Wydział PPT; kierunek: Inż. Biomedyczna. Lista nr 12 do kursu Fizyka. Rok. ak. 2014/15 Studentka/student jest zobligowana/y do przynoszenia na zajęcia portfolio, w którym powinny znaleźć się: wydrukowane tabele wzorów fizycznych i matematycznych, notatki z wykładów, wszystkie listy zadań itp. Lista nr 12 ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących II zasady termodynamiki fenomenologicznej i elementów termodynamiki statystycznej z wykorzystaniem dotychczas zdobytych kompetencji. Zadania nie rozwiązane na zajęciach lub krótko omówione mogą być treściami sprawdzianów.

87. Poprawny wzór określający bezwzględną wartość entropii n moli gazu doskonałego o temperaturze T zajmującego objętość V zadaje wzór

, ,

=

ln +

ln

+

, gdzie

– ciepło molowe przy stałej objętości, a S0 – stała wartość entropii 3

w temperaturze zera bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak

zmieni się entropia tego gazu, gdy naczynie to podzielimy na dwie równe co do objętości części? B) Naczynie o objętości 4 dm3 podzielona przegrodą na dwie równe co do objętości części. W jednej z nich znajdują się 2 mole a w drugiej 3 mole tlenu; temperatury gazów są takie same. Jak zmieni się entropia układu, gdy przegroda zostanie usunięta? Ws-ka: Patrz notatki do wykładów. 88. A) Oszacuj jaka część cząsteczek φ tlenu w temperaturze T = 300K ma prędkości zawarte w przedziale (199÷201) m/s. W obliczeniach posłużyć się przybliżonym wzorem φ = 4⁄√ ∙ ∙ exp − dz, gdzie z = (199+201)/(2vp), dz = (201 – 199)/vp, vp = 2k BT m0 = 2RT ( N Am0 ) = 2RT µ – prędkość najbardziej prawdopodobna. B) Niechaj

x = v vp ; korzystając z wartości całki podanych w tabeli obok wyznacz, jaka część wszystkich cząsteczek jednego mola gazu idealnego znajdującego się w zbiorniku ma prędkości z przedziału od vp do 2 vp ? Ile cząsteczek tego gazu ma prędkości z przedziału od vp do 2 vp ? 89. Rozważmy zbiornik o objętości V, w którym znajduje się N = 100 cząsteczek gazu idealnego. Tabela obok reprezentuje, w pierwszych dwóch kolumnach, liczby cząsteczek odpowiednio w lewej połowie NL oraz w prawej połowie NP zbiornika. Para liczb (NL; NP) określa dany makrostan rozpatrywanego układu, np. makrostan (60;40) oznacza, że w lewej połowie objętości znajduje się 60 a w prawej 40 cząsteczek tego gazu. Trzecia kolumna podaje liczby W mikrostanów realizujących dany makrostan określony parą liczb (NL; NP), przy czym

W=

N! , gdzie NL! oznaNL ! NP !

cza funkcję silni. Ostatnia, czwarta kolumna, zawiera wartości prawdopodobieństw realizacji makrostanu, które zostało wyznaczone ze wzoru

p( N L ; N P ) =

W 1 N! = N⋅ . Uwaga: Standardowy kieszonkowy kalkulator zawodzi, N 2 2 NL ! NP !

gdy chcemy policzyć wartość 100! = 9,33⋅10157 i otrzymujemy zazwyczaj komunikat OVERFLOW lub Math ERROR. Dla bardzo dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy posługiwać się przybliżeniem Stirlinga

ln N ! ≈ N (ln N ) − N . Uzasadnij stwier-

N

dzenia: a) całkowita liczba mikrostanów wynosi 2 ; ws-ka: wyobraź sobie, że dodajesz rozróżnialne cząstki do zbiornika, jedną możesz rozmieścić na 2 sposoby (21, tj. albo w lewej albo w prawej), dodając jednocześnie 2 możesz rozmieścić je na 4 sposoby (22; przedstaw na rysunku te sposoby rozkładu) itd; b) liczba mikrostanów o zadanych liczbach NL i NP jest równa

W = N ! ( N L ! N P !) . W termodynamice statystycznej nadaje się entropii interpretację mikroskopową za pomocą definicji entropii

Boltzmanna

S = k B ln W , gdzie k B = R N A , przy czym W nazywa się często prawdopodobieństwem termodynamicznym lub

parametrem nieuporządkowania. W rozpatrywanym tutaj zagadnieniu S = k B ln ( N ! ( N L ! N P !) ) . Samodzielnie uzupełnij dane w tabeli obliczając wartości S ( N L ; N P ) = k B ln W ( N L ; N P )  , wyniki zamieścić należy w portfolio. Wyznacz zmianę entropii ∆S w następujących przypadkach: c) układ przechodzi od początkowego makrostanu (60;40) do końcowego (50;50); d) układ przechodzi od początkowego makrostanu (50;50) do końcowego (0;100).

1

90. Zasada Landauera (1961): Nieodwracalne zapisanie w temperaturze T przez cyfrowy komputer jednego bitu informacji w dwustanowej komórce pamięci komputera powoduje wydzielenie do otoczenia energii cieplnej w ilości ∆Q = k BT ln 2. Odkrycie Rolfa Landauera jest fizyczną zasadą dotyczącą najniższej teoretycznej wartości energetycznego kosztu przetwarzania informacji przez cyfrowy komputer. Precyzyjniejsze sformułowanie tej fizycznej zasady (2003, Charles Bennett): Z każdym procesem nieodwracalnego przetwarzanie informacji logicznej, jak wymazanie bitu informacji, jest związany wzrost entropii elementów komputera lub wzrost entropii jego otoczenia. Uzasadnij zasadę Landauera. Ws-ka: Komórkę pamięci komputerowej plus jej bezpośrednie otoczenie można modelowo potraktować jako izolowany układ termodynamiczny; komórka pamięci to termodynamiczny podukład o dwóch umownych stanach: ZERO i JEDEN; nieodwracalny zapis jednego bitu informacji powoduje, że komórka poddana jest przemianie termodynamicznej od początkowych dwóch stanów ZERO lub JEDEN do jednego ze stanów, np. JEDEN; wyznaczmy teraz zmianę entropii Boltzmanna dla naszego podukładu (dwustanowa komórka pamięci cyfrowego komputera): ∆S 2→1 = S  ( N = 1)  − S  ( N = 2 )  = k B ln1 − k B ln 2 = − k B ln 2, widzimy, że lokalnie w naszym izolowanym układzie entropia komórki pamięci zmalała, ale układ jest zamknięty, więc (II zasada termodynamika) entropia otoczenia wzrasta o co najmniej k B ln 2.

91. Energia mechaniczna cząsteczki gazu o masie m wchodzącego w skład powietrza na powierzchni Ziemi wynosi !"#$%. = −G

()* +*

+

(, -

= −./

0

+

(, -

, gdzie RZ – promień Ziemi. Uzasadnij ten wzór. Wyznacz temperaturę po-

wietrza, przy której cząsteczkowy wodór, azot, tlen mogą uciec z pola grawitacyjnego Ziemi. Ws-ka: Przyjąć za v2 prędkość średnią kwadratową. Jakie konsekwencje mają otrzymane wyniki dla składu atmosfery ziemskiej. Czy z upływem wieków skład atmosfer ziemskiej będzie zmieniał się? Jeśli tak, to w jaki sposób? 92. Średnia wartość kwadratu prędkości cząstki mugolonu, tworzącego hipotetyczny gaz idealny mugolonów, wynosi = αkT2/m0, gdzie m0 —masa jednego mugolonu i α — stała Pottera. Korzystając z toku rozumowania zastosowanego na wykładzie do otrzymania równania Clapeyrona stanu gazu doskonałego, pokaż, że „równanie stanu” swobodnych mugolonów ma postać 1 ∙ = 2 ∙ ∙ ∙ /3. Wykreśl: a) izotermy gazu mugolonów w zmiennych p-V, V-T i p-T; b) izobary w zmiennych V-T, p-V i p-T; c) izochory w zmiennych V-T, p-V i p-T. 93. Swobodne rozprężanie gazu – rys. obok. Jest to proces adiabatyczny, w którym nie ma wymiany ciepła

z otoczeniem ani nie jest przez gaz wykonywana praca. Dlatego ∆Q = ∆W = 0. Zatem pierwsza zasada termodynamiki wymaga, aby nie zmieniała się energia wewnętrzna, tj. ∆U = 0. Otwarcie zaworu (stopcock) powoduje swobodną ekspansję gazu, który wypełni całą objętość dwukrotnie większą od początkowej. Takie zjawisko różnie się kompletnie od innych przemian, ponieważ odbywa się gwałtownie, a nie kwazistatycznie (a więc bardzo, bardzo powoli, a gaz przechodzi płynnie od jednego stanu równowagi do kolejnego) w kontrolowany sposób. Podczas swobodnego rozprężania się gaz nie znajduje się w stanie równowagi cieplnej, a jego ciśnienie nie jest jednorodne w objętości zbiornika. Nie jest więc możliwe sporządzenie ciągłego wykresu p-V dla tego procesu. Jeden mol tlenu (gaz idealny) rozpręża się izotermicznie w temp. 310 K od objętości V1 = 12 dm3 do V2=24 dm3. Uzasadnij, że w tych warunkach energia wewnętrzna gazu nie ulega zmianie, praca gazu i ciepło wymienione z otoczeniem są

sobie

równe

i

wynoszą

∆Q = ∆W = RT ln (V2 V1 ) , a

zmiana

(wzrost)

entropii

jest

równa

∆S = R ln (V2 V1 ) = R ln 2. Jaka będzie temperatura i ciśnienie końcowe, jeśli opisany proces rozprężania będzie adiabatycznym? Ws-ka: Zastosuj VTγ-1= const. Jaka będzie temperatura i ciśnienie końcowe, jeśli opisany proces rozprężania będzie procesem swobodnego rozprężania? W tym przypadku sporządź wykres tej δQ dV dT przemiany w zmiennych p-V i T-V. Korzystając ze wzoru dS = =R + CV pokaż, że zmiana entropii T V T w procesie swobodnego rozprężania gazu wynosi ∆S = R ln (V2 V1 ) , co wskazuje, że proces jest nieodwracalny. Inne podejście do tego problemu przedstawiono w zad. 89, którego treść tutaj przytaczamy. W termodynamice statystycznej nadaje się entropii interpretację mikroskopową za pomocą definicji entropii Boltzmanna S = k B ln W , gdzie k B = R N A , W nazywa się prawdopodobieństwem termodynamicznym lub parametrem nieuporządkowania i definiuje on liczbę mikrostanów realizujących dany makrostan układu 2

termodynamicznego. W rozpatrywanym przypadku makrostan początkowy odpowiada stanowi, w którym w jednej połowie zbiornika znajdują się wszystkie NA cząsteczek tlenu. Makrostan końcowy odpowiada sytuacji, gdy cząsteczki tlenu są rozłożone równomiernie w zbiorniku, tj. NA/2 znajduje się w lewej połowie i tyle samo w prawej połowie. Zmiana entropii Boltzmanna ∆S1→2 = k B ⋅ ln (W2 W1 ) , gdzie W2 ,W1 to odpowiednio parametry nieuporządkowania stanu końcowego i początkowego. Liczba W określa ile mikrostanów realizuje N! dany makrostan zadany parą liczb (NL; NP), przy czym W = , gdzie symbol ! oznacza silnię, zaś N L NL ! NP ! i N P określają liczbę cząsteczek gazu odpowiednio w lewej i prawej połowie zbiornika. Rozważmy swobodne rozprężanie jednego mola gazu idealnego (np. tlenu) jako przejście od stanu (100;0), dla którego NA ! 100! W1 = = 1, do stanów odpowiadających (50;50), dla którego W2 = . Wartość entropii 100!0! ( N A 2 )!( N A 2 )! Boltzmanna

dla

stanu

(100;0)

S1 = k B ⋅ ln (W1 ) = 0.

wynosi

Dla

stanów

(50;50)

  NA ! S2 = k B ⋅ ln (W2 ) = k B ⋅ ln   . Dla bardzo dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy  ( N A 2 )!( N A 2 )!  posługiwać się przybliżeniem Stirlinga ln N ! ≈ N (ln N ) − N .

Pokaż, że ∆S1→2 = k B ⋅ ln (W2 W1 ) = R ⋅ ln2.

  NA ! ln   = ln N A ! − 2 ln ( ( N A 2 ) !) ; do tej równości należy teraz zastosować  ( N A 2)!( N A 2)! przybliżenie Stirlinga. 94. Silnik Stirlinga jest nieco podobny do silnika Otto (benzynowego) chociaż kompresja i rozprężanie zachodzi izotermicznie a nie adiabatycznie. Jest to silnik zewnętrznego spalania, ponieważ w jego wnętrzu nie zachodzi spalanie się mieszanki paliwowej. Do działania silnika wystarcza różnica stworzenie różnicy temperatur między substancją roboczą i otoczeniem. Może to być wywołane przez światło słoneczne, wody geotermalne, różnica temperatur między wodą mórz/oceanów, ogrzewanie silnika płomieniem ze źródła. Ciepło jest pobierane z zewnątrz ze spalanego poza silnikiem paliwa. Dlatego jest to bardzo cichy silnik, w porównaniu z silnikiem Otto ponieważ nie jest spalana mieszanka wybuchowa. Jednak nie znalazł na razie powszechnego zastosowania w samochodach ze względu na rozmiary, masę i mniejszą sprawność niż silnik Otto i Diesla. Zamknięty cykl składa się z 4 przemian: a→b – przemiana izotermiczna w temperaturze T1, której stopień kompresji wynosi r; b→c – przemiana izochoryczna, w której temperatura rośnie do T2; c→d – przemiana izotermiczna w temperaturze T2; d→a – przemiana izochoryczna, która obniża temperaturę do T1. Załóżmy, że n moli gazu idealnego o danej wartości ciepła molowego CV jest ośrodkiem roboczym. Wyznacz ∆Q, ∆W, ∆U dla wszystkich przemian odwracalnego cyklu zamkniętego. Pokaz, że teoretyczna sprawność silnika Sterlinga jest równa η = 1 − 6 ⁄ . Ws-ki: Uzasadnij, że: a) ciepła pobrane przez gaz idealny w przemianach izochorycznych w sumie są równe zeru; b) całkowita praca wykonana przez gaz w przemianach izotermicznych wynosi 78$9ł;?9 = R − 6 ln A ; c) ciepło jest dostarczane układowi tylko w przemianie c→d w ilości ΔD = R ln A . Silnik ma szanse być współcześnie zastosowany w samochodach, pojazdach kosmicznych i łodziach podwodnych! 95. Jak energia wewnętrzna i molowe ciepła CV dowolnego gazu idealnego zależą od stopni swobody jego cząsteczek. Należy rozważyć wszystkie stopnie swobody związane z ruchem postępowym, obrotowym i drgającym. Ws-ka:

W. Salejda Wrocław, 5 stycznia 2015

3

Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. Poprawny wzór określający bezwzględną wartość entropii n moli gazu doskonałego o temperaturze T zajmującego objętość V zadaje wzór

, ,

=

ln +

ln

+

, gdzie

– ciepło molowe przy stałej objętości, a S0 – stała wartość entropii w 3

temperaturze zera bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak

zmieni się entropia tego gazu, gdy naczynie to podzielimy na dwie równe co do objętości części, a jak gdy zostanie podzielone na dwie części o objętościach 1 dm3 i 3 dm3? B) W naczyniu o objętości 4 dm3 podzielonego przegrodą na dwie równe co do objętości części znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak zmieni się entropia tego gazu, gdy zostanie usunięta przegroda? C) Naczynie o objętości 4 dm3 podzielona przegrodą na dwie równe co do objętości części. W jednej z nich znajdują się 2 mole a w drugiej 3 mole tlenu; temperatury gazów są takie same. Jak zmieni się entropia układu, gdy przegroda zostanie usunięta? Ws-ka: Patrz notatki do wykładów. 2. Tlen, który w temperaturze 40oC pod ciśnieniem 1,01⋅105 Pa zajmuje objętość 1000 cm3, rozpręża się do 1500 cm3, czemu towarzyszy wzrost ciśnienia do wartości 1,06⋅105 Pa. Wyznacz: a) liczby moli i cząsteczek gazowego tlenu, b) temperaturę końcową tlenu. 3. Zbiornik A z rys. poniżej wypełnia gaz idealny pod znanym ciśnieniem pA i o znanej temperaturze TA i nieznanej objętości V. Zbiornik ten jest połączony cienką rurką cienką rurką z zaworem ze zbiornikiem B o objętości 3V, który wypełnia ten sam gaz doskonały pod ciśnieniem pB = pA/3 i o temperaturze TB = 1,5ˑTA. W pewnej chwili otworzono zawór, co spowodowało wyrównanie się ciśnień w obu zbiornikach, w których gaz jest utrzymywany w temperaturach początkowych. Wyznacz ciśnienie w połączonych zbiornikach. Ws-ka: Uzasadnij, że warunek zadania można zapisać w postaci 1ˑ F = F − G R F , 1ˑ H = H + G R H , gdzie założono, że G jest liczba moli gazu, które ubyły ze zbiornika A; G może mieć wartość dodatnią lub ujemną. 4. W zbiorniku znajduje się jeden mol gazu idealnego o temperaturze 20oC pod ciśnieniem 105 Pa. Podaj wzór określający liczbę cząsteczek (ale nie obliczaj) tego gazu, których wartości prędkości są większe od prędkości dźwięku w tym gazie. 5. Ciepło właściwe gazu argonu 0,075 cal/(gˑK). Wyznacz masę molową argonu oraz masę jednego atomu tego gazu. 6. Wykres obok reprezentuje hipotetyczny rozkład prędkości cząsteczek gazu w zbiorniku zawierającym danych N cząsteczek gazu, przy czym prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczek o prędkości większej od danej v0 wynosi zero, tj. P(v > 2v0) = 0. Jak parametr a zależy od v0? Ile cząsteczek ma prędkości z przedziału ? Wyznacz prędkość średnią cząsteczek oraz prędkość średnią kwadratową. Ws-ka: I

,L

J K dK = 1, zauważ, że wartość tej całki jest równa powierzchni pod wykresem P(v);

potrzebne całki znajdź samodzielnie w tabeli wzorów matematycznych. 7. W zbiorniku znajduje się 10 moli tlenu o temperaturze 300 K. Jaka liczba cząsteczek tlenu o masie molowej µ = 0,032 kg/mol ma prędkości w przedziale od 599 m/s do 601 m/s? Uzasadnij, że szukany ułamek należy wyznaczyć 2 ze wzoru 4π  µ  ⋅ v 2 ⋅ 10 ⋅ N A ⋅ exp  − µ v  ∆v , gdzie ∆v = 2 m/s. Odp. ≈1,58⋅1022.  2π RT   2RT  3/2

8. Rysunek obok reprezentuje rozkład prędkości cząsteczek hipotetycznego gazu, przy czym P ( v ) = α ⋅ v 2 dla v ≤ v0 i P ( v ) = 0 dla v > v0. Wyznacz: a) α ; b) wartość prędkości średniej, c) prędkość średnią kwadratową. 9. Gęstość pewnego gazu o temperaturze 273 K pod ciśnieniem 103 Pa wynosi 1,24ˑ10-5 g/cm3. Wyznacz prędkość średnią kwadratową cząsteczek oraz masę jednej cząstki tego gazu. Ile wynosi średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek tego gazu? 10. A) Pokaż, że podczas adiabatycznego rozprężania gazu idealnego jego temperatura maleje. B) Gaz idealny o wykładniku adiabaty 1,4 pod ciśnieniem początkowym p0 = 1,2ˑ 105 Pa o temperaturze T0 = 310 K zajmował objętość V0 = 0,76 dm3. Następnie gaz ten adiabatycznie rozprężono do objętości V1 = 4,3 dm3 . B1) Oblicz temperaturę końcową T1 gazu. B2) Pokaż, że praca tego gazu podczas opisanego rozprężania adiabatycznego wyraża się wzorem nˑCV(T0 – T1), gdzie = 1 /R , CV = 5R/2.

4

11. Tabela określa liczbę cząsteczek gazu o podanych prędkościach. Oblicz prędkość: a) średnią cząsteczek, b) średnią kwadratową cząsteczek. Pokaż, że obie prędkości średnie cząsteczek gazu będą sobie równe, pod warunkiem, że wszystkie wartości prędkości są takie same. Liczba 3 5 9 6 2 cząsteczek Prędkości [m/s] 100 200 400 500 800 12. Cztery mole tlenu, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym i drgającym ogrzano o 40 K pod stałym ciśnieniem. Ile ciepła dostarczono do gazu? O ile wzrosła energia wewnętrzna gazu? Jaką pracę wykonał gaz? O ile wzrosła energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek tego gazu idealnego? 13. Jeden mol gazu idealnego poddano cyklicznej przemianie pokazanej na rys. obok. Przemiana 2 → 3 jest adiabatyczna; T1 = 300 K, p1 = 105 Pa, T2 = 600 K, T3 = 455K, R = 8,3 J/(molˑK). Oblicz ciepło, pracę oraz zmianę energii wewnętrznej dla każdej z tych przemian osobno oraz dla całego cyklu zamkniętego. 14. Dwa mole gazu idealnego podlega odwracalnej przemianie przedstawionej na wykresie obok. A) Ile energii w postaci ciepła pobrał gaz? B) Ile wyniosła zmiana energii wewnętrznej gazu? C) Jaka pracę wykonał gaz podczas tej przemiany? Stan początkowy ma parametry (T0 = 400 K; S0 = 5 J/K), (Tk = 200 K; Sk = 20 J/K), Ws-ka: ∆Q = TˑdS i porównaj to ze sposobem obliczania pracy ∆W = pˑdV. 15. Oblicz ilość ciepła dostarczonego próbce gazu idealnego, jeżeli jego entropia w wyniku odwracalnego rozprężania izotermicznego w temperaturze 140oC wzrosła o 50 J/K. 16. Dwuatomowy gaz doskonały, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie wykonują drgań, poddano procesowi cyklicznemu z rysunku obok. Przyjmując za dane p1, V1 i T1 oraz R oblicz: A) p3, V3 i T3 ; B) pracę W, Q, ∆U, ∆S w przeliczeniu na mol gazu we wszystkich 3 przemianach cyklu; C) Ile wynosi sprawność takiej maszyny cieplnej? 17. Załóżmy, że jeden mol jednocząsteczkowego gazu przeprowadzono od stanu początkowego (p1,V1) do stanu końcowego (2p1,2V1) poddając go dwóm różnym przemianom: (I) gaz izotermicznie rozpręża się do objętości 2V1 a następnie jest izochorycznie sprężane do 2p1. (II) Gaz jest izotermicznie sprężany aż jego ciśnienie wzrośnie dwukrotnie po czym jest izochorycznie rozprężany do objętości 2V1. A) Przedstaw każdą z przemian w zmiennych p-V. B) Dla przemian (I) i (II) wyznacz Q/(p1ˑV1) dla każdego z etapów przemian. C) Pracę wykonaną W/(p1ˑV1) dla każdego z etapów przemian. D) Ile wynosi dla (I) i (II) przemian ∆U/(p1ˑV1) a ile ∆S? 18. Cykl odwrotny Carnota reprezentują poniższe diagramy w zmiennych p-V (3→2→1→4→3) i T-S (C→D→A→B→C na środkowym diagramie; 3→4→1→2→3 na prawym). W tym odwracalnym cyklu zamkniętym (cykl przebiega odwrotnie do ruchu wskazówek zegara), gaz idealny pobiera ciepło w ilości ∆Q3→2 = QL od układu o niższej temperaturze TL (chłodnicy) i przekazuje ciepło w ilości ∆Q1→4 = QH, układowi o wyższej temperaturze (grzejnicy) kosztem wykonania pracy ∆W. Sprawność tego cyklu definiuje współczynnik wydajności M =

∆O . PQ

Korzy-

stając z odwracalności cyklu, I zasady termodynamiki i zmiany entropii ( ∆U3→2→1→4→3 = 0 i ∆S3→2→1→4→3 = 0), pokaż, że wydajność tego cyklu wynosi M =

∆O PQ

=

RS TRQ RQ

. Ws-ki: Uzasadnij, że: a) całkowita ilość ciepła wymieniona w jed-

nym cyklu z otoczeniem ∆Q = QL – QH; b) praca wykonana przez gaz na rzecz otoczenia ∆W = – ∆Q; c) spełniona jest równość

PQ RQ

P

− R S = 0. S

5

19. Pokaż, że sprawność cyklu Carnota wynosi η = (TH − TL ) TH = (ε − 1) ε , gdzie ε jest współczynnikiem wydajności cyklu odwrotnego. 20. Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został poddany przemianie cyklicznej przedstawionej na rys, obok w zmiennych p-V. Przyjmijmy, że p = 2p0, V = 2V0, gdzie p0 = 105 Pa, V0 = 0,0225 m3.. Oblicz: a) Pracę wykonaną podczas cyklu; b) ciepło dostarczone w procesie a →b→c, c) sprawność cyklu; d) ile wynosiłaby sprawność silnika Carnota pracującego pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą tego cyklu? 21. Masa m wodoru rozszerza się izobarycznie, dwukrotnie powiększając objętość. Znaleźć zmianę entropii w tym procesie. Dane są: masa cząsteczkowa wodoru µ i ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu cp. 22. Cztery mole gazu doskonałego poddano izotermicznemu przy T = 400K odwracalnemu rozprężaniu od V1 do V2 = 2V1. Obliczyć pracę wykonaną przez gaz oraz zmianę entropii gazu. 23. W dwóch naczyniach o pojemnościach V1 i V2 znajdują się masy m1 i m2 gazów o masach cząsteczkowych odpowiednio µ1 i µ2. Obliczyć ciśnienie mieszaniny gazów powstałej po połączeniu tych naczyń przewodem o pomijalnej objętości oraz zmianę entropii w tym procesie. Temperatura mieszających się gazów jest stała i wynosi T. 24. Dwa podukłady o temperaturach początkowych T1 i T2 > T1 oraz pojemnościach cieplnych odpowiednio C1 i C2 zetknięto ze sobą, pozwalając na wyrównanie się temperatur. Znaleźć zmianę entropii układu w całym procesie. 25. Znaleźć zmianę entropii przy zamianie masy m lodu o temperaturze T1 w parę o temperaturze T2. Dane są ciepła właściwe lodu, wody, pary wodnej oraz ciepła topnienia lodu i parowania wody. 26. Pierwszy stopień dwustopniowego silnika Carnota pobiera z grzejnika o temperaturze T1 energię w postaci ciepła Q1, wykonuje pracę W1 i oddaje do chłodnicy o temperaturze T2 energię w postaci ciepła Q2. Drugi stopień pobiera energię Q2, wykonuje pracę W2 i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temperaturze T3 energię Q3. Udowodnij, że sprawność dwustopniowego silnika Carnota jest równa (T1 − T3)/T1. 27. Jeden mol gazu doskonałego o nieznanej liczbie stopni swobody oraz ciepłach molowych użyto jako substancji roboczej w silniku wysokoprężnym (silnik Diesla) pracującym według następującego cyklu zamkniętego pokazanego na diagramie obok w zmiennych p-V: (1) (1 → 2) zapłon od (p1,V1) do (p2 = p1,V2 = 2V1); (2) (2→3) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p2,V2) do (p3 = p1/32,V3 = 16V1); (3) (3 → 4) od (p3,V3) do (p4 = p3,V4 = 8V1); (4) suw (4 → 1) bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p4,V4) do (p1,V1). Wyznacz wykładnik adiabaty oraz liczbę stopni swobody tego gazu. Obliczyć: a) Temperatury na początku i końcu każdej z przemian; b) Sprawność silnika. Ws-ki: Ciepło jest wymieniane z otoczeniem tylko w przemianach izobarycznych; temperatury w punktach 1, 2, 3 i 4 wykresu należy wyznaczyć z równania stanu gazu doskonałego. 28. Jeden zamknięty cykl silnika benzynowego składa się z 4 następujących przemian; patrz diagram obok w zmiennych p-V: (1) (1 → 2) zapłon od (p1,V1) do (p2 = 3p1,V1); (2) (2 → 3) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p2,V1) do (p3,V3); (3) (3 → 4) ssanie od (p3,V3) do (p4,4V1); (4) (4 → 1) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p4,4V1) do (p1,V1). Traktując mieszaninę benzyna-powietrze jako gaz idealny o znanym wykładniku adiabaty γ obliczyć: a) Ciśnienie i temperaturę na początku i końcu przemian; b) sprawność silnika. Ws-ki: Pokaż najpierw, że równanie adiabaty w zmiennych V-T ma postać ∙ VT6 ; następnie wykorzystując równania adiabat i izobar pokaż, że ∆Q1→2 = 2CV ⋅T1 i ∆Q3→4 = – ∆Q1→2/(4)γ-1. 29. a) Chłodziarka Carnota wymaga 300 J pracy, aby pobrać 800 J ciepła z komory chłodzenia. Ile wynosi jej współczynnik sprawność? Ile ciepła jest odprowadzane na zewnątrz przez chłodziarkę? b) Klimatyzator pobiera energię cieplna z pokoju o temperaturze tZ = 21oC i odprowadza ją do otoczenia o temperaturze t0G = 32oC. Ile wynosi jej współczynnik wydajności? Ile dżuli energii pobranej z pokoju przypada na jeden dżul energii elektrycznej dostarczonej klimatyzatorowi? Ile wyniesie wydajność chłodziarki, jeśli temperatura otoczenia wzrośnie do 3t0G, a potem do 10t0G? 30. Dwa pręty, z miedzi i z aluminium, o przewodnościach cieplnych odpowiednio 394 i 218W/(mK), długości 50 cm każdy i promieniu 1 cm są połączone szeregowo. Ich powierzchnie boczne są izolowane cieplnie. Wolny koniec pręta

6

miedzianego znajduje się w temperaturze 80◦C, a aluminiowego – w temperaturze 10◦C. (a) Jaka jest temperatura na złączu? (b) Jaka jest szybkość przepływu ciepła przez pręty? 31. Oblicz strumień ciepła uciekającego z organizmu narciarza przez jego ubranie, jeżeli przyjmie się następujące dane: pole powierzchni ciała 1,8m2, grubość ubrania 1 cm, temperatura skory 33◦C, temperatura powietrza 1◦C i przewodność cieplna właściwa ubrania 0,04W/(mK). Jak zmieniłby się ten wynik, jeżeli w wyniku upadku kombinezon narciarza nasiąkłby wodą, której przewodność cieplna właściwa wynosi 0,6W/(mK)? ◦ 32. Kulę o promieniu 0,5m, temperaturze 27 C i zdolności emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temperaturze 77◦C. Z jaką szybkością kula: (a) emituje; (b) pochłania promieniowanie cieplne? (c) Jaka jest wypadkowa szybkość wymiany energii przez kulę? 33. Uzasadnij, że ciśnienie p(h) w gazie o stałej temperaturze T poddanym działaniu pola grawitacyjnego Ziemi na wysokości h ma wartość p(h) = p0⋅exp[−µgh/(RT)] = p0⋅exp[−m0gh/(kT)], gdzie p0 – ciśnienie na poziomie morza, µ – masa molowa, m0 – masa jednej cząstki gazu doskonałego. Twoim zadaniem jest wykonanie kalibracji pokojowych barometrów, które umieszczone są w miastach znajdujących się na różnych wysokościach h nad poziomem morza (nazwy miasta/miejsc oraz wartości średnich wysokości nad poziomem morza (n.p.m.) zestawiono w tabeli). Widoczny na fotografii obok fragment barometru jest wykalibrowany w pewnym mieście na ciśnienie unormowane 74,5 cm Hg, na co wskazuje ustawienie miedzianej wskazówki tego barometru. Wzór

p ( h ) = p0 ⋅ exp  − µ gh / ( RT )  określa unormowane ciśnienie atmosferyczne panujące na wysokości h nad poziomem morza; µ – masa molowa powietrza, p0 = 760 mm Hg (1013,25 hPa) – ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza. Przyjmując, że dla powietrza µ = 29 g/mol, a jego temperatura T = 300 K jest stała, uzupełnij poniższą tabelę (wyniki kalibracji podaj z dokładnością do 1 mm Hg).

Miasto

Wysokość h n.p.m. [m]

Wrocław

108

Świdnica

250

Wałbrzych

475

Karpacz

700

Ciśnienie unormowane [mmHg]

Wskaż źródła możliwych niedokładności obliczonych i zamieszczonych w tabeli wartości unormowanych ciśnień. 34. Samolot leci na wysokości 8,3 km. W kabinie pasażerów utrzymywane jest ciśnienie odpowiadające ciśnieniu powietrza na wysokości 2,7 km. Oszacować: a) stosunek gęstości powietrza w kabinie, gdzie temperatura wynosi +20◦C, do gęstości powietrza otoczenia o temperaturze −20◦C; b) różnicę ciśnień między wnętrzem i otoczeniem. Masa molowa powietrza 29 g/mol. VT6 35. Pokaż, że równanie przemiany adiabatycznej w zmiennych T-V ma postać = W XY6 i V 16TV = W XY w zmiennych p-T. 36. (”Odmrażanie stopni swobody”). a) Obliczyć energię ruchu cieplnego oraz molową pojemność cieplną CV gazu idealnego o temperaturze T oraz i stopniach swobody korzystając z zasady ekwipartycji energii cieplnej. b) Przy dostatecznie wysokich temperaturach cząsteczka gazu dwuatomowego wykonuje w przestrzeni obroty (sztywna dwuatomowa molekuła wiruje w przestrzeni) o średniej energii kBT. Ile wynosi w tych warunkach pojemność molowa C(1)V ? (Gaz cząsteczek H2 w przedziale temperatur od 350K do około 800K ma CV = C(1)V.). c) Przy jeszcze wyższych temperaturach wzbudzane są wibracyjne stopnie swobody cząstki dwuatomowej (atomy wykonują ruch drgający wzdłuż linii łączącej je), przy czym średnia energia takiego ruchu wynosi kT. Obliczyć pojemność C(2)V przy bardzo wysokich temperaturach. (Gaz cząsteczek H2 o temperaturze powyżej 5000K wykazuje CV = C(2)V.) 37. Prędkość najbardziej prawdopodobna vp odpowiada wartości maksymalnej funkcji rozkładu Maxwella Z) K = [W XY ∙ K exp −. K ⁄ 2]H

. Pokaż, że: a) K^ =

to Z) K = [W XY ∙ K exp −. K ⁄ 2]H

_` R , tj. (L

dK = 4⁄√

v p = 2k BT m0 ; b) jeśli przyjąć nową zmienną x =

∙ a ∙ exp −a da.

7

v , vp

38. A) Stacja meteorologiczna jest umieszczona na wysokości 3250m. Oszacować ciśnienie powietrza na tej wysokości.

Przyjąć: temperaturę powietrza 5◦C, masę molową powietrza 29 g/mol, ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa. B) Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza stanowi 75% ciśnienia na poziomie morza? Masa molowa powietrza 29 g/mol. C) Załóżmy, że atmosfera Ziemi jest złożona tylko z atomów: azotu, lub tlenu albo wodoru. Oszacować ciśnienie takiej atmosfery na wysokości 1 km. Przyjąć: temperaturę atmosfery 5◦C, ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa. 3 39. Ile waży 1m powietrza: A) na powierzchni Ziemi; B) na wysokości 4 km nad powierzchnią? Przyjąć temperaturę powietrza za 0◦C. Ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa. 40. Diagramy obok przedstawiają cykl zamknięty silnika spalinowego (cykl Otta): 1→2 suw adiabatycznego zasysania mieszanki paliwowej; 2→3 – zapłon mieszanki paliwowej w przemianie izochorycznej; 3→4 – adiabatyczny suw pracy (rozprężanie); 4→1 – przemiana izochoryczna usuwania spalin do otoczenia. Pokaż, 6 że sprawność takiego cyklu wynosi 1 − cde , gdzie A = e jest b

-

współczynnikiem sprężania w przemianie 1→2. Ws-ka: Patrz https://www.fizyka.umk.pl/~andywojt/wyklady/termo/TD%20wyklad%2012.ppt

41. Diagramy obok reprezentują cykl zamknięty pracy modelu silnika Diesla. Przemiana adiabatyczna 1→2 (a→b) to sprężanie powietrza (bez paliwa); w punkcie 2 (b) następuje wtrysk paliwa pod wysokim ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez iskry; generacja i transfer ciepła do sprężonego powietrza przybliżamy przemianą izobaryczną 2→3 (b→c); suw pracy 3→4 (c→d) modelujemy przemianą adiabatyczną; po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach gorące powietrze i produkty spalania są zastępowane w przemianie izochorycznej 4→1 (d→a) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciepłach molowych. Pokaż, że współczynnik sprawności tego cyklu można wyrazić za pomocą temperatur Ta, Tb, Tc, Td oraz wykładnik adiabaty γ i wynosi on związki dla przemian adiabatycznych

η = 1−

1 Td − Ta . Następnie wykorzystując γ Tc − Tb

TaVaγ −1 = TbVbγ −1 i TcVcγ −1 = TdVdγ −1 oraz równość Va = Vb, pokaż, że γ −1   V γ −1  Vb   c  Tc   − Tb      Vd   Va   η =1−  . γ (Tc − Tb )

42. Diagramy poniżej prezentują cykl zamknięty pracy modelu silnika Diesla. Przemiana adiabatyczna 1→2 (a→b)

to sprężanie powietrza (bez paliwa); w punkcie 2 (b) następuje wtrysk paliwa pod wysokim ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez iskry; generacja i transfer ciepła do sprężonego powietrza przybliżamy przemianą izobaryczną 2→3 (b→c); suw pracy 3→4 (c→d) modelujemy przemianą adiabatyczną; po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach gorące powietrze i produkty spalania są zastępowane w przemianie izochorycznej 4→1 (d→a) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciepłach molowych. Pokaż, że współczynnik sprawności γ  T1   T4 T1 − 1   1   α −1  , ⋅  = 1 −  γ −1  ⋅   r   γ ⋅ (α − 1)   γ T2   T3 T2 − 1 

η = 1− 

gdzie

https://www.fizyka.umk.pl/~andywojt/wyklady/termo/TD%20wyklad%2012.ppt

8

r=V1/V2

i

R

2 = Rf = f . -

-

Ws-ka:

Patrz

43. Rysunki

obok przedstawiają zamknięty cykl Braytona pracy silników turbin gazowych stosowanych w generatorach prądu elektrycznego, w samolotach i rakietach. Na odcinku 1→2 (A→B) powietrze o ciśnieniu atmosferycznym pmin= p1, temperaturze T1 jest poddawane adiabatycznemu sprężaniu, co podnosi jego ciśnienie do pmax= p2 i temperaturę do T2, ponieważ nad powietrzem jest wykonywana praca. Następnie gorące powietrze trafia do komory spalania (combustion chamber), gdzie jest mieszane z paliwem i mieszanka ulega wybuchowemu spalaniu 2→3 (B→C), co podnosi temperaturę mieszaniny do T3 pod stałym ciśnieniem pmax= p2. Mieszanina gazowa wykonuje etap pracy (napędza turbinę) 3→4 (C→D), rozprężając się adiabatycznie do ciśnienia atmosferycznego pmin= p1 = p4, osiągając temperaturę T4. Ostatni etap cyklu 4→1 (D→A), polega na izobarycznym ochłodzeniu spalin do temperatury T1 i usunięciu ich na zewnątrz silnika. Pokaż, że sprawność T −T tego silnika, jeśli substancją robocza jest gaz idealny w ilości n moli, wynosi η = 1 − 4 1 . Ws-ka: Ciepło T3 − T2 jest pobierane w przemianie 2→3 (B→C) w ilości QH = nCp (T3 − T2 ) i oddawane układowi w ilości

QC = nCp (T4 − T1 ) , więc η =

QH − QC . QH

Pokaż, że równanie adiabaty w zmiennych p-V ma postać

p ( γ −1) γT = const. Pokaż, że analiza procesu adiabatycznego 1→2 (A→B) pozwala otrzymać wyrażenie

p  T1 =  max   pmin 

( γ −1)

γ

⋅ T2 =rp(

γ −1) γ

T2 , gdzie rp =

pmax pmin

określa stopień zwiększenia ciśnienia w tym procesie.

p  Podobnie pokaż, że dla adiabatycznego rozprężania mamy T4 =  max   pmin  uzasadnij, że η = 1 − rp(

1−γ ) γ

( γ −1)

γ

⋅ T3 = rp( γ −1) γT3 .

Następnie

. Wyznacz sprawność silnika Braytona dla dwuatomowego gazu idealnego, w

którym nie i są wzbudzane oscylacyjne stopnie swobody i dla rp = 10. Czy wzbudzenie oscylacyjnych stopni swobody zwiększa η? 

44. Równanie gazu Van der Waalsa ma postać  p +



a ⋅ n2   ⋅ ( B − nb ) = nRT . Punkt krytyczny ma 3 ściśle określone V2 

wartości ciśnienia pkr, temperatury Tkr i objętości Vkr, które odpowiadają punktowi przegięcia izotermy krytycznej. Parametry krytyczne wyznaczamy z warunków na pierwszą pochodną

∂2 p ∂V 2

= 0. Pokaż, że A) pkr

B)

∂2 p ∂V 2

=2 pkr

∂p ∂V

=− pkr

nRTkr

(Vkr − nb )

3

nRTkr

(Vkr − nb ) −6

2

∂p ∂V

= 0 oraz na drugą pochodną pkr

2an 2 2an 2 nRTkr + 3 =0→ 3 = 2 ; Vkr Vkr (Vkr − nb )

an 2 an 2 nRTkr = 0 → 6 =2 , 3 4 4 Vkr Vkr (Vkr − nb )

C) Vkr = 3nb; ws-ka: podziel stronami otrzymane wyżej rezultaty, D) Tkr = 8a/(27bR); ws-ka: podstaw Vkr do otrzymanego wzoru

2an 2 nRTkr , = 2 3 Vkr (Vkr − nb )

E) pkr = a/(27b2); ws-ka: podstaw wyniki z C) i D) do równania gazu. F) Wyznacz temperaturę krytyczną dla dwutlenku węgla, dla którego a = 2,13 Pa⋅m6/mol2 i b = 31,3⋅10-6 m3/mol i porównaj z danymi tablicowymi.

9

45. Jeden kg wody o temp. 100o C jest podgrzewany (rys. obok) i paruje pod ciśnieniem atmosferycznym 1,01⋅105 Pa, w wyniku czego objętość wody 10-3 m3 przekształca się w parę o objętości 1,67⋅10-3 m3. Jaka pracę wykonuje układ podczas odparowywania wody? Ile ciepła jest dostarczonego układowi podczas parowania? Jaka jest zmiana energii wewnętrznej układu? 46. Układ może wymieniać ciepło z otoczeniem promieniując lub absorbują energię fal elektromagnetycznych. Promieniowanie energii w postaci fal elektromagnetycznych znany jest pod nazwą promieniowania cieplnego (termicznego). Strumień promieniowania cieplnego emitowanego wynosi J#">?. = σhε j, gdzie A – powierzchnia emitująca, σ = 5,67⋅10-8 W/(m2 K4) – stała Stefana-Boltzmanna (od nazwiska odkrywcy na drodze eksperymentalnej Józefa Stefana i Ludwika Boltzmanna (podał uzasadnienie teoretyczne), T – temperatura powierzchni emitującej; ε – parametr przyjmujący wartości z przedziału (0.0;1.0>. Strumień promieniowania cieplnego j j absorbowanego J9kl. = σhε