1. Graphen gebrochen rationaler Funktionen ================================================================== 1.1 Verhalten in der Umgebung der Definitionslücken -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Sind an, an−1, an−2, ...., a2, a1, a0 ∈ R reelle Zahlen und an ≠ 0, dann heißt der Term p(x) = an⋅xn + an−1⋅xn−1 + .... + a2⋅x2 + a1⋅x + a0 reelles Polynom in der Variablen x vom Grad n. Man schreibt degp(x) = n.   Beispiel: p(x) = x3 − x + 2 ist ein Polynom vom Grad 3 mit a3 = 1, a2 = 0, a1 = − 1 und a0 = 2. Ein Zahl x0 ∈ R heißt Nullstelle des Polynoms p(x), wenn p(x0) = 0 ist. Beispiel: x0 = − 1 ist Nullstelle des Polynoms p(x) = x3 − x2 + 2, denn p( − 1) = ( − 1)3 − ( − 1)2 + 2 = − 1 − 1 + 2 = 0

Lässt sich der Funktionsterm f(x) einer Funktion f in vereinfachter Form als f(x) =

p(x) q(x)

mit zwei Polynomen p(x) und q(x) mit degq(x) ≥ 1 darstellen, dann heißt f eine gebrochen   rationale Funktion mit dem Zählerpolynom p(x) und dem Nennerpolynom q(x). Ist degp(x) < degq(x), dann heißt f eine echt gebrochen rationale Funktion.     Ist degp(x) ≥ degq(x), dann heißt f eine unecht gebrochen rationale Funktion.    

Beispiele: a) f : x →

1 x +1 2

mit der maximalen Definitionsmenge Dmax = R ist eine echt gebrochen rationale Funktion. b) f : x →

2x2 x2 + 1

mit der maximalen Definitionsmenge Dmax = R ist eine unecht gebrochen rationale Funktion. __________________________________________________________________________ Bemerkungen: a) Die maximale Definitionsmenge einer gebrochen rationalen Funktion besteht aus allen reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms. Man nennt die Nullstellen des Nennerpolynoms deshalb auch Definitionslücken der gebrochen rationalen Funktion. Beispiele: a) f : x →

1 hat die maximale Definitionsmenge Dmax = R. x +1

b) f : x →

1 1 hat die maximale Definitionsmenge Dmax = R\{ − }. 2 2x + 1

c) f : x →

1 hat die maximale Definitionsmenge Dmax = R\{ − 1; 1}. x −1

d) f : x →

1 1 = hat die maximale Definitionsmenge Dmax = R\{0; 2}. x⋅(x − 2) x − 2x

2

2

2

b) Die Summe aus einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochen rationalen Funktion ist eine unecht gebrochen rationale Funktion. Beispiel: f(x) = x +

1 x⋅(x − 2) + 1 x2 − 2x + 1 (x − 1)2 = = = . x−2 x−2 x−2 x−2

___________________________________________________________________________

Werden die Funktionswerte einer Funktion f bei rechts- bzw. linksseitiger Annäherung an eine Definitionslücke x0 beliebig groß bzw. beliebig klein, dann schreibt man lim f(x) = ∞ bzw. x → x0+0

lim f(x) = − ∞ x → x0+0

sowie lim f(x) = ∞ bzw. x → x0−0

lim f(x) = − ∞. x → x0−0

und bezeichnet x0 als Polstelle von f. Die Gerade x = x0 heißt dann senkrechte Asymptote des Graphen von f.

Bemerkungen: a) Gilt lim

f(x) = ∞ und

x → x0+0

lim

f(x) = − ∞ bzw.

x → x0−0

lim

f(x) = − ∞ und

x → x0+0

lim

f(x) = ∞

x → x0−0

dann heißt x0 eine Polstelle ungerader Ordnung. An einer Polstelle ungerader Ordnung wechselt die Funktion f ihr Vorzeichen. Beispiel: Die Funktion f: x →

1 mit D = R\{0} 2x

hat an der Definitionslücke x0 = 0 einen Pol ungerader Ordnung

Die y-Achse mit der Gleichung x = 0 ist eine senkrechte Asymptote des Graphen von f.

b) Gilt lim

f(x) = ∞ und

x → x0+0

lim

f(x) = ∞ bzw.

x → x0−0

lim

f(x) = − ∞ und

x → x0+0

lim

f(x) = − ∞

x → x0−0

dann heißt x0 eine Polstelle gerader Ordnung. An einer Polstelle ungerader Ordnung findet kein Vorzeichenwechsel von f statt. Beispiel: Die Funktion f: x →

1 1 mit D = R\{1} ⋅ 2 (x − 1)2

hat an der Definitionslücke x0 = 1 einen Pol gerader Ordnung

Die Gerade mit der Gleichung x = 1 ist eine senkrechte Asymptote des Graphen von f. c) Eine Definitionslücke ist nicht zwangsläufig eine Polstelle. Beispiel: f : x →

Es ist f : x →

x2 − 2x x−2

x2 − 2x x⋅(x − 2) x = = 2 (x + 2)⋅(x − 2) x+2 x −4

Also lim f(x) = x → 2+0

lim f(x) = x → 2−0

2 1 = . 4 2

Man schreibt zusammenfassend lim f(x) = x→2

Grenzwert 2 besitzt.

1 und sagt, dass f an der Stelle x0 = 2 den 2

Definitionslücken gebrochen rationaler Funktionen Ist eine Definitionslücke x0 einer Funktion f eine Nullstelle des Nennerpolynoms ungerader bzw. gerader Ordnung im gekürzten Funktionsterm von f, dann hat f bei x0 einen Pol ungerader bzw. ungerader Ordnung. Andernfalls besitzt die Funktion f bei x0 einen endlichen Grenzwert. ___________________________________________________________________________

1.2 Verhalten im Unendlichen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nähern sich die Funktionswerte einer gebrochen rationalen Funktion für x → ∞ bzw. x → − ∞ immer mehr einer Zahl a an, dann schreibt man lim f(x) = a bzw. x→∞

lim f(x) = a x → −∞

und bezeichnet a als Grenzwert von für x im Unendlichen. Die Gerade y = a nennt man dann ein horizontale Asymotote des Graphen von f. Werden die Funktionswerte von f beliebig klein bzw. beliebig groß, dann schreibt man lim f(x) = ∞ bzw. x→∞

lim f(x) = − ∞ sowie x→∞

lim f(x) = ∞ bzw. x → −∞

lim f(x) = − ∞ x → −∞

Fallunterscheidung: 1. degp(x) < degq(x)    

Beispiel: f(x) =

lim x→∞

2x x +1 2

2x 2 2x 2 = lim = 0 und lim 2 = lim = 0 1 1 x +1 x→∞ x+ x x → −∞ x + 1 x → −∞ x + x 2

Die x-Achse mit der Gleichung y = 0 ist horizontale Asymptote des Graphen von f.

2. degp(x) = degq(x)    

Beispiel: f : x →

lim x→∞

2x2 x2 + 1

2x2 2 2x2 2 = lim = 2 und lim = lim = 2 1 1 2 2 x +1 x→∞ 1+ 2 x → −∞ x + 1 x → −∞ 1 + 2 x

x

Die Gerade mit der Gleichung y = 2 ist horizontale Asymptote des Graphen von f. 3. Die gebrochen rationale Funktion lässt sich als Summe einer linearen Funktion und einer echt gebrochen rationalen Funktion darstellen. Beispiel :

f : x → f(x) =

1 1 x+1+ 2 x

  1 1 1 1  = − ∞, aber wegen Dann gilt zwar lim  x + 1 +  = ∞ und lim x+1+ 2 2 x x x→∞  x → −∞   lim x→∞

y =

1 1 = 0 und lim = 0 nähert sich der Graph im Unendlichen der Geraden x x → −∞ x 1 x + 1 an 2

1 x + 1 eine schiefe Asymptote des Graphen. 2 ___________________________________________________________________________ Man nennt die Gerade y =

1.3 Kurvendiskussion rationaler Funktionen I ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Beispiel: a) f : x →

x x −1 2

1. Definitionsmenge x2 − 1 = 0

(x + 1)⋅(x − 1) = 0

⇔

⇔

x = −1 ∨ x = 1

und damit D = R\{ − 1; 1} 2. Symmetrie f( − x) =

−x x = − 2 = − f(x) 2 x +1 ( − x) + 1

Der Graph G von f ist also punktsymmetrisch zum Ursprung O0 | 0 des Koordinatensys  tems. 3. Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs lim f(x) =

lim

x → 1−0

x → 1−0

lim f(x) =

lim

x → 1+0

x → 1+0

lim f(x) = lim x→∞

x→∞

x = − ∞ , da lim x = 1 und lim (x2 − 1) = 0 − 0 x −1 x → 1−0 x → 1−0 2

x = ∞ , da lim x = 1 und lim (x2 − 1) = 0 + 0 x −1 x → 1+0 x → 1+0 2

x = x −1 2

lim x→∞

1 = 0+0 x − 1x

Wegen der Punktsymmetrie gilt lim

f(x) =

x → −1−0

lim x → −1+0

lim x → −1−0

f(x) =

lim x → −1+0

lim f(x) = lim x → −∞

x→∞

x = −∞ x −1 2

x = ∞ x −1 2

x 0−0 x −1 2

Senkrechte Asymptoten: x = − 1 und x = 1 Waagrechte Asymptote: y = 0

4. Nullstellen f(x) = 0

⇔

x = 0 x −1 2

⇔

x = 0

5. Vorzeichen

x 2

x −1 f(x)

−∞