht der Kugel ist G = 4π 3 7.257 kg. Mit dem Kugelvolumen V = r und der Dichte 3 3 von Schmiedestahl ρ = 7.87 g/cm bekommen wir s 3G 4πr3 ⇒ r= 3 G=ρ·V =ρ· 3 4πρ 3G 3 · 7257 [g] = = 220.1374 [cm3 ] 4πρ 4 π 7, 87 [g/cm3 ] √ 1 1 lg(r) = lg( 3 c) = lg(c) = lg(220.1374) 3 3 2.3427 lg(r) = = 0.7809 ⇒ r = 6.04 [cm] 3 Der Durchmesser der Kugel betr¨ agt 12.08 [cm]. c=

10.3

Vermessungsaufgabe

Anwendung von Trigoniometrie und Geometrie (Kapitel 3.2 und 4.1). Aus der Vielzahl von vermessungstechnischen Aufgaben w¨ahlen wir die Folgende aus. Gesucht ist die Entfernung E zwischen zwei unzug¨ anglichen Punkten P3 und P4 (sumpfiges Gel¨ande, anderes Flussufer). Am diesseitigen Flussufer sind zwei geod¨atische Punkte P1 und P2 mit bekanntem Abstand c. Von diesen aus Punkten aus werden die vier Winkel α1 , β1 , α2 und β2 gemessen, s. Bild. 157

Zur Bestimmung von E bilden wir ein Koordinatensystem: Punkt P1 P2 P3 P4

x 0 x4 x3 x4

y 0 0 y3 y4

Im Dreieck P1 P2 P3 sind die Winkel α1 und β1 und die Seite c duch Messungen bekannt. Mit dem Sinussatz erhalten wir b1 sin(β1 ) sin(β1 ) = = c sin(180◦ − (α1 + β1 )) sin(α1 + β1 ) sin(β2 ) sin(β1 ) und b2 = c · b1 = c · sin(α1 + β1 ) sin(α2 + β2 ) Die unbekannten Koordinaten von P3 und P4 sind dann x3 = b1 · cos(α1 )

und

y3 = b1 · sin(α1 )

x4 = b2 · cos(α2 )

und

y4 = b2 · sin(α2 )

Der gesuchte Abstand von P3 und P4 ist p E = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 Ein Zahlenbeispiel zum nachrechnen: c = 122 m, α1 = 57◦ , β1 = 46◦ , α2 = 15◦ , β2 = 128◦ Ergebnis E = 110.66 m

158

10.4

Flugnavigation

Trigoniometrischen Beziehungen in der Flugnavigation (3.2). ¨ Uber dem Nordatlantik fliegt ein Passagierflugzeug westw¨arts. Es gelangt in ein Starkwindgebiet und muß den Steuerkurs ¨andern, um nicht aus dem angewiesenen Korridor abzudriften. Der Pilot hat folgende Informationen: den einzuhaltenden Kurs k = 255◦ , die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs ve = 400 kts, die Windrichtung ω = 330◦ und die Windst¨arke ws = 100 kts. (Geschwindigkeiten sind in Knoten - 1 kts = 1.852 km/h - angegeben. Der Kurs und die Richtung, woher der Wind kommt, werden u ¨ber N - E - W ◦ ◦ - S in Graden von 0 bis 360 gez¨ ahlt). Diese Situation ist im Winddreieck dargestellt, s. Bild.

Wir berechnen den Luvwinkel λ und Grundgeschwindigkeit vg . Der Winkel am Punkt O ist φ = 180◦ − ω + k = 180◦ − (ω − k) Es ist sin(φ) = sin(180◦ −(ω −k)) = sin(ω −k). Damit lautet der Sinussatz sin(λ) ws sin(λ) = = sin(φ) sin(ω − k) ve Der Luvwinkel λ ist
ws λ = arcsin sin(ω − k) ve Mit den oben gegebenen Zahlen ist λ = +14◦ . Der Pilot muss den Steuerkurs um 14◦ nach rechts vergr¨oßern, um den Weg 159

von A nach B einzuhalten. Zur Berechnung der Geschwindigkeit u ¨ber Grund wenden wir den Kosinussatz (3.2) an. Der dem Vektor vg gegen¨ uber liegende Winkel am Punkt W ist ψ = 180◦ − φ − λ = 180◦ − (180◦ − ω − k) = ω − k − λ Damit lautet der Kosinussatz vg2 = ve2 + ws2 − 2 ve ws cos(ψ) In unserem Beispiel erhalten wir mit dieser Formel vg = 362 kts. Wegen der großen Gegenwindkomponente ist die Geschwindigkeit u ¨ber Grund um etwa 10% geringer als die Fluggeschwindigkeit.

160

10.5

Auf- und Untergang der Sonne

Ekliptik und Sonnenlauf Mit den Formeln der Trigoniometrie (3.2) und der sph¨arischen Trigonimetrie (4.5) sind wir in der Lage, den Auf- und Untergang der Sonne zu berechnen. Daf¨ ur m¨ ussen wir folgendes wissen. Die Erde umrundet die Sonne in einem Jahr auf einer elliptischen Bahn, die Ekliptik genannt wird, s. oberes Bild auf S. 162. In einem Brennpunkt der Ellipse steht die Sonne. Die Erdachse ist zur Bahnebene um  = 23.5◦ geneigt. F¨ ur ihrer Reise um die Sonne ben¨ otigt die Erde 365.2425 Tage, also etwas mehr als die 365 Tage des b¨ urgerlichen Kalenders. Nach vier Jahren ist die Erde auf den Bahnpunkten um eine Tagesreise zur¨ uck. Man setzt deshalb wird ein Schaltjahr 366 Tagen ein. Weitere Feinheiten der Zeitrechnung findet man in astronomischen Fachb¨ uchern. Zeitgleichung Die Excentrizit¨ at, das ist der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt der Ellipse, betr¨ agt bei der Erdbahn nur das 0.0168-fache der großen Halbachse. Die Erdbahn ist also nahezu kreisf¨ormig. Bei genauen Zeitbestimmungen darf man die elliptische Form dennoch nicht vernachl¨ assigen, denn nach dem 2. Kepler’schen Gesetz bewegt sich die Erde in Sonnenn¨ ahe schneller als in Sonnenferne. Wenn wir von der Erde aus den Durchgang eines Fixsterns durch den Ortsmeridian beobachten, werden wir feststellen, dass je nach Jahreszeit die Zeitspanne zwischen zwei Durchg¨angen von 24 Stunden abweicht, und zwar um bis zu 16.4 Minuten am 4. November. Solche Abweichungen nennt man Zeitgleichung. Man muss sie ber¨ ucksichtigen, wenn man z.B. den Zeitpunkt des Sonnenaufgangs genau berechnen will. Die genauen Abweichungen

161

Ekliptik und Himmels¨ aquator.  Schiefe der Ekliptik, PN Himmelspol Nord. F P Fr¨ uhlingspunkt, HP Herbstpunkt, W SW Wintersommerwende, SSW Sommersonnenwende

Jahresverlauf der Zeitgleichung ZG (min) und der Deklination δ (Grad) der Sonne

Astronomisches System und Horizontsystem mit dem nautischen Dreieck PN Z S. S Sonne, ϕ geographische Breite, δ Deklination, z Zenitdistanz, t Tagesbogen, A Azimut

162

sind in astronomischen oder nautischen Jahrb¨ uchern enthalten. F¨ ur programmierte Rechnungen ist es zweckm¨aßig, die tabellarischen Werte in einer vom Datum abh¨ angigen Funktion nachzubilden. Eine passende, vereinfachte Funktion ist 

 2π 4π ZG = 60 0.12 cos (T + 87) − 0.18 sin (T + 10) 365 365 ZG ist die Zeitgleiche in Minuten und T die Zahl der Tage seit Jahresbeginn. Diese Funktion ist auf der Bildseite dargestellt. Zum Vergleich wurden auch Werte aus den erw¨ahnten Tabellen eingezeichnet.

Bezugssysteme Astronomisches Koordinatensystem Verl¨ angert man die Ebene des Erd¨ aquators und Erdachse an eine gedachte Himmelskugel, erh¨ alt man den Himmels¨aquator und die Himmelspole. Die Erdachse und damit auch die Himmelsachse ist gegen die Ebene der Ekliptik um  = 23.5◦ geneigt, s. Abbildung. Die Richtung der Himmelsachse ist raumfest und ¨andert sich auf dem Weg der Erde um die Sonne praktisch nicht (es gibt eine sehr langsame Pr¨ azesion des Nordpols mit einer Periode von etwa 26000 Jahren). Der Himmelsnordpol liegt sehr nahe beim Polarstern (α ursus minor). Die Ebenen von Ekliptik und Himmels¨ aquator schneiden sich auf der Linie vom Fr¨ ulingspunkt zum Herbstpunkt. Wenn die Erde sich in diesen Punkten befindet, ha¨ ben wir Tag- und Nachtgleiche Aquinoktikum, am 21. M¨arz und 23. September. Vom Fr¨ uhlingspunkt aus werden die astronomischen L¨ angengrade von W u ¨ber S nach O gez¨ahlt. Entweder als Stundenkreise (Rektaszension von 0 bis 24 Stunden) oder als Winkelgrade von 0◦ bis 360◦ . Die H¨ ohe eines Sterns (also auch der Sonne) u ¨ber dem Himmels¨ aquator ist die Deklination δ, mit der Z¨ ahlung von 0◦ bis +90◦ auf der n¨ ordlichen und von 0◦ bis -90◦ auf der s¨ udlichen Halbkugel. F¨ ur einen Beobachter auf der Erde ist das astronomische Koordinatensystem st¨andig in Bewegung, es dreht sich in 24 Stunden u ¨ber unsere K¨opfe hinweg. Horizontsystem

163

Zur Orientierung am Sternenhimmel und auch zur Navigation ben¨ otigen wir ein erdfestes System. Es besteht aus der lotrechten Achse vom Beobachter zum Erdmittelpunkt, der Vertikalen. Nach oben verl¨ angert erhalten wir den Zenit, nach unten den Nadir. Die Ebene, die tangential zur Erdoberfl¨ache durch den Beobachtungsort gelegt und zugleich senkrecht zur Vertikalen ist, heißt Horizontebene. Der Vertikalkreis, der durch Zenit und Nadir und zugleich auch durch die Himmelspole geht, ist der Meridian. Seine Schnittpunkte mit dem Horizonkreis sind der Nord- und S¨ udpunkt. Der Winkelabstand eines Sterns von der Horizontlinie nennt man die H¨ ohe und den Winkelabstand seines Vertikalkreises vom S¨ udpunkt das Azimut. Die H¨ ohe des Himmelspols u ¨ber dem Horizont ist zugleich die geographische Breite des Beobachtungsorts. Wenn wir mit einem Sextanten die H¨ohe des Polarsterns bestimmen, haben wir damit auch die geografische Breite unseres Standorts. Das nautische Dreieck F¨ ur astronomische und nautische Berechnungen ist es zweck-m¨aßig, den Ursprung der Horizontebene in den Erdmittelpunkt zu verschieben. Dann haben die Koordinaten des astronomischen Systems und des Horizontsystems den gleichen Ursprung. In dem unteren Figur der Bildseite 162 sind beide Bezugssystem ineinander verschachtelt gezeichnet, und zwar das Horizontsystem in roter und das astronomische System in blauer Farbe. Der Meridian liegt hier in der Zeichenebene und ber¨ uhrt Nordpunkt N, Himmelspol PN , Zenit Z, S¨ udpunkt S, Himmelspol PS , und Nadir Na. In dem Schnittpunkt des Vertikals PN V und des Stundenkreises B PN befindet sich der Stern S. Beim vorliegenden Problem ist das die Sonne. Das sph¨ arische Dreieck PN Z S bezeichnet man als astronomisches oder nautisches Dreieck. Beim Betrachten der Figur beachte man, dass es sich um eine Momentaufnahme handelt, denn beide Bezugssystem drehen sich im Tagesrhythmus um einander. Mit Hilfe des nautischen Dreiecks k¨ onnen wir verschiedene Aufgaben l¨ osen. So k¨ onnen wir berechnen, wie groß die H¨ohe und das Azimut eines Fixsterns zu einem bestimmten Zeitpunkt an unserem Standpunkt sind und ein Fernrohr danach ausrichten. Vor al-

164

lem ist es die Grundlage der f¨ ur die Seefahrt u ¨beraus bedeutsamen astronomischen Navigation. Und es erm¨ oglicht uns, astronomische Ereignisse genau vorher zu sagen, wie die Auf- und Untergangszeiten der Sonne an jedem beliebigen Standort.

Der Tagebogen der Sonne Als Tagebogen bezeichnet man den Bogen, den ein Himmelsk¨orper nach seinem Aufgang im Osten bis zu seinem Untergang im Westen beschreibt. Die gr¨ oßte H¨ ohe u ¨ber dem Horizont ist im Schnittpunkt des Bogens mit dem Meridian des Orts. Mit Hilfe des nautischen Dreiecks berechnen wir nun den Tagebogen der Sonne. Die Seiten des Dreiecks sind (1) PN Z = 90◦ − ϕ

(2) ZS = z

(3) SPN = 90◦ − δ

z ist die Zenitdistanz. Der Winkel am Zenit Z ist 180◦ -A (wobei A das Azimut ist) und am Pol PN finden wir den Stundenwinkel t. Die Deklination δ der Sonne ist wegen der Schiefe der Ekliptik zeitabh¨ angig.
2π δ = 23.44 cos (T + 10) 365 T ist die Anzahl der Tage seit Jahresbeginn. Wir beginnen die Z¨ ahlung jedoch 10 Tage fr¨ uher zur Wintersonnenwende am 21. Dezember. Am 1. Januar ist die Sonne bereits 11 Tagereisen vom Scheitelpunkt der Ekliptik entfernt. Am 21. M¨arz (Tag 81) ist δ = 0, die Sonne wandert durch den Fr¨ uhlingspunkt. δ(T ) liefert uns die Mittagsh¨ ohe M H der Sonne bei gegebener geographischen Breite ϕ. M H = 90◦ − ϕ − δ(T ) Durch die Anwendung des Kosinussatzes der sph¨arischen Trigonometrie (4.5) auf das nautische Dreieck erhalten wir zwei wichtige Beziehungen: (1) cos(δ) = sin(ϕ) cos(z) + cos(ϕ) sin(z) cos(180 − A) Beim Sonnenaufgang ist die Zenitdistanz z = 90◦ und cos(z) = 0. Somit ist

165

sin(δ) cos(ϕ) Das Azimut A wird vom S¨ udpunkt aus gerechnet. In gleicher Distanz vom S¨ udpunkt in westlicher Richtung finden wir die Stelle, wo die Sonne untergeht. Aus dem Nautischen Dreieck entnehmen wir weiterhin, ausgehend vom Pol PN cos(A) = −

(2) cos(z) = sin(ϕ) sin(δ) + cos(ϕ) cos(δ) cos(t) Damit erhalten wir, wieder mit cos(z) = 0, den halben Tagebogen cos(t) = − tan(ϕ) tan(δ) 2 t ist die L¨ ange des Tagebogen im Gradmaß. Die Gradzahl geteilt durch 15 ergibt die Sonnenscheindauer in Stunden (denn 360/15 = 24). Der Sonnenaufgang sr findet statt um sr = (180◦ − t − dl)/15 − ZG Diese Zeit wird folgendermaßen gebildet: Das Datum haben wir bereits zur Berechnung der Zeitgleichung und der Deklination benutzt. Die Sonne steht bei dem Horizontwinkel 180◦ im Meridian. Von diesem Bezugswinkel ziehen wir den halben Tagebogen t ab. Dann ber¨ ucksichtigen wir die Zeitzone lz und die geographische L¨ ange l durch dl = l0 − l. Einige Winkel der Zeitzonen sind l0 = 0 (Weltzeit UTC), l0 = 15◦ (unsere Winterzeit MEZ), l0 = 30◦ (unsere Sommerzeit MESZ) und l0 = −75◦ (New York). Durch Division dieser Gr¨ oßen mit 15 erhalten wir die Zeit in Stunden. Schließlich addieren wir noch den Korrekturwert der Zeitgleichung ZG. In gleicher Weise bekommen wir die die Zeit des Sonnenuntergangs: ss = (180◦ + t − dl)/15 − ZG In programmierter Form ist diese Berechnung in (12.4)) gegeben. Ein Ergebnis als Beispiel: Sonnenaufgang und Sonnenuntergang -----------------------------------Breite 50◦ 54’ Monat 5 L¨ ange 008◦ 48’ Tag 15 Zeitzone 15 Tagezahl 135 ------------------------------------

166

Delta -18.72◦ Mittagsh¨ ohe 57.82◦ ◦ Azimut 59.4 (E) 300.6 (W) Tagebogen 2*114.6◦ Aufgang (h:min) 4:34 Untergang (h:min) 20:06 -----------------------------------Mit diesem Formalismus k¨ onnen wir die Auf- und Untergangszeiten der Sonne an jedem Punkt der Erde berechnen. Die Ungenauigkeit des Ergebnisses betr¨ agt einige Minuten. Man bedenke auch, dass die Sonne in h¨ oheren Breiten einige Minuten ben¨otigt, um unter dem Horizont zu verschwinden. Wenn die Summe ϕ + δ > 90◦ ist, wir uns also oberhalb des Polarkreises befinden, ist die Sonne entweder dauernd unter oder u ¨ber dem Horizont.

10.6

Standardatmosph¨ are

Hilfsmittel: Potenzrechnung (3.2.1) , Logarithmen (3.4) und Integralrechnung (6.1). Eine lehrreiche Anwendung ist die Berechnung der Standardatmosph¨ are der Lufth¨ ulle der Erde. Die Luft ist bekanntlich ein Gasgemisch aus Stickstoff (78 vol-%), Sauerstoff (18 vol-%), Argon (0.5 vol-%) und Spuren von anderen Gasen (Edelgase, CO2). Daneben enth¨ alt die Atmosph¨ are unterschiedliche Anteile an Wasser in allen drei Agregatzust¨ anden und auch feste Schwebstoffe. Luftdruck, Luftdichte und Temperatur der Atmosph¨are ¨andern sich st¨ andig durch das Wettergeschehen. Zur Charakterisierung der aktuellen meteorologischen Beobachtungen hat man die Internationale Standardatmosph¨ are eingef¨ uhrt, deren physikalische Eckdaten in der folgenden Box aufgef¨ uhrt sind. Die Box enth¨alt auch das Gasgesetz, welches wir im folgenden noch ben¨otigen.

167

Internationale Standardatmosh¨ are Erdbeschleunigung g = 9.8066 m/s2 Luftdruck in Meeresh¨ ohe p0 = 101325 P a Luftdichte in Meeresh¨ ohe ρ0 = 1.225 kg/m3 Temperatur in Meeresh¨ ohe t0 = 15 ◦ C Kelvin-Temperatur (+273.15 K) T0 = 288.15 K Temperaturverlauf 0 bis 11 km, lineare Temperaturabnahme γ = −0.0065 grad/m 11 km bis 20 km, isotherm γ = −56.5K 20 bis 32 km, Temperaturzunahme γ = 0.0065 grad/m (Temperaturverlauf f¨ ur trockne Atmosph¨are) Gasgesetz Bei idealen Gasen, und auch bei Luft, besteht ein fester Zusammenhang zwischen Druck p, Dichte ρ und der absoluten Kelvin-Temperatur T [K], gegeben durch die allgemeine Gasgleichung: p = ρ · RL · T RL ist die Gaskonstante, berechnet aus Normbedingungen, also in unserem Fall p0 [P a] = 287.05 RL = ρ0 · T0 [kg/m3 ][grd] Bei konstanter Temperatur T ist das Verh¨altnis von Druck und Dichte konstant (Boyle-Mariott’sches Gesetz).

Die barometrische H¨ ohenformel f¨ ur eine isotherme Atmosph¨ are Die uns umgebende Luft u ¨bt auf die Erdoberfl¨ache einen Schweredruck aus, der durch die Masse der Luft in einer von der Oberfl¨ ache bis in den Weltraum reichenden S¨ aule bestimmt ist. Der

168

Luftdruck nimmt mit zunehmender H¨ ohe ab, jedoch nicht nach einer linearen Funktion, da in einer bestimmten H¨ohe h die jeweils dar¨ uber liegenden Lufts¨ aule die darunter liegende S¨aule zusammendr¨ uckt, s. Bild.

h0 und p0 sind H¨ ohe und Druck am Erdboden. In Meeresh¨ohe ist h0 = 0. Wir bestimmen nun die Funktion p = p(h) zur Abnahme des Druckes, und zwar vorerst in einer isothermen Atmosph¨are mit der konstanten Temperatur T = T0 = 288.15 K. F¨ ur geringe Schichtdicken dh kann man eine lineare Druckabnahme dp annehmen: dp = −ρ · g · dh Durch die allgemeine Gasgleichung f¨ uhren wir u ¨ber die Dichte ρ den Druck p ein: p ρ= RL T0 g und erhalten dp = − · p · dh RL T0 Den Kehrwert der konstanten Gr¨ oßen auf der rechten Seite wird zusammengefasst zu

169

h1 =

RL T0 = 8434.55m g

mit der L¨ angendimension [m] (nachpr¨ ufen!. Nebenbei: eine S¨aule mit einem inkompressiblen Medium der Dichte ρ = 1.225 kg m3 , einem Querschnitt von 1 m2 und der H¨ ohe h1 w¨ urde auf der Erdoberfl¨ ache einen Druck von 101325 P a aus¨ uben.) In der Zusammenfassung erhalten wir f¨ ur die Abh¨angigkeit des Drucks von der H¨ ohe folgende Differenzialgleichung dp 1 = − · dh p h1 Wir integrieren die linke Seite von p0 bis p und die rechte Seite von h0 bis h : Z h Z p 1 dp =− · dh h1 h0 =0 p0 p ln p − ln p0 = ln  p = p0 exp −

p 1 =− ·h p0 h0 

h h1

Dies ist die barometrische H¨ ohenformel f¨ ur eine isotherme Atmosph¨ are, n¨ amlich f¨ ur die konstante Temperatur t = 15 ◦ C. Die H¨ ohe h1/2 , in der der am Boden herrschende Druck auf die H¨alfte zur¨ uckgegangen ist, berechnet sich wie folgt:   h1/2 1 p = = exp − p0 2 h1 h1/2 =

ln 2 h1

Einsetzen der Standardwerte ergibt: h1/2 =

101325 P a 0.6931 = 5846 m 1.225 kg/m3 9.8066 m/2

Da in der Natur die Temperatur mit der H¨ohe abnimmt, erhalten wir hier einen Wert, der etwas zu groß ist. Im n¨achsten Abschnitt ber¨ ucksichtigen wir auch die Temperatur.

170

H¨ ohenformel mit variabler Temperatur Betrachten wir zun¨ achst die Temperatur. In der Standardatmosph¨ are (s. Box) sind folgende Abh¨ angigkeiten definiert: (a) 0 bis 11 km, lineare Temperaturabnahme γ = −0.0065 grad/m (b) 11 km bis 20 km, isotherm (konstant) t = −56.5 ◦ C (216.65 K) (c) 20 bis 32 km, Temperaturzunahme γ = +0.0065 grad/m In Meeresh¨ ohe ist die Temperatur 15◦ C oder in absoluten KelvinGrades T0 = 273.15 + 15 = 288.15 [K]. Im Bereich von 0 bis 11 km ist daher γ T (h) = T0 − γ h = T0 (1 − h) T0 oder als relative Gr¨ oße T (h)/T0 geschrieben T (h) γ = (1 − h) T0 T0 Die Druckabh¨ angigkeit bekommen wir wieder durch den Ansatz dp = −ρ · g · dh Die allgemeine Gasgleichung liefert uns wie oben ρ = p/(RL · T ) T = T (h) ist nun die definierte Abh¨ angkeit der Temperatur von der H¨ ohe h. Die Differenzialgleichung lautet nun dp −g −g dh = dh = p RL · T (h) RL · T0 (1 − (γ/T0 ) h) Die Integrationsgrenzen sind wiederum auf der linken Seite p0 bis p und rechts h0 = 0 bis h. Z h Z p dp −g dh = γ p R · T (1 − L 0 p0 0 T0 h) Das links stehende Integral kennen wir bereits. Das rechte Integral hat die Stammfunktion (6.6 )

171

Z

dx 1 = ln(ax + b) ax + b a

Im vorliegenden Fall mit a = −γ/T0 und b = 1 bekommen wir ln

γ p g T0 γ ln(1 − = h) = κ · ln(1 − h) p0 RL · T0 γ T0 T0

Dabei ist die Konstante Kappa κ g = 5.2559 κ= RL · γ Da ex ln(a) = ax ist, erhalten wir mit a = (1 −

γ T0

h)

p(h) γ = (1 − h)κ p0 T0 Eine ¨ ahnliche Formel gilt f¨ ur die Luftdichte. Wir dividieren die Gasgleichung ρ = p/(RL · T ) durch ρ0 = p0 /(RL · T0 ) und erhalten p(h) T0 1 ρ(h) = = (T0 − γ h)κ · ρ0 p0 T (h) (T0 − γ h) ρ(h) p(h) = · (T0 − γ h)κ−1 ρ0 p0 Die drei Funktionen T (h), p(h) und ρ(h) haben wir in Relation zu den Standardwerten gesetzt. Das erm¨ oglicht uns die Darstellung von Temperatur, Druck und Dichte in einem gemeinsamen Diagramm, s. Bild. Der H¨ ohenbereich von 0 bis 11 km ist die wetterbestimmende Troposph¨ are. In den H¨ ohen h1/2 = 5478 m und h1/2 = 6632 m sind Druck und Dichte auf die H¨alfte der am Boden geltenden Werte zur¨ uckgegangen.

172

F¨ ur die oberhalb der Troposph¨ are liegende Stratosph¨are (Linie a - b im Bild) von 11 bis 20 km wurde ein isothermer Zustand mit T = −65◦ C festgelegt. Dar¨ uber kommen Bereiche mit besonderen physikalischen Eigent¨ umlichkeiten, die wir hier nicht besprechen wollen. Ausgew¨ ahlte Werte der Standardatmosph¨ are _______________________________________ h T p rho [m] [K] [Pa] [kg/m^3] 0 288.15 101325 1.225 2000 275.15 79495 1.006 5000 255.65 54019 0.736 8000 236.15 35599 0.525 11000 216.65 22631 0.364 20000 216.65 5475 0.088 _______________________________________

Bild und Tabelle wurden mit dem in (12.5) abgedruckten Programm berechnet.

173

Kapitel 11

PC-Programme I Mechanische Rechenhilfen zur L¨ osung von mathematischen Aufgaben gab es schon im Altertum, so auch den Abakus. Dieses Ger¨at mit verschiebbaren Steinchen oder aufgef¨ adelten K¨ ugelchen wurde bis in die Neuzeit zum Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren benutzt. Ein anderes mechanisches Ger¨ at ist der Rechenschieber , der bald nach dem Bekanntwerden der logarithmischen Rechenverfahren entstanden ist.

Mit einem Rechenschieber von etwa 30 cm L¨ange (s. Bild) k¨onnen Multiplikationen, Divisionen und Potenzrechnungen mit beliebigen Exponenten ausgef¨ uhrt werden. Die Genauigkeit (einige Prozente) ist ausreichend f¨ ur viele Aufgaben in Naturwissenschaft und Technik. Heute sind f¨ ur schnelle Kalkulationen die Rechenschieber fast vollst¨ andig durch programmierbare Taschenrechner aus der Praxis verdr¨ angt worden. Besonders bew¨ahrt haben sich Modelle, die mit der sog. umgekehrten polnischen Notation bedient

174

und programmiert werden. Um die Probleme und Aufgaben dieses Buches besser zu verstehen, ist es hilfreich, sie mit einem PC nachzuarbeiten. Dazu ben¨ otigen wir entweder eine Programmiersprache oder ein spezielles Mathematikprogramm. Von beiden gibt es zahlreiche Varianten, deren Beschreibungen und Bezugsquellen man leicht in Internet finden kann. Um typische Unterschiede zu erkennen, sehen wir uns hier zwei Beispiele zur Berechnung von Determinanten an, n¨ amlich mit der Programmiersprache C++ [7] und mit der Mathematikprogramm EULER [9]. Dar¨ uber hinaus besprechen wir mit GNUPLOT noch ein spezielles Programm zur grafischen Darstellung von mathematischen Ergebnissen. Alle Tools sind im Internet frei zug¨ anglich.

11.1

Determinanten berechnen mit C++

C++ ist eine m¨ achtige Programmiersprache, die unter vielen Betriebssystemen wie WINDOWS, LINUX oder UNIX eingesetzt werden kann. Ein kleines Beispiel f¨ ur die L¨osung mathematischer Aufgaben mit C++ ist das folgende C++ Programm f¨ ur die Berechnung von Determinanten. Die Programmliste zeigt die in Abschnitt 2.5 besprochene Strategie. Kommentare sind in der Zeichenfolge / ∗ ... ∗ / enthalten. Die Matrixelemente aij sind auch im Programm mit den entsprechenden Ganzzahlen (Integer int) indiziert. det ist der Wert der Determinante mit dem Rang n. Programmliste /* C++-Programm zur Berechnung von Determinanten */ #include int i,j,k,l,n=3; /* Indizes */ float q, det; float a[3][3]={2,2,3,-2,2,4,-3,1,3}; /* Elemente */ int main(void) { printf("\nArray und Wert der Determinante\n\n"); printf("\nn=%i\n\n",n); for(i=0;i set grid lt 1 > plot [-3:5][-3:6] -2-x+x**2, 4-2*x-0.5*x**2+0.3333*x**3 >

178

Diese beiden Kommandozeilen generieren das nebenstehende Bild. Es zeigt noch einmal die im letzten Abschnitt berechneten Polynome. GNUPLOT ist ein Open-Source-Modul und steht kostenlos im Internet zur Verf¨ ugung [8].

179

Kapitel 12

PC-Programme II In diesem letzten Kapitel sind einige Scripte von EULER-Programmen der im Buch behandelten Probleme zusammengestellt.

12.1

Funktionenplotter

Mit einem kleinen EULER-Programm k¨ onnen wir uns beim Lesen ¨ von mathematischer Literatur rasch einen Uberblick u ¨ber Kurvenverl¨ aufe von Funktionen verschaffen. Es hat folgende Schritte: Eckpunkte des Koordinatengitters festlegen, Gitter zeichnen und die Funktion plotten. function fplott reset; xy=[-2,4,-2,4]; ..Gitter xa,xe,ya,ye x=knetz(xy); ..Koordinatennetz .. hier die Funktionen angeben y=x; plot(x,y); y=exp(x); plot(x,y); y=10^x; plot(x,y); x=abs(x); y=log(x); plot(x,y); ..nur x>=0 y=log10(x); plot(x,y); return ""; endfunction

180

function knetz(xy) ..Grafikbefehle clg; hold on; setplot(xy); xplot; plot([xy[1],xy[2]],[0,0]); plot([0,0],[xy[3],xy[4]]); x=linspace(xy[1],xy[2],100); ..100 x-Werte von xa bis xe return x; endfunction

Nach dem Start von fplott sehen wir folgendes Bild:

Auf Beschriftungen und grafische Hervorhebungen wurde verzichtet.

12.2

Polynom durch gegebene Punkte

Die Parameter der im Bild von Abschnitt 2.6 dargestellten Polynome wurden mit dem folgenden EULER-Programm berechnet. function polynom4 "x" x= [0, 2, -2, -3] ..x= [0, 2, 3] "y" y=[4 ,2/3,10/3,-7/2] ..y= [-2,0,4] "r" r=cols(x) {a}=elemente(r,x); "a" a

..Vektor x-Koordinaten ..Rang 3 ..Vektor y-Koordinaten ..Rang 3 ..Rang ..Matrixelemente

181

"inv(a)" inv(a) "c=inv(a).y’" c=inv(a).y’ ..grafik(r,c,x,y); return ""; endfunction

.. inverse Matrix ..c-Vektor ..Grafik

function elemente(r,x) ..Matrix wird aufgestellt a=ones([r,r]); .. Matrix Rang r gef¨ ullt mit Einsen for i=1 to r; .. i Zeilen for j=2 to r; .. j Spalten a[i,j]=x[i]^(j-1); ..Elemente end; end; return a; ..R¨ uckgabe Matrix a endfunction

Das Hauptprogramm ist function polynom4. Die 4 St¨ utzstellen werden als Vektoren x und y eingegeben. Die Elemente der Matrix a werden im Unterprogamm function elemente(r,x) berechnet. In function polynom4 erhalten wir die inverse Matrix und schließlich die Koeffizienten des Polynoms (Vektor c ). Das Ergebnis f¨ ur den kubischen Fall ist: >polynom4 x y Rang Matrix a

0 4 4 1 1 1 1 inv(a) 1 0.333333 -0.25 -0.0833333

2 0.666667

-2 3.33333

0 2 -2 -3 0 0.15 0.125 0.025

0 4 4 9 0 -0.75 0.125 0.125

c=inv(a).y’

4 -2 -0.5 0.333333

182

-3 -3.5 0 8 -8 -27 0 0.266667 0 -0.0666667

Das gesuchte Polynom durch die gegebenen St¨ utzstellen lautet 1 1 y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 = 4 − 2 x − x2 + x3 2 3

12.3

Großkreisnavigation

Berechnung des Beispiels von 4.5.2 mit EULER: function grkrsKurse "Erdradius" R=6371 phi1=40.40; lambda1=-3.68; ..Madrid phi2=51.28; lambda2=6.76; ..D¨ usseldorf dl=(lambda2- lambda1)◦ "Madrid - D¨ usseldorf (gg.dd)" phi1 | lambda1 | phi2 | lambda2 "Entfernung (km)" c=sin(phi1◦ )*sin(phi2◦ )+cos(phi1◦ )*cos(phi2◦ )*cos(dl); R*acos(c) "Kurs k1" k=cos(phi2◦ )*sin(dl)/sqrt(1-c^2); k1=deg(asin(k)) "Kurs k2" k=cos(phi1◦ )*sin(dl)/sqrt(1-c^2); k2=deg(asin(k)) return ""; endfunction

183

12.4

Berechnung Sonnenlauf

Siehe Kapitel 10.5 (1) Eingabe von Monat, Tag und Zeitzone ⇒ Tagzahl T (2) Eingabe von Breiten- und L¨ angengrad 

 2π 4π (3) ZG = 0.12 cos (T + 87) − 0.18 sin (T + 10) 365 365
2π (4) Deklination δ = 23.44 cos (T + 10) 365 (5) Mittagsh¨ ohe M H = 90◦ − ϕ − δ(T ) sin(δ) (6) Azimute cos(A) = − cos(ϕ) (7) Tagesbogen cos(t) = − tan(ϕ) tan(δ) (8) Auf- und Untergangszeit sr = (180◦ − t − dl)/15 − ZG ss = (180◦ + t − dl)/15 − ZG function sunset goodformat(8,4); mo=5; ta=15; "Monat Tag" mo | ta "Tagezahl" T=tage(mo,ta) "Zeitzone" l0=15 ..Sommerzeit b=50; bm=54; bs=0 "Breite gg, mm, ss " b|bm|bs l=008; lm=48; ls=0; "L¨ ange ggg, mm, ss" l|lm|ls bms=rad(b,bm,bs); lms=rad(l,lm,ls); bd=deg(bms); ld=deg(lms); "Breite L¨ ange dezimal" bd | ld dl=l0-l; ZG=0.12*cos(2*pi*(T+87)/365); ..Zeitgleichung ZG=ZG-0.18*sin(4*pi*(T+10)/365); delta=23.44*cos(2*pi*(T+10)/365); ..Deklination "delta" delta az=-sin(delta◦ )/cos(b◦ ); ..Azimut if abs(az) >1; "Polarregion" return ""; end endif;

184

"Mittagsh¨ ohe" MH=90-b-delta "Azimute" ..delta◦ | b◦ az=acos(-sin(delta◦ )/cos(b◦ )); az=deg(az); az | 360-az "Tagebogen und Tagesl¨ ange" TB=tan(b◦ )*tan(delta◦ ); TB=acos(TB); 2*deg(TB) | 2*deg(TB)/15 kf=0.12; sr=(180-deg(TB)+dl)/15-ZG-kf; sr=dec2hr(sr); sr=round(sr,2); ss=(180+deg(TB)+dl)/15-ZG+kf; ss=dec2hr(ss); ss=round(ss,2); "Sunrize Sunset (hh.min)" sr | ss return ""; endfunction function tage(mo,ta) dm=[31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31]; T=0; for i=1 to mo-1; T=T+dm[i]; end; T=T+ta; return T; endfunction function dec2hr(x) vz=sign(x); xa=floor(abs(vz*x)); hm=xa+0.6*(vz*x-xa); hm=vz*hm; return hm endfunction

Das Ergebnis einer Berechnung wurde bereits in 10.5 gezeigt.

12.5

Standardatmosph¨ are

EULER-Script, s. Kapitel 10.6 function atmosph goodformat(12,5);

185

p0=101325; printf("p0 =%8.0f",p0) t0=15; printf("t0 =%8.0f",t0) T0=288.15; printf("T0 =%8.2f",T0) rho0=1.225; printf("rho0 =%6.3f",rho0) ga=0.0065; printf("ga = %7.4f",ga) g=9.8066; printf("g = %8.4f",g) RL=287.05; printf("RL= %8.4f",RL) "kappa=g/(RL*ga)"; kappa=g/(RL*ga); printf("kappa = %4.3f",kappa) printf("------------------------------------------------- %1",0) printf("polytrope Atmsph¨ are %1",0) h=linspace(0,11000,11); T=T0*(1-ga/T0*h); p=p0*(1-ga/T0*h)^kappa; ..halb=T0/ga*(1-0.5^(1/kappa)); ..rhohalb=T0/ga*(1-0.5^(1/(kappa-1))); rho=rho0*(1-ga/T0*h)^(kappa-1); printf(" h[m] T[K] p[Pa] rho[kg/m^3]%1",0) h’ | T’ | p’ | rho’ printf("isotherm gamma=0 T=216.65%1",0) hh=linspace(11000,20000,9); TT=216.65*hh/hh; p11=22632; rho11=0.3639; pp=p11*exp(-rho11*g/p11*(hh-11000)); rr=pp/(RL*216.65); hh’ | TT’ | pp’ | rr’ printf("------------------------------------------------- %1",0) return "" endfunction

Ergebnisse und Abbildung s. 10.6

12.6

Fehlerrechnung

12.6.1

Fehler GPS-Position

EULER-Script, s. Kapitel 8.1.1 function fehlerGPS

186

Bm=[25.480,25.480,25.483,25.481,25.479,25.478,_ 25.477,25.482,25.481,25.484]; Lm=[58.643,58.643,58.639,58.640,58.642,58.644,_ 58.644,58.645,58.644,58.643]; n=cols(Bm) ..Zahl der Daten " B=51◦ +Bm (min) L=006◦ +Lm (min)" Bm’ | Lm’ "Mittelwerte (min)" ..Bm Lm Minuten meanB=sum(Bm)/n ..Mittelwerte meanL=sum(Lm)/n "mittlere Fehler (min)" sigB=sqrt(sum((Bm-meanB)^2)/n) ..mittlere Fehler sigL=sqrt(sum((Lm-meanL)^2)/n) "Fehler in Meter" sigB*1.852*10^3 ..Fehler in Meter sigL*1.852*cos(51.4◦ )*10^3 return ""; endfunction

12.6.2

Lineare Ausdehnung

EULER-Script, s. Kapitel 8.1.2 function linAusd T=[22,41,62,79,99.5,120.3,139.9,160.2,179.5,199.8,221]; ddl=[.31,.34,.446,.433,.51,.56,.677,.759,.711,.83,.85]; n=cols(T); ..T (◦ C) ddl L¨ angenzunahme (mm) "Stabl¨ ange" d0=200 T’ | d0+(ddl)’ {c}=LSfit(T,d0+ddl,n); "alpha" c[1]/(d0+ddl[1]) graph(n,T,d0,ddl,c); return "" endfunction function LSfit(x,y,n) ..least square fit f¨ ur Gerade xx=x; xy=x; w=x; ..Vektorger¨ ust for i=1 to n; xx[i]=x[i]*x[i]; end; for i=1 to n xy[i]=x[i]*x[i]; end; m = [1,2;3,4]; m[2,2]=n; m[1,2]=sum(x); m[2,1]=m[1,2]; m[1,1]=sum(xx);

187

..Summe v^2 ..Summe v^3 ..Martixger¨ ust ..Matrixelemente

"Matrix m" m ..vollst¨ andige Matrix ww=[1,2]; ..Vektorger¨ ust ww[2]=sum(y); for i=1 to n; w[i]=y[i]*x[i]; end; ..Summe yv ww[1]=sum(w); ..Summe yvv c=m\ww’; ..L¨ osung des Gleichungssystems "Vektor c" c[1] | c[2] return c; ..R¨ uckgabe c-Vektor endfunction function graph(n,T,d0,ddl,c) . Graphik f¨ ur linAusd reset; clg; hold on; setplot(0,250,200,201); x=[50,100,150,200]; y=[200.2,200.4,200.6,200.8]; xgrid(x,1); ygrid(y,1); markerstyle("."); markersize(10); linewidth(12); for i=1 to n step 1; mark(T(i),d0+ddl(i)); end; r=linspace(10,240,10); s=c[1]*r+c[2]; linewidth(2); plot(r,s); linewidth(1); return "" endfunction

Ergebnisse und Abbildung s. 8.1.2

12.6.3

Anpassung einer Parabel

EULER-Script, s. Kapitel 8.1.3 function paraLSfit x=[0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4]; y=[2.9,1.9,1.7,0.9,0.8,1.2,1.4,2.3,3.2]; n=cols(x) "Punkte" x’ | y’ c=LSfit(x,-y,n); ..Aufruf L(east)S(quare)fitt, c-Vektor "c" c graphLSfitPar(n,x,y,c) return ""; endfunction function LSfit(vm,y,n) v=vm;

..least square fit Parabel ..v in km/h -> m/s

188

x=linspace(1,n,n-1); ..Vektorger¨ ust vv=x; vvv=x; vvvv=x; w=x; for i=1 to n; vv[i]=v[i]*v[i]; end; ..Summe v^2 for i=1 to n; vvv[i]=v[i]*v[i]*v[i]; end; ..Summe v^3 for i=1 to n; vvvv[i]=v[i]*v[i]*v[i]*v[i]; end; ..v^4 m = [1,2,3;4,5,6;7,8,9]; ..Martixger¨ ust m[3,3]=n; ..Matrixelemente m[3,2]=sum(v); m[2,3]=m[3,2]; m[3,1]=sum(vv); m[1,3]=m[3,1]; m[2,2]=m[3,1]; m[1,2]=sum(vvv); m[2,1]=m[1,2]; m[1,1]=sum(vvvv); "Matrix m" m ..vollst¨ andige Matrix ww=[1,2,3]; ..Vektorger¨ ust ww[3]=sum(-y); ..Summe y for i=1 to 12; w[i]=-y[i]*v[i]; end; ..Summe yv ww[2]=sum(w); ..Summe yvv for i=1 to 12; w[i]=-y[i]*v[i]*v[i]; end; ww[1]=sum(w); c=m\ww’; ..L¨ osung des Gleichungssystems "Vektor c" c[1] | c[2] | c[3] return c; ..R¨ uckgabe c-Vektor endfunction function graphLSfitPar(n,x,y,c) reset; resetcolors(); clg; hold on; setplot(-0.5,4.5,-0.5,4.5); .. xplot; linewidth(1); plot([0,0],[-8,8]); plot([-8,8],[0,0]); linewidth(1); markerstyle("."); markersize(10); linewidth(8); for i=1 to n; mark(x[i], y[i]); end; linewidth(1); vx=linspace(-1,5,100); ..Vektor f¨ ur Parabelzeichung yx=c[1]*(vx)^2+c[2]*(vx)+c[3]; ..Parabel berechnen plot(vx,yx); ..Parabel zeichnen xm=-0.5*c[2]/c[1] ym=c[1]*xm^2+c[2]*xm+c[3] return ""; endfunction

Ergebnisse und Abbildung s. 8.1.3 189

12.6.4

Str¨ omung um einen Zylinder

EULER-Script, s. Kapitel 9.5 function zylstrom .. Stromlinien um Zylinder r=1 clg; hold on; setplot(-6,6,-6,6); for v=-6 to 6 step 0.6; .. 31 Stromlinien rmin=abs(v)/2+sqrt(v^2/4+1)+0.00001; r=rmin:0.002:9; .. Vektoren r sphi=v*r/(r^2-1); .. und sin(phi) y=r*sphi; x=r*sqrt(1-sphi^2); w=x+1i*y; cplot(w); cplot(-w); end; phi=linspace(0.0000001,2*pi,180); ek=exp(phi*1i); .. Kreis r=1 linewidth(2); cplot(ek); linewidth(1); hold off; return "" endfunction

Ergebnisse und Abbildung s. 9.5

190

Literaturverzeichnis [1] v. Mangoldt, H., Knopp, K.: Eine Einf¨ uhrung in die h¨ohere Mathematik. S. Hirzel Verlagsgesellschaft Stuttgart 1990 [2] Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs. Verlag Harry Deutsch Thun Frankfurrt/M. 1979 [3] St¨ocker, H.:Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. Verlag Harry Deutsch Frankfurrt/M. Thun 1999 [4] Bronstein I., Semendjajew K.A.: Taschenbuch der Mathematik , Leipzig 1958. [5] Spiegel, M. R.: Theory and problems of complex variables. Schaum Publishing New York 1964 [6] Jahnke E., Emde F.: Tables of Functions, Nachdruck Dover Publications, New York 1945 [7] Open Source DJGPP http://www.delorie.com/djgpp/ [8] Open Source GNUPLOT: http://www.gnuplot.info/ Philipp K. Janert: Gnuplot in Action - Understanding Data with Graphs. Manning Publications Greenwich 2010 191

[9] Mathematikprogramm von http://eumat.sourceforge.net/

R.

Grothmann:

[10] Ian Steward: Meilensteine der Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2010 [11] K. Mainzer: Geschichte der Geometrie. Bibliographisches Institut Mannheim/Wien/Z¨ urich 1980 Ende Literaturverzeichnis

192

Index Ableitung Differentialrechnung, 69 Ableitungsregeln, 72 Additionstheorem, 40 Arithmetik, 13 arithmetisches Mittel, 115 Ausgleichsgerade, 119

Dreieck, 50 - allgemeines-, 51 - rechtwinkliges-, 50

Ellipse, 57, 132 - Brennpunkt, 57 - Fl¨ache, 58 - Hauptachsenbarometrische H¨ ohenformel, 168 gleichung, 58 Basis, 11, 45 - Parameterdarstellung, 58 Bogenmaß, 37 - numerische Cauchy- Satz von, 148 Exzentrizit¨at, 57 Cauchy-Riemann Eulersche Identit¨at, 81 DifferenzialEulersche Zahl, 14, 16, 45 gleichungen, 144 Exponentialfunktion, 45, 107 Computerzahlen, 12 Fakult¨ at, 13 cos(x), 31, 37 Fehlerrechnung, 114, 186 cot(x), 39 Flugnavigation, 159 Determinante, 22, 175 Fourier-Reihe, 121 Differentialgleichung, 106 Funktion, 34 Differentialrechnung, 67 - Analyse, 67 Differenzenquotient, 69 - Exponential-, 35 Differenzialquotient, 70 - Kosinus, 36 Diskriminante, 13 - Potenz, 43 193

- bestimmtes, 90 - unbestimmtes, 88 Integralrechung, 86 Integration - Regeln, 91 - nummerisch, 98

- Potenz-, 35 - Sinus, 36 - Tangens, 36 - trigoniometrische, 35 - zyklometrisch, 42 Funktionalgleichung, 47 Funktionenplotter, 180 Funktionsgraph, 35 Funktionstafel, 36, 40 Gasgleichung, 168 Gauß - Zahlenebene, 125 - kleinste Quadrate, 115 geographisches Koordinatensystem, 64 Geometrie, 50 Gradmaß, 37 Grenzwerte, 14 Großkreisnavigation, 183 Hyperbel, 59, 133 - Brennpunkt, 59 - Funktionen, 83, 100 - Hauptachsengleichung, 59 - konjugierte-, 59 -gleichseitige, 59 imagin¨are Einheit, 10 Integral - Grundfunktionen, 90 - Mehrfach-, 102

Kegelvolumen, 104 Kennzahl, 154 kleinste Quadrate, 114 Komplexe Funktion, 128 - Darstellung, 128 - Differenzial, 143 - Integral, 145 - Joukowski-, 137 - Pfadintegral, 145 - Reliefdarstellung, 136 - analytisch, 144 - konforme Abb., 134 - regul¨ar, 144 Komplexe Zahl, 125 - Absolutbetrag, 126 - Argument, 126 - Rechenregeln, 127 - algebraisch, 126 - exponentiell, 126 - konjugiert, 126 - trigoniometrisch, 126 konforme Abbildung, 134 Konstante, 13 Konvergenz, 15 Koordinaten, 35 - Polar-, 35, 102 - Zylinder-, 103

194

- astronomische, 164 - geographische, 64 - kartesische, 35 - sph¨arische-, 36 -kartesisch, 31 Koordinatensystem, 31 Kosinussatz, 51 Kreis, 53, 131 - Fl¨ache, 53 - Gerade, 53 - Gleichung, 53 - Umfang, 53 - Zahl, 53 Kreisgleichung, 51 Kreiszahl pi, 16

Moivre, Formeln von, 128 Newton - Tr¨agheitsgesetz, 108 - zeitl. Ableitung, 110 Numerus, 154

Parabel, 188 PC-Programme, 175 - C++, 175 - EULER, 177 - GNUPLOT, 178 Polynom, 28, 119, 181 Potentiallinie, 140 Potenzen, 43 - Funktionen, 43 - rechnen mit, 43 least square fit, 119 Ptolom¨ aus lineare Ausdehnung, 117, 187 -Satz von, 56 lineare Gleichung, 13, 19, 150 Pythagoras, 50 Logarithmentafel, 154 Logarithmus, 46 quadratische Gleichung, 13 - Kennzahl, 154 - Mantisse, 154 Rechenschieber, 174 - Modul, 48 Reihe, 15 - Numerus, 154 - Fourier, 121 - dekadischer, 47, 153 - Leibnitz, 123 - nat¨ urlicher, 46 - endliche, 15 - unendliche, 15 Mantisse, 154 Matrix, 21 Schwingung, 110 - Einheits-, 24 - ged¨ampft, 112 - inverse, 24 - harmonisch, 110 Mittelwertsatz, 76 Sehnensatz, 54 Modulus, 13 Sehnenviereck, 55 195

Sekantenensatz, 55 sin(x), 31, 37 Sinusreihe, 79 Sinussatz, 51 Skalar, 16 Skalarprodukt, 17 Sonnenlauf, 161, 184 - Ekliptik, 161 - Horizontsystem, 164 - Tagebogen, 165 - Zeitgleichung, 161, 163 - nautisches Dreieck, 162 sph¨arische Trigonometrie, 61 - Dreieck, 61 - Entfernung, 65 - Kosinussatz, 62 - Kurs, 65 - Sinussatz, 62 Stammfunktion, 88 Standardatmosph¨ are, 167, 185 - barometrische H¨ohenformel, 171 Stromlinie, 138, 190

Vektor, 16, 22 Vektoranalysis, 16 Vektorprodukt, 17 Winkelmessung, 37 Zahlen, 9 - Integer, 9 - ganze, 9 - irrationale, 9 - komplexe, 10 - nat¨ urliche, 9 - rationale, 9 - reelle, 10 Zahlenfolgen, 14 Zahlengerade, 10 Zahlenssystem, 11 - dezimal, 11 Zahlensystem - bin¨ar, 11 - hexagesimal, 11 - oktal, 11 Zahlenvektor, 17

tan(x), 37, 39 Taylor-Reihe, 77 Thales -Satz von, 54 Umkehrfunktion, 35, 42 Variable, 13, 125 Varianz, 115 196