www.clasesalacarta.com

1

JUNIO _ 2012

Universidad de Castilla la Mancha – PAU/LOGSE – Junio 2.012 Opción A 1.-

a) Despeja matrices 3 b) Si A = 7

la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 7I - 2X + AX = B, suponiendo que todas las son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). 0 , calcula la matriz X que cumple AX = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. 1

7I-2X+AX=B  -2X+AX=B-7I  (-2+A)X=B-7I  (-2+A)-1(-2+A)X =(-2+A)-1(B-7I)  I·X= (-2+A)-1(B-7I) X = (-2+A)-1 (B-7I) AX = I  A-1·AX= A-1·I  I·X= A-1  X = A-1 3 7

A =

1 -7 A = → 0 3 d

A

d

t

=

1 -7

1 0 -1 -1 = 3 → ≠0 → ∃ A → A = 1 A

A

1 0 -1 1 →A = · 3 3 -7

1 0 3 -7 1 3

0 -1 →A = 3

d

t

1 →X = 3 -7 3

0 1

2.- Los alumnos de 2º de Bachillerato de un centro escolar votan entre los tres posibles destinos para el viaje de

fin de curso: Roma, Londres y París. El número total de votos es 120. El número de alumnos que quieren ir a Roma es el triple de la diferencia entre los que quieren ir a París y los que quieren ir a Londres. El número de alumnos que quieren ir a París es la mitad de la suma de los que quieren ir a Roma y a Londres a) a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita saber cuántos alumnos quieren ir a Roma, Londres y París respectivamente. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.   

x = nº de alumnos que votan Roma y = nº Londres z = nº París

x + y + z = 120 x + y + z = 120 1 x = 3(z – y) → x + 3y – 3z = 0 → 1 x+y -x – y + 2z = 0 -1 z= 2

1 3 -1

1 1 120 -3 0 → F2 -F1 → 0 F3 +F1 2 0 0

1 2 0

1 120 -4 -120 → 3 120

x + y + z = 120 x = 60 2y – 4z = -120 → y = 20 z = 40 3z = 120

Es decir, quieren ir 60 alumnos a Roma, 20 alumnos a Londres y 40 a París. 3.- Se ha registrado el ruido que se produce en una cocina industrial durante 4.5 horas. La función R(t) = t3 - 9t2

+ 24t + 28, representa el ruido medido en decibelios (db) y t el tiempo medido en horas, 0 < t < 4.5. a) ¿En la primera hora (t = 1), cuántos decibelios se registraron? b) ¿En qué momento se produce mayor ruido? ¿Cuál fue el valor máximo del ruido registrado? En la primera hora se registraron: R(1) = 13 – 9·12 + 24·1 + 28 = 44 db Para que exista un máximo (mayor ruido): R’(t)=0 y R’’(t) 0



R’’(2) = -6 < 0   máximo  R(2) = 48

Por tanto a las 2 horas se produce el máximo ruido cuyo registro fue de 48db.

á

á

2

Examen Selectividad _ Matemáticas _ CCSS _ Castilla la Mancha

4.- Se considera la función f x =

x2 - x

si x≤1

. Se pide: x-2 +1 si x>1 a) Estudia su continuidad en x = 1. b) Extremos relativos en el intervalo (1,4). c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (1,).

Para que sea continua lim

x→1

-

2

f(x) = limx → 1+ f(x) = f(1) lim - f(x) = lim - x2 - x = 0

x→1

x→1

lim+ f(x) = lim+ x - 2

x→1

2

x→1

f(1) = 0 Por lo tanto, f(x) no es continua en x = 1.

+ 1 =2

En el intervalo (1,4) la función toma el valor: f(x) = (x-2)2 +1. Para que exista un extremo relativo: f’(x)=0 

f’(x)= 2(x-2)  f’(x)= 2x – 4



f’(x)=0  2x – 4 =0  x = 2



f’’(x) = 2 > 0   un mínimo relativo  f(2) = 1

Es decir, existe un mínimo relativo en (2, 1). En el intervalo (1,+) la función toma el valor: f(x) = (x-2)2 +1: f’(1) 0

2

Con lo que f(x) es decreciente en (1,2) y creciente en (2,+). 5.- En un instituto el 30% de los alumnos juegan al baloncesto, el 25% juegan al fútbol, y el 50% juegan al fútbol

o al baloncesto o a ambos deportes. a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al baloncesto? b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol?   

Suceso A = baloncesto  P(A)=0.3 Suceso B = fútbol  P(B)=0.25 P(AB) =0.5

La probabilidad de jugar al fútbol y al baloncesto: P(AB) P(A  B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.3 + 0.25 – 0.5  P(A  B) = 0.05 Si juega al baloncesto, la probabilidad de que juegue al fútbol es: P B A P B∩A 0.05 P B A = = → P B A = 0.169 0.3 P(A) 6.- Se sabe que el peso de los paquetes de harina, que se producen en una fábrica, sigue una distribución normal

de media desconocida y desviación típica 20 gramos. Se seleccionan al azar 50 paquetes de harina y se observa que tienen un peso medio de 745 gramos. a) Halla el intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de harina de dicha fábrica con un nivel de confianza del 97 %. b) Explica razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. El intervalo de confianza para la media es: P x - Zα · 2

σ n

< μ < x + Zα ·



x = 745



 = 20



n = 50



1 -  = 0.97   = 0.03  α 2 = 0.015  1 - α 2 = 0.985

2

σ n

= 1-α

www.clasesalacarta.com

3

JUNIO _ 2012



El valor crítico

Zα

2

es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z  Zα )  1 - α 2  2

buscamos en la tabla P (Z  Zα )  0.985  Zα 2

P 745 – 2.17 ·

20 50

2

= 2.17

, 745 + 2.17 ·

20 50

= 738.86, 751.14

Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza podemos aumentar el tamaño de la muestra, lo que hace disminuir el radio del intervalo porque hace aumentar el denominador de la fracción que aparece en él. σ n Si no queremos cambiar el tamaño de la muestra, podemos reducir el intervalo renunciando al nivel de confianza, tomando uno menor. Esto hace que el factor Zα que aparece en el radio del intervalo disminuya y 2

por tanto disminuye el intervalo.

Opción B 1.- Una empresa tiene 3000 bolsas de ajo morado de Las Pedroñeras y 2000 botellas de aceite de oliva de Los

Montes de Toledo. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichos productos: lotes de tipo A formados por tres bolsas de ajos y una botella de aceite de oliva, que venderá a 50 euros; lotes de tipo B formados por una bolsa de ajos y dos botellas de aceite de oliva que venderá a 80 euros. a) a) Dibuja la región factible. b) ¿Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la mayor cantidad de dinero?   

x = lotes tipo A y = lotes tipo B G(x,y) = 50x + 80y B (0, 1000) 1000 – – 800 – – 600 –

A (800, 600)

– 400 – – 200 – C (1000, 0)

–

1000 –

–

800 –

–

600 –

–

0–

D (0, 0)

400 –

– 0–

–

→

x = 800 y = 600 x=0 y = 1000 x = 1000 y=0

200 –

3x + y ≤ 3000 x + 2y ≤ 2000 x≥0 y≥0

3x + y = 3000 → x + 2y = 2000 x + 2y = 2000 → x=0 3x + y = 3000 → y=0 x=0 y=0

Los valores que toma la función G(x,y) = 50x + 80y en cada uno de los vértices:  En el vértice A : G (800, 600) = 88000  En el vértice B : G (0, 1000) = 80000  En el vértice C : G (1000, 0) = 50000  En el vértice D : G (0, 0) = 0 Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice A, es decir, para x=0 e y=1000, G(x,y) toma un valor máximo de 88000. 2.- Una empresa fabrica tres modelos de lavadoras: A, B y C. Para fabricar el modelo A se necesitan 3 horas de

trabajo en la unidad de montaje, 2 horas en la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación. Para fabricar el modelo B se necesitan 4 horas de trabajo en la unidad de montaje, 2 horas de trabajo en la unidad de acabado y 1 hora en la unidad de comprobación. Para fabricar el modelo C se necesitan 2 horas en la unidad de montaje, 1 hora de trabajo en la unidad de acabado y 1 hora de trabajo en la unidad de comprobación. Sabiendo que se han empleado 430 horas en la unidad de montaje, 240 horas en la unidad de acabado y 150 horas en la unidad de comprobación. Se pide: a) Plantea el sistema que permita saber cuántas lavadoras de cada modelo se han fabricado. b) Resuelve el sistema planteado. (0.5 puntos) x = tipo A 3x + 4y + 2z = 430 1 1 2x + 2y + z = 240 → 3 4 x + y + z = 150 2 2

y = tipo B 1 1 150 2 430 →F2 -3F1 → 0 F3 -2F1 1 240 0

z = tipo C x + y + z = 150 x = 50 1 1 150 1 -1 -20 → y – z = -20 → y = 40 0 -1 -60 z = 60 -z = -60

á

á

4

Examen Selectividad _ Matemáticas _ CCSS _ Castilla la Mancha

3.- Dada la función f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Calcula los valores de las constantes a, b y c para que la gráfica de

la función pase por el punto (0, 4), tenga un mínimo relativo en el punto de abscisa x =-1, y un punto de inflexión en x = -2. 

Para que pase por el punto (0,4)  f(0) = 4  c = 4  f(x) = x3 + ax2 + bx + 4



Para que tenga un mínimo relativo en x=-1  f’(-1)=0







f’(x)= 3x2 + 2ax + b



f’(-1)=0  3 – 2a + b = 0

Para que tenga un punto de inflexión en x=-2  f’’(-2)=0 

f’’(x)= 6x + 2a



f’’(-2)= 0  -12 + a = 0  a = 6  f(x) = x3 + 12x2 + bx + 4

3 – 2a + b = 0  3 – 12 + b = 0  b = 9

Por tanto la función queda: f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 4 x2 – x + t

4.- Se considera la función f x =

si x≤2

2

x - 3 +1 si x>2 a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 2? b) Para t=0, representa gráficamente la función f(x).

Para que sea continua lim

x→2

-

f(x) = limx → 2+ f(x) = f(2) lim - f(x) = lim - x2 – x + t = 2 + t

x→2

x→2

lim+ f(x) = lim+ x - 3

x→2

2

x→2

+1 =2 →2 + t=2→ t=0

f(2) = 2 + t

x2 – x +1

si x>2

Para x2: f(x)= x – x : parábola

Para x>2: f(x)=(x-3)2 + 1  f(x)= x2 - 6x + 10: parábola

2

:



1 1 ,− 2 2

Vértice: Vx= 3  Vy= 1 : (3, 1)

5– 

(2, 2)

4– 3– 2–

0–

-1 – -2 –

4–

1– 3–

(2, 2)

-1 2

0–



 Vy=

-1 –

Pasa por (0,0)

1 2

-2 –



=

-3 –

Vértice: Vx=

-4 –

-b 2a



2–

x-3

si x≤2 2

1–

Para t = 0: f x =

www.clasesalacarta.com

5

JUNIO _ 2012

5.- En una empresa se producen dos tipos de muebles: A y B, en una proporción de 2 a 3, respectivamente. La

probabilidad de que un mueble de tipo A sea defectuoso es 0.05 y de que un mueble de tipo B sea defectuoso es 0.1. a) Elegido un mueble al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b) Se escoge al azar un mueble y resulta no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? 

Suceso A = elegir modelo A



Suceso B = elegir modelo B



Suceso D = elegir defectuoso

2/5

3/5

0.05

D

0.95

D

0.1

D

A

B 0.9

D

La probabilidad de que sea defectuoso: P(D) 2 3 P (D) = P(AD)  P(BD) = P D A · P(A) + P D B · P(B) = 0.05· + 0.1·  P(D) = 0.08 5 5

La probabilidad de que si no es defectuoso, sea del modelo B: P B

D 3 0.9· P D B ·P B P B∩D 5 B P = = = →P B = 0.59 D D 1 - 0.08 P(D) P(D)

Se estudió el cociente intelectual de 10 estudiantes de 2º de Bachillerato elegidos aleatoriamente de un determinado centro escolar, siendo estos valores: 80, 96, 87, 104, 105, 99, 112, 89, 90 y 110. Sabiendo que el cociente intelectual se distribuye según una normal con desviación típica 15. Se pide: a) Halla el intervalo de confianza al nivel del 95% para la media del cociente intelectual de los estudiantes de 2º de Bachillerato de dicho centro escolar. b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza. 6.-

El intervalo de confianza para la media es: P x - Zα · 2

80+96+87+104+105+99+112+89+90+110 10

σ n

< μ < x + Zα · 2



x=



 = 15



n = 10



1 -  = 0.95   = 0.05  α 2 = 0.025  1 - α 2 = 0.975



El valor crítico Zα

2

σ n

= 1-α

= 97.2

es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z  Zα )  1 - α 2  2

buscamos en la tabla P (Z  Zα )  0.975  Zα 2

P 97.2 – 1.96 ·

15 10

2

= 1.96

, 97.2 + 1.96 ·

15

= 87.90, 106.50

10

Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza, podemos aumentar el tamaño de la muestra, lo que hace disminuir el radio del intervalo al aumentar el denominador: n' ≥

n →

1

≤

1

→ Zα ·

σ

≤ Zα ·

σ

n n n' n' Así, se restaría y sumaría a la media una cantidad menor, lo que hace que la amplitud del intervalo disminuya. 2

2