[ ECUACION DE SCHRODINGER] 18 de marzo de 2008

¿Cómo sabemos lo que es la ? Las onda en cuerdas y de sonido se rigen por las leyes de la mecanica de Newton. Las ondas electromagneticas se predicen y describen mediante las ecuaciones de Maxwell ¿De donde viene la ? Hemos interpretado físicamente la  de una partícula Si conocemos y podemos calcular la densidad de probabilidad que el electrón este en un punto a lo largo del eje x :   ¿Pero como encontraremos la expresión de la ? ¿Existe análogamente al caso de la luz, una ecuación de onda que pueda resolverse? En 1926, Edwin Schrodinger (1881-1961) propuso una ecuación de este tipo y la resolvió para algunos casos importantes. A diferencia de con las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, la ecuación de Schrodinger no puede derivarse de otros principios, su validez radica en su capacidad de describir correctamente los resultados experimentales. Edwin Schrodinger, inspirado por el concepto de De Broglie, pensó en estos términos : La óptica geométrica trata de raros y del movimiento de la luz en línea recta; sucede que se ha convertido en un caso especial de una óptica ondulatoria mucho mas general.

En ondas que representen a partículas, introducimos la . Ejemplo:  Un protón que viaja a lo largo del eje de un tubo al vacio en un acelerador de partículas  Un electrón de conducción que se mueve por un alambre de Cobre  Un electrón moviéndose alrededor del núcleo de un átomo de Hidrogeno. Cualquiera sea el caso, si conocemos  en casa punto del espacio y para cada instante de tiempo sabemos todo lo que puede saberse acerca del comportamiento de la partícula.

Nacido el 12 de agosto de 1887,En Erdberg, Viena, Austria Fallecido el 4 de enero de 1961 , en Viena, Austria.

Lic. José Luis Moreno Vega

¿Podría ser que fuera un caso especial de una mecánica ondulatoria más general, aun no descubierta?

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La mecánica newtoniana tiene tambien “rayos” (trayectorias) y un movimiento rectilíneo (de las partículas libres)

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[ ECUACION DE SCHRODINGER] 18 de marzo de 2008 Schrödinger nació en Viena el 12 de agosto de 1887. Hijo único del matrimonio formado por Rudolf Schrödinger y una hija de Alexander Bauer, su profesor de química en la Universidad Técnica de Viena. Schrödinger padre procedía de una familia bávara por generaciones y dotado de una amplia educación. Después de acabados sus estudios de química, se dedicó por años a la pintura italiana y, posteriormente, a la botánica sobre la cual escribió una serie de artículos sobre la filogenia de distintas plantas y cultivos. Tras estallar la guerra del 14 sirvió en el ejército como oficial de artillería. La formulación de la ecuación de Schrödinger fue producto de la insatisfacción que experimentaba su creador con el condicionamiento cuántico que comporta la teoría orbital de Bohr y su creencia de que los espectros atómicos no sólo interpretan su frecuencia sino que también su intensidad. Por ese trabajo Schrödinger compartió con Dirac el premio Nobel de física de 1933.

Dicho y hecho: escribe una serie de seis artículos relativos a la mecánica ondulatoria y la teoría general de la relatividad. De acuerdo a su propuesta, la mecánica ondulatoria era una segunda formulación de la teoría cuántica (la primera habría sido la mecánica de matrices propugnada por Heisenberg). El mismo Schrödinger es quien se encarga de establecer las relaciones entre ambas. ¿Qué era tan impactante en su trabajo? Se puede resumir sin mucho lugar a error diciendo... lo de siempre: una idea con muchas consecuencias. ¿Y en qué consistía dicha idea? Es una ecuación que no tiene, propiamente hablando, "referente" físico, y por ello se ha dicho que "no tiene

Lic. José Luis Moreno Vega

No obstante su retiro de la vida académica activa, Schrödinger continuó con sus investigaciones y publicó una variedad de artículos sobre distintos temas, en los cuales se incluye el problema de unir la gravedad con el electromagnetismo, que también absorbió a Einstein y que todavía está sin resolver. También escribió un pequeño libro titulado «Qué es la Vida». y manifestó su interés en la fundación de la física atómica. Además, expuso su aversión a la descripción dual generalmente aceptada onda – partícula, intentando desarrollar como contraparte una teoría en términos solamente de ondas. Esto lo condujo a controversias con otros importantes físicos.

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Hitler asciende al poder en el año 1933, Schrödinger, al igual que muchos otros científicos, concluye que en ese entorno político no podía continuar en Alemania. Emigra a Inglaterra y, por un tiempo, hace una beca en Oxford. En 1936 le ofrecieron una posición en Graz, que él aceptó solamente después de mucha deliberación y porque las añoranzas que sentía por su país nativo dominaban sus sentimientos de preocupación por lo que se estaba viviendo entonces en Alemania. Cuando se produce la anexión de Austria en 1938, él inmediatamente entra en dificultades en Inglaterra, ya que esa acción de Alemania fue considerada por los ingleses como un acto hostil. Se trasladó a Italia, desde donde procedió camino a la Universidad de Princeton. Después de una breve estancia en EE.UU., regresa a Europa para ocupar un cargo académico en el Instituto de Estudios Avanzados de Dublín, siendo posteriormente nombrado director de la escuela de física teórica de esa institución. Permanece en Dublín hasta su retiro en 1955.

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[ ECUACION DE SCHRODINGER] 18 de marzo de 2008 sentido físico". La última expresión debe interpretarse como "no tiene sentido físico dentro del cuadro de la concepción realista clásica"

A través de su carrera científica y también en su vida personal, Schrödinger nunca intentó conseguir una meta específica, ni embarcarse en proyectos de largo aliento. Además, no le era grato trabajar junto con otros, incluso si se trataba de sus propios discípulos Su vida poco convencional se puede ilustrar a través del hecho que él llevaba siempre sus pertenencias en una mochila que cargaba a sus espaldas, y caminar desde el estación al hotel, incluso en ocasiones como se le veía cuando asistía a las conferencias de Solvay en Bruselas. Sus formas desenfadadas, viajando únicamente con botas de montaña y mochila, lo que le ocasionó problemas a la hora de ser admitido en los congresos a los que asistía, cautivaron a sus colegas y alumnos. Schrödinger, al retirarse de la vida activa volvió a Viena, donde gozó de una merecida respetabilidad. Murió el 4 de enero de 1961, después de padecer una larga enfermedad a los 73 años (tuberculosis).. Lo sobrevivió su viuda y fiel compañera, Annemarie Bertel, con quien se había casado en 1920.

Lic. José Luis Moreno Vega

Primero, que la vida no es ajena ni se opone a las leyes de la termodinámica, sino que los sistemas biológicos conservan o amplían su complejidad exportando la entropía que producen sus procesos (véase neguentropía). Segundo, que la química de la herencia biológica, en un momento en que no estaba clara su dependencia de ácidos nucleicos o proteínas, debe basarse en un “cristal aperiódico”, contrastando la periodicidad exigida a un cristal, con la necesidad de una secuencia informativa. Según las memorias de James Watson, DNA, The Secret of Life, el libro de Schrödinger de 1944, What's Life? le inspiró a investigar los genes, lo que le llevó al descubrimiento de la estructura de doble hélice del ADN.

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¿Qué es la vida? En 1944 publicó en inglés un pequeño volumen titulado ¿Qué es la vida? (What is life?), resultado de unas conferencias divulgativas. Esta obra menor ha tenido gran influencia sobre el desarrollo posterior de la Biología. Aportó dos ideas fundamentales:

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[ ECUACION DE SCHRODINGER] 18 de marzo de 2008 EL GATO DE SCHRÖDINGER El planteamiento lo hizo el propio Schrödinger para reflejar la situación de incertidumbre a la que conduce su famosa ecuación de onda. Según esta fórmula, que es básica y fundamental para definir el fenómeno cuántico, sólo la intervención del observador o del sistema de medida determina el paso de la indeterminación cuántica a la realidad concreta. El experimento –imaginario, por supuesto- que propuso Schrödinger fue situar un gato en una cámara cerrada, en donde un mecanismo cuántico desencadenara un proceso por el que cayera veneno sobre la comida del gato. El mecanismo cuántico podría ser un fotón o una substancia radioactiva. Roger Penrose lo modifica algo y plantea la emisión de un fotón que va a parar en un espejo semipermeable. Si pasa a través del espejo, el fotón desaparece y no interactúa con el sistema de envenenamiento de la comida del gato, si se refleja en el espejo es detectado por una cámara fotoeléctrica que desencadena la caída del veneno sobre la comida del gato. O sea que, para el observador que no tiene acceso a lo que pasa dentro, el gato no está ni vivo ni muerto si se aplica al pié de la letra la ecuación de Schrödinger, sólo cuando se abre la caja el gato está o vivo o muerto.

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Yo entiendo que es esencial en la génesis de las partículas la interferencia de ondas (en el sentido de interacción o intersección y el correspondiente efecto frenado respecto al movimiento vibratorio del Universo en expansión). Algo que tuvo que suceder al principio del espacio-tiempo y que se materializó con el big-bang como una gigantesca interacción de ondas. Una onda interfirió con otra y ello determinó el efecto frenado a la expansión vibratoria del Universo, que es fundamental para la creación de la masa, a la vez que tiene lugar el efecto inercia o gravitatorio. De forma que: freno de la actividad ondulatoria, inercia, gravedad y masa –e incluso supercuerda- son equivalentes o facetas de un mismo fenómeno. El fenómeno esencial de la formación de las partículas con todas sus propiedades específicas inherentes, tales como la masa, las fuerzas energéticas o el spín. Pero ¿ello es todo?. No. Lo que se conoce como función de onda permanece en un estado en el que se puede aplicar la ecuación de Schrödinger y es indetectable (es una realidad no detectable por los métodos científicos) hasta que encuentra un observador, un aparato de medida ¡o un receptor adecuado!, que es cuando se materializa. No creo que hagan falta ni el observador ni el aparato de medida, con otro receptor o estado con capacidad interactiva adecuado -con sus propiedades inherentes de inercia gravitatoria, masa específica, fuerza y spín - es suficiente. Es suficiente con que se produzca el efecto frenado. Esta interacción entre estos dos estados es lo que determina el colapso de onda o la reducción del vector de estado o función de onda, que es cómo en Física se llama a este paso entre la indeterminación cuántica y el efecto partícula concreto, o dicho de otra forma, este paso entre una realidad no detectable científicamente y la materialización. De forma que el gato de Schrödinger estará vivo o muerto, independientemente de que el observador lo observe o no, con la interacción de otro estado con propiedades idóneas es suficiente. ¡No faltaría más!. El observador, o el aparato de medida, es sólo uno más de estos estados con capacidad interactiva con los que el fotón –o la partícula radioactiva - pueden toparse y sufrir el efecto frenado. El gato estará vivo mientras la función de onda cuántica continúe indeterminada (no materializada) y, por lo tanto, no conecte con el mecanismo mortífero, y estará vivo o muerto cuando la función de onda deje de ser indeterminada y, al azar, se materialice al decidirse por una u otra vía de conexión, independientemente de que abramos la caja o no. El gato de Schrödinger estaba vivo o muerto antes de que el observador interviniera, como el Universo siguió su curso antes de que apareciera la vida en el mismo. O como lo expresó Einstein, la luna existió antes de que ningún ser viviente la observara. ¡ A veces es que hay teorías o planteamientos que parecen ideados para causar risa!. ¡Con lo sencillo que es admitir que, a nivel cuántico, una situación se materializa cuando encuentra el receptor adecuado!. O sea, cuando se produce el efecto frenado. Hay que contar, claro, con una situación de indeterminación, la de la función cuántica antes del colapso de onda o efecto frenado, que es una realidad científicamente indetectable pero que ¡tampoco puede matar al gato!.

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Bueno, el propio Schrödinger creía que se llevaba demasiado lejos la aplicación de su fórmula, pero como sucede con los artistas, ellos hacen su obra de arte y los críticos interpretan al margen de la opinión del autor que en modo alguno es vinculante. Y así las especulaciones en torno a la ecuación de Schrödinger no han cesado desde que se formuló en la década de los veinte. ¿Porqué no exponer yo la mía?. Pues vamos a ello, si no quiero incurrir en falsa modestia, creo que hace falta.

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Para formar la ecuación de Schrodinger podemos guiarnos por la relacion p = h/ , que describe la dualidad onda-particula. Consideremos una onda sinusoidal de longitud de onda  que se propaga en la direccion x . Usaremos el numero de onda k = 2/ y de la siguiente forma de la funcion de onda:  = A sen(kx) + Bcos(kx).................................(*) Donde A y B son independiente de x. Supongamos que esta es la funcion de onda de una particula libre cuyo modulo de la cantidad de movimiento es p = mv . Como p = h/ y k = 2/ , tenemos que :

 h  2  p    2    O bien :

p  k La energía de una partícula libre cuyo modulo de la cantidad de movimiento es p = mv , 1 p2 es exclusivamente energía cinética, por lo tanto E  mv 2  2 2m se tiene :

Esto expresa la energía E en función del numero de onda k , que es un parámetro de la función de onda , en la ecuación (*).Como depende sinusoidalmente de x, calculando su segunda derivada obtenemos :

d 2  k 2 . 2 dx

1 d 2 k   dx 2



2

O bien :



 Sustituyendo el valor de k2 obtenido en :

 2k 2 E 2m

1  2 d 2 E  2m dx 2

nos da:



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p  k

Lic. José Luis Moreno Vega

Sustituyendo :

 2k 2 E 2m

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[ ECUACION DE SCHRODINGER] 18 de marzo de 2008  

 2 d 2   E.  o bien 2m dx 2  que es la ecuación de Schrodinger para este caso particular En general :

 2 d 2   U .  E. 2m dx 2

Una vez que se conoce U , se puede resolver la ecuación de Schrodinger y obtener  Tambien se le llama : ecuación de Schrodinger independiente del tiempo

Resolveremos la ecuación de Schrodinger para nuestra partícula en una caja unidimensional de ancho L. Las paredes son infinitamente altas. U(x) =  para x = 0 y x = L

 2 d 2   U .  E. 2 2m dx  Haciendo U = 0 y seleccionando la componente relevante , x. Tenemos :

Despejo : 

 2 d 2   E. 2 2m dx d 2  2mE     2   2 dx   





Lic. José Luis Moreno Vega

La ecuación de Schrodinger para una partícula en una caja unidimensional se obtiene a partir de la ecuación

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La partícula se mueve libremente. Esto corresponde a un potencial constante, y ya que el origen de potencial se puede elegir arbitrariamente, nosotros lo elegiremos igual a cero.

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Hacemos : k  2

2mE 2

luego :

d 2 2   k  2 dx

 Para resolver esta ecuación , probaremos con la función seno y coseno. Se puede comprobar que la solución general de la ecuación es :

 ( x)  Asen(kx)  B cos(kx) Condiciones de frontera: Si x = O

 (0) = Asen(k.0) + Bcos(k.0) = A.0 + B.1 = B = 0

Lo que significa :

 ( x)  Asen(kx)

Si x = L

 (L) = Asen(k.L) = 0

Solo puede satisfacerse para algunos valores de k, que representaremos por kn Ya que la funcion seno es cero cada multiplo de  , sen(n  ) = 0

kn 

Tenemos que knL = n 

2mE Luego reemplazo en : k  2 2

n L

n = 1,2,3, . . . .

2mE  n    2 tenemos :    L  2

 h2  2 .n E n   2   8mL 

 n ( x)  Asen(kn x)  n ( x)  Asen( O también :

n x) L

Notas:

 h2  2 .(1) 1. El electrón no puede estar en reposo en el pozo porque : E1   2   8mL  2. La función  no tiene interpretación física. Pero  2 tiene un significado fisico  Según el principio de incertidumbre : p  2L

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La función de onda de una partícula con energía En dentro de una caja es :

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En conclusión :

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[ ECUACION DE SCHRODINGER] 18 de marzo de 2008 “Cuanto más pequeña sea la region en la que confinemos a la particula, tanto mayor sera la incertidumbre de su cantidad de movimiento”. 3. El electrón pasa mas tiempo en ciertas partes de la trampa que en otras:

Pero, en la física clásica todas las posiciones entre las paredes de la trampa son igualmente probables. 4. El electrón puede escapar de su trampa , en pozos de profundidad finita.

1. Evalúe la constante de normalización A de la ecuación :

n x) L

que dá la densidad de probabilidad para una partícula atrapada en un pozo infinitamente profundo de anchura L Solución Sabemos :



Condición de normalización sobre 

Entonces :



L

0





 dx  1 2

L

0

Si  



nx L

 dx  1 2

 n A2 .sen2   L

 x dx  1  n

A 2 L n A2 L  1 1  2 sen d    sen2   1   0 n n  2 4 0

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n = 1,2,3, . . . .

Lic. José Luis Moreno Vega

 n ( x)  Asen(

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simplificando :

A

2 L

Nótese que la constante de normalización no contiene al numero cuántico n, y por lo tanto es la misma para todos los estados del sistema 2.

Un electrón esta atrapado en un pozo infinitamente profundo de anchura L. Si el electrón esta en el estado base. ¿Qué fracción de su tiempo pasa en el tercio central del pozo?

Solución:

=

1

  2 ( x)  A2 sen2 ( x) L

1

fracción  

2L / 3

L/3

Al evaluar la integral

n

:

2  sen2 ( x) L L

f = 0,61

Asi, el electrón en su estado base pasa 61% de su tiempo en el tercio central de su trampa , y alrededor del 19,5% en cada uno de los dos tercios de afuera.

19, 5 + 61 + 19,5 = 100% Si el electrón obedeciera las leyes de la fisica clasica . habria gastado exactamente un tercio de su tiempo en cada uno de estas regiones de su trampa.

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n



(s x) e L

Lic. José Luis Moreno Vega

Para

 1 ( x)  A

1 0